人教版八年級數學上冊第十一章三角形考點訓練(原卷版+解析)

第十一章三角形壓軸題考點訓練評卷人得分一、單選題1．如圖，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的關系為（）A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°2．一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內角和是，則原來多邊形的邊數是（

）A． B． C．或 D．或或3．在多邊形內角和公式的探究過程中，主要運用的數學思想是（

）A．化歸思想 B．分類討論 C．方程思想 D．數形結合思想4．如圖①，將一副三角板中的兩個直角疊放在一起，其中，，，，現按住三角板不動，將三角板繞點C順時針旋轉，圖②是旋轉過程中的某一位置，當B、C、E三點第一次共線時旋轉停止，記（k為常數），給出下列四個說法：①當時，直線與直線相交所成的銳角度數為；②當時，；③當時，；④當時，．其中正確的說法的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．在中，分別是高和角平分線，點F在的延長線上，交于點G，交于點H，下列結論：①；②；③，④；其中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，△ABC中，角平分線AD、BE、CF相交于點H，過H點作HG⊥AC，垂足為G，那么∠AHE和∠CHG的大小關系為（）A．∠AHE＞∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE=∠CHG D．不一定7．如圖，，點在上，且，點到射線的距離為，點在射線上，．若的形狀，大小是唯一確定的，則的取值范圍是（

）

A．或 B． C． D．或8．如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于點G，則下列結論①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正確的結論是(

)A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④9．已知中，是邊上的高，平分．若，，，則的度數等于（

）A． B． C． D．10．如圖，DC∥AB，AE⊥EF，E在BC上，過E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，ED平分∠AEC．若∠EAD＋∠BAD＝180°，∠EDA＝3∠CEG，則下列結論：①∠EAB＝2∠FEG；②∠AED＝45°＋∠GEF；③∠EAD＝135°－4∠GEC；④∠EAB＝15°，其中正確的是（

）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③評卷人得分二、填空題11．如圖，小紅作出了面積為1的正△ABC，然后分別取△ABC三邊的中點A1，B1，C1，作出了正△A1B1C1，用同樣的方法，作出了正△A2B2C2，….由此可得，正△A8B8C8的面積是．12．小明同學在社團活動中給發(fā)明的機器人設置程序：（a，n）．機器人執(zhí)行步驟是：向正前方走am后向左轉n°，再依次執(zhí)行相同程序，直至回到原點．現輸入a=4，n=60，那么機器人回到原點共走了m．13．一個凸多邊形最小的一個內角為100°，其他的內角依次增加10°，則這個多邊形的邊數為．14．如圖，△ABC中，點D、E、F分別在三邊上，E是AC的中點，AD、BE、CF交于一點G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，則△ABC的面積是．15．已知中，邊上的高所在的直線交于H，則度．16．如圖，在中，，，若的面積為4，則四邊形的面積為．17．AD是△ABC的邊BC上的中線，AB=6，AC=4，則邊BC的取值范圍是，中線AD的取值范圍是．18．如圖，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ改變位置，但始終滿足經過B、C兩點．如果△ABC中，∠A＝52°，則∠ABX＋∠ACX=．

評卷人得分三、解答題19．已知a、b、c滿足(a﹣3)2|c﹣5|=0．求：（1）a、b、c的值；（2）試問以a、b、c為邊能否構成三角形？若能構成三角形，求出三角形的周長；若不能構成三角形，請說明理由．20．如圖所示，AB、CD相交于點O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數；(2)若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數．

21．材料1：反射定律當入射光線AO照射到平面鏡上時，將遵循平面鏡反射定律，即反射角（∠BOM）的大小等于入射角（∠AOM）的大小，顯然，這兩個角的余角也相等，其中法線（OM）與平面鏡垂直，并且滿足入射光線、反射光線（OB）與法線在同一個平面．材料2：平行逃逸角對于某定角∠AOB=α（0°＜α＜90°），點P為邊OB上一點，從點P發(fā)出一光線PQ（射線），其角度為∠BPQ=β（0°＜β＜90°），當光線PQ接觸到邊OA和OB時會遵循反射定律發(fā)生反射，當光線PQ經過n次反射后與邊OA或OB平行時，稱角為定角α的n階平行逃逸角，特別地，當光線PQ直接與OA平行時，稱角β為定角α的零階平行逃逸角．（1）已知∠AOB=α=20°，①如圖1，若PQ∥OA，則∠BPQ=°，即該角為α的零階平行逃逸角；②如圖2，經過一次反射后的光線P1Q∥OB，此時的∠BPP1為α的平行逃逸角，求∠BPP1的大?。虎廴艚涍^兩次反射后的光線與OA平行，請補全圖形，并直接寫出α的二階平行逃逸角為°；（2）根據（1）的結論，歸納猜想對于任意角α（0°＜α＜90°），其n（n為自然數）階平行逃逸角β=（用含n和a的代數式表示）．22．【閱讀材料】：（1）在中，若，由“三角形內角和為180°”得．（2）在中，若，由“三角形內角和為180°”得．【解決問題】：如圖①，在平面直角坐標系中，點C是x軸負半軸上的一個動點．已知軸，交y軸于點E，連接CE，CF是∠ECO的角平分線，交AB于點F，交y軸于點D．過E點作EM平分∠CEB，交CF于點M．（1）試判斷EM與CF的位置關系，并說明理由；（2）如圖②，過E點作PE⊥CE，交CF于點P．求證：∠EPC=∠EDP；（3）在（2）的基礎上，作EN平分∠AEP，交OC于點N，如圖③．請問隨著C點的運動，∠NEM的度數是否發(fā)生變化？若不變，求出其值：若變化，請說明理由．23．已知，點在直線、之間，連接、．

(1)探究發(fā)現：探究，，之間的關系．如圖1，過作，（）（已知）（）；(2)解決問題：①如圖2，延長至點，作的角平分線和的角平分線的反向延長線交于點，試判斷與的數量關系并說明理由；②如圖3，若，分別作，，、分別平分，，則的度數為（直接寫出結果）．24．如圖1，在中，平分平分

(1)若．①求的度數；②如圖2，過點P作直線，交邊于點D、E，則_______°；(2)若，小明將（1）中的直線繞點P旋轉，分別交線段于點D，E，如圖3，試問在旋轉過程中的度數是否會發(fā)生改變？若不變，求出的度數（用含α的代數式表示），若改變，請說明理由．25．將含角的三角板（）和含角的三角板及一把直尺按圖方式擺放在起．使兩塊三角板的直角頂點，重合．點，，，始終落在直尺的邊所在直線上．將含角的三角板沿直線向右平移．

(1)當點與點重合，請在備用圖中補全圖形，并求平移后與形成的夾角的度數；(2)如圖，點在線段上移動，是邊上的動點，滿足被平分，的平分線與邊交于點，請證明在移動過程中，的大小保持不變；

(3)仿照（2）的探究，點在射線上移動，是邊上的動點，滿足被平分，的平分線所在直線與直線交于點，請寫出一個與平移過程有關的合理猜想．（不用證明）26．如圖甲，射線與長方形的邊交于點，與邊交于點，①②③④分別是被射線隔開的4個區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域②③位于直線上方），是位于以上四個區(qū)域上的點．（1）如圖乙，當在區(qū)域①，猜想圖中的關系并證明你的結論．（2）猜想當分別在區(qū)域②③④，的關系，請直接寫出答案，不要求證明．

第十一章三角形壓軸題考點訓練評卷人得分一、單選題1．如圖，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的關系為（）A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°【答案】B【分析】分析題意∠DMA=∠1，∠DNA=∠2，然后利用三角形的內角和、等量代換求解即可．【詳解】解：連接AD，在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，∵AB⊥AF，∴∠BAF＝90°，∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理的應用，將圖形中角的關系利用三角形的內角和等于180°進行轉化，再運用等量代換是解題的關鍵．2．一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內角和是，則原來多邊形的邊數是（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】首先求出截角后的多邊形邊數，然后再求原來的多邊形邊數．【詳解】解：設截角后的多邊形邊數為n，則有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，∴由下面的圖可得原來的邊數為10或11或12：故選D．【點睛】本題考查多邊形的綜合運用，熟練掌握多邊形的內角和定理及多邊形的剪拼是解題關鍵．3．在多邊形內角和公式的探究過程中，主要運用的數學思想是（

）A．化歸思想 B．分類討論 C．方程思想 D．數形結合思想【答案】A【分析】根據多邊形內角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n為整數）的推導過程即可解答．【詳解】解：多邊形內角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n為整數），該公式推導的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n-3）條對角線，將n邊形分割為（n-2）個三角形，這（n-2）個三角形的所有內角之和正好是n邊形的內角和，體現了化歸思想．故答案為A．【點睛】本題主要考查了在數學的學習過程應用的數學思想，弄清推導過程是解答此題的關鍵.4．如圖①，將一副三角板中的兩個直角疊放在一起，其中，，，，現按住三角板不動，將三角板繞點C順時針旋轉，圖②是旋轉過程中的某一位置，當B、C、E三點第一次共線時旋轉停止，記（k為常數），給出下列四個說法：①當時，直線與直線相交所成的銳角度數為；②當時，；③當時，；④當時，．其中正確的說法的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】先證明，然后求出當時，，由此按照圖①求解即可判斷（1）；當時，求得，，則，即可判斷（2）；當時，先求出，則，，即可判斷（3）；根據題意當時，只有如圖②一種情況，據此判斷（4）即可．【詳解】解：當三角板旋轉角度小于度時，如題干圖②，設直線與直線交于F，∴，∴，當時，即，如圖①所示，∴，∴；當三角板旋轉角度大于時，如圖②所示，∴，∴當時，即，∴，∴此時在圖中的位置，∴，故（1）正確；當三角板旋轉角度小于度時，如圖所示，當時，，∴，∴，∴，∴，∴；當三角板旋轉角的大于時，如圖④所示，同理可得，∴，∴，∵，∴，故（2）錯誤；如圖⑤所示，當時，∵，∴，∴，，∴，∴，故（3）正確；由于順時針旋轉到B、C、E共線時停止，∴當時，只有如下圖⑥一種情況，∴，∴，∴，∴，故（4）正確，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角板中角度的計算，三角形內角和定理，平行線的判定，正確理解題意是解題的關鍵．5．在中，分別是高和角平分線，點F在的延長線上，交于點G，交于點H，下列結論：①；②；③，④；其中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①根據，，由直角三角形銳角互余可證明；②根據角平分線的定義和三角形外角的性質證明結論正確；③根據三角形的內角和和角平分線的定義，進行等量代換，即可證明結論正確；④根據角平分線的定義和三角形外角的性質證明結論正確．【詳解】解：有題意可知，①正確；是角平分線，②正確；③正確；，④正確；故選：D．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，正確運用三角形的高、中線和角平分線的概念以及三角形外角的性質是解題的關鍵．6．如圖，△ABC中，角平分線AD、BE、CF相交于點H，過H點作HG⊥AC，垂足為G，那么∠AHE和∠CHG的大小關系為（）A．∠AHE＞∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE=∠CHG D．不一定【答案】C【分析】先根據AD、BE、CF為△ABC的角平分線可設∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，由三角形內角和定理可知，2x+2y+2z=180°

即x+y+z=90°在△AHB中由三角形外角的性質可知∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，故可得出結論．【詳解】∵AD、BE、CF為△ABC的角平分線∴可設∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，∴2x+2y+2z=180°

即x+y+z=90°，∵在△AHB中，∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，∴∠AHE=∠CHG，故選C．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理及三角形外角的性質，熟知三角形的內角和180°，三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解答此題的關鍵．7．如圖，，點在上，且，點到射線的距離為，點在射線上，．若的形狀，大小是唯一確定的，則的取值范圍是（

）

A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】根據的形狀，大小是唯一確定的，結合三角形的三邊關系進行分析即可．【詳解】解：過點作交于點，作點關于的對稱點，如圖：

∵點到射線的距離為，∴，∵垂直平分，∴，當，即點在線段上（不含端點）或點在線段上（不含端點），不能唯一確定；當時，即點與點重合，可唯一確定為直角三角形；當時，即點與點重合或點與點重合，∵點與點重合時不能構成三角形，故能唯一確定；當時，即點在點的右側，故能唯一確定；綜上，若的形狀，大小是唯一確定的，則的取值范圍是或．故選：A．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．8．如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于點G，則下列結論①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正確的結論是(

)A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④【答案】C【分析】根據平行線的性質與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷③；根據角平分線的定義和三角形內角和定理先推出，即可判斷④⑤；根據現有條件無法推出②．【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，，∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故③正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴，∴，∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，∴，故④正確；∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正確；根據現有條件，無法推出CA平分∠BCG，故②錯誤；故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理，熟知平行線的性質，角平分線的定義是解題的關鍵．9．已知中，是邊上的高，平分．若，，，則的度數等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】題目由于在三角形中未確定大小，所以需要進行分類討論：（1），作出符合題意的相應圖形，由圖可得：，根據角平分線的性質得：，在中，，故可得；（2）時，由圖可得：，，在中，，故可得；綜上可得：．【詳解】解：（1）如圖1所示：時，圖1∵CD是AB邊上的高，∴，，∵，，∴，∵CE平分，∴，在中，，∴；（2）如圖2所示：時，圖2∵CD是AB邊上的高，∴，，∵，，∴，∵CE平分，∴，在中，，∴；綜合（1）（2）兩種情況可得：．故選：D．【點睛】題目主要考查對三角形分類討論、數形結合思想，主要知識點是三角形的角平分線、高線的基本性質及圖形內角的運算，題目難點是在依據題意進行分類討論的情況下，作出相應的三角形圖形．10．如圖，DC∥AB，AE⊥EF，E在BC上，過E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，ED平分∠AEC．若∠EAD＋∠BAD＝180°，∠EDA＝3∠CEG，則下列結論：①∠EAB＝2∠FEG；②∠AED＝45°＋∠GEF；③∠EAD＝135°－4∠GEC；④∠EAB＝15°，其中正確的是（

）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】根據角平分線的性質、三角形外角性質及三角形內角和求解即可．【詳解】解：∵EG平分∠FEC，∴∠FEG＝∠CEG，設∠FEG＝∠CEG＝α，∴∠FEC＝2α，∵∠EDA＝3∠CEG，∴∠EDA＝3α，∵EC⊥DC，，∴EB⊥AB，∠C＝90°，∴∠B＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEC＝∠AEF＋∠FEC＝90°＋2α，∵∠AEC＝∠B＋∠EAB＝90°＋∠EAB，∴90°＋2α＝90°＋∠EAB，∴∠EAB＝2α＝2∠FEG，故①正確；∵ED平分∠AEC，∴∠AED＝∠AEC＝（90°＋2α）＝45°＋α＝45°＋∠GEF，故②正確；∵∠AED＝45°＋α，∠EDA＝3α，∴∠EAD＝180°?∠AED?∠EDA＝180°?（45°＋α）?3α＝135°?4α＝135°?4∠GEC，故③正確；∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠EAB＋∠DAE＋∠EAD＝180°，∴2α＋2（135°?4α）＝180°，∴α＝15°，∴∠EAB＝2α＝30°，故④錯誤，故選：D．【點睛】此題考查了三角形角平分線的性質、三角形外角性質、三角形內角和，熟記三角形角平分線的性質、三角形外角性質、三角形內角和是解題的關鍵．評卷人得分二、填空題11．如圖，小紅作出了面積為1的正△ABC，然后分別取△ABC三邊的中點A1，B1，C1，作出了正△A1B1C1，用同樣的方法，作出了正△A2B2C2，….由此可得，正△A8B8C8的面積是．【答案】【詳解】試題解析：∵△ABC三邊的中點A1，B1，C1，∴B1C1=BC，A1B1=AB，A1C1=AC，∴△A1B1C1∽△ABC，∴S△A1B1C1=S△ABC=，同理：S△A2B2C2=S△A1B1C1=，∴S△AnBnCn=，∴正△A8B8C8的面積是：．12．小明同學在社團活動中給發(fā)明的機器人設置程序：（a，n）．機器人執(zhí)行步驟是：向正前方走am后向左轉n°，再依次執(zhí)行相同程序，直至回到原點．現輸入a=4，n=60，那么機器人回到原點共走了m．【答案】24m【詳解】機器人轉了一周共360度，360°÷60°=6，共轉了6次，機器人走了4×6=24米．故答案為24．13．一個凸多邊形最小的一個內角為100°，其他的內角依次增加10°，則這個多邊形的邊數為．【答案】8【詳解】設該凸多邊形的邊數為n(n為正整數且n>2).將該多邊形的內角按角度從小到大排列后，第n個內角的角度為.按從小到大以及從大到小的順序分別寫出該多邊形的各個內角的角度：；.可以發(fā)現，上下兩行對應角度之和均等于，像這樣的和共有n個.因此，該凸多邊形的內角和為.根據凸多邊形的內角和公式，該凸多邊形的內角和為.根據上述結論，可以列出關于n的方程：，解之，得n1=9，n2=8.①當n=9時，該凸多邊形最大的內角的角度為，不符合題意.②當n=8時，該凸多邊形最大的內角的角度為，符合題意.故本題應填寫：8.點睛：本題考查了凸多邊形內角和的相關知識.本題的難點在于如何獲得該多邊形內角角度的表達式以及由這些表達式得到的內角和的表達式.本題的一個易錯點在于忽略對所得最終結果合理性的檢驗.另外，運用將兩列排列順序相互顛倒的內角角度相加的方式求解內角和的表達式，是數學中的重要方法.14．如圖，△ABC中，點D、E、F分別在三邊上，E是AC的中點，AD、BE、CF交于一點G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，則△ABC的面積是．【答案】30【分析】由于BD=2DC，那么結合三角形面積公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中點，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，從而易求S△ABC．【詳解】解：∵BD=2DC，∴S△ABD=2S△ACD，∴S△ABC=3S△ACD．∵E是AC的中點，∴S△AGE=S△CGE．又∵S△GEC=3，S△GDC=4，∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30．故答案為30．【點睛】本題考查了三角形的面積公式、三角形之間的面積加減計算．注意同底等高的三角形面積相等，面積相等、同高的三角形底相等．15．已知中，邊上的高所在的直線交于H，則度．【答案】或．【分析】分兩種情況考慮：①是銳角三角形時，先根據高線的定義求出，，然后根據直角三角形兩銳角互余求出的度數，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式進行計算即可得解；②是鈍角三角形時，根據直角三角形兩銳角互余求出即可．【詳解】解：①如圖1，是銳角三角形時，、是的高線，，，在中，，，；②是鈍角三角形時，、是的高線，，，，，綜上所述，的度數是或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，三角形的高線，解題的關鍵是分是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況進行討論．16．如圖，在中，，，若的面積為4，則四邊形的面積為．【答案】14【分析】根據等底等高的三角形面積相等即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AF，∵，的面積為4，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴，∴．故答案為：14．【點睛】本題主要考查了根據三角形的中線求面積，解決本題的關鍵是掌握等底等高的三角形面積相等．17．AD是△ABC的邊BC上的中線，AB=6，AC=4，則邊BC的取值范圍是，中線AD的取值范圍是．【答案】2＜BC＜10；

1＜AD＜5【詳解】∵在△ABC中，AB=6，AC=4，

∴6﹣4＜BC＜6+4，∴2＜BC＜10；延長AD到E，使AD=DE，連接BE，如圖所示：∵AD為中線，∴BD=DC，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB=6，BE=4，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案是：2＜BC＜10，1＜AD＜5．18．如圖，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ改變位置，但始終滿足經過B、C兩點．如果△ABC中，∠A＝52°，則∠ABX＋∠ACX=．

【答案】38°【詳解】∠A＝52°，∠ABC+∠ACB=128°，∠XBC+∠XCB=90°，∠ABX＋∠ACX=128°-90°=38°.評卷人得分三、解答題19．已知a、b、c滿足(a﹣3)2|c﹣5|=0．求：（1）a、b、c的值；（2）試問以a、b、c為邊能否構成三角形？若能構成三角形，求出三角形的周長；若不能構成三角形，請說明理由．【答案】（1）a=3，b=4，c=5；（2）能構成三角形，且它的周長=12．【分析】（1）根據平方、算術平方根及絕對值的非負性即可得到答案；（2）根據三角形三邊關系可判斷構成三角形，三邊相加求周長.【詳解】（1）∵，又∵(a﹣3)2≥0，，|c﹣5|≥0∴a﹣3=0，b﹣4=0，c﹣5=0，∴a=3，b=4，c=5；（2）能構成三角形，∵3＜4＜5,3+4＞5根據三角形三邊關系能構成三角形，其周長為3+4+5=12．【點睛】此題考查平方、算術平方根及絕對值的非負性，三角形形，三邊關系，線段和差.20．如圖所示，AB、CD相交于點O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數；(2)若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數．

【答案】（1）47°；（2）43°【分析】（1）根據三角形內角和定理以及對頂角相等可得出，由平分線的定義可得出、，再結合三角形內角和定理即可得出，代入度數即可得出結論；（2）由鄰補角互補結合角平分線可得出，根據三角形外角性質結合（1）中即可得出，再根據三角形內角和定理即可得出，代入度數即可得出結論．【詳解】解：（1），，，，，，．平分交于，平分交于，，．，，，．（2），平分交直線于，，，，．【點睛】本題考查了三角形內角和定義、角平分線、三角形的外角性質、對頂角以及鄰補角，解題的關鍵是：（1）根據三角形內角和定理找出；（2）根據三角形內角和定理找出．本題屬于中檔題，難度不大，但重復用到三角形內角和定義稍顯繁瑣．21．材料1：反射定律當入射光線AO照射到平面鏡上時，將遵循平面鏡反射定律，即反射角（∠BOM）的大小等于入射角（∠AOM）的大小，顯然，這兩個角的余角也相等，其中法線（OM）與平面鏡垂直，并且滿足入射光線、反射光線（OB）與法線在同一個平面．材料2：平行逃逸角對于某定角∠AOB=α（0°＜α＜90°），點P為邊OB上一點，從點P發(fā)出一光線PQ（射線），其角度為∠BPQ=β（0°＜β＜90°），當光線PQ接觸到邊OA和OB時會遵循反射定律發(fā)生反射，當光線PQ經過n次反射后與邊OA或OB平行時，稱角為定角α的n階平行逃逸角，特別地，當光線PQ直接與OA平行時，稱角β為定角α的零階平行逃逸角．（1）已知∠AOB=α=20°，①如圖1，若PQ∥OA，則∠BPQ=°，即該角為α的零階平行逃逸角；②如圖2，經過一次反射后的光線P1Q∥OB，此時的∠BPP1為α的平行逃逸角，求∠BPP1的大??；③若經過兩次反射后的光線與OA平行，請補全圖形，并直接寫出α的二階平行逃逸角為°；（2）根據（1）的結論，歸納猜想對于任意角α（0°＜α＜90°），其n（n為自然數）階平行逃逸角β=（用含n和a的代數式表示）．【答案】（1）①20；②∠BPP1=40°③60；（2）（n+1）α．【分析】（1）①兩直線平行，同位角相等；②由“反射定律”可得∠AP1Q=∠PP1O，再由P1Q∥OB可得∠AP1Q=∠PP1O=∠AOB=20°；③先作PQ∥AO，再根據“反射定律”先畫出P2P1，再畫出P1P；（2）分別從零階、一階、二階逃逸角與∠α的關系中歸納一般關系.【詳解】解：（1）①如圖①中，∵PQ∥OA，∴∠BPQ=∠AOB=20°，故答案為20．②如圖2中，∵P1Q∥OB，∴∠AP1Q=∠PP1O=∠AOB=20°，∴∠BPP1=∠AOB+∠PP1O=40°．③如圖3中，如圖所示，α的二階平行逃逸角為，20°×3=60°，故答案為：60；（2）由（1）可知：α的零階平行逃逸角為α，α的1階平行逃逸角為2α，α的二階平行逃逸角為3α，…，由此可以推出，α的n階平行逃逸角為（n+1）α，故答案為（n+1）α．【點睛】題目主要考查角度的計算，平行線的性質，三角形外角的性質等，理解題目中的新定義是解題關鍵．22．【閱讀材料】：（1）在中，若，由“三角形內角和為180°”得．（2）在中，若，由“三角形內角和為180°”得．【解決問題】：如圖①，在平面直角坐標系中，點C是x軸負半軸上的一個動點．已知軸，交y軸于點E，連接CE，CF是∠ECO的角平分線，交AB于點F，交y軸于點D．過E點作EM平分∠CEB，交CF于點M．（1）試判斷EM與CF的位置關系，并說明理由；（2）如圖②，過E點作PE⊥CE，交CF于點P．求證：∠EPC=∠EDP；（3）在（2）的基礎上，作EN平分∠AEP，交OC于點N，如圖③．請問隨著C點的運動，∠NEM的度數是否發(fā)生變化？若不變，求出其值：若變化，請說明理由．【答案】（1）EM⊥CF，理由見解析；（2）證明見解析；（3）不變，且∠NEM=45°，理由見解析．【分析】（1）EM⊥CF，分別利用角平分線的性質、平行線的性質、三角形的內角和定理進行求證即可；（2）根據垂直定義和三角形的內角和定理證得∠DCO+∠CDO=90°，∠ECP+∠EPC=90°，再利用等角的余角相等和對頂角相等即可證得結論；（3）不變，且∠NEM=45°，先利用平行線的性質得到∠AEC=∠ECO=2∠ECP，進而有∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP，再由角平分線的定義∠NEP=∠AEN=45°+∠ECP，再根據同角的余角相等得到∠ECP=∠MEP，然后等量代換證得∠NEM=45°，是定值．【詳解】解：(1)EM⊥CF，理由如下：∵CF平分∠ECO，EM平分∠FEC，∴∠ECF=∠FCO=，∠FEM=∠CEM=∵AB∥x軸∴∠ECO+∠CEF=180°∴∠EMC=180°-（∠CEM+∠ECF）=180°-90°=90°∴EM⊥CF（2）由題得，∠EOC=90°∴∠DCO+∠CDO=180°-∠EOC=180°-90°=90°∵PE⊥CE∴∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=180°-∠CEP=180°-90°=90°∵∠DCO=∠ECP∴∠CDO=∠EPC又∵∠CDO=∠EDP∴∠EPC=∠EDP(3)不變，且∠NEM=45°，理由如下：∵AB∥x軸∴∠AEC=∠ECO=2∠ECP∴∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP∵EN平分∠AEP∴∠NEP=∠AEN===45°+∠ECP∵∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=90°又∵∠EMC=90°∴∠MEP+∠EPC=90°∴∠ECP=∠MEP∴∠NEP=∠NEM+∠MEP=∠NEM+∠ECP又∵∠NEP=45°+∠ECP∴∠NEM=45°．【點睛】本題是一道綜合探究題，涉及有平行線的性質、角平分線的定義、三角形的內角和定理、同（等）角的余角相等、對頂角相等、垂線性質等知識，解答的關鍵是認真審題，結合圖形，尋找相關聯信息，確定解題思路，進而探究、推理、論證．23．已知，點在直線、之間，連接、．

(1)探究發(fā)現：探究，，之間的關系．如圖1，過作，（）（已知）（）；(2)解決問題：①如圖2，延長至點，作的角平分線和的角平分線的反向延長線交于點，試判斷與的數量關系并說明理由；②如圖3，若，分別作，，、分別平分，，則的度數為（直接寫出結果）．【答案】(1)兩直線平行，內錯角相等，平行于同一條直線的兩直線平行，，(2)①，理由見解析；②【分析】（1）過作，根據兩直線平行，內錯角相等，可得，再由平行于同一條直線的兩直線平行推出，則，進而得出結論；（2）①過點作，根據平行線的性質可得，由平行于同一條直線的兩直線平行推出，則，再根據角平分線的性質和鄰補角的性質可得，再根據（1）中的數量關系可得，進而得出結論；②作，根據平行線的性質可得，，延長交延長線于點，延長，設，，先推出，則，由角平分線的性質及平行線的性質可得，再由三角形外角的性質求得，即可求得．【詳解】（1）解：如圖1，過作，

（兩直線平行，內錯角相等）（已知）（平行于同一條直線的兩直線平行），；故答案為：兩直線平行，內錯角相等，平行于同一條直線的兩直線平行，，；（2）解：①過點作，

，，，，，的角平分線和的角平分線的反向延長線交于點，，，，由（1）可得，，，；②如圖，作，延長交延長線于點，延長，

，，，，，同理可得，，設，，，，，，，由（1）知，，，，、分別平分，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了幾何圖形中的角度計算，平行線的性質以及三角形外角的性質，熟練掌握知識點，正確構造輔助線是解題的關鍵．24．如圖1，在中，平分平分

(1)若．①求的度數；②如圖2，過點P作直線，交邊于點D、E，則_______°；(2)若，小明將（1）中的直線繞點P旋轉，分別交線段于點D，E，如圖3，試問在旋轉過程中的度數是否會發(fā)生改變？若不變，求出的度數（用含α的代數式表示），若改變，請說明理由．【答案】(1)①；②70(2)不變，【分析】（1）①根據三角形的內