天津市重點(diǎn)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析）

高中數(shù)學(xué)精編資源~2023學(xué)年度第二學(xué)期期末重點(diǎn)校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)出題學(xué)校：蘆臺(tái)一中楊村一中第I卷（共75分）一?選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求即可.【詳解】由已知，又，.故選：B.2.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先解含絕對(duì)值不等式以及分式不等式，再根據(jù)兩解集包含關(guān)系判斷充要關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋曰?，因?yàn)?，所以是的充分不必要條件，選A.【點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．3.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)，對(duì)任意，，所以，所以的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù).令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則，，所以，排除A選項(xiàng).故選：C4.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列通式求出，再化簡(jiǎn)得，代入計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，故選：D.5.中國(guó)新能源汽車出口實(shí)現(xiàn)跨越式突破，是國(guó)產(chǎn)汽車品牌實(shí)現(xiàn)彎道超車，打造核心競(jìng)爭(zhēng)力的主要抓手.下表是2022年我國(guó)某新能源汽車廠前5個(gè)月的銷量y和月份x的統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得線性回歸方程為，則下列四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)為（）月份x12345銷量y（萬輛）1.51.622.42.5①變量x與y正相關(guān)；②；③y與x的樣本相關(guān)系數(shù)；④2022年7月該新能源汽車廠的銷量一定是3.12萬輛．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)回歸直線方程經(jīng)過樣本中心即可求解，結(jié)合相關(guān)性的定義以及回歸方程即可逐一判斷.【詳解】由，，因?yàn)榛貧w直線過樣本中心，，，②錯(cuò)誤；可知隨著變大而變大，所以變量與正相關(guān)，①③正確；由回歸直線可知，2022年7月該新能源汽車廠的銷量的估計(jì)值是萬輛，④錯(cuò)誤．故選：B．6.已知,,，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，，由得，從而可得.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，，又因?yàn)?，，所以，?故.故選：D7.已知，均為正數(shù)，且，則的最小值為（）A.8 B.16 C.24 D.32【答案】B【解析】【分析】確定，變換得到，展開利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，故，不符合題意，故，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：B8.某學(xué)校選派甲，乙，丙，丁，戊共5位優(yōu)秀教師分別前往四所農(nóng)村小學(xué)支教，用實(shí)際行動(dòng)支持農(nóng)村教育，其中每所小學(xué)至少去一位教師，甲，乙，丙不去小學(xué)但能去其他三所小學(xué)，丁，戊四個(gè)小學(xué)都能去，則不同的安排方案的種數(shù)是（）A.72 B.78 C.126 D.240【答案】B【解析】【分析】分組討論結(jié)合組合排列關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】要求每所小學(xué)至少去一位教師，則需要將5人分成4組，則①甲，乙，丙中有2位教師去同一所學(xué)校有：種情況，②甲，乙，丙中有1位教師與丁去同一所學(xué)校有：種情況，③丁，戊兩人選擇同一所學(xué)校有：種情況，所以滿足題意的情況為：，故選：B.9.定義，設(shè)函數(shù)，若使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先考慮命題使得成立的否定為真命題時(shí)a的取值范圍，再求其補(bǔ)集即可.【詳解】命題使得成立的否定為對(duì)，，因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，，若命題，為真命題，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，其中，設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，所以，矛盾；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，所以，矛盾；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，命題，為真命題，所以若使得成立，則a的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.二?填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）10.命題“，”的否定是_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定的知識(shí)寫出正確答案.【詳解】原命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，注意到要否定結(jié)論，而不是否定條件，所以命題“，”的否定是“”.故答案：11.曲線在點(diǎn)處的切線方程為____.【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可求出，又點(diǎn)在曲線上，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求出切線方程.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】【解析】【分析】求出所給二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)Tr+1，再求出x的冪指數(shù)為0的r值即可計(jì)算作答.【詳解】展開式的通項(xiàng)為：，由得，，于是得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為210.故答案為：21013.冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（且）的圖象過定點(diǎn)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性可求出的值，可得出函數(shù)的解析式，令真數(shù)為，可求得函數(shù)的圖象所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以，，令，可得，且，故函數(shù)的圖象過定點(diǎn).故答案為：.14.設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的．且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再?gòu)倪@盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為__________．【答案】【解析】【分析】由全概率公式即可處理.【詳解】設(shè)=“任取一個(gè)X光片為次品”，=“X光片為某廠生產(chǎn)”（甲、乙、丙廠依次對(duì)應(yīng)）則,且兩兩互斥.由題意可得：,15.已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】或【解析】【分析】由已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)，證明函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)條件列方程求λ的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，又由可得，所以，所以解得或．故答案為：或．第II卷（共75分）三?解答題（共5題，共75分）16.袋子中有7個(gè)大小相同的小球，其中4個(gè)白球，3個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)地取出小球，若取到一個(gè)白球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，現(xiàn)從袋中任取4個(gè)小球.（1）求得分的分布列及均值；（2）求得分大于6的概率.【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望的公式即可求解，（2）根據(jù)分布列即可求解概率.【小問1詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的取值為,所取小球?yàn)?白3黑時(shí)，所取小球?yàn)?白2黑時(shí)，所取小球?yàn)?白1黑時(shí)，所取小球?yàn)?白時(shí)，所以，隨機(jī)變量的分布列為5678隨機(jī)變量的均值為：【小問2詳解】根據(jù)的分布列，可得到得分大于6的概率為17.數(shù)列滿足：，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減求得，又由時(shí)，，符合上式，即可求解；（2）求出，再用錯(cuò)位相減法可求.【小問1詳解】由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，所以，又由當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）知，則，所以①②，①-②得.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18.已知函數(shù).（1）若是的極值點(diǎn)，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）1（2）答案見解析（3）.【解析】【分析】（1）由題意，求導(dǎo)得，然后根據(jù)，即可得到結(jié)果；（2）由題意，求導(dǎo)得，然后分與兩種情況討論，即可得到結(jié)果；（3）由題意，構(gòu)造函數(shù)，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像交點(diǎn)問題，結(jié)合圖像即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)閯t，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意【小問2詳解】，則.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，若，則；若，則.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，則直線與函數(shù)在上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)的極大值為，且，，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且；等差數(shù)列前項(xiàng)和為滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)，若，對(duì)任意的正整數(shù)都有恒成立，求的最大值.【答案】（1），（2）（3）2【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系證明為等比數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求的首項(xiàng)及公差，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列通項(xiàng)公式求，的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可；（3）由（1）求，由條件可得，判斷數(shù)列的單調(diào)性求其最值，由此可得，結(jié)合基本不等式求的最大值.【小問1詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，即，所以，且，所以，所以為首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，所以.【小問2詳解】由（1）知，，，則，令為的前項(xiàng)和，則即【小問3詳解】因，，，所以，故恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，所以，所以恒成立，即恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故的最大值為2.20.已知函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；（2）若且，證明：，．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】【分析】(1)由條件可得，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，由此可證明結(jié)論，(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，由條件證明，分析可得要證明，只需證明，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性完成證明.【小問1詳解】由已知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立；【小問2詳解】因?yàn)?，，所以，其定義域?yàn)樗裕?/p>