圓錐曲線的方程（七）講義 高三數學一輪復習

高中數學高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時七知識點一根據a、b、c求橢圓標準方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,求橢圓的切線方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積典例1、已知橢圓，其離心率為，若，分別為C的左、右焦點，x軸上方一點P在橢圓C上，且滿足，．（1）求C的方程及點P的坐標；（2）過點P的直線l交C于另一點Q（點Q在第三象限），點M與點Q關于x軸對稱，直線PM交x軸于點N，若的面積是的面積的2倍，求直線l的方程．隨堂練習：已知橢圓的內接正方形的面積為，且長軸長為4．（1）求C的方程．（2）直線l經過點，且斜率大于零．過C的左焦點作直線l的垂線，垂足為A，過C的右焦點作直線l的垂線，垂足為B，試問在C內是否存在梯形，使得梯形的面積有最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．典例2、已知橢圓()的離心率為，其右焦點為F，點，且．（1）求C的方程；（2）過點P且斜率為()的直線l與橢圓C交于A、B兩點，過A、B分別作y軸的垂線，垂足為M、N，直線AN與直線交于點E，證明：B、M、E三點共線．隨堂練習：已知橢圓C：過點，離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）設橢圓C的左右兩個頂點分別為A，B．過點的直線與橢圓C交于M、N（不與A、B重合）兩點，直線AM與直線交于點Q，證明：B、N、Q三點共線．

典例3、已知橢圓，左右焦點分別為，直線y=-x+1與橢圓相交于兩點．（1）求橢圓的焦點坐標及離心率；（2）求的面積．隨堂練習：已知橢圓：的長軸長為4，左、右頂點分別為，，經過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，（不與點，重合）．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；知識點二根據a、b、c求橢圓標準方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,橢圓中的直線過定點問題典例4、已知橢圓：（）的左右焦點為，，上、下端點為，.若從，，，中任選三點所構成的三角形均為面積等于2的直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，過點作兩條不重合且，斜率之和為2的直線分別與橢圓交于，，，四點，若線段，的中點分別為，，試問直線是否過定點？如果是，求出定點坐標，如果不是，請說明理由.

隨堂練習：已知橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為，且離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設為的左頂點，過點作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點，證明：直線經過定點，并求這個定點的坐標．典例5、已知橢圓E經過點和點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設圓，直線l與圓C相切于，與橢圓交于A，B兩點，且，求直線l的方程.

隨堂練習：已知點B是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于點P.（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）直線與E交于點M，N，且，求m的值.典例6、已知①如圖，長為，寬為的矩形，以?為焦點的橢圓恰好過兩點②設圓的圓心為，直線過點，且與軸不重合，直線交圓于兩點，過點作的平行線交于，判斷點的軌跡是否橢圓（1）在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓的標準方程；（2）根據（1）所得橢圓的標準方程，若為橢圓上的點，，分別是橢圓的左右焦點，若，求的周長與面積.

隨堂練習：已知橢圓的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓交于，兩點，圓是的內切圓．當直線的傾斜角為時，直線與橢圓交于點．（1）求橢圓的方程；（2）求圓周長的最大值．2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時七答案典例1、答案：（1）；（2）解：（1）因為，所以，且．又，所以，即，即，所以，又離心率，所以，，所以，所以橢圓方程為．（2）∵，又∵，∴，∴P點的坐標為．依題意直線l的斜率存在，設直線l的方程為，由消去y整理，解得或，所以Q點坐標為，從而M點坐標為，所以直線PM的方程為，則N點的坐標為，因為的面積是的面積的2倍，點Q在第三象限，所以，即，解得（舍負），所以滿足條件的直線l的方程為，即：．隨堂練習：答案：（1）（2）存在；解：（1）設C的內接正方形的一個端點坐標為，則，解得，則C的內接正方形的面積為，即．又，所以，代入，解得，故C的方程為．（2）存在梯形，其面積的最大值為．理由如下：設直線，．因為直線l經過點，所以，所以點到直線l的距離為，點到直線l的距離為，所以梯形的面積（為直線l的傾斜角），所以，當且僅當時，等號成立，此時，直線，直線，聯立這兩條直線的方程，解得，因為，所以點在C的內部.同理可證：也在C的內部.故在C內存在梯形，其面積的最大值為．典例2、答案：（1）；（2）證明見解析﹒解：（1）設()，由題意知，∴．∵點，且，解得，∴，，因此C的方程為．（2）由題意可知，直線l的方程為．由得，設，，則，．∵軸，∴，∴直線，令，得．∵軸，∴．∴，∴B，M，E三點共線．隨堂練習：答案：（1）；（2）證明見解析.解：（1）由題意知，，，所以，則，所以橢圓C的方程為．（2）由題知：l斜率不為零，設l為，，，由得，，則，，所以，∴，直線AM的方程為，則，∴，，∴，即，∴N、B、Q三點共線．典例3、答案：（1）焦點坐標為；離心率為（2）解：（1）橢圓知，該橢圓的焦點在軸上，設焦距為，由，所以，所以焦點坐標為離心率為：（2）由直線y=-x+1與橢圓相交于兩點，設則消去得，，所以又到y(tǒng)=-x+1的距離為所以的面積為：隨堂練習：答案：（1）；（2）解：（1）由題意，得，解得，所以橢圓方程為，，，，則離心率為.（2）當直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，，又因為，，所以四邊形的面積,當直線的斜率存在時，設的方程為，設，聯立方程，消去，得，由題意，可知恒成立，則，，四邊形的面積令，則四邊形的面積，，所以，綜上所述，四邊形面積的最大值.典例4、答案：（1）（2）直線過定點，且定點為解：（1）解法一：從，，，中任選三點可構成四個三角形，其中，.為此僅需考慮，為面積等于2的直角三角形即可.其中，.因為為等腰三角形，故可得，即有：；同時因為為等腰三角形，故可得，即有：；綜上可得：，，即可得橢圓的方程為.解法二：由橢圓的對稱性，結合已知條件可知從，，，中任選三點所構成的三角形，均為等腰直角三角形，故四邊形是面積為4的正方形，又正方形的邊長為，故，即又正方形的對角線相等，所以，即又因為，所以從而橢圓的方程為.（2）解法一：依題意，設直線的方程為：①設直線的方程為：，聯立方程①與橢圓的方程可得由韋達定理得，根據中點公式可得：則，即同理可得：從而直線的斜率為：故直線的方程為：因為，將代入上式可得：故直線必過定點.解法二：依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為：①，設直線的方程為：②，設直線的方程為：，聯立方程②與橢圓的方程可得由韋達定理得根據中點公式可得：同時點是直線和直線的交點，聯立方程①②得即可得，整理得④同理可得⑤根據④⑤可以理解為，為關于的一元二次方程的兩個根.由韋達定理可得：，即可得：，∴直線的方程為：，故直線必過定點.隨堂練習：答案：（1）（2）直線恒過定點，證明見解析解：（1）由橢圓定義知：，解得：，又離心率，，，橢圓的標準方程為：.（2）由（1）知：；當直線斜率存在時，設，，，由得：，則，解得：，，，，，即，，即，整理可得：，或；當時，直線恒過點，不合題意；當時，直線，恒過定點；當直線斜率不存在且恒過時，即，由得：，，滿足題意；綜上所述：直線恒過定點.典例5、答案：（1）（2）或解：（1）設橢圓E方程為，（t，且）將點代入橢圓方程得到,解得，所以橢圓的標準方程為.（2）不妨設直線l的方程為,因為該直線與圓相切，所以，所以，將直線方程代入橢圓方程并消去x得：，則,，所以，聯立，解得，即或，則直線l的方程為或.隨堂練習：答案：（1），（2）.解:（1）由條件可得所以動點P的軌跡E是以為焦點的橢圓，設其方程為所以，所以所以方程為（2）設聯立可得所以由得因為所以可解得典例6、答案：（1）；（2），解:（1）選擇條件①：由已知可得點代入橢圓方程得：故橢圓方程為：選擇條件②：由題設可得如下示意圖，易知：△為等腰三角形且，∴，又，即，∴，則，∵，∴橢圓定義知：動點到兩定點的距離和為定值4，∴的軌跡方程為.（2）設，則在中，根據余弦定理可得：即根據定義：代