第14講 立體幾何知多少（含解析）

【例1】如圖14-1,在矩形ABCD中,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE,若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADE的翻轉(zhuǎn)過(guò)程中,正確的命題是.(2)點(diǎn)M在球面上運(yùn)動(dòng);(3)一定存在某個(gè)位置,使DElA1C;(4)一定存在某個(gè)位置,使MB∥平面△A1DE.f(m),則對(duì)任意的m>0,f(m)的最大值為.【例3】如圖14-7,在四棱錐P-ABCD中,E為AD上一點(diǎn),PEl平面ABCD,ADⅡBC,ADlCD,BC=ED=2AE,F為PC上一點(diǎn),且CF=2FP(I)求證:PAⅡ平面BEF;(證明略)若PE=3AE,求二面角F-BE-C的平面角的大小.【例4】已知a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,AClb,BDlb,且AB=2,CD=1,則異面直線a,b所成的角等于.【例5】已知三棱錐P-ABC滿足7APB=7BPC=7CPA=60。,三個(gè)側(cè)面APB,BPC,CPA的面積分別為3,2,1,則這個(gè)三棱錐【例6】已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱AA1T底面ABCD,AA1=2,底面ABCD的邊長(zhǎng)均大于2,且7DAB=45。,點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)且在AB,AD上的射影分別為IPAM,NIPA=2,則三棱錐P-D1MN體積的最大值為.強(qiáng)化訓(xùn)練1.在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,M,N分別是SA,BD上的點(diǎn).有下列命題：若,則MN∥平面SCD;若,則MN∥平面SCB;其中正確命題的序號(hào)為.2.如圖14-26,在四棱錐P-ABCD中,E為AD上一點(diǎn),PE丄平面(I)求證:PA//平面BEF;(II)若二面角F-BE-C的平面角的大小為60。,求直線PB與平面ABCD所成角的大小.的中點(diǎn),則異面直線CM,AB所成角的大小為.4.已知三棱錐P-ABC的體積為16,點(diǎn)D,E分別在側(cè)棱PB,PC上,且PD=2DB,PE=3EC,則三棱錐P-ADE的體積為.5.過(guò)凸四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O作該四邊形所在平面的垂線段SO,使SO=3,若VS-AOD=a2,VS-BOC=b2,當(dāng)VS-ABCD最小時(shí),ABCD的形狀為.【例1】如圖141,在矩形ABCD中,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE,若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADE的翻轉(zhuǎn)過(guò)程中,正確的命題是.(2)點(diǎn)M在球面上運(yùn)動(dòng);(4)一定存在某個(gè)位置,使MBⅡ平面△A1DE.【解析】【解法1】設(shè)CD中點(diǎn)為S,則MSⅡA1D,MS=A1D,且MS為定值,又因?yàn)镈SⅡBE,DS=BE,,所以四邊形DSBE是平行四邊形,所以BSⅡDE且BS為定值.由余弦定理可得MB是定值,(1)正確.因?yàn)锽是定點(diǎn),所以點(diǎn)M是在以B為圓心,MB為半徑的球面上,所以(2)正確.因?yàn)镾BⅡDE,MSⅡA1D,又因?yàn)镾B∩SM=S,DE∩A1D=D,所以平面MSBⅡ平面A1ED,所以MBⅡ平面A1ED,(4)正確.【點(diǎn)撥】利用向量數(shù)量積判定線線的垂直關(guān)系.又因?yàn)锳1C在平面ABCD的射影在AC上,所以DE丄AC.由題意知AC與DE不垂直,所(4)正確,取DC中點(diǎn)F,則FBⅡDE,MFⅡA1D,FB∩MF=F,A1D∩DE=D,所以平面MFB//平面A1ED,所以MBⅡ平面A1ED.【點(diǎn)撥】先利用假設(shè)反證法證明不垂直再利用面面平行證明線段平行.【解法3】如圖144,(1)正確,延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連結(jié)AN,△DAN繞著DN旋轉(zhuǎn),因?yàn)锳1N為定值,所以MB為定值;(2)正確,點(diǎn)M在以B為圓心,MB為半徑的球面上運(yùn)動(dòng);(4)正確,取EC中點(diǎn)P,可以類(lèi)似【解法2】證明平面MPBⅡ平面A1ND,所以MBⅡ平面A【點(diǎn)撥】從不同角度構(gòu)造輔助線.【賞析】本題涉及立體幾何的考點(diǎn)比較多,如線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直.熟練掌握線面、面面平行及垂直的判定和性質(zhì)定理、線面角、二面角的定義及求法是解立體幾何題的關(guān)鍵.f(m),則對(duì)任意的m>0,f(m)的最大值為.【解析】【解法1】設(shè)P(a,0),Q(0,b),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC所在直線分別為x軸,y軸建立如圖146所示的平面直角坐標(biāo)系.所以所以,所以直線PQ過(guò)點(diǎn)N結(jié)合向量模長(zhǎng)的幾何意義可知可等價(jià)視為點(diǎn)與直線PQ上點(diǎn)連線的距離,所以最大值f(m)就是點(diǎn)M到直線PQ的距離的最大值,當(dāng)MN丄PQ時(shí),M到直線PQ距離最大.【點(diǎn)撥】依據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,使向量坐標(biāo)化,從而實(shí)現(xiàn)數(shù)量化運(yùn)算.由,可知,取點(diǎn)N使得,所以P,Q,N三點(diǎn)共線,下同,可知fmax=【點(diǎn)撥】利用向量運(yùn)算,添加必要的輔助線實(shí)現(xiàn)向量的轉(zhuǎn)化.【賞析】本題考查向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算及點(diǎn)到直線距離公式,【解法1】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算,【解法2】添加必要的輔助線實(shí)現(xiàn)向量的轉(zhuǎn)化,【解法1】是常用的基本方法,易上手好操作.【解法2】巧妙構(gòu)造,要求對(duì)重要結(jié)論熟練掌握并能靈活運(yùn)用.ABCD,ADⅡBC,AD丄CD,BC=ED=2AE,F為PC上一點(diǎn),且CF=2FP(I)求證:PAⅡ平面BEF;(證明略)若PE=3AE,求二面角FBEC的平面角的大小.【解析】【解法1】連結(jié)CE,在平面PCE內(nèi),過(guò)點(diǎn)F作FHTCE于點(diǎn)H.因?yàn)镕H∥PE,所以FHT平面ABCD.過(guò)點(diǎn)H作HMTBE于點(diǎn)M,連結(jié)FM.由三垂線定理得FMTBE,所以7FMH為二面角F-BE-C的平面角.因?yàn)镕HT平面ABCD,PET平面ABCD,所以FH∥PE,所以,所以在Rt△FHM中,tan7FMH=所以7FMH=即二面角F-BE-C的平面角為.【點(diǎn)撥】在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它就和這條斜線垂直,當(dāng)點(diǎn)F在一個(gè)半平面上時(shí),通常用三垂線定理法求二面角的大小.【解法2】排除多余信息,若我們只考慮二面角F一BE一C,我們很快發(fā)現(xiàn),直四棱錐PEBCD可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體,如圖149所示.連結(jié)EC,在平面PEC內(nèi),過(guò)點(diǎn)F作FO丄EC于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OM丄BE于點(diǎn)M,連結(jié)所以平面PEC丄平面EBCD,且平面PEC∩平面EBCD=EC.所以PEⅡFO,所以所以,又因?yàn)镺MⅡBC,所以,得OM=,【點(diǎn)撥】利用圖形的特征,采用補(bǔ)形方法解決問(wèn)題.【解法3】如圖1411,連結(jié)CE,在平面PCE內(nèi)過(guò)點(diǎn)F作FH丄CE于點(diǎn)H.所以FHⅡPE,所以二面角F—BEC的平面角為.【點(diǎn)撥】利用射影面積法求解.因?yàn)镻E丄平面ABCD,所以MOⅡPE,所以MO與PE共面,因?yàn)镸∈平面PAD,所以所以上MEO是所求二面角的平面角.由可知ME//PA,所以又因?yàn)镸OⅡPE,所以 π所以二面角F—BEC的平面角為.3【點(diǎn)撥】延展平面BEF為平面BEMF,將過(guò)點(diǎn)F作平面EBCD垂線的間題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)M作平面EBCD垂線的問(wèn)題.如圖1414,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)M,使得2MB=BC,所以,AEⅡMB,AE=MB,所以AEMB是平行四邊形.因?yàn)锳MⅡEB,AM丈平面EFB,EBC平面EFB,所以AMⅡ平面EFB.由(I)得PAⅡ平面EFB,AM∩PA=A,所以平面PAMⅡ平面FEB,則二面角P—AMC的平面角即為二面角FEBC的平面角,即二面角F一EBC的平面角是.【點(diǎn)撥】尋找二面角的平面角較困難,根據(jù)平面平移不改變與另一個(gè)平面構(gòu)成的角的大小的原理,如果能把二面角中的一個(gè)平面平移,找出輔助平面與另一個(gè)平面的交線,就可以作出二面角的平面角.【解法6】以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EA,EB,EP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖14-15所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)設(shè)平面ABCD的法向量n1=(x1,y1,z1),可得平面EBF的一個(gè)法向量設(shè)二面角F一BEC的平面角為θ,所以cosθ=cosn1,n2所以.所以二面角F一BEC的平面角為.【點(diǎn)撥】設(shè)n1,n2分別是二面角α一l一β的面α,β的法向量,則向量n1,n2的夾角,即為α一l一β的平面角或其補(bǔ)角（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)).【賞析】本題主要考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合知識(shí).推薦【解法5】為最佳解答.求二面角的平面角的常用方法有定義法、三垂線定理法、射影面積法、平移平面法、補(bǔ)形法、空間向量的坐標(biāo)法等,以下對(duì)各個(gè)解法進(jìn)行分析.【解法1】應(yīng)用三垂線定理法解題.聯(lián)系到PET平面ABCD,有的同學(xué)大膽猜想(像一個(gè)魔術(shù)師,下子從帽子里變出一只兔子),得出了正確的結(jié)論;相應(yīng)地,還有很大一部分同學(xué)被復(fù)雜的空間圖形嚇退,找不到二面角的確切位置,無(wú)從下手.【解法2】應(yīng)用構(gòu)造補(bǔ)形法解題,聯(lián)系到長(zhǎng)方體,比【解法1】更易得出FOT平面EBCD.【解法3】應(yīng)用射影面積法解題,聯(lián)系到點(diǎn)F在底面EBCD的射影,依據(jù)射影公式求二面角.【解法4】應(yīng)用垂線平移法解題,聯(lián)系【解法3】,過(guò)F點(diǎn)作垂線,那么垂足落在哪里?有很多同學(xué)是含糊不清、模棱兩可的,那么我們?yōu)槭裁床粨Q一個(gè)點(diǎn)呢?將過(guò)點(diǎn)F作平面EBCD垂線的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)M作平面EBCD垂線的問(wèn)題.【解法5】應(yīng)用平面平移法解題,將求二面角F一BE一C的平面角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二面角PAMC的平面角的問(wèn)題.【解法6】應(yīng)用空間向量求解法,是一種十分簡(jiǎn)捷且傳統(tǒng)的解法.當(dāng)題目條件中垂直關(guān)系明顯時(shí),利用空間坐標(biāo)系不失為一種更有效的方法.面直線a,b所成的角等于.【解析】【解法1】如圖1416,在長(zhǎng)方體中,因?yàn)锽E//CD,所以7ABE就是異面直線a,b所成的角,所以CETb,ACTb,ACUCE=C,所以bT平面ACE,所以bTAE,所以BETAE,所以△ABE是直角三角形.又因?yàn)锳B=2,CD=1,所以BE=1,所以cos7ABE=所以7ABE=60。.【點(diǎn)撥】構(gòu)造長(zhǎng)方體求解.【解法2】如圖14-17所示,過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD,AE=CD,連結(jié)BE,則7EAB是異面直線a,b所成的角,由題意知口ACDE是矩形,所以AETDE,AETBD,所以△ABE是直角三角形,又因?yàn)锳B=2,CD=1,所以cos7EAB=,所以7EAB=60。.【點(diǎn)撥】利用平移法把異面直線平移為相交直線.【解法3】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AC,AE,CD方向?yàn)閤軸,y軸,z軸正方向,建立如圖1418所示的空間直角坐標(biāo)系,則D,所以所以cosθ=所以異面直線a,b所成的角為60o.【點(diǎn)撥】在構(gòu)造長(zhǎng)方體的基礎(chǔ)上建立空間直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題.【賞析】本題是一道典型的異面直線成角間題,與常見(jiàn)問(wèn)題不同的是,本題中的異面直線不是直接出現(xiàn)在立體幾何圖形中.【解法1】和【解法3】都是將兩條異面直線放置在長(zhǎng)方體中求解.【解法1】將直線CD平移到BE處,從而易解.【解法3】則借助空間向量的方法求解.【解法2】利用異面直線所成角的概念,將CD平移至AE處后,在Rt△BAE中求解.在求兩條異面直線所成角的大小時(shí),要注意異面直線所成角的范圍是利用中位線或平行四邊形來(lái)添加輔助線的方法,有時(shí)也可對(duì)空間圖形使用.【例5】已知三棱錐P一ABC滿足7APB=7BPC=7CPA=60。,三APB,BPC,CPA的面積分別為3,2,1,則這個(gè)三棱錐【解析】【解法1】由各側(cè)面的面積可得S△APB=PA.PB.sin60。=【點(diǎn)撥】由三角形面積公式求得三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng),構(gòu)造一個(gè)特殊的三棱錐,利用體積關(guān)系解決問(wèn)題.所以在Rt△PDE中,易得PD=所以VPABC【點(diǎn)撥】求出三條棱長(zhǎng),過(guò)某一頂點(diǎn)作高,直接法求解體積.【解法3】設(shè)PA,PB,PC的長(zhǎng)度分別為a,b,c,同【解法2】,如圖1421,設(shè)點(diǎn)A在平面BPC上的射影為點(diǎn)O,所以點(diǎn)A到平面PBC的距離AO=PA.sinθ=【點(diǎn)撥】作出點(diǎn)A在平面PBC上的投影,利用三余弦定理解題.注:三余弦定理證明:結(jié)AE,易得BCT平面AOE,所以BETAE.在Rt△AOB中,cos7ABO=在Rt△ABE中,cos7ABE=在Rt△BOE中,cos7OBE=所以cos7ABE=cos7OBE.cos7ABO.【賞析】【解法1】巧妙地補(bǔ)形成一個(gè)特殊的三棱錐,利用一個(gè)平面p截三棱錐P一ABC,分別交三棱錐的棱PA,PB,PC于點(diǎn)D,E,F,則解法2、3實(shí)質(zhì)相同,都是求底面和高,【解法3】利用三余弦定理求出三棱錐的高.的邊長(zhǎng)均大于2,且7DAB=45。,點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)且在AB,AD上的射影分別為IPAM,NIPA=2,則三棱錐PD1MN體積的最大值為.【解析】PAsinθ=2sinθ,PM=PA【點(diǎn)撥】引入角度為變量﹐建立體積的三角函數(shù)式,利用三角函數(shù)法求最值.【解法2】因?yàn)镻A=2,知點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心,半徑為2的圓弧上,所以A,M,P,N四點(diǎn)在以AP為直徑的圓F上,如圖14-24,所以在△PMN中,2=MN|2=PM|2+|PN|2—2PM.PNcos135。因?yàn)镻M|2+PN|22PM.PN,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), 所以2·2PMPN2PM.PN 所以VD1PMN的最大值為.【點(diǎn)撥】利用平面幾何法求得MN的值,進(jìn)而可利用均值不等式法求得PMN面積的最大值,最后求得體積的最大值.V=.S△PMN.2=S△PMN如圖1425所示,設(shè)上BAP=Q,上DAP=β,當(dāng)且僅當(dāng)α=β=22.5。時(shí)取等號(hào),所以VPD1MN的最大值為.【點(diǎn)撥】引入兩個(gè)角度,建立體積的代數(shù)表達(dá)式，結(jié)合積化和差公式可由兩角和與差的余弦公式解決問(wèn)題.【賞析】本題依托立體幾何背景﹐涉及線面垂直﹑線線垂直和棱錐體積的求法.如何求解△PMN的面積的最大值是本題的關(guān)鍵.【解法1】從角度出發(fā),將各邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)為為三角函數(shù)形式,利用三角函數(shù)值的有界性解答.【解法2】從平面幾何的角度出發(fā),利用基本不等式取得最值.這兩種方法都是處理解三角形問(wèn)題的基本方法.【解法3】從兩角的關(guān)系出發(fā),使用積化和差公式,實(shí)質(zhì)是利用角的變換,和【解法1】有異曲同工之妙.強(qiáng)化訓(xùn)練1.在四棱錐SABCD中,底面ABCD是平行四邊形,M,N分別是SA,BD上的點(diǎn).有下列命題：若,則MNⅡ平面SCD;若,則MNⅡ平面SCB;其中正確命題的序號(hào)為.【解析】答案：①③2.如圖14-26,在四棱錐P-ABCD中,E為AD上一點(diǎn),PE丄平面(I)求證:PA//平面BEF;(II)若二面角F-BE-C的平面角的大小為60。,求直線PB與平面ABCD所成角的大小.【解析】(Ⅰ)證明：連結(jié)AC交BE于點(diǎn)M，連結(jié)FM.因?yàn)?/p>