滬教版 九年級數(shù)學 四邊形的?？紖R編復習

占四動形的謨考匯編復習>

砥知識定位

k--------------------------------------------------------、、

?、

/?X

//

/考椿分析：

I

初中數(shù)學中，四邊形部分（也包括多邊形的一些內容）其特點是：概念、性

質、定理較多，特別是特殊的四邊形，例如：平行四邊形、矩形、菱形、正

方形、梯形，它們都能自成體系，同時又相互聯(lián)系，密不可分。在考題中，

不會單一出現(xiàn)某個考點，經(jīng)常是多方面考查這一知識點，因此同學們要熟練

掌握各個四邊形的性質定理和判定定理.

I考忒占比：

四邊形在中考中占有一定分值。一般選擇或者填空題會考一道，其次就是22

或23題大題中會考到四邊形和綜合題，總分控制在20分左右。選擇、填空

類的四邊形題目難度系數(shù)小，要求考生熟知四邊形的性質定理和判定定理；

而涉及到綜合題時，難度較大，會和相似三角形、函數(shù)等混合在一起進行考

查，因此必須加以訓練，靈活處理這類題目.

售題型梳理

亍曾三麗急噴t井

-：0-題型梳理1：平行四邊形性質與判定

【題目】

(2010?浦東新區(qū)二模)已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AM=DM,

求證:(1)AE=AB;

(2)如果BM平分/ABC,求證：BM±CE.

【答案】(1)AE=AB;(2)BM±CE

【角軍析】試題分析：(1)根據(jù)平行四邊形的對邊相等且平行，可得ABIICD,AB=CD,

根據(jù)平行線的性質可得：zE=zECD,又因為AM=DM,zAME=zDMC,可證得^AEM合

△DCM,即可證得AE=AB;

(2)由ADllBC,可得NAMB=NMBC,又因為BM平分/ABC,可得NAMB=NABM,即

可得AB=AM,因為AE=AB,所以AB=AM=AE,易得NBME=90°,即可證得BM^CE.

證明：(1)?「四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AB=CD,ABllCD,

.,.zE=zECD,

又；AM=DM,NAME=NDMC,

.“AEM空ADCM,

..CD=AE,

..AE=AB;

(2)?.四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.ADllBC,

..NAMB=NMBC,

,BM平分NABC,

.-.zABM=zMBC,

.-.zABM=zAMB,

..AB=AM,

?.AB=AE,

.-.AM=AE,

.-.zE=zAME,

???zE+zEBM+zBMA+zAME=180°,

..NBME=90°,

即BM±CE.

總結：此題考查了平行四邊形的判定：平行四邊形的對邊平行且相等.還考查了等腰三角形

的判定與性質.解此題時要注意當有平行線與角平分線出現(xiàn)時，一般會出現(xiàn)等腰三角形.

【難度系數(shù)】3

31俐股晡礁

【題目1.U

(2007?閘北區(qū)二模)已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，DE_LAB于點E,DF±BC于

點F,zDAB的平分線交DE于點M,交DF于點N,交DC于點P.

(1)求證：NADE=NCDF;

(2)如果NB=120°,求證：ADMN是等邊三角形.

【答案】(1)NADE=NCDF;(2)ADMN是等邊三角形

【解析】試題分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質得到NDAB=NC,DCIIAB,根據(jù)三角形的

內角和定理和垂線即可求出答案；

(2根據(jù)平行四邊形的性質得出DCIIAB，根據(jù)角平分線得出NDAP=NBAP推出DA=DP,

根據(jù)全等三角形的判定證△DAM學DPN,推出DN=DM,求出/MDN60度，即可得到答

案.

證明：(1)1?四邊形ABCD是平行四邊形，

R.NDAB=NC,DCIIAB,

?.DE，AB于點E,DF_LBC于點F,

.?.NADE=90。-zDAB,zCDF=90°-zC,

R.NADE=NCDF.

(2)證明:/zDAB的平分線交DE于點M,交DF于點N,交DC于點P,

R.NDAP=NBAP,

,.DCIIAB,

;.NDPA=NBAP,

R.NDAP=NDPA,

..DA=DP,

.NADE=NCDF,NDAP=NDPA,DA=DP,

."DAM￥DPN,

..DM=DN,

?.NB=120。，

.-.zMDN=360°-zDEB-zEFB-zB=360°-90°-90°-120°=60°,

.“DMN是等邊三角形.

總結：本題主要考查對平行四邊形的性質，三角形的內角和定理，垂線，全等三角形的性

質和判定，等邊三角形的判定，平行線的性質，角平分線的性質，多邊形的內角和定理等知

識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵.

【難度系數(shù)】3

題型梳理2：矩形的性質與判定

【題目】

[2018閔行區(qū)一模】如圖，矩形ABCD中，點E在邊DC上，且AD=8,AB=AE=17,

那么tanzAEB=「I-----------------斤---11

AB

【答案】4

【角軍析】考查了矩形的性質和解直角三角形，根據(jù)題意作出輔助線的解題的難點.如圖，

過點E作EF±AB于F,則四邊形EFBC為矩形，且在直角3EF中，由勾股定理求得AF

的長度，繼而得到BF的長度,由等腰AABF的性質推知tanzAEB=tanzABE=EF:BF,得

解.

解：如圖，過點E作EF±AB于F,則四邊形EFBC為矩形，

..EF=AD=BC=8,EF±AF,

在直角AAEF中,AE=17,EF=8,由勾股定理知，AF=7AE2-EF2=V172-82=15-

.-.BF=AB-AF=17-15=2,

D

.AB=AE，,NAEB=NABE,

.-.tanzAEB=tanzABE=—EF=48=4.

BF2

故答案是：4.

總結：熟練掌握矩形的性質，學會解直角三角形.

【難度系數(shù)】3

2Q俐股晡昧

【題目2.1]

[2018金山區(qū)二?！咳鐖D，已知AD是SBC的中線，M是AD的中點，過A點作AEll

BC,CM的延長線與AE相交于點E,與AB相交于點F。

(1)求證：四邊形AEBD是平行四邊形；

(2)如果AC=3AF,求證四邊形AEBD是矩形。

BD

【答案】（1）四邊形AEBD是平行四邊形；（2）四邊形AEBD是矩形

【解析】試題分析：（1）先判定AAEM%DCM,可得AE=CD,再根據(jù)AD是3BC的中

線，即可得到AD=CD=BD,依據(jù)AEllBD,即可得出四邊形AEBD是平行四邊形;（2）

先判定AAEFSBCF,即可得到AB=3AF,依據(jù)AC=3AF,可得AB=AC,根據(jù)AD是3BC

的中線，可得AD_LBC,進而得出四邊形AEBD是矩形.

證明：(1)；M是AD的中點，」.AM=DM,

-.AE//BC,.-.zAEM=zDCM,

又?2AME=NDMC,."AEM學DCM,/.AE=CD,

又.AD是SBC的中線,/.AD=CD=BD,

又?「AE〃BD,.?.四邊形AEBD是平行四邊形;

(2)???AE/ZBC,/.AAEF-ABCF,

二冬蜷三,即BF=2AF,，AB=3AF,

BFBC2

又.AC=3AF,..AB=AC,

又.AD是AABC的中線,/.AD±BC,

又..四邊形AEBD是平行四邊形，，四邊形AEBD是矩形。

總結：本題主要考查了平行四邊形、矩形的判定，等腰三角形的性質以及相似三角形的性

質的運用，解題時注意：對角線相等的平行四邊形是矩形。

【難度系數(shù)】4

-題型梳理3：菱形的性質與判定

【題目】

【2017黃浦區(qū)一?！咳鐖D，菱形ABCD內兩點M、N,滿足MB±BC,MD±DC,NB±

BA

'NMDA,若四邊形BMDN的面積是菱形ABCD面積的看,則cosA=

【答案】|

【解析】試題分析：如圖，連接AN、CM,延長BM交AD于H.AN是菱形ABCD的

角平分線同理CM也是菱形ABCD的角平分線設BD與AC交于點O易知四邊形BMDN

是菱形，設SAOMB=SAONB=SAOMD=SoND=a，因為四邊形BMDN的面積是菱形ABCD面積

的士,所以SAAMB=SAAMD=SACNB=S、cND=4a，推出AM=4OM,CN=4ON，設ON=OM=k,

5

貝UAM=CN=4k,由△ABOs^BNO,推出0B2=0A?ON=5k2,推出OB二泥k,

22=

AB=AD=7AO+OBV30k,由■|AD?BH=5?BD?AO,推出BH=^^=￡&k,再利

ZZAU3

用勾股定理求出AH即可解決問題.

解：如圖，連接AN、CM,延長BM交AD于H.

■.AB±BN,AD±DN，二NABN=NADN=90°,

在RbANB和RbAND中，

fAN=AN

i.EUABN學ADN,/.zBAN=zDAN,

1AB=AD

?AN是菱形ABCD的角平分線，同理CM也是菱形ABCD的角平分線，設BD與AC交于

點O,

易知四邊形BMDN是菱形，?SAOMB=SAONB=SAOMD=SAOND=a,

?.四邊形BMDN的面積是菱形ABCD面積的告,

5

?,.SAAMB=SAAMD=SACNB=SACND=4a,

/.AM=4OM,CN=4ON,設ON=OM=k,貝UAM=CN=4kz

?.■AABO-ABNO,/.OB2=OA?ON=5k2,

22

.?QB=V^k,AB=AD=^Q+Qg=V30k,

?.-AD.BH=-?BD?AO,..BH=AQ，BD=-V6k，

22AD3V

??AH=JAB?-BH2=J30k22=1V而k,

k

.,cosA.#=fV304

研V^T3

故答案為：

總結：本題考查菱形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、相似三角形的判定和性

質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用參數(shù)解決問題，學會利用面積法求線

段，所以中考常考題型.

【難度系數(shù)】4

：：□俐股睛陳

【題目3.11

(2018黃浦區(qū)二模)如圖，點E、F分別為菱形ABCD邊AD、CD的中點。

(1)求證：BE=BF;

(2)當ABEF為等邊三角形時,求證：zD=2zA.

【答案】(1)BE=BF;(2)zD=2zA.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)菱形的性質得至UAB=CB,AD=CD,zA=zC,再根據(jù)中點

的定義得到AE=CF,根據(jù)SAS可證ABAE學BCF,根據(jù)全等三角形的性質得到BE=BF即可;

(2)作輔助線，先根據(jù)線段垂直平分線的逆定理證明BD是EF的垂直平分線，由等邊三

角形三線合一得：EG=FG,ZEBG=4ZEBF=30°,設EG=x，貝UBE=2x,BG=J^x,根據(jù)

中位線定理得：AO=2EG=2x,OB=^x,證明ABHO^ABEG,列比例式可得OH="1x,

JO

A4

BH=￡X,再求AH=￡X,貝UAH=BH,可得NDAB=60°,NADC=120°,從而得出結論.

DJ

證明：(1)?.四邊形ABCD是菱形，

;.NA=NC,AB=BC=AD=CD,

,?點E、F分別為菱形ABCD邊AD、CD的中點，,AE=《AD,CF=^CD,

.-.AE=CF,AABE^CBF(SAS),/.BE=BF;

(2)如圖，連接AC、BD交于點。，設BD與EF交于G,AC與BE交于H,則AC,BD,

■.BE=BF,ED=DF,..BD是EF的垂直平分線，

.-.EG=FG,zEBG=yzEBF=30°,

RbBEG中，設EG=x,貝UBE=2x,BG=?x,

■.EGIIAO,E為AD的中點,/.G是OD的中點,

..AO=2EG=2x,OB=^^x,

3

?.OHllGE,.'.ABHO-ABEG,

.OH_0B_BH.0H=_2=BH

z

,,前二BG二BE，27'

949

.-.OH=4X,BH=-x,.-.AH=AO-OH=2x--x

333

..AH=BH，,NHAB=NABH,

■.NBHC=NHAB+NABH=60°,；.NHAB=30°,

;.NDAB=60°,..NADC=120°,

.-.zADC=2zDAB,即ND=2NA.

總結：此題主要考查學生對菱形的性質，全等、相似三角形的判定，三角形的中位線定理

及等邊三角形的性質等知識的理解及運用，第二問有難度，證明BD是EF的中垂線是關鍵。

【難度系數(shù)】4

-：?：-題型梳理4：正方形的性質和判定

【題目】

(2015?閘北區(qū)模擬)如圖，在RfABC中，zBAC=90°,AD=CD,點E是邊AC的中點,

連接DE,DE的延長線與邊BC相交于點F,AGIIBC,交DE于點G,連接AF、CG.

(1)求證：AF=BF;

(2)如果AB=AC,求證:四邊形AFCG是正方形.

【答案】(1)AF=BF;(2)四邊形AFCG是正方形

【解析】試題分析：(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質，可得AF=CF,再根據(jù)等角的余

角相等可得NB=NBAF,所以AF=BF.

(2)由AAS可證AAEG當CEF,所以AG=CF.由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四

邊形得四邊形AFCG是平行四邊形，進而證得四邊形AFCG是菱形，最后根據(jù)有一個角為

直角的菱形是正方形得證四邊形AFCG是正方形.

證明：(1)[AD=CD,點E是邊AC的中點，

.'.DE±AC.

即得DE是線段AC的垂直平分線.

.-.AF=CF.

.,.zFAC=zACB.

在RfABC中，由NBAC=90°,

得NB+NACB=90°,zFAC+zBAF=90°.

;.NB=NBAF.

.-.AF=BF.

(2)???AGllCF,.-.zAGE=zCFE.

又..點E是邊AC的中點,/.AE=CE.

在MEG和ACEF中,

rZAGE=ZCFE

<NAEG=NCEF,

AE=CE

.“AEG學CEF(AAS).

.-.AG=CF.

又「AGUCF,四邊形AFCG是平行四邊形.

.AF=CF,.?.四邊形AFCG是菱形.

在RbABC中，由AF=CF,AF=BF,得BF=CF.

即得點F是邊BC的中點.

又.AB=AC,..AF_LBC.即得NAFC=90°.

四邊形AFCG是正方形.

總結：本題考查的是正方形的判定方法，考查了線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定

與性質等基礎知識的靈活運用，判別一個四邊形是正方形主要是根據(jù)正方形的定義及其性

質.

【難度系數(shù)】4

M俐股晡誦

【題目4.11

（2016春?浦東新區(qū)期末）如圖,已知矩形ABCD中，點E是CD邊上的一點，連結BE,

過點A作AF±BE.垂足為點F,且AF=BE,過點F作MNIIBC,與AB、CD邊分別交于

點M、N,求證：四邊形AMND為正方形.

【答案】四邊形AMND為正方形

【解析】試題分析：由四邊形ABCD是矩形，得到兩組對邊平行，四個角為直角，對角線

相等，根據(jù)MN與BC平行，得至?。軲N與AD平行，可得出四邊形AMND是平行四邊形，

由一個角為直角的平行四邊形是矩形得到AMND是矩形，得到NAMN=90。，根據(jù)AF與

BE垂直，得到一對直角相等，利用AAS得到三角形AFM與三角形BEC全等，利用全等三

角形對應邊相等得到AM=BC,根據(jù)AD=BC,得至AM=AD,利用鄰邊相等的矩形是正方

形即可得證.

證明：1.四邊形ABCD是矩形，

.-.ADllBC,ABIICD,zBAD=zC=zABC=90°,BC=AD,

?.MNllBC,

..MNHAD,

又，從81。,

二四邊形AMND是平行四邊形，

又.NBAD=90°,

二四邊形AMND是矩形，

.-.zAMN=90°,

-.AF±BE,

.-.zAFB=90°,

?.zAFB+zABF+zBAF=180°,

.-.zABF+zBAF=90°,

又.NABC=NABF+NEBC=90°,

.-.zBAF=zEBC,

在AAFM和ABEC中,

2FAM=NEBC

<ZAMF=ZC=90°,

AF=BE

."AFM9BEC(AAS),

.-.AM=BC,

又.AD=BC,

..AM=AD,

又.四邊形AMND是矩形，

二四邊形AMND是正方形.

總結：此題考查了正方形的判定，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握正方形

的判定方法是解本題的關鍵.

【難度系數(shù)】4

題型梳理5：梯形的性質與判定

【題目】

[2016徐匯區(qū)一模】如圖,梯形ABCD中，ADIIBC,NBAC=90°,AB=AC,點E是邊

AB上的一點，NECD=45°,那么下列結論錯誤的是（）

A.NAED=NECBB.NADE=NACEC.BE=V^ADD.BC=?CE

【答案】D

【解析】試題分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質得出BC=V2AC,從而證得BCH&CE,

根據(jù)平行線的性質彳導出NDAC=NACB=45°,證得NDAC=NABC,因為NACD=NBCE,證得

△DAJEBC,得出第=與，——V2，從而證得BE=&AD,進一步證得的3

DEC,得出NEDC=NBAC=90°,從而證得A、D在以EC為直徑的圓上，根據(jù)圓周角定理

證得NAED=NACD=NECB,zADE=zACE,根據(jù)以上結論即可判斷.

解:?.zBAC=90°,AB=AC,"ABC=NACB=45°,.收=揚（：,

/EC>AC,/.BC/V2CE,

■.ADIIBC,NECD=45°,；.NDAC=NACB=45°,

R.NDAC=NABC,NACD=NBCE,

.“DAJEBC,.?.需需

DCAC

./ACB=NECD=45°,..AABJADEC,

.-.zEDC=zBAC=90°,,AD在以EC為直徑的圓上，

.-.zAED=zACD,zADE=zACE,

???zACD=zECB,/.zAED=zECB,

“DAJEBC,.?.需獸=&,/.BE=V2AD,

AUAU

故選：D.

總結：本題考查了梯形的性質，等腰直角三角形的性質，三角形相似的判定和性質，圓周角

定理等，熟練掌握這些性質定理是解題的關鍵.

【難度系數(shù)】4

礪股晡昧

【題目5.1]

（2016楊浦區(qū)二模）如圖,在直角梯形紙片ABCD中，DC〃AB,AB>CD>AD,

NA=90°,將紙片沿過點D的直線翻折，使點A落在邊CD上的點E處，折痕為DF,聯(lián)

結EF并展開紙片；

（1）求證：四邊形ADEF為正方形;

（2）取線段AF的中點G,聯(lián)結GE,當BG=CD時，求證：四邊形GBCE為等腰梯形.

【答案】（1）四邊形ADEF為正方形；（2）四邊形GBCE為等腰梯開么

【解析】試題分析：（1）通過翻折全等證出正方形；（2）等腰梯形的證明要滿足上下底

平行，兩腰相等.

(1)-.CD//AB,R.NADE=NA=90°,

由翻折性質，知AADF=AEDF,/.ZA=ZDEF=90°,.?.四邊形ADEF為矩形，

ZADF=ZFDE=45°,...DA=AF,二四邊形ADEF為正方開鄉(xiāng);

(2)連接DG,EG,

.BG=CD,AB/1CD,

二四邊形DGBC為平行四邊形，，BC=DG,

又.AG=GF,AD=EF,ZA=ZEFA=9Q°,

AGD=FGE，=EG=DG，,BC=EG,

?."G//CE且不相等，二四邊形GBCE為等腰梯形.

總結：本題綜合性較強，一方面考查翻折的性質，另一方面考查特殊的平行四邊形的性質

的運用.

【難度系數(shù)】4

M課后嫉習

【題目】四句1

如圖，已知AABC和AADE都是等邊三角形，點D在邊BC上，點E在邊AD的右側，聯(lián)結

CE.

(1)求證：zACE=60°;

(2)在邊AB上取一點F,使BF=BD,聯(lián)結DF、EF.求證：四邊形CDFE是等腰梯形.

【答案】(1)zACE=60°;(2)四邊形CDFE是等腰梯形

【解析】試題分析：(1)根據(jù)NBAD+NCAD=60°,NEAC+NCAD=60°,得至！UBAD=N

EAC,證明AABD*ACE,得到答案；

(2)證明四邊形BCEF是平行四邊形，得至I」EFIIBC,再證明DF=CE即可.

證明：(1)?"ABC和3DE都是等邊三角形，

.-.zBAD+zCAD=60°,zEAC+zCAD=60°,

.,.zBAD=zEAC,

在AABD和MCE中,

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

.“ABD學ACE,

.-.zACE=zABD=60°;

(2).NACE=60°,zABD=60°,zACB=60°,

.'.ECllAB,

■.BF=BD,BD=CE,;.BF=CE,

二四邊形BCEF是平行四邊形，

.-.EFllBC,

.NABD=60°,BF=BD,

.-.BF=DF,又BD=CE,

..DF=CE,EFllBC,

二四邊形CDFE是等腰梯形.

【難度系數(shù)】4

【題目】彼習2

(2015?江寧區(qū)二模)如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,AH垂直BC,點E是AH上一

點，延長AH至點F,使FH=EH,

(1)求證：四邊形EBFC是菱形；

(2)如果NBAC=NECF,求證:AC±CF.

【答案】(1)四邊形EBFC是菱形；(2)AC，CF

【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意可證得ABCE為等腰三角形，由AH±CB,則BH=HC,

從而得出四邊形EBFC是菱形；

(2)由(1)得/2=/3，再根據(jù)NBAC=NECF,得N4=N3，由AH±CB，得N3+N1+Z2=90°,

從而得出AC±CF.

證明:(1)-,AB=AC,AH±CB,

.-.BH=HC.

?,FH=EH,

二四邊形EBFC是平行四邊形.

X/AH±CB,

二?四邊形EBFC是菱形.

(2)證明:..四邊形EBFC是菱形.

.?.Z2=Z3=yZECF.

-,AB=AC,AH±CB,

吟NBAC.

-.zBAC=zECF

;.N4=N3.

■.AH±CB

.?.N4+N1+N2=90°.

R.N3+N1+N2=90°.

即：AC±CF.

【難度系數(shù)】4

【題目】體.習3

(2018演浦區(qū)二模)如圖，點E、F分別為菱形ABCD邊AD、CD的中點.

(1)求證:BE=BF;

(2)當ABEF為等邊三角形時，求證：zD=2zA.

【答案】(1)BE=BF;(2)zD=2zA

【解析】試題分析：(1)根據(jù)菱形的性質得到AB=CB,AD=CD,zA=zC,再根據(jù)中點

的定義得到AE=CF,根據(jù)SAS可證△BAE%BCF,根據(jù)全等三角形的性質得到BE=BF即可；

(2)作輔助線，先根據(jù)線段垂直平分線的逆定理證明BD是EF的垂直平分線，由等邊三

角形三線合一得：EG=FG,zEBG=^zEBF=30°,設EG=x,貝！|BE=2x,BG=J^x,根據(jù)

中位線定理得：AO=2EG=2x,0B=2&X,證明ABHO-ABEG,列比例式可得0H=^x,

JJ

44

BH=￡X,再求AH=《x,貝UAH