人教版數(shù)學中考復習：圓的切線證明題專項訓練

人教版數(shù)學中考專題復習：圓的切線證明題專項訓練

I.如圖，在R3ABC中，/B=90。，平分N84C交BC于點。，點E在AC上，以AE為直徑的G)。經(jīng)

過點D.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若NC=30。，且CO=36,試求陰影部分的面積.

2.如圖，在RdABC中，/C=90。，平分NBAC交BC于點。，。為AB上一點,經(jīng)過點4.。的。0

分別交48,AC于點E,F.

(1)求證：BC是。。的切線;

⑵若BE=8,sinB~—,求。。的半徑;

(3)求證：A^AB-AF.

3.如圖，A8是。。的直徑，。為。。上一點，點E為BO的中點，點C在3A的延長線上，且

NCDA=NB.

(1)求證：8是。。的切線；

(2)若。E=2,NBDE=30°,求0C的長.

4.如圖，。。的弦48、CD交于點E,點A是CD的中點，連接AC、BC,延長0c到點P,連接PB.

⑴若PB=PE,判斷P8與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若AC2=2A0,求證：點E是AB的中點.

5.如圖，在mAABC中，ZBAC=90°,以40為直徑的。。與邊BC有公共點E,JiAB=BE.

BEC

(1)求證：BC是。0的切線；

⑵若BE=3,BC=7,求。。的半徑.

6.如圖，48為。。直徑，。為O。上一點，BC工CD于點C,交。。于點E,C。與B4的延長線交于點

F,80平分NABC.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若AB=3,BC=2,求B。的長.

7.如圖，四邊形ABCQ內(nèi)接于(DO,AB是。。的直徑，點P為CA的延長線上一點，ZCAD=45°.

(1)若A8=8,求圖中陰影部分的面積；

(2)若BC=A。，AD=AP,求證：P。是。。的切線.

8.如圖，在AABC中，A3=AC,點。在BC上，BD=DC,過點。作。ELAC,垂足為E,。。經(jīng)過A,

B,D三點.

EC

(1)證明：AB是。0的直徑

(2)試判斷DE與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)若OE的長為3,NBAC=60。，求。。的半徑.

9.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,E是BC的中點，以AC為直徑的。。與AB邊交于點。，連接

DE.

(1)求證：OE是OO的切線;

(2)若CD=3cm,￡>￡=^cm,求。。直徑的長.

10.如圖，點。在。。的直徑AB的延長線上，點C在。。上，且AC=CD,NA8=120。.

(1)求證：co是。0的切線；

(2)若。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

11.如圖，在△A8C中，AB=AC,以AB為直徑的。。與BC相交于點。，DELAC^E.

(1)求證：QE是。。的切線；

(2)若。O的半徑為5,BC=16,求OE的長.

12.如圖，A8是。O的直徑，C、。是。O上的點，8。平分N4BC,DEA.BE,OE交BC的延長線于點

E.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)如果CE=1,AC=2不，求。。的半徑r.

13.如圖，AB是的直徑，點C、G為圓上的兩點，當點C是弧BG的中點時，C。垂直直線AG,垂

足為。，直線OC與A8的延長線相交于點P,弦CE平分NACB,交AB于點F,連接8E.

(1)求證：OC與。。相切；

(2)求證：PC=PF；

(3)若tanE=g,BE=6求線段P尸的長.

14.如圖，。。是四邊形ABC。的外接圓，AC是。。的直徑，BE1DC,交OC的延長線于點E,CB平分

ZACE.

(1)求證：BE是。。的切線.

(2)若AC=4,CE=1,求tanNBAO.

15.如圖，A3為。。的直徑，射線A。交(DO于點F,C為B尸的中點，過點C作CELAO,連接AC.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若NBAC=30。，AB=4,求陰影部分的面積.

16.如圖，是AABC的外接圓，且4B=4C,四邊形ABC。是平行四邊形，邊C。與。。交于點E,連

接AE.

(l)^ijEA^BC^AAD￡；

(2)求證：AQ是。。的切線.

17.己知：如圖，在AABC中，AB=AC.以A8為直徑的。。交BC于點。，過點。作DE_LAC于點

⑴求證：OE與相切；

(2)延長￡>￡：交8A的延長線于點F,若AB=6,sinB=^y-,求線段AF的長.

18.如圖，RSABC中，ZABC=90°,點E為BC的中點，連接

(1)求證：OE是半圓。。的切線；

(2)若NBAC=30°,DE=2,求AO的長.

19.如圖，AB是。0的直徑，點E是劣弧AO上一點，NPBD=NBED,且。E=也，BE平分NABD,

BE與AD交于點F.

(1)求證：BP是。。的切線；

(2)若tan/OBE=y±,求EF的長；

3

(3)延長￡>E,BA交于點C,若C4=A。，求。。的半徑.

20.如圖，在RAOAB中，NAOB=90。，OA=OB=4,以點。為圓心、2為半徑畫圓，過點A作。。的

切線，切點為P，連接OP.將OP繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到0〃時，連接AH,BH.設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0。

<a<360°).

(1)當a=90。時，求證：8”是。。的切線；

(2)當8”與。。相切時，求旋轉(zhuǎn)角a和點，運動路徑的長；

(3)當面積最小時，請直接寫出此時點“到AB的距離.

參考答案:

I.

(1)

連接OD,

是/B4C的平分線，

NDAB=ZDAO,

'：OD=OA,

：.ZDAO=ZODA,

則/D4B=/OD4,

.".DO//AB,而。。=90。,

.../。。8=90。，

...BC是。。的切線；

(2)

連接。E、OD、DF、OF,設(shè)圓的半徑為R,

VZC=30°,CD=36

：.OZ)=CZ>tan30o=3斤走=3,

3

VZDAB=ZDAE=30°,

:.DE=DF,

VZDOE=60°,

：.ZDOF=60°,

：.ZFOA=60°,

C./XOFD.△。物是等邊三角形,

：.DF//AC,

2.

⑴

證明：如圖，連接on,

,/OA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

平分NBAC,

.'.ZOAD=ZCAD,

：.ZODA^ZCAD

：.OD//AC,

VZC=90°,

ZO￡>B=ZC=90°,

又是。。的半徑,

是。。的切線；

⑵

解：?;NBDO=90。，

OPOP5

...在Rt/k8。。中，sinB=—

BOBE+OD~S+ODT3

解得8=5,

故。。的半徑為5；

(3)

證明：如圖：連接EF,

?；AE是直徑,

???ZAFE=900=ZACBf

：.EFIIBC,

:.ZAEF=ZB,

又丁ZAEF=ZADF,

，ZB=ZADF,

又?:ZOAD=ZCAD,

：./\DAB^/\FAD9

,ADAF

??布―茄’

:.AD2=ABAF-

3.

(1)

解：連接O。，

?：OD=OB,

???ZB=/ODB,

又.：AB=4CDA,

：./ODB=NCDA,

TAB是圓。的直徑，

???ZADB=90°f

：./ODB+/ODA=90°,

：.ZCDA+ZODA=900即ZODC=90°,

???CO是。。的切線；

(2)

解：連接跳、0E

;后是80的中點，

:?BE=DE=2,OELBD,/BOE=2ZBDE=60。,

???/XOBE是等邊三角形，

：.OB=BE=2,NBOE=60。

?；OB=OD,OEVBD,

:.ABOE=ADOE=60P,

???ZDOC=60°

在RsODC,ZDOC=60°,

AZC=30°,

:.OC=2OD=4.

4.

(1)

PB與。O相切，

理由是：連接OA、OB,OA交CD于F,

丁點A是。。的中點,

A0A1CD,

???ZAF￡=90°,

AZOAE+NAED=90。,

???QA=05,PB=PE,

：.ZOAE=ZOBAfNPEB=NPBE,

■:/AED=NPEB,

；?NOBA+/PBE=90。,即N03尸=90。,

???OBLPB,

：.PB與。。相切；

(2)

;AC=A。，

???ZACE=NA3C,

VZCAE=ZBAC,

???/\ACE^/\ABC,

.AC_AB

AEAC

2

：.AC=AE^ABf

'：AC2=2AE2,

：.AE^AB=2Ae9

：.AB=2AE,

???E為AB的中點.

5.

(1)

證明：連接。8,OE,如圖所示,

在和△￡BO中,

AB=BE

OA=OE,

OB=OB

：.△A50之△EBO(SSS),

：.ZBEO=ZBAO=90°,

即OE_L8C,

，BC是。。的切線；

(2)

解：；BE=3,BC=1,

：.AB=BE=3,CE=4,

AC=y/BC2-AB2=2而，

,:OEA.BC,

OE2+EC2=OC2,

即OE2+42=(2V10-OE^,

解得：OE二巫,

5

???OO的半徑長為主叵.

5

6.

(1)

連接OO,如圖，

平分ZA3C,

:.ZABD=/DBC,

?：OB=OD,

:.ZOBD=ZODB

：.4DBC=/ODB,

：.OD//BC.

：./ODF=/C

■:BCLCD,

：.ZC=90°,

???NODF=NC=90。,

即OD1.DC,

???CO是oo的切線

(2)

連接AD,如圖，

TAB為O。直徑，

???ZADB=90°

???ZC=90°,

???ZADB=ZC=90°

■:ZABD=/DBC,

：.AABDSADBC

-BCBD即2=22

**BD=AB11BD3

.??BD=y/6f

???BO的長為遙.

7.

(1)

解：如圖，連接OC,OD,

B

VZC0D=2ZCA￡>,NC4D=45。，

AZCOD=90°,

VAB=8,

/.0C=^AB=4f

.c「cn90x乃x4?

..S扇形COD=-------------=4兀，

360

SAOCD=；xOCxOD=；x4x4=8,

*??S陰影二S扇形COD-S^OCD=4兀-8.

(2)

9

證明：：BC=AD,

*#-BC=Q，

：.ZBOC=ZAOD,

???NCOQ=90。，

.??NAOO=45。，

9：0A=0D,

：.ZODA=ZOAD9

VZAOD+ZODA+ZOAD=180°,

???NODA=67.5。，

*：AD=APf

：.

ZADP=ZAPDf

VZCAD=ZADP+AAPD,NC4Q=45。,

???ZADP=|ZCAD=22.5°f

：.ZODP=NOQ4+NA。尸=90。,

...PO是。。的切線.

8.

(1)

解：如圖所示，連接A。

：AB=AC,BD=DC,

：.AD1BC即ZADB=90°,

.?.AB是。。的直徑.

解：OE與(DO相切，理由如下:

...0。是△A8C的中位線，

OD//AC.

'：DE±AC,

：.DEIOD即ZODE=90°,

...DE與。O相切.

⑶

解：'：AB=AC,AD1BC,ZBAC=60°,

：.ZBAD=ZDAE=30°.

VDEIAC,ADA.BD,

."D=2OE=6,AB=2BD.

在AAB。中，BD2+AD2^AB2>

：.BD2+62=（2BD）2,

解得BD=2>/3.

/?AB=28。=4石，

二。。的半徑為2百.

9.

(1)

連接0。

：AC為圓。的直徑

ZADC=90°

'：0D=0C

.'.ZODC^ZOCD

在RmBCD中,為BC中點

DE=-BC=CE

2

ZEDC=NECD

：.ZODC+NEDC=ZOCD+ECD^90°

EPZOD￡=90°

：.0DLDE

???DE是圓0的切線

(2)

在RfABCD中,???￡為8C中點

：.BC=2DE=5

?:CD=3

：.BD=4

二?AC為直徑，

ZADC=ZACB=N8OC=90°,

又＜ZB=ZB

:.△ABCs^CBD,

.ACBC

^~CD~~BD

?..-A-C-=一5

34

.”15

..AC=—cm

4

10.

(1)

證明：如圖，連接oc,

?；CD=AC,

：.ZCAD=ZD,

又丁ZACD=120°,

：.ZCAD=ZD=^(180°-ZACD)=30°,

?：OC=OA,

：.NA=N2=30。，

???NCOD=60。，

又;ZD=30°,

???ZOCD=180°-ACOD-NO=90。，

：.OC±CD

???OC是。o的半徑

???CO是。。的切線；

Q)

解：VZA=30°,

1=2/4=60°.

._6(brx22_2

"moBC_360-3'

在Rd。。。中，C0=OC?tan6O°=2ji.

：.S^CD=L0C，CD=^2^=2^.

(1)

證明：如圖：連接OD

：.ZB=ZC,

又；OD=OB,

：.NODB=NOBD.

：.NODB=NACB.

：.OD//AC,

VDEIAC.

J.ODLDE.

???oo是圓的半徑，

:.DE是。。的切線;

(2)

解：如圖：連接4。,

VAB為。。的直徑，

，ZADB=90°,

即AD1.BC,

XVAB=AC,BC=16,

:.BD=CD=8,

???。0的半徑為5,

：.AC=AB=\Of

???AD=VAC2-CZ)2=7102-82=6*

■:SADC=-AC?DE=-CD?AD,

A22

???10DE=8x6,

ADEM.8.

12.

(1)

解：連接0。如下圖所示：

*/OB=OD,

：./OBD=/ODB,

YBO平分NA8C,

???/OBD=/DBE,

，ZODB=ZDBE,

：.OD〃BE,

■:DELBE于點、E,

：.ZE=90°,

：.ZODE=\80°-ZE=180°-90°=90°,

：.ODLDE；

是。。的切線.

⑵

解：設(shè)。。交4c于點如下圖:

TAB為。。的直徑，

，ZACB=ZACE=9Q°,

由(1)知I,N0DE=9Q°,

：.NACE=NE=NODE=90°,

.??四邊形。ECM為矩形，

：.EC=DM=\,

,:MO〃CB,。為4c的中點，

.'MO為△ABC的中位線，且/AMO=N4CB=90。，

.'.AM=MC-^AC-y/l,

設(shè)圓的半徑為r,則MO=DO-DM=r-\,

在RtAAMO中，由勾股定理可知：AO2=AM+MO2,代入數(shù)據(jù):

產(chǎn)=(方尸+(―1尸，

解出：r=4.

故圓。。的半徑為4.

13.

(1)

解：(1)vCDlAD,

.?.NO=90。，

:.ZDAC+ZDCA=90°,

???點c是弧8G的中點，

:?CG=BC

ADAC=ABAC,

\OA=OC,

ZOCA=ZBAC,

:.ZOCA=ZDACf

ADIIOC.

：.ZD=ZOCP=90°,

???OC是圓。的半徑，

???0c與OO相切，

(2)

QAB是。。的直徑，

??.ZACB=90°,

/.ZPCB+z64CD=90°,

由(1)得：ZZJ4C+ZDC4=90°,

:.NPCB=NDAC,

QZDAC=NHAC,

；"PCB=/BAC,

???CE平分ZACB,

:.ZACF=NBCF,

VZPFC=ZBAC+ZACF,/PCF=NPCB+NBCF,

:"PFC=4PCF,

...PC=PF；

⑶

連接4石,

?.?CE平分NACB,

??AE=BE，

..AE=BE,

QA8是。。的直徑，

..ZAEB=90°f

「.A4EB為等腰直角三角形，

?；AB=y[iBE=M，

：.OB=OC=—

2

tan￡=-

3

1

:.tanZC4B=—=-,

AC3

*：ZPCB=ZBACfNP=NP,

.BCPBI

..---=---=—,

ACPC3

??設(shè)尸8=x,PC=3x,

在Rt^OCP中，。。2+尸。2=。尸，

???（孚*3x）』萼+人

；.x=巫或40（舍去），

8

??.PC=M^,

8

.??PF=竺0.

8

14.

⑴

證明：如圖，連接OB,

YCB平分NACE.

???/ACB=NECB,

<?OB=OC,

：?4BCO=4CBO,

：.ZBCE=ZCBO9

：.OB//ED.

「BE1.ED,

：.EBLBO.

???5E是。。的切線；

(2)

解：??,AC是。。的直徑，

???NA8C=90。，

TBE工ED,

/.ZE=90°,

.??/￡=ZABC,

■:/BCE=/ACB,

:?△BCESRACB,

.BCCE

..----=-----,

ACBC

VAC=4,CE=1,

:.BC=<AC,CE=2,

???BE=y)BC2-CE2=y/3，

???/BCD+ZBAD=/BCD+NBCE=180°,

:?/BCE=/BAD,

BEi-

/.tanZ.BAD=tanZ.BCE=----=V3.

CE

15.

(1)

解：(1)連接8F,OC,

TAB是。。的直徑，

AZAFB=90°,BPBFLAD,

VCE±AD,

：.BF//CE,

??,點C為劣弧8尸的中點，

：.OC【BF,又BF〃CE,

：.OC.LCE,

TOC是。O的半徑，

???CE是。。的切線；

(2)

解：連接。凡CF,

9：OA=OC,

：.ZOCA=ZBAC=30°f

???N8OC=60。，

丁點。為劣弧5尸的中點，

:.FC=BC，

：.ZFOC=ZBOC=60°f

???。/=OC,

???△FOC為等邊三角形，

，NO"=NCO8=60。，

:.CF//ABf

：.SAACF=SAOCF,

...陰影部分的面積等于s扇形COF,

???A8=4,

：.FO=OC=OB=2,

???S扇形F0C=60.1X22:2',

3603

2

即陰影部分的面積為；乃.

3

16.

(1)

解：??,四邊形A8CO是平行四邊形，

:?/B=/D.

?/四邊形ABCE為。O的內(nèi)接四邊形，

AZB+ZAEC=180°.

?：Z4ED+ZAEC=180°.

???NB=ZAED.

9

：AB=AC9

：.AB=ZACB

：.ZACB=ZAED.

：./XABC^AADE.

(2)

解：如圖，連接A。并延長，交8c于點M,連接。8、OC.

BC

'：AB=AC,OB=OC,

...AM垂直平分8c.

，4MC=90。.

,/四邊形ABCD是平行四邊形,

C.AD//BC.

：.ZDAO=90°.

?.?點A在。。上，

.?.AD是。。的切線.

17.

(1)

證明：連接。。，

*.*AB=AC,

：.ZB=NC,

又,：OB=OD,

：.ZB=Z1,

NC=ZZ,

：.OD//AC,

'：￡>E_LAC于E,

，DE±0D,

?；。。是。。的半徑,

DE與。。相切；

(2)

解：如圖：連接4￡),

：A8為。。的直徑，

/?Z4)8=90°,

VAB=6,sinB=—,

5

???AD=ABsin3二述，

5

*/Z1+Z2=Z3+Z2=9O°,

???N1=N3,

???Zfi=Z3,

在仆AE￡>中，ZAED=90°f

??AEy/5

?sinN3=---=—,

AD5

?Ar5/55/56石6

5555

又???Or>〃A￡,

：?4FAEs/\FOD,

.FAAE

“75一而‘

???AB=6,

：.OD=AO=3,

.FA2

FA+3~59

:.AF=2.

18.

(1)

連接OD,BD,如圖，

AB是直徑，

/.ZA￡>B=90°,

NBDC=90。，

??,E是的中點,

:.DE=BE=EC=-BC

2

"EBD=NEDB,

?：OB=OD

:.NOBD=NODB

NOBD+NEBD=NODB+NEDB

即NO。石=NABC=90。

:.OD1DE

?.?O。是半徑，

，。后是半圓。。的切線.

(2)

-,DE=2

BC=2ED=4

vZBAC=30°

??.AC=2BC=8

/.AB=782-42=473

/.BD=-AB=2y/3

2

/.AD=44呵—(2琦=6.

19.

(1)

證明：TAB是。。的直徑，

，ZADB=90°,

???NZM8+NA8Q=90。，

■:/BED=/DAB,ZPBD=ZBED9

；?/DAB=NPBD,

；?NPBD+/ABD=9()。,

NA8P=90。，

：.AB±PBf

???3P是。。的切線;

(2)

???A8是直徑

???ZAEB=90°,

,?BE平分NABD,

,NABE=/DBE,

：?AE=DE?

:?AE=DE=6,

：.NABE=ZDBE=/DAE,

EFJi

tanZDBE=tanNABE=tan/DAE=--—

EA3

.*D

..忑=丁