2025屆廣西壯族自治區(qū)柳州市柳州高級中學高一數學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆廣西壯族自治區(qū)柳州市柳州高級中學高一數學第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．的內角的對邊分別為，面積為，若，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．2．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．3．已知函數在上單調遞增，且的圖象關于對稱.若，則的解集為（）A． B．C． D．4．問題：①有1000個乒乓球分別裝在3個箱子內，其中紅色箱子內有500個，藍色箱子內有200個，黃色箱子內有300個，現(xiàn)從中抽取一個容量為100的樣本；②從20名學生中選出3名參加座談會.方法：Ⅰ.隨機抽樣法Ⅱ.系統(tǒng)抽樣法Ⅲ.分層抽樣法.其中問題與方法能配對的是()A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ5．秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為A．35 B．20 C．18 D．96．某中學高一從甲、乙兩個班中各選出7名學生參加2019年第三十屆“希望杯”全國數學邀請賽，他們取得成績的莖葉圖如圖，其中甲班學生成績的平均數是84，乙班學生成績的中位數是83，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若則 B．若則C．若則 D．若則8．在直三棱柱（側棱垂直于底面）中，若，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．在等差數列中，若，則（）A．10 B．15 C．20 D．2510．下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間上單調遞減的函數是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數的最小正周期為_______.12．已知數列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數列{an}的通項公式為________.13．已知向量，滿足，與的夾角為，則在上的投影是；14．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若b·cosC=c·cosB，且cosA＝，則cosB的值為_____．15．已知正數、滿足，則的最大值為__________．16．在中，，過直角頂點作射線交線段于點，則的概率為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知內角的對邊分別是，若，，.（1）求；（2）求的面積.18．已知，．(1)求及的值；(2)求的值．19．如圖，在四棱柱中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，AC與BD交于點O，，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的大小.20．在中，，點D在邊AB上，，且.（1）若的面積為，求CD；（2）設，若，求證：.21．如圖，在長方體中，，點為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面的夾角．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

出現(xiàn)面積，可轉化為觀察，和余弦定理很相似，但是有差別，差別就是條件是形式，而余弦定理中是形式，但是我們可以注意到：,所以可以完成本題.【詳解】由，所以在三角形中,再由正弦定理所以答案選擇A.【點睛】本題很靈活，在常數4的處理問題上有點巧妙，然后再借助余弦定理及正弦定理，難度較大.2、B【解析】

由三視圖判斷該幾何體是有三條棱兩兩垂直是三棱錐，結合三視圖的數據可得結果.【詳解】由三視圖可得該幾何體是如圖所示的三棱錐，其中AB，BC，BP兩兩垂直，且，則和的面積都是1，的面積為2，在中，，則的面積為，所以該幾何體的表面積為，故選：B.【點睛】三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.3、D【解析】

首先根據題意得到的圖象關于軸對稱，，再根據函數的單調性畫出草圖，解不等式即可.【詳解】因為的圖象關于對稱，所以的圖象關于軸對稱，.又因為在上單調遞增，所以函數的草圖如下：所以或，解得：或.故選：D【點睛】本題主要考查函數的對稱性，同時考查了函數的圖象平移變換，屬于中檔題.4、B【解析】解：（1）中由于小區(qū)中各個家庭收入水平之間存在明顯差別故（1）要采用分層抽樣的方法（2）中由于總體數目不多，而樣本容量不大故（2）要采用簡單隨機抽樣故問題和方法配對正確的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故選B．5、C【解析】試題分析：模擬算法：開始：輸入成立；，成立；，成立；，不成立，輸出.故選C.考點：1.數學文化；2.程序框圖.6、C【解析】

由均值和中位數定義求解．【詳解】由題意，，由莖葉圖知就是中位數，∴，∴．故選C．【點睛】本題考查莖葉圖，考查均值與中位數，解題關鍵是讀懂莖葉圖．7、D【解析】

A項，可能相交或異面,當時，存在，，故A項錯誤；B項，可能相交或垂直,當

時，存在，，故B項錯誤；C項，可能相交或垂直,當

時，存在，，故C項錯誤；D項，垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故D項正確,故選D.本題主要考查的是對線，面關系的理解以及對空間的想象能力.考點：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質；直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質.8、A【解析】

根據題意，將直三棱柱擴充為長方體，其體對角線為其外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】∵，，∠ABC=90°，∴將直三棱柱擴充為長、寬、高為2、2、3的長方體,其體對角線為其外接球的直徑,長度為，∴其外接球的半徑為,表面積為=17π.故選：A.【點睛】本題考查幾何體外接球，通常將幾何體進行割補成長方體，幾何體外接球等同于長方體外接球，利用長方體外接球直徑等于體對角線長求出半徑，再求出球的體積和表面積即可，屬于簡單題.9、C【解析】

設等差數列的公差為，得到，又由，代入即可求解，得到答案.【詳解】由題意，設等差數列的公差為，則，又由，故選C.【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式的應用，其中解答中熟記等差數列的通項公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了計算與求解能力，屬于基礎題，.10、C【解析】

依次分析選項的奇偶性和在區(qū)間上的單調性即可得到答案.【詳解】因為是奇函數，故A選項錯誤，因為是非奇非偶函數，故D選項錯誤，因為是偶函數，由函數圖像知，在區(qū)間上單調遞增，故B選項錯誤，因為是偶函數，由函數圖像知，在區(qū)間上單調遞減，故C選項正確.故選：C.【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性的判斷，二次函數單調性的判斷，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

將三角函數進行降次，然后通過輔助角公式化為一個名稱，最后利用周期公式得到結果.【詳解】，.【點睛】本題主要考查二倍角公式，及輔助角公式，周期的運算，難度不大.12、【解析】

利用來求的通項.【詳解】，化簡得到，填.【點睛】一般地，如果知道的前項和，那么我們可利用求其通項，注意驗證時，（與有關的解析式）的值是否為，如果是，則，如果不是，則用分段函數表示.13、1【解析】考查向量的投影定義，在上的投影等于的模乘以兩向量夾角的余弦值14、【解析】

利用余弦定理表示出與，代入已知等式中，整理得到，再利用余弦定理表示出，將及的值代入用表示出，將表示出的與代入中計算，即可求出值．【詳解】由題意，由余弦定理得，代入，得，整理得，所以，即，整理得，即，則，故答案為．【點睛】本題考查了解三角形的綜合應用，高考中經常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．15、【解析】

直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當即時等號成立.故答案為：【點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學生的計算能力.16、【解析】

設，求出的長，由幾何概型概率公式計算．【詳解】設，由題意得，，∴的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查幾何概型，考查長度型幾何概型．掌握幾何概型概率公式是解題關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值；（2）由（1）求得，利用三角形的面積公式，即可求解三角形的面積．【詳解】（1）在中，，，，由正弦定理得，由余弦定理得，解得或不合題意，舍去，（2）由（1）知，所以，所以的面積為．【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，要抓住能夠利用某個定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．18、（1），；（2）.【解析】

（1）由已知，，利用，可得的值，再利用及二倍角公式，分別求得及的值；（2）利用倍角公式、誘導公式，可得原式的值為.【詳解】（1）因為，，所以，所以，.（2）原式【點睛】若三個中，只要知道其中一個，則另外兩個都可求出，即知一求二.19、(1)證明見解析；(2)﹒【解析】

(1)證面面垂直只需證一個平面內有一條直線和另一個平面垂直(2)通過作圖需找二面角的平面角即可【詳解】（1）證明：由平面ABCD，有;由四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD：又因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，（2）過O作于E，連結BE，由（1）知平面，所以，又因為，，所以平面BDE，從而；由，，所以∠OEB為二面角的平面角.由為等邊三角形且O為BD中點，有，，，由，有，由，有，從而.在中，，所以，即.綜上，二面角的大小為﹒【點睛】面面垂直可通過線面垂直進行證明，二面角的平面角有正有負，解題時要注意結合題設關系進行正確判斷20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）直接利用三角形的面積公式求得，再由余弦定理列方程求出結果；（2）兩次利用正弦定理，結合兩角差的正弦公式、二倍角的正弦公式進行恒等變換求出結果．【詳解】（1）因為,即，又因為,，所以．在△中,由余弦定理得，即，解得．（2）在△中，，因為，則，又，由正弦定理，有，所以．在△中,，由正弦定理得，，即，化簡得展開并整理得【點睛】以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.21、(1)見證明；(2)見證明；(3)【解析】

（1）連接，交于，則為中點，連接OP，可證明，從而可證明直線平面；（2）先證明AC⊥BD，，可得到平面，然后結合平面，可