2023屆河北省涿鹿縣北晨學(xué)校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．是拋物線上一點(diǎn)，是圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓上的一點(diǎn)，則最小值是（）A． B． C． D．2．已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．33．已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，則（）A． B． C． D．4．設(shè)，，則（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．06．已知m為實(shí)數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（）A．16 B．18 C．20 D．158．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．9．設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)若雙曲線上存在點(diǎn)，使，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．10．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．11．在等差數(shù)列中，若，則（）A．8 B．12 C．14 D．1012．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．63二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線過圓的圓心，則的最小值是_____.14．已知集合，，則____________．15．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．16．已知是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）心形線是由一個(gè)圓上的一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個(gè)圓周上滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)定點(diǎn)的軌跡，因其形狀像心形而得名，在極坐標(biāo)系中，方程（）表示的曲線就是一條心形線，如圖，以極軸所在的直線為軸，極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線與相交于、、三點(diǎn)，求線段的長.18．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線的方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與交于，兩點(diǎn)．（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）設(shè)點(diǎn)；若、、成等比數(shù)列，求的值19．（12分）設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）時(shí)，若，，求證：．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線：.（1）當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，求的值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，為棱的中點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合．．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，整理得，解得，即點(diǎn)，所以，圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值的計(jì)算，同時(shí)也考查了兩圓關(guān)于直線對(duì)稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、C【解析】

設(shè)切點(diǎn)為，則，由于直線經(jīng)過點(diǎn)，可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，建立關(guān)于的方程，從而可求方程．【詳解】若直線與曲線切于點(diǎn)，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

畫出函數(shù)的圖像，函數(shù)對(duì)稱軸方程為，由圖可得與關(guān)于對(duì)稱，即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖，對(duì)稱軸方程為，，又，由圖可得與關(guān)于對(duì)稱，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.4、D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】分析：因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值，要求的值，故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解：由題設(shè)有，故有，所以，從而，故選D.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時(shí)注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.6、A【解析】

根據(jù)直線平行的等價(jià)條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】當(dāng)m=1時(shí)，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當(dāng)m=0時(shí)，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當(dāng)m≠0時(shí)，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價(jià)條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.7、A【解析】

根據(jù)題意可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a，b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù)，按流程圖計(jì)算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16，故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.8、D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．9、A【解析】

由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點(diǎn)的距離，再由余弦定理得出的齊次式．10、A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，故的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生運(yùn)算能力，是一道容易題.11、C【解析】

將，分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則由，，得解得，，所以．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)的值，可通過構(gòu)建和的方程組求通項(xiàng)公式.12、D【解析】

根據(jù)，得到，即，由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列，然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)?，所以?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直線mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），可得m+n＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1.∴（）（m+n）＝22+2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號(hào).∴則的最小值是4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由于，，則．15、【解析】

畫圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.【詳解】作出函數(shù)的圖如下所示，觀察可知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：(1)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么．(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．16、【解析】

求得等邊三角形的外接圓半徑，利用勾股定理求得三棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是等邊三角形的外心，則球心在其正上方處.設(shè)，由正弦定理得.所以得三棱錐外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（）；（2）.【解析】

（1）化簡得到直線方程為，再利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案.（2）聯(lián)立方程計(jì)算得到，，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由消得，即，是過原點(diǎn)且傾斜角為的直線，∴的極坐標(biāo)方程為（）.（2）由得，∴，由得∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為；(2)【解析】

(1)由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和參數(shù)方程與普通方程的互化，即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中，利用韋達(dá)定理得，，可得到，根據(jù)因?yàn)椋?，成等比?shù)列，列出方程，即可求解．【詳解】(1)由題意，曲線的極坐標(biāo)方程可化為，又由，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，得，即直線的普通方程為；(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中，得，由，設(shè)方程的兩根分別為，，則，，可得，．所以，，．因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，則，解得解得或（舍），所以實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)參數(shù)的取值，討論的正負(fù)，即可求出關(guān)于的單調(diào)性即可；（2）首先通過構(gòu)造新函數(shù)，討論新函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】（1），令，則，令得，當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在性定理知，，不妨設(shè)，使得，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）證明：構(gòu)造函數(shù)，，，，整理得，，（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，，這里不妨設(shè)，欲證，即證由（1）知時(shí)，在上單調(diào)遞增，則需證，由已知有，只需證，即證，由在上單調(diào)遞增，且時(shí)，有，故成立，從而得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)含參分類討論單調(diào)性，借助構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性證明不等式，屬于難題.20、（1），；（2）【解析】

（1）依題意可知，直線的極坐標(biāo)方程為（），再對(duì)分三種情況考慮；（2）利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義，求弦長即可得到答案.【詳解】（1）依題意可知，直線的極坐標(biāo)方程為（），當(dāng)時(shí)，聯(lián)立解得交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足兩方程，（易漏解之處忽略的情況）當(dāng)時(shí)，無交點(diǎn)；綜上，曲線與直線的點(diǎn)極坐標(biāo)為，，（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線，得，可知，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.21、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進(jìn)而可推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面，又平面，平面平面；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在中，，，，、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，得，令，則，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，得，取，得，，得.，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.22、（1）證明見解析（2）存在，為中點(diǎn)【解析】

（1）證明面，即證明平面平面；（2）