定積分的概念

定積分的概念

教學(xué)目標(biāo):

1.通過求曲邊梯形的面積，了解定積分的背景；能用定積分的定

義求簡(jiǎn)單的定積分

2.借助于幾何直觀體會(huì)定積分.的基本思想，了解定積分的.概念,

能用定積分法求簡(jiǎn)單的定積分.

3.理解掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)；

過程與方法：

通過問題的探究體會(huì)逼近、以直代曲的數(shù)學(xué)思想方法。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：

通過分割、逼近的觀點(diǎn)體會(huì)定積分的來歷，使學(xué)生從本質(zhì)上理解

定積分的幾何意義，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：分割思想和定積分的基本性質(zhì)

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：無限細(xì)分和無窮累積的思維方法

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、新課引入

在小學(xué)與中學(xué)階段我們學(xué)習(xí)了規(guī)則圖形的面積求法，這一節(jié)課我

們來學(xué)習(xí)不規(guī)則圖形面積的求法。它的求法跟定積分有關(guān)，定積分是

微積分學(xué)的重要內(nèi)容之一，定積分在各種實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)

用.在本章中，我們將在具體實(shí)例的基礎(chǔ)上引入定積分的概念，然后

討論它的性質(zhì)、計(jì)算方法與應(yīng)用.

曲邊梯形的面積:

在初等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)了一些簡(jiǎn)單的平面封閉圖形（如三角形、

圓等）的面積的計(jì)算.但實(shí)際問題中出現(xiàn)的圖形常具有不規(guī)則的“曲

邊“，面對(duì)曲邊梯形，我們?cè)鯓觼碛?jì)算它們的面積呢？下面以曲邊梯

形為例來討論這個(gè)問題.

圖1

在上連續(xù).由曲線

與直線

軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形

（圖1）.為討論方便，假定

I.分割

由于函數(shù)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不

斷變化，整個(gè)曲邊梯形各處的高不相等，差異很大.為使高的變化較

小，先將區(qū)間分成

個(gè)小區(qū)間，即插入分點(diǎn).

在每個(gè)分點(diǎn)處作與軸平行的

直線段，將整個(gè)曲邊梯形分成個(gè)

小曲邊梯形，其中第個(gè)小區(qū)間的

長(zhǎng)度為

由于

連續(xù)故當(dāng)

很小時(shí)，第

個(gè)小曲邊梯形各點(diǎn)的高變化很小.

在區(qū)間上任取一點(diǎn)

,則可認(rèn)為第

個(gè)小曲邊梯形的平均高度為

,因此，這個(gè)小曲邊梯形的面積

用這樣的方法求出每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，再求和

II.近似代替

由于連續(xù)，故當(dāng)

很小時(shí)，第

個(gè)小曲邊梯形各點(diǎn)的高變化很小.

在區(qū)間上任取一點(diǎn)

,則可認(rèn)為第

個(gè)小曲邊梯形的平均高度為

,因此，這個(gè)小曲邊梯形的面積

山.求和

得整個(gè)大曲邊梯形面積的近似值

IV.取極限

可以看出：對(duì)區(qū)間所作的分劃

越細(xì)，上式右端的和式就越接近

記則當(dāng)

時(shí)，誤差也趨于零.因此，所求

面積

(1)

設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，求以曲線為

曲邊，底為的曲邊梯形的面積。

實(shí)際運(yùn)用中我們可以如下操作：

1.化整為零

用任意一組分點(diǎn)

將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度為

并記

相應(yīng)地，曲邊梯形被劃分成個(gè)窄曲邊梯形，第個(gè)窄曲邊梯形的

面積記為。

于是

2.以不變高代替變高，以矩形代替曲邊梯形，給出“零”的近似值

3.積零為整，給出“整”的近似值

4,取極限，使近似值向精確值轉(zhuǎn)化

通過對(duì)求曲邊梯形面積問題的回顧、分析、提煉，我們可以給

出用定積分計(jì)算某個(gè)量的條件與步驟。

二：課堂講解

利用定積分的定義，計(jì)算的

分析：（1）分割（2）近似代替，作和（3）取極限

講解實(shí)錄：

三.定積分的定義

定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間

上有定義，任意用分點(diǎn)

將分成

個(gè)小區(qū)間，用

表示第

個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度，在

上任取一點(diǎn)

作乘積

.再作和

若當(dāng)時(shí)，上式的極限存在，則稱

函數(shù)在區(qū)間

上可積,并稱此極限值為

在

上的定-積一分―，記作

.即

⑶

其中稱為被積函數(shù),

稱為被積表達(dá)式，

稱為積分變量

稱為積分區(qū)間，

分別稱為積分下限和上限.

四：課堂例題

例題

⑶工.一公

當(dāng)/(X)<0時(shí),/(%)公的幾何意義又是什么？

Ja

五:課堂思考?

F面討論定積分的幾何意義:

若則積分

表示如圖2所示的曲邊梯形的面

積，即

若則積分

表示如圖3所示的曲邊梯形面積

的負(fù)值，即

圖2圖3

這是顯然的，因?yàn)榇藭r(shí)曲邊梯形各點(diǎn)處的高是

而不是

Ill如果在上

的值有正也有負(fù)，如圖4.則積分

表示介于

軸、曲線

及直線

之間各部分面積的代數(shù)和.即在

軸上方的圖形面積減去軸下方的

圖形面積：

圖4

六：課后探究

根據(jù)定積分的幾何

意義，你能用定積

分表示并計(jì)算圖中

陰影部分的面積嗎？

七.小結(jié)：

1.定積分的概念：定積分是一種由近似到精確的無窮累積方法.

2.定積分的幾何意義：若

則積分表示如圖5-2所示的曲

邊梯形的面積；若,則積分

表示如圖5-3所示的曲邊梯形

面積的負(fù)值；若在上

的值有正也有負(fù)，積分

表示介于

軸、曲線

及直線

之間各部分面積的代數(shù)和.即在

軸上方的圖形面積減去

軸下方的圖形面積.

八.作業(yè)

同步導(dǎo)學(xué)案第一節(jié)大書小書.

個(gè)人教學(xué)設(shè)計(jì)模板:

個(gè)人教學(xué)設(shè)計(jì)

課題名稱：正視發(fā)展挑戰(zhàn)

工作單

姓名

位

教材版

年級(jí)學(xué)科九部編

本

一、教學(xué)內(nèi)容分析（簡(jiǎn)要說明課題來源、學(xué)習(xí)內(nèi)容、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖以及學(xué)習(xí)內(nèi)容

的重要性）

本課所依據(jù)的課程標(biāo)準(zhǔn)的相應(yīng)部分一是“課程目標(biāo)”，具體對(duì)應(yīng)的內(nèi)容

標(biāo)準(zhǔn)是：“體會(huì)生態(tài)環(huán)境與人類生存的關(guān)系，愛護(hù)環(huán)境，形成勤儉節(jié)約、珍惜

資源的意識(shí)”；“掌握愛護(hù)環(huán)境的基本方法，形成愛護(hù)環(huán)境的能力”；“理解人

類生存與生態(tài)環(huán)境的相互依存關(guān)系，認(rèn)識(shí)當(dāng)今人類所面臨的生態(tài)環(huán)境問題及其

根源，掌握環(huán)境保護(hù)的基礎(chǔ)知識(shí),

本課所依據(jù)的課程標(biāo)準(zhǔn)的相應(yīng)部分二是“成長(zhǎng)中的我”中的“自尊自強(qiáng)

具體對(duì)應(yīng)的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)是：“認(rèn)識(shí)生命形態(tài)的多樣性，理解人類生命離不開大自

然的哺育?！?/p>

本課所依據(jù)的課程標(biāo)準(zhǔn)的相應(yīng)部分三是“我與國(guó)家和社會(huì)”中的“認(rèn)識(shí)國(guó)

情，愛我中華”與“法律與秩序具體對(duì)應(yīng)的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)是：“知道我國(guó)的人口、

資源、環(huán)境等狀況，了解計(jì)劃生育、保護(hù)環(huán)境、合理利用資源的政策，形成可

持續(xù)發(fā)展意識(shí)”；

二、教學(xué)目標(biāo)（從學(xué)段課程標(biāo)準(zhǔn)中找到要求，并細(xì)化為本節(jié)課的具體要求，目

標(biāo)要明晰、具體、可操作，并說明本課題的重難點(diǎn)）

1.了解我國(guó)人口和資源環(huán)境的現(xiàn)狀及特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)人口和資源環(huán)境問題對(duì)我

國(guó)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展的影響，明確我國(guó)面臨嚴(yán)峻的人口、資源和環(huán)境問題；

2.收集整理我國(guó)人口、資源、環(huán)境方面的材料，提高自己的認(rèn)識(shí)，積極宣

傳計(jì)劃生育基本國(guó)策，以實(shí)際行動(dòng)保護(hù)資源環(huán)境；

3.體會(huì)人口和環(huán)境問題對(duì)于人類發(fā)展的影響，理解計(jì)劃生育和保護(hù)環(huán)境的

必要性和重要性，樹立計(jì)劃生育和保護(hù)資源環(huán)境的觀念；

三、學(xué)習(xí)者特征分析（學(xué)生對(duì)預(yù)備知識(shí)的掌握了解情況，學(xué)生在新課的學(xué)習(xí)方

法的掌握情況，如何設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)）

到了初中階段，隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)和認(rèn)知水平的提高，要把握人口、資

源、環(huán)境國(guó)情和相關(guān)政策，課程與現(xiàn)實(shí)生活都對(duì)學(xué)生提出了更高的要求。（義

務(wù)教育思想品德課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版》有更明確的規(guī)定，要求學(xué)生增強(qiáng)環(huán)境保

護(hù)意識(shí)，形成可持續(xù)發(fā)展意識(shí)，自覺履行保護(hù)環(huán)境的義務(wù)。中學(xué)生應(yīng)了解和學(xué)

習(xí)黨和國(guó)家有關(guān)生態(tài)文明建設(shè)的路線、方針、政策，知道關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的

理論觀點(diǎn)，比如，“嬰像保護(hù)眼睛一一樣保護(hù)生態(tài)環(huán)境”“綠水青山就是金山銀

山”“永續(xù)發(fā)展”“綠色道路”“美麗中國(guó)”等相關(guān)內(nèi)容。

青少年是祖國(guó)的未來和民族的希望，其整體索質(zhì)決定著國(guó)家未來的發(fā)展方

向。中學(xué)生處于人生的特殊階段，處于生態(tài)文明價(jià)值觀形成的關(guān)鍵期，他們?cè)?/p>

人口、資源和環(huán)境等方面的認(rèn)知水平和行為選擇能力，需要正確引領(lǐng)并促使其

轉(zhuǎn)化為建設(shè)美麗中國(guó)的積極力量。當(dāng)前，因?yàn)榧彝ソ逃?、學(xué)校教育和社會(huì)宣傳

等方面存在真空、缺失或者不力的地方，部分學(xué)生在日常生活、研學(xué)旅行、參

觀訪問等活動(dòng)中，還存在著浪費(fèi)資源、破壞環(huán)境等生態(tài)意識(shí)淡薄的行為。加大

對(duì)中學(xué)生資源環(huán)境國(guó)情教育和生態(tài)意識(shí)培育的力度，增強(qiáng)青少年對(duì)環(huán)境的憂患

意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)，促進(jìn)人與自然和諧共生，是建設(shè)美麗

中國(guó)、實(shí)現(xiàn)中華民族永續(xù)發(fā)展不可或缺的重要一環(huán)，也是促進(jìn)中學(xué)生全面發(fā)

展和核心素養(yǎng)培育的內(nèi)在要求。

四、教學(xué)過程（設(shè)計(jì)本課的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，明確各環(huán)節(jié)的子目標(biāo)，畫出流程圖）

導(dǎo)入新課一一新課探究一一課堂小結(jié)一一隨堂訓(xùn)練

五、教學(xué)策略選擇與信息技術(shù)融合的設(shè)計(jì)（針對(duì)學(xué)習(xí)流程，設(shè)計(jì)教與學(xué)的方式

的變革，配置學(xué)習(xí)資源和數(shù)字化工具，設(shè)計(jì)信息技術(shù)融合點(diǎn)）

教師活動(dòng)預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

近年來，盡管生態(tài)

環(huán)境狀況明顯好轉(zhuǎn)，但

要達(dá)到“污染物排放總

量大幅減少，生態(tài)環(huán)境思考：“還有一場(chǎng)場(chǎng)硬

質(zhì)量總體改善”的目標(biāo)，仗要打”給我們什么警一、導(dǎo)入新課

大氣、水、土壤治理……示？

還有一場(chǎng)場(chǎng)硬仗要打。

中央環(huán)保督察、“水十

條”“土十條”、史上最

嚴(yán)環(huán)保法……在已有舉

措基礎(chǔ)上，2018年新亮

相的環(huán)保稅、新擴(kuò)圍的

水資源稅試點(diǎn)、新修訂

的水污染防治法等措

施，向世界展現(xiàn)中國(guó)堅(jiān)

決打贏污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)

的決心和信心，無疑將

成為今年全國(guó)兩會(huì)關(guān)注

的焦點(diǎn)。

教師總結(jié)：我國(guó)還

面臨著嚴(yán)峻的資源環(huán)境

形勢(shì)，要直面發(fā)展挑戰(zhàn)，

采取切實(shí)措施解決問

題。

這節(jié)課我們就一起

來探討環(huán)保問題。

（一）我國(guó)人口的基本

目標(biāo)導(dǎo)學(xué)一：發(fā)展

特點(diǎn)二、新課講授

中的人口問題

1.閱讀教材第75-76

2.問題：3.教師

頁”探究與分享

總結(jié)：我國(guó)是世界上人

口最多的國(guó)家，這是我閱讀材料，分析數(shù)據(jù),

國(guó)社會(huì)主義初級(jí)階段的從國(guó)民受教育程度看，你

重要國(guó)情。人口基數(shù)大，認(rèn)為我國(guó)人口文化素質(zhì)的

人口素質(zhì)偏低，是我國(guó)基本狀況如何？對(duì)我國(guó)經(jīng)

人口現(xiàn)狀的基本特點(diǎn)。濟(jì)社會(huì)有何影響？

我國(guó)人口狀況還呈現(xiàn)出（二）人口問題始終是

增速趨緩、出生率低、我國(guó)面臨的全局性、長(zhǎng)期

老齡化加劇、男女性別性、戰(zhàn)略性問題

比失衡、城鄉(xiāng)分布不均思考：對(duì)人口問題的

衡、“獨(dú)生子女”社會(huì)問嚴(yán)峻性，你是怎么認(rèn)識(shí)

題凸顯等一系列新的特的？

點(diǎn)。

1.材料呈現(xiàn)：研究

表明，中國(guó)城鎮(zhèn)化進(jìn)程

的加速推進(jìn)，帶來人類

歷史上最大規(guī)模的人口

遷移，人口過度集中于

東南沿海等經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地

區(qū)，給流入地的資源、

環(huán)境、住房、交通、勞

動(dòng)力成本等帶來了一系

列挑戰(zhàn)一一“交通擁堵”

“停車難”“房?jī)r(jià)飛漲”

“入園入托難”“垃圾圍

（三）計(jì)劃生育基本國(guó)

城”等“大城市病”日

策必須長(zhǎng)期堅(jiān)持

益嚴(yán)重，也給流出地帶

來了人才流失、空巢家

問題：這樣做有利于

庭、留守家庭等社會(huì)問

落實(shí)什么基本國(guó)策？對(duì)這

題。

一國(guó)策你有什么認(rèn)識(shí)？

23.師生共同總結(jié)：

（1）人口問題已經(jīng)成為

一個(gè)日益嚴(yán)峻的全球性

問題，成為人類社會(huì)面

臨的重大挑戰(zhàn)之一。人

口問題加重了資源和環(huán)

境的壓力，也帶來了嚴(yán)

重的社會(huì)問題。（2）人口

問題始終是我國(guó)面臨的

全局性、長(zhǎng)期性、戰(zhàn)略

性問題。在未來相當(dāng)長(zhǎng)

時(shí)期內(nèi)，我國(guó)人口眾多

的基本國(guó)情不會(huì)根本改

變，人口對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)

展的壓力不會(huì)根本改

變，人口與資源環(huán)境的

緊張關(guān)系不會(huì)根本改

變。計(jì)劃生育基本國(guó)策

必須長(zhǎng)期堅(jiān)持。

1.材料展示