一元線性回歸模型高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修三

一元線性回歸模型復(fù)習(xí)回顧：2.樣本相關(guān)系數(shù)：3.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).②|r|≤1；③當(dāng)|r|越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時，成對數(shù)

據(jù)的線性相關(guān)程度越弱；

特別地，當(dāng)|r|＝0時，成對數(shù)據(jù)的沒有線性相關(guān)關(guān)系；

當(dāng)|r|＝1時，成對數(shù)據(jù)都落在一條直線上.1.散點圖把成對樣本數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.

通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等.

進(jìn)一步地，如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計模型刻畫兩個隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個模型研究兩個變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過模型進(jìn)行預(yù)測.

下面我們研究當(dāng)兩個變量線性相關(guān)時，如何利用成對樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計模型，并利用模型進(jìn)行預(yù)測的問題.

生活經(jīng)驗告訴我們，兒子的身高與父親的身高不僅線性相關(guān)，而且還是正相關(guān)，即父親的身高較高時，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如下表所示.編號1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182問題1.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你如何分析兒子的身高與父親的身高的關(guān)系？可以發(fā)現(xiàn)，散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān),而且還是正相關(guān).求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.問題2.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？編號1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182…172…父親身高…176174…兒子身高兒子身高不是父親身高的函數(shù)…170…兒子身高…173169…父親身高父親身高不是兒子身高的函數(shù)但由于父子的身高有較強(qiáng)的線性相關(guān)，因此我們可以用一次函數(shù)來刻畫父親身高對兒子身高的影響問題3.除父親身高外，還有哪些因素影響兒子的身高？母親身高生活環(huán)境飲食習(xí)慣體育鍛煉

……隨機(jī)誤差e若用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為我們稱(1)式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.模型中的Y也是隨機(jī)變量，其值雖不能由變量x的值確定，但卻能表示為bx+a與e的和，前一部分由x所確定，后一部分是隨機(jī)的.如果e=0，那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.

兒子身高和父親身高之間不是函數(shù)關(guān)系，故不能用函數(shù)模型刻畫.但由于父子的身高有較強(qiáng)的線性相關(guān)，因此我們可以用一次函數(shù)來刻畫父親身高對兒子身高的影響，而把影響兒子身高的其他因素作為隨機(jī)誤差，得到刻畫兩個變量之間關(guān)系的線性回歸模型.因為誤差是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.

追問1.為什么要假設(shè)E(e)=0，而不假設(shè)其為某個不為0的常數(shù)？若用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為若用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為追問2.你能結(jié)合父親與兒子身高的實例，說明回歸模型(1)的意義？

若用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為追問3.對于父親身高為xi的某一名男大學(xué)生，他的身高yi一定是bxi+a嗎？

若用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為(1)忽略了其它因素的影響,如除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時間等；(2)在測量兒子身高時，由于測量工具、測量精度所產(chǎn)生的測量誤差；(3)實際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.追問4.在研究兒子身高與父親身高的關(guān)系時，產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有哪些？例1.（多選）在如圖所示的四個散點圖，適合用一元線性回歸模型擬合其中兩個變量的是().AC例2．在一元線性回歸模型中，下列關(guān)于Y＝bx＋a＋e的說法正確的是(

)A．Y＝bx＋a＋e是一次函數(shù)

B．響應(yīng)變量Y是由解釋變量x唯一確定的C．響應(yīng)變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生D．隨機(jī)誤差e是由于計算不準(zhǔn)確造成的，可通過精確計算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生C例3.若某地財政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e(單元：億元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財政收入10億元，年支出預(yù)計不會超過多少？解：因為財政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以得到

y＝0.7x＋3＋e，當(dāng)x＝10時，得y＝0.7×10＋3＋e＝1