運籌學線性規(guī)劃在管理中的應用案例

第五章線性規(guī)劃在管理中的應用5.1某公司停止了生產(chǎn)一些已經(jīng)不再獲利的產(chǎn)品，這樣就產(chǎn)生了一部分剩余生產(chǎn)力。管理層考慮將這些剩余生產(chǎn)力用于新產(chǎn)品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生產(chǎn)?？捎玫臋C器設(shè)備是限制新產(chǎn)品產(chǎn)量的重要因素，具體數(shù)據(jù)如下表：機器設(shè)備類型每周可用機器臺時數(shù)銑床500車床350磨床150每生產(chǎn)一件各種新產(chǎn)品需要的機器臺時數(shù)如下表：機器設(shè)備類型新產(chǎn)品Ⅰ新產(chǎn)品Ⅱ新產(chǎn)品Ⅲ銑床846車床430磨床301三種新產(chǎn)品的單位利潤分別為0.5元、0.2元、0.25元。目的是要擬定每種新產(chǎn)品的產(chǎn)量，使得公司的利潤最大化。1、判別問題的線性規(guī)劃數(shù)學模型類型。2、描述該問題要作出決策的目的、決策的限制條件以及決策的總績效測度。3、建立該問題的線性規(guī)劃數(shù)學模型。4、用線性規(guī)劃求解模型進行求解。5、對求得的結(jié)果進行靈敏度分析（分別對最優(yōu)解、最優(yōu)值、相差值、松馳/剩余量、對偶價格、目的函數(shù)變量系數(shù)和常數(shù)項的變化范圍進行具體分析）。6、若銷售部門表達，新產(chǎn)品Ⅰ、Ⅱ生產(chǎn)多少就能銷售多少，而產(chǎn)品Ⅲ最少銷售18件，請重新完畢本題的1-5。解：1、本問題是資源分派型的線性規(guī)劃數(shù)學模型。2、該問題的決策目的是公司總的利潤最大化，總利潤為：0.5x1+0.2x2+0.25x3決策的限制條件：8x1+4x2+6x3≤500銑床限制條件4x1+3x2≤350車床限制條件3x1+x3≤150磨床限制條件即總績效測試（目的函數(shù)）為：maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x33、本問題的線性規(guī)劃數(shù)學模型maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x3S．T．8x1+4x2+6x3≤5004x1+3x2≤3503x1+x3≤150x1≥0、x2≥0、x3≥04、用Excel線性規(guī)劃求解模板求解結(jié)果：最優(yōu)解（50，25，0），最優(yōu)值：30元。5、靈敏度分析目的函數(shù)最優(yōu)值為:30變量最優(yōu)解相差值x1500x2250x30.083約束松弛/剩余變量對偶價格10.05275030.033目的函數(shù)系數(shù)范圍:變量下限當前值上限x1.4.5無上限x2.1.2.25x3無下限.25.333常數(shù)項數(shù)范圍:約束下限當前值上限14005006002275350無上限337.5150187.5（1）最優(yōu)生產(chǎn)方案：新產(chǎn)品Ⅰ生產(chǎn)50件、新產(chǎn)品Ⅱ生產(chǎn)25件、新產(chǎn)品Ⅲ不安排。最大利潤值為30元。（2）x3的相差值是0.083意味著，目前新產(chǎn)品Ⅲ不安排生產(chǎn)，是由于新產(chǎn)品Ⅲ的利潤太低，若要使新產(chǎn)品Ⅲ值得生產(chǎn)，需要將當前新產(chǎn)品Ⅲ利潤0.25元/件，提高到0.333元/件。（3）三個約束的松弛/剩余變量0，75，0，表白銑床和磨床的可用工時已經(jīng)用完，而車床的可用工時還剩余75個工時；三個對偶價格0.05，0，0.033表白三種機床每增長一個工時可使公司增長的總利潤額。（4）目的函數(shù)系數(shù)范圍表白新產(chǎn)品Ⅰ的利潤在0.4元/件以上，新產(chǎn)品Ⅱ的利潤在0.1到0.25之間，新產(chǎn)品Ⅲ的利潤在0.333以下，上述的最佳方案不變。（5）常數(shù)項范圍表白銑床的可用條件在400到600工時之間、車銑床的可用條件在275工時以上、磨銑床的可用條件在37.5到187.5工時之間。各自每增長一個工時對總利潤的奉獻0.05元，0元，0.033元不變。6、若產(chǎn)品Ⅲ最少銷售18件，修改后的的數(shù)學模型是：maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x3S．T．8x1+4x2+6x3≤5004x1+3x2≤3503x1+x3≤150x3≥18x1≥0、x2≥0、x3≥0這是一個混合型的線性規(guī)劃問題。代入求解模板得結(jié)果如下：最優(yōu)解（44，10，18），最優(yōu)值：28.5元。靈敏度報告：目的函數(shù)最優(yōu)值為:28.5變量最優(yōu)解相差值x1440x2100x3180約束松弛/剩余變量對偶價格10.052144030.03340-.083目的函數(shù)系數(shù)范圍:變量下限當前值上限x1.4.5無上限x2.1.2.25x3無下限.25.333常數(shù)項數(shù)范圍:約束下限當前值上限14605006922206350無上限318150165401830（1）最優(yōu)生產(chǎn)方案：新產(chǎn)品Ⅰ生產(chǎn)44件、新產(chǎn)品Ⅱ生產(chǎn)10件、新產(chǎn)品Ⅲ生產(chǎn)18件。最大利潤值為28.5元。（2）由于最優(yōu)解的三個變量都不為0，所以三個相關(guān)值都為0。（3）四個約束的松弛/剩余變量0，144，0，0，表白銑床和磨床的可用工時已經(jīng)用完，新產(chǎn)品Ⅲ的產(chǎn)量也剛好達成最低限制18件，而車床的可用工時還剩余144個工時；四個對偶價格0.05，0，0.033，-0.083表白三種機床每增長一個工時可使公司增長的總利潤額，第四個對偶價格-0.083表白新產(chǎn)品Ⅲ的產(chǎn)量最低限再多規(guī)定一件，總的利潤將減少0.083元。（4）目的函數(shù)系數(shù)范圍表白新產(chǎn)品Ⅰ的利潤在0.4元/件以上，新產(chǎn)品Ⅱ的利潤在0.1到0.25之間，新產(chǎn)品Ⅲ的利潤在0.333以下，上述的最佳方案不變。（5）常數(shù)項范圍表白銑床的可用條件在460到692工時之間、車銑床的可用條件在206工時以上、磨銑床的可用條件在18到165工時之間、新產(chǎn)品Ⅲ產(chǎn)量限制在30件以內(nèi)。各自每增長一個工時對總利潤的奉獻0.05元，0元，0.033元，-.083元不變。5.2某銅廠軋制的薄銅板每卷寬度為100cm，現(xiàn)在要在寬度上進行切割以完畢以下訂貨任務(wù)：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其長度都是同樣的。問應如何切割可使所用的原銅板為最少？解：本問題是一個套材下料問題，用窮舉法找到所有也許切割的方式并建立數(shù)學模型：minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10S.T.3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10≥110xi≥0（i=1，2…..10）用Excel線性規(guī)劃求解模型板求解：最優(yōu)解：（18.33,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最優(yōu)值：63.3333由于銅板切割時必須整卷切割所以需要做整數(shù)近似。即其結(jié)果為：即最優(yōu)解：（19,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最優(yōu)值：64靈敏度分析報告：目的函數(shù)最優(yōu)值為:63.333變量最優(yōu)解相差值x118.3330x20.056x30.111x40.111x5200x60.167x70.167x8250x90.056x100.111約束松弛/剩余變量對偶價格10-.33320-.27830-.222目的函數(shù)系數(shù)范圍:變量下限當前值上限x1.7511.071x2.9441無上限x3.8891無上限x4.8891無上限x5.83311.083x6.8331無上限x7.8331無上限x8.44411.111x9.9441無上限x10.8891無上限常數(shù)項數(shù)范圍:約束下限當前值上限12075無上限2050110350110275這是一個記錄型的線性規(guī)劃問題，所以分析價值系數(shù)的取值范圍和相差都沒故意義。松弛/剩余變量都為0，表達最優(yōu)方案已達成三種規(guī)格薄銅板數(shù)量的最低限。三個約束條件的對偶價格-.333、-.278、-.222分別表達三種規(guī)格薄銅板數(shù)量的最低限再增長一個，將增長原銅板.333cm、.278cm、.222cm常數(shù)項數(shù)范圍表達三種規(guī)格薄銅板數(shù)量的最低限在這些范圍內(nèi)，每增一個限額所原原銅板.333cm、.278cm、.222cm不變。這里需要特別指出的是，第一種規(guī)格的5.3某醫(yī)院對醫(yī)生工作的安排為4小時一個工作班次，每人要連續(xù)工作二個班次。各班次需要醫(yī)生人數(shù)如下表：班次時間人數(shù)10:00-4:00424:00-8:00738:00-12:009412:00-16:0012516:00-20:008620:00-24:006其中，第6班報到的醫(yī)生要連續(xù)上班到第二天的第1班。問在各班開始時應當分別有幾位醫(yī)生報到。若參與1、2、6班的醫(yī)生需要支付夜班津貼，為了使支付總的夜班津貼為最少，應如何安排各班開始時醫(yī)生的報到人數(shù)。解：第一步：不考慮夜班津貼。線性規(guī)劃數(shù)學模型為：minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6S.T.x6+x1≥4x1+x2≥7x2+x3≥9x3+x4≥12x4+x5≥8x5+x6≥6xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）用Excel線性規(guī)劃求解模板求解得：第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人?？?cè)藬?shù)為25人。靈敏度分析報告：目的函數(shù)最優(yōu)值為:25變量最優(yōu)解相差值x170x200x3100x420x560x600約束松弛/剩余變量對偶價格13.020-131.040--150.060--1目的函數(shù)系數(shù)范圍:變量下限當前值上限x10.11x211無上限.x30.11x41.12x5011x611無上限常數(shù)項數(shù)范圍:約束下限當前值上限1無下限47247無上限3無下限91041112無上限56896568這是一記錄型線性規(guī)劃規(guī)劃問題，所以相差值的價值系數(shù)的變化范圍沒有必要分析。班次時間所需人數(shù)本段安排人數(shù)上段安排人數(shù)本段實際人數(shù)多余人數(shù)10:00-4:004707324:00-8:007077038:00-12:009100101412:00-16:0012210120516:00-20:0086280620:00-24:0060660合計4625504松弛/剩余變量一欄就是上表的“多余人數(shù)”一列是各時間段安排所剩余的人數(shù)。“對偶價格”一欄。第一個常數(shù)項由4增長到5，由于還剩下2人，所以不會改變最優(yōu)值；第二個常數(shù)項由7增長到8，由于再沒有剩余的人，所以本班必須再多安排一個人最優(yōu)值解也必須增長1，由于是求最小化問題，所以對偶價格為－1；第三個常數(shù)項由9增長到10，剛好將本來剩余的人用上，所以不會改變最優(yōu)值；第四個、第六個常數(shù)項與第二個常數(shù)項同樣；第五個常數(shù)項由2增長到3，由于再沒有剩余的人，所以本班必須再多安排一個人，但下個班就可以再少安排一個人，所以不會改變最優(yōu)值；本題的這種情況是每一個變量都會影響到兩個時段的結(jié)果，所以在進行靈敏度分析時也必然要考慮這個因素，這里第一個時段是特殊情況（有資源剩余），其余的時段分析時相鄰兩個是互相影響的。因此，第2時段為-1，第3時段為0，后面的依次相反。若第2時段為0，則第3時段就為-1。第二步：考慮夜班津貼。線性規(guī)劃數(shù)學模型為：minf=x1+x2+x3+x5+x6S.T.x6+x1≥4x1+x2≥7x2+x3≥9x3+x4≥12x4+x5≥8x5+x6≥6xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）用Excel線性規(guī)劃求解模板求解得：即：總?cè)藬?shù)還是25人，但每班安排人數(shù)有所調(diào)整：第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。靈敏度分析報告：目的函數(shù)最優(yōu)值為:15變量最優(yōu)解相差值x101x270x320x4100x500x660約束松弛/剩余變量對偶價格12020030-140052060-1目的函數(shù)系數(shù)范圍:變量下限當前值上限x101無上限x2112x3011x4001x511無上限x6011常數(shù)項數(shù)范圍:約束下限當前值上限1無下限4625793791141012無上限5無下限810646無上限這是一記錄型線性規(guī)劃規(guī)劃問題，所以相差值的價值系數(shù)的變化范圍沒有必要分析。班次時間所需人數(shù)本段安排人數(shù)上段安排人數(shù)本段實際人數(shù)多余人數(shù)10:00-4:004066224:00-8:007707038:00-12:0092790412:00-16:0012102120516:00-20:008010102620:00-24:0066060合計4625504“對偶價格”一欄。第一個常數(shù)項由4增長到5，由于還剩下2人，所以不會改變最優(yōu)值；第二個常數(shù)項由7增長到8，由于上段時間已增一個人，這個人本班還上班，所以本也不需要增長人。第三個常數(shù)項由9增長到10，前面安排的人都已下班，本班剛好只朋9人，若需求再增長一人，就需要新安排一人所以對偶價格-1；第四個、第五個、第六個常數(shù)項與前三個常數(shù)項同樣；5.4某塑料廠要用四種化學配料生產(chǎn)一種塑料產(chǎn)品，這四種配料分別由A、B、C三種化學原料配制，三種化學原料的配方及原料價格如下表：配料1234價格（元/公斤）含原料A（%）3040201511含原料B（%）2030604013含原料C（%）4025153012要配制的塑料產(chǎn)品中，規(guī)定具有20%的原料A，不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。由于技術(shù)因素，配料1的用量不能超過30%，配料2的用量不能少于40%。第一次配制的塑料產(chǎn)品不能少于5公斤。請設(shè)計一套配料方案，使總的成本為最低。解：線性規(guī)劃數(shù)學模型：minf=10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4S.T.0.1x1+0.2x2-0.05x4=0-0.1x1+0.3x3+0.1x4≥00.2x1+0.05x2-0.05x3+0.1x4≥00.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x4≥0-0.4x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4≤0x1+x2+x3+x4≥5xi≥0（i=1，2，3，4，）將模型代入到線性規(guī)劃求解模板，得結(jié)果：用配料1，1.5公斤；用配料2，0.1公斤；用配料3，0公斤；用配料4，3.4公斤；花費總的最低成本靈敏度分析報告：目的函數(shù)最優(yōu)值為:49.31變量最優(yōu)解相差值x11.50x2.10x301.98x43.40約束松弛/剩余變量對偶價格10-7.42.1903.645040-.1451.9060-9.862目的函數(shù)系數(shù)范圍:變量下限當前值上限x110.5610.7無上限x2-481.811.311.533x39.8211.8無上限x4-5.0539.459.8常數(shù)項數(shù)范圍:約束下限當前值上限1-.0250.4752無下限0.193無下限0.6454-1.50.1675-1.90無上限605無上限本問題的相差值欄，x3的相差值為1.98，表達目前配料3的成本11.8太高，無法選用，若該配料的成本再減少1.98元就可以選取用。松弛/剩余變量欄：前五個給條件都表達的是配料或原料的配比關(guān)系。松弛/剩余變量為0關(guān)系表達已完全按規(guī)定配比，不為0的表達沒有達成配比規(guī)定。第五個約束是總產(chǎn)品的產(chǎn)量最低限，松弛/剩余變量為0表達已達成產(chǎn)量規(guī)定。關(guān)五個約束的對偶價格表達配料或者說原料不匹配時，對總費用的影響。不為0的對偶價格表達配比每差一個單位都會使總費用的增長量。第五個對偶價格是每增長一公斤的產(chǎn)品，需要增長的費用值。在學數(shù)項取值范圍欄：前五個約束在常數(shù)項在這個范圍內(nèi)，保持上述的對偶價格，而此時的上限都不高，說明這個最優(yōu)方案中的匹配關(guān)系失衡并不嚴重，若比例失衡將會導致費用的增長比例更大。對五個對偶價格事實上說明了該產(chǎn)品的絕對成本，在這個方案下，生產(chǎn)多少的產(chǎn)品都是這個成本構(gòu)成。5.5某工廠生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四種產(chǎn)品，產(chǎn)品Ⅰ需通過A、B兩種機器加工，產(chǎn)品Ⅱ需通過A、C兩種機器加工，產(chǎn)品Ⅲ需通過B、C兩種機器加工，產(chǎn)品Ⅳ需通過A、B兩種機器加工。有關(guān)數(shù)據(jù)見下表所示：產(chǎn)品機器生產(chǎn)率（件/小時）原料成本（元/件）產(chǎn)品價格（元/件）ABCⅠ10201665Ⅱ20102580Ⅲ10151250Ⅳ20101870機器成本（元/小時）200150225每周可用機時數(shù)15012070請為該廠制定一個最優(yōu)生產(chǎn)計劃。解：線性規(guī)劃數(shù)學模型：maxZ=21.5x1+22.5x2+8x3+27x4S.T.2x1+x2+x4≤3000x1+2x3+2x4≤24003x2+4x3≤4200xi≥0（i=1，2,......4）用Excel線性規(guī)劃求解模板求解得：最優(yōu)生產(chǎn)方案：產(chǎn)品Ⅰ生產(chǎn)267件；產(chǎn)品Ⅱ生產(chǎn)1400件；產(chǎn)品Ⅲ不安排生產(chǎn)；產(chǎn)品Ⅳ生產(chǎn)1067件?？色@得的最高利潤：66033.3元。靈敏度分析報告：即：目的函數(shù)最優(yōu)值為:66033.3495變量最優(yōu)解相差值-----------------------x1266.6670x214000x3030.8333x41066.6670約束松弛/剩余變量對偶價格----------------------------105.3332010.833305.722目的函數(shù)系數(shù)范圍:變量下限當前值上限-------------------------------x113.521.545x25.33322.5無上限x3無下限838.333x410.752743常數(shù)項數(shù)范圍:約束下限當前值上限-------------------------------12600300062002800240032003042005400此模型的最優(yōu)解中，四個變量有三個變量不為0，即需要安排生產(chǎn)，另一個為0的變量表達產(chǎn)品Ⅲ由于成本高或價格低，使所獲的利潤太低，不值得生產(chǎn)。從相差值欄可見，該產(chǎn)品的單位利潤需要再增長30.8333元才值得生產(chǎn)。松弛/剩余變量欄中三個數(shù)據(jù)都為0，表達該決策中所提供三種設(shè)備的機時都已所有運用，沒有剩余；從對偶價格欄還可以看到三種設(shè)備的機時雖然都已用盡，但此時對三種設(shè)備增長機時，則設(shè)備B所帶來的總利潤為最多。因此設(shè)備B是瓶徑。從約束條件的取值范圍也可以看到這一點，由于設(shè)備B的機時取值范圍最小，因此該設(shè)備是關(guān)鍵。5.6某公司生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品，市場兩種產(chǎn)品的需求量為：產(chǎn)品Ⅰ在1-4月份每月需1萬件，5-9月份每月需3萬件，10-12月份每月需10萬件；產(chǎn)品Ⅱ在3-9月份每月需1.5萬件，其他月份每月需5萬件。該公司生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的成本為：產(chǎn)品Ⅰ在1-5月份生產(chǎn)時每件5元，6-12月份生產(chǎn)時每件4.5元；產(chǎn)品Ⅱ在1-5月份生產(chǎn)時每件8元，6-12月份生產(chǎn)時每件7元；該公司每月生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的能力總和不超過12萬件。產(chǎn)品Ⅰ容積為每件0.2立方米，產(chǎn)品Ⅱ容積為每件0.4立方米。該公司倉庫容積為1.5萬立方米。規(guī)定：1、問該公司應如何安排生產(chǎn)，使總的生產(chǎn)加工儲存費用為最少，建立線性規(guī)劃數(shù)學模型并求解，若無解請說明因素。2、若該公司的倉庫容積局限性時，可從外廠租借。若占用本公司的倉庫每月每立方米需1萬元的儲存費，而租用外廠倉庫時其儲存費用為每月每立方米1.5萬元，試問在滿足市場需求情況下，該公司又應如何安排生產(chǎn)，使總的生產(chǎn)加儲存費用為最少。解：1、這是一個72個變量、60個約束條件的線性規(guī)劃問題，若不考慮外廠租借倉庫，則無法求解（無解），只有考慮外廠租借倉庫才干解決本問題。分析及解決過程和結(jié)果可見下表：月份123456789101112倉容外存產(chǎn)品Ⅰ銷售量（千件）10101010303030303010010010015000（m3）1元/m3容量不限1.5元/m3成本（元、件）555554.54.54.54.54.54.54.5產(chǎn)量（件）x1=10x2=10x3=10x4=10x5=30x6=30x7=30x8=45x9=105x10=70x11=70x12=70總?cè)莘e（千m3）0.2x10.2x20.2x30.2x40.2x50.2x60.2x70.2x80.2x90.2x100.2x110.2x12庫存數(shù)x25=0x26=0x27=0x28=0x29=0x30=0x31=0x32=15x33=90x34=60x35=30x36=0產(chǎn)品Ⅱ銷售量（千件）505015151515151515505050成本（元、件）888887777777產(chǎn)量（件）x13=50x14=50x15=15x16=15x17=15x18=15x19=15x20=15x21=15x22=50x23=50x24=50總?cè)莘e（千m3）0.4x130.4x140.4x150.4x160.4x170.4x180.4x190.4x200.4x210.4x220.4x230.4x24庫存數(shù)x37=0x38=0x39=0x40=0x41=0x42=0x43=0x44=0x45=0x46=0x47=0x48=0倉容本廠（千m3）x49=0x50=0x51=0x52=0x53=0x54=0x55=0x56=3x57=15x58=12x59=6x60=0外借（千m3）x61=0x62=0x63=0x64=0x65=0x66=0x67=0x68=0x69=3x70=0x71=0x72=0產(chǎn)品總和（千件）120120120120120120120120120120120120總的生產(chǎn)加儲存最少費用為4910500元外借的庫房，在9月份用了3千平方米的容量。本問題靈敏度具體分析太麻煩，從略。5.7某快餐店坐落在一個遠離市區(qū)的旅游點中，平時游客不多，而在除冬季外每個雙休日游客都比較多。該快餐店有兩名正式職工，正式職工天天工作8小時，且每個時間段都至少要有一個正式職工在上班，其余工作由臨時工來承擔，臨時工每班工作4小時。在雙休日天天上午10時開始營業(yè)到下午10時關(guān)門。根據(jù)游客就餐情況，在雙休日每個營業(yè)時間段所需職工數(shù)（涉及正式工和臨時工）如下表：時間段所需職工數(shù)10:00-11:00911:00-12:001012:00-13:001013:00-14:00914:00-15:00315:00-16:00316:00-17:00317:00-18:00618:00-19:001219:00-20:001220:00-21:00721:00-22:007已知一名正式職工10點開始上班，工作4小時后休息1小時，而后再工作4小時；另一名正式職工13點開始上班，工作4小時后休息1小時，而后再工作4小時。臨時工每小時的工資為4元。1、在滿足對職工需求的條件下，如何安排臨時工的班次，使得使用臨時工的成本為最?。?、這時付給臨時工的工資總額為多少？一共需要安排多少個班次的臨時工？請用剩余量來說明假如安排一些每班工作3小時的臨時工班次，可使得總成本更小。3、假如臨時工每班工作時間可以是3小時，也可以是4小時，那么應如何安排臨時工的班次，使得使用臨時工的總成本為最小？這樣比第1問的結(jié)果能節(jié)省多少費用？這時要安排多少臨時工的班次？解：1、線性規(guī)劃數(shù)學模型：minf＝16x1+16x2+16x3+16x4+16x5+16x6+16x7+16x8+16x9+12x10+8x11+4x12s．t．x1≥8x1＋x2≥9x1＋x2＋x3≥9x1＋x2＋x3＋x4≥7x2＋x3＋x4＋x5≥2x3＋x4＋x5＋x6≥1x4＋x5＋x6＋x7≥1x5＋x6＋x7＋x8≥5x6＋x7＋x8＋x9≥10x7＋x8＋x9＋x10≥11x8＋x9＋x10＋x11≥6x9＋x10＋x11＋x12≥6x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12≥0將該模型代入到線性規(guī)劃求解模板得結(jié)果：其解為：x1＝8，x2＝1，x3＝1，x4＝0，x5＝0，x6＝0，x7＝1，x8＝4，x9＝5，x10＝1，x11＝0，x12＝0最優(yōu)值為332。在滿足對職工需求的條件下，在10時新安排臨時工8個；11時新安排臨時工1個；12時新安排臨時工1個；16時新安排臨時工1個；17時新安排臨時工4個；18時新安排臨時工5個；19時新安排臨時工1個。全天共安排21個臨時工，其中18時以前安排的20人是連續(xù)上四小時班，19時安排的一人上3小時班。可使臨時工的總成本最小為332元。如下表所示：時間段所需臨時工安排上班人數(shù)事實上班人數(shù)剩余人數(shù)10:00-11:008888-8=011:00-12:009199-9=012:00-13:00911010-9=113:00-14:00701010-7=314:00-15:002022-2=015:00-16:001011-1=016:00-17:001111-1=017:00-18:005455-5=018:00-19:001051010-10=019:00-20:001111111-11=020:00-21:00601010-6=421:00-22:006066-6=0合計7521838靈敏度分析報告：2、這時付給臨時工的工資總額為332元，一共需要安排83個臨時工的班次。根據(jù)剩余變量的數(shù)字分析可知，可以讓10時安排的8個人中留3人工作3小時，就可以將13-14時多余的3個工時省下來；同時17時安排的4個人工作3小時，也可將20時的4個工時省下來使得總成本更小。這時只有12-13時間段剩余1人，其它時間段都沒有剩余的人員，所以總的班次只用76個，總費用將是76×4=304元。3、設(shè)在10：00-11：00這段時間內(nèi)有x1個班是3小時，x2個班是4小時；設(shè)在11：00-12：00這段時間內(nèi)有x3個班是3小時，x4個班是4小時；其他時段也類似。得線性規(guī)劃數(shù)學模型：minz=12x1+12x3+12x5+12x7+12x9+12x11+12x13+12x15+12x17+12x19+8x21+4x23+16x2+16x4+16x6+16x8+16x10+16x12+16x14+16x16+16x18+12x20+8x22+4x24S．Tx1＋x2≥8x1＋x2＋x3＋x4≥9x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6≥9x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8≥7x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10≥2x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12≥1x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14≥1x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16≥5x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18≥10x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20≥11x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22≥6x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24≥6xi≥0i=1,2,…,24將該模型代入到線性規(guī)劃求解模板得結(jié)果：其解為：在滿足對職工需求的條件下，10時安排8個臨時工，其中3個3小時的，5個4小時的；11時新安排1個4小時的臨時工；13時新安排1個3小時的臨時工；16時新安排1個4小時的臨時工；17時新安排4個3小時的臨時工；18時新安排5個4小時的臨時工；19時新安排1個3小時臨時工。全天共安排21個臨時工，可使臨時工的總成本最小為300元。如下表所示：時間段所需臨時工4小時班人數(shù)3小時班人數(shù)事實上班人數(shù)剩余人數(shù)10:00-11:008538011:00-12:009109012:00-13:009009013:00-14:007017014:00-15:002002015:00-16:001001016:00-17:001101017:00-18:005045018:00-19:00105010019:00-20:00110111020:00-21:006006021:00-22:0060060合計75129750這樣能比第一種方案節(jié)省：332-300=32元。靈敏度分析報告：5.8某征詢公司受廠商的委托對新上市的產(chǎn)品進行消費反映調(diào)查。被調(diào)核對象分為上班族和休閑族，而調(diào)查時間在周一至周五與雙休日得到的結(jié)果大不相同。委托廠商與該公司簽訂的業(yè)務(wù)協(xié)議規(guī)定：（1）必須調(diào)查3000個消費對象；（2）周一至周五與雙休日被調(diào)查的總?cè)藬?shù)相等；（3）至少要調(diào)查1200個上班族對象；（4）至少要調(diào)查800個休閑族對象。調(diào)查每個對象所需費用如下表：調(diào)核對象周一至周五調(diào)查雙休日調(diào)查上班族3540休閑族25281、請建立該問題的線性規(guī)劃數(shù)學模型，以擬定在不同時間調(diào)查各種對象的人數(shù)，使得總的調(diào)查費用為最少。2、求解該模型，并對結(jié)果進行靈敏度分析。解：1、線性規(guī)劃數(shù)學模型：min35x1+40x2+25x3+28x4S.T.x1+x2+x3+x4≥3000x1-x2+x3-x4=0x1+x2≥1200x3+x4≥800x1，x2，x3，x4≥0代入線性規(guī)劃求解模板得結(jié)果：其調(diào)查方案如下表：調(diào)核對象周一至周五調(diào)查雙休日調(diào)查上班族12000休閑族3001500按此方案的調(diào)查費用為最少：91500元。2、靈敏度分析報告：即：目的函數(shù)最優(yōu)值為:91500變量最優(yōu)解相差值x112000x202x33000x415000約束松弛/剩余變量對偶價格10-26.5201.530-10410000目的函數(shù)系數(shù)范圍:變量下限當前值上限x1253537x23840無上限x3232535x4-252830常數(shù)項數(shù)范圍:約束下限當前值上限124003000無上限2-6000300030120015004無下限80018005.9西蘭物業(yè)公司承擔了正大食品在全市92個零售點的肉類、蛋品和蔬菜的運送業(yè)務(wù)。運送業(yè)務(wù)規(guī)定天天4點鐘開始從總部發(fā)貨，送完貨時間必須在7：30前結(jié)束（不考慮空車返回時間）。這92個零售點天天需要運送貨品0.5噸，其分布情況為：5公里以內(nèi)為A區(qū)，有36個點，從總部到該區(qū)的時間為20分鐘；10公里以內(nèi)5公里以上的為B區(qū)，有26個點，從總部到該區(qū)的時間為40分鐘；10公里以上的為C區(qū)，有30個點，從總部到該區(qū)的時間為60分鐘；A區(qū)各點間運送時間5分鐘；B區(qū)各點間運送時間10分鐘；C區(qū)各點間運送時間20分鐘；各區(qū)之間運送時間20分鐘。每點卸貨、驗收時間為30分鐘。本公司準備購買規(guī)格為2噸的運送車輛，每車購價5萬元。請用線性規(guī)劃方法擬定天天的運送方案，使投入的購買車輛總費用為最少。解：本問題的目的是使投入的購買車輛總費用為最少，而事實上總的運送時間為最少時，也就擬定了最少的車輛數(shù)量，本問題最少的運送時間為目的的得線性規(guī)劃數(shù)學模型：minz=155x1+170x2+170x3+175x4+185x5+185x6+190x7+200x8+180x9+190x10+200x11+210x12S.T.4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥360x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥260x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+x7+2x8+0x9+0x10+x11+2x12≥30代入線性規(guī)劃求解模板得結(jié)果：即整理如下表：路線123456789101112結(jié)果0000015006200A433222111000B010210213432C001012120012運送時間155170170175185185190200180190200210最少的運送時間4235小時。需要車輛23臺，最小的購車費用23*5=115萬元。靈敏度分析報告：目的函數(shù)最優(yōu)值為:4235變量最優(yōu)解相差值x105x2010x302.5x405x507.5x6150x702.5x805x960x1020x1102.5x1205約束松弛/剩余變量對偶價格10-37.520-47.530-55目的函數(shù)系數(shù)范圍:變量下限當前值上限x1150155無上限x2160170無上限x3167.5170無上限x4170175無上限x5177.5185無上限x675185190x7187.5190無上限x8195200無上限x9177.5180181.25x10188.333190191.667x11197.5200無上限x12205210無上限常數(shù)項數(shù)范圍:約束下限當前值上限1303638.66721826無上限327.3333036這里從對偶價格可見，A區(qū)每增長一個點，需要增長投入37.5分鐘；B區(qū)每增長一個點，需要增長投入47.5分鐘；C區(qū)每增長一個點，需要增長投入55分鐘。這完全符合實際。若直接用購車數(shù)量最少做為目的可將線性規(guī)劃數(shù)學模型改為：minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12S.T.4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥360x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥260x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+x7+2x8+0x9+0x10+x11+2x12≥30代入線性規(guī)劃求解模板得結(jié)果：路線123456789101112結(jié)果1.5000015006.5000A433222111000B0102102