2023屆安徽省“皖南八校”高三數學第一學期期末聯考模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中，滿足的的系數之和為（）A． B． C． D．2．已知，則，不可能滿足的關系是（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線E上的一點，且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點M，且M為的中點，則雙曲線E的漸近線方程為()A． B． C． D．4．已知四棱錐的底面為矩形，底面，點在線段上，以為直徑的圓過點.若，則的面積的最小值為（）A．9 B．7 C． D．5．函數的圖像大致為（）.A． B．C． D．6．給定下列四個命題：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④7．若復數（為虛數單位），則的共軛復數的模為（）A． B．4 C．2 D．8．方程在區(qū)間內的所有解之和等于()A．4 B．6 C．8 D．109．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．810．M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個不同的交點,則|MN|的最小值為()A．π B．π C．π D．2π11．下列函數中，在區(qū)間上單調遞減的是（）A． B． C． D．12．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與雙曲線左支交于兩點，，的內切圓的圓心的縱坐標為，則雙曲線的離心率為________.14．將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.15．有編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為_______________.16．若變量，滿足約束條件，則的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列和，前項和為，且，是各項均為正數的等比數列，且，．（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和．18．（12分）已知實數x，y，z滿足，證明：.19．（12分）已知某種細菌的適宜生長溫度為12℃~27℃，為了研究該種細菌的繁殖數量（單位：個）隨溫度（單位：℃）變化的規(guī)律，收集數據如下：溫度/℃14161820222426繁殖數量/個2530385066120218對數據進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示：20784.11123.8159020.5其中，.（1）請繪出關于的散點圖，并根據散點圖判斷與哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數量關于溫度的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據（1）的判斷結果及表格數據，建立關于的回歸方程（結果精確到0.1）；（3）當溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數量的預報值為多少？參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計分別為，，參考數據：.20．（12分）已知直線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線交于兩點，求的值.21．（12分）記為數列的前項和，已知，等比數列滿足，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和.22．（10分）如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，且，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

，有，，三種情形，用中的系數乘以中的系數，然后相加可得．【詳解】當時，的展開式中的系數為．當，時，系數為；當，時，系數為；當，時，系數為；故滿足的的系數之和為．故選：B．【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理和多項式乘法是解題關鍵．2、C【解析】

根據即可得出，，根據，，即可判斷出結果．【詳解】∵；∴，；∴，，故正確；，故C錯誤；∵，故D正確故C．【點睛】本題主要考查指數式和對數式的互化，對數的運算，以及基本不等式：和不等式的應用，屬于中檔題3、C【解析】

由雙曲線定義得，，OM是的中位線，可得，在中，利用余弦定理即可建立關系，從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據題意，點P一定在左支上.由及，得，，再結合M為的中點，得，又因為OM是的中位線，又，且，從而直線與雙曲線的左支只有一個交點.在中.——①由，得.——②由①②，解得，即，則漸近線方程為.故選：C.【點睛】本題考查求雙曲線漸近線方程，涉及到雙曲線的定義、焦點三角形等知識，是一道中檔題.4、C【解析】

根據線面垂直的性質以及線面垂直的判定，根據勾股定理，得到之間的等量關系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設，，則.因為平面，平面，所以.又，，所以平面，則.易知，.在中，，即，化簡得.在中，，.所以.因為，當且僅當，時等號成立，所以.故選：C.【點睛】本題考查空間幾何體的線面位置關系及基本不等式的應用，考查空間想象能力以及數形結合思想，涉及線面垂直的判定和性質，屬中檔題.5、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項D；根據特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B；【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數,則,;即.故選項D排除;對于選項C：因為,故選項C排除;對于選項B:當,且無限接近于0時,接近于,，此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數解析式較復雜的圖象的判斷;利用函數奇偶性、特殊值符號的正負等有關性質進行逐一排除是解題的關鍵;屬于中檔題.6、D【解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質和判定定理對四個命題分別分析進行選擇．【詳解】當兩個平面相交時，一個平面內的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選：D【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題．7、D【解析】

由復數的綜合運算求出，再寫出其共軛復數，然后由模的定義計算模．【詳解】，．故選：D．【點睛】本題考查復數的運算，考查共軛復數與模的定義，屬于基礎題．8、C【解析】

畫出函數和的圖像，和均關于點中心對稱，計算得到答案.【詳解】，驗證知不成立，故，畫出函數和的圖像，易知：和均關于點中心對稱，圖像共有8個交點，故所有解之和等于.故選：.【點睛】本題考查了方程解的問題，意在考查學生的計算能力和應用能力，確定函數關于點中心對稱是解題的關鍵.9、B【解析】

建立平面直角坐標系，將已知條件轉化為所設未知量的關系式，再將的最小值轉化為用該關系式表達的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標系如下圖所示，設，，且，由于，所以..所以，即..當且僅當時取得最小值，此時由得，當時，有最小值為，即，，解得.所以當且僅當時有最小值為.故選：B【點睛】本小題主要考查向量的位置關系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.10、C【解析】

兩函數的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.11、C【解析】

由每個函數的單調區(qū)間，即可得到本題答案.【詳解】因為函數和在遞增，而在遞減.故選：C【點睛】本題主要考查常見簡單函數的單調區(qū)間，屬基礎題.12、A【解析】

利用指數函數、對數函數的單調性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關系為b＞c＞a．故選：A．【點睛】本題考查三個數的大小的判斷，考查指數函數、對數函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

由題意畫出圖形，設內切圓的圓心為，圓分別切于，可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質結臺雙曲線的定義，求得的內切圓的圓心的縱坐標,結合已知列式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設內切圓的圓心為，圓分別切于，連接，則，故四邊形為正方形，邊長為圓的半徑，由，，得，與重合，，，即——①，——②聯立①②解得：，又因圓心的縱坐標為，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質，考查數形結合思想與運算求解能力,屬于中檔題.14、【解析】

先求出總的基本事件數，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數，然后根據古典概型求解．【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數共有個，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數有：個，所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.15、【解析】試題分析：從編號分別為1，1，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，有種不同的結果，由于是隨機取出的，所以每個結果出現的可能性是相等的；設事件為“取出球的編號互不相同”，則事件包含了個基本事件，所以.考點：1.計數原理；1．古典概型.16、【解析】

根據約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉化為直線在軸截距最大的問題的求解，通過數形結合的方式可確定過時，取最大值，代入可求得結果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為，則最大時，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當過時，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過數形結合的方式可求得結果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）令求出的值，然后由，得出，然后檢驗是否符合在時的表達式，即可得出數列的通項公式，并設數列的公比為，根據題意列出和的方程組，解出這兩個量，然后利用等比數列的通項公式可求出；（2）求出數列的前項和，然后利用分組求和法可求出.【詳解】（1）當時，，當時，.也適合上式，所以，.設數列的公比為，則，由，兩式相除得，，解得，，；（2）設數列的前項和為，則，.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了等比數列通項的計算，以及分組求和法的應用，考查計算能力，屬于中等題.18、見解析【解析】

已知條件，需要證明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，發(fā)現，則可以用柯西不等式.【詳解】，.由柯西不等式得，...【點睛】本題考查柯西不等式的應用，屬于基礎題.19、（1）作圖見解析；更適合（2）（3）預報值為245【解析】

（1）由散點圖即可得到答案；（2）把兩邊取自然對數，得，由計算得到，再將代入可得，最終求得，即；（3）將代入中計算即可.【詳解】解：（1）繪出關于的散點圖，如圖所示：由散點圖可知，更適合作為該種細菌的繁殖數量關于的回歸方程類型；（2）把兩邊取自然對數，得，即，由.∴，則關于的回歸方程為；（3）當時，計算可得；即溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數量的預報值為245.【點睛】本題考查求非線性回歸方程及其應用的問題，考查學生數據處理能力及運算能力，是一道中檔題.20、（1）直線普通方程：，曲線直角坐標方程：；（2）.【解析】

（1）消去直線參數方程中的參數即可得到其普通方程；將曲線極坐標方程化為，根據極坐標和直角坐標互化原則可得其直角坐標方程；（2）將直線參數方程代入曲線的直角坐標方程，根據參數的幾何意義可知，利用韋達定理求得結果.【詳解】（1）由直線參數方程消去可得普通方程為：曲線極坐標方程可化為：則曲線的直角坐標方程為：，即（2）將直線參數方程代入曲線的直角坐