九年級數(shù)學下冊專題16圓中的輔助線模型(原卷版+解析)

專題16.圓中的輔助線模型在平面幾何中，與圓有關的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關題目中，不要忽略隱含的已知條件。當我們要解決有關角度、長度問題時，通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關定理，還可連接圓周上一點和弦的兩個端點，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長度的計算問題例1．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB，CD是的弦，延長AB，CD相交于點P．已知，，則的度數(shù)是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°例2．（2023?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．例3．（2023?天寧區(qū)初三期中）如圖，兩個正方形都在⊙O的直徑MN的同側(cè)，頂點B、C、G都在MN上，正方形ABCD的頂點A和正方形CEFG的頂點F都在⊙O上，點E在CD上．若AB＝5，F(xiàn)G＝3，則OC的長為．例4．（2023·湖南長沙初三二模）如圖，在中，點C為弧AB的中點，OC交弦AB于D，如果，，那么OD的長為___．模型2、遇弦作弦心距（解決有關弦長的問題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過點OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關量。一般有弦中點、或證明弦相等或已知弦相等時，常作弦心距。例1．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點，連接并延長交于點．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·湖南九年級期中）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕AB的長為________．例3．（2021·青海中考真題）如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）．A．1.0厘米/分 B．0.8厘米分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分例4．（2023·成都市九年級期末）如圖是一種機械傳動裝置示意圖，⊙O的半徑為50cm，點A固定在⊙O上，連桿AP定長，點P隨著⊙O的轉(zhuǎn)動在射線OP上運動．在一個停止狀態(tài)時，AP與⊙O交于點B，測得AB＝60cm，PB＝70cm，此時OP長為__________________．模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點，點C是圓上一動點，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2020·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點C，D是以為直徑的半圓O的三等分點，弧的長為，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．例2．（2022·黑龍江·?？寄M預測）如圖，點是上一點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023·江西九江·?？家荒＃┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點，，均在網(wǎng)格線的交點上，則的值是．

例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點，的半徑為2．若，則的長為（

）

A．2 B． C． D．模型4、遇直徑作直徑所對的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當圖形中含有直徑時，構(gòu)造直徑所對的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關問題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2022秋·河北石家莊·九年級?？茧A段練習）如圖,將大小不同的兩塊量角器的零度線對齊,且小量角器的中心恰好在大量角器的圓周上,設圖中兩圓周的交點為.且點在小量角器上對應的刻度為,那么點在大量角器上對應的刻度為(只考慮小于的角)(

)A． B． C． D．例2．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

例3．（2022秋·江蘇揚州·九年級?？茧A段練習）如圖，和分別是半圓的直徑和弦，且，點是上的點，交于點，垂足為點，且：：，若，則．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時，常連接兩條弦沒有公共點的另一端點，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，則AD的長是．例2．（2022秋·安徽合肥·九年級校考期末）如圖所示，直徑為的經(jīng)過點和點，B是y軸右側(cè)優(yōu)弧上一點，則為（

）

A． B． C． D．例3．（2023·河南周口·?？既＃┛咨腥卧凇短一ㄉ取分袑懙溃骸昂翁幀幪祗吓?，聽云鶴縹緲，玉珮丁冬．”玉佩是我國古人身上常佩戴的一種飾品，現(xiàn)從一塊直徑為的圓形玉料上刻出一個如圖所示圓周角為的最大扇形玉佩，則陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）

模型6、遇切線連圓心和切點（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時，常把切點與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關性質(zhì)解題。例1．（2023·重慶九年級期中）如圖，、分別與相切于、兩點，是圓上一點，連接、，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例2．（2023年重慶市中考數(shù)學真題）如圖，是的切線，為切點，連接．若，，，則的長度是（

）

A． B． C． D．例3．（2023年湖北省武漢市數(shù)學真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點為．若，則的值是（

）

A． B． C． D．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時：（1）有點連圓心：當直線和圓的公共點已知時，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無點作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學真題）如圖，為的直徑，和相交于點F，平分，點C在上，且，交于點P．求證：是的切線；

例2．（2023秋·福建福州·九年級?？茧A段練習）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

例3．（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長到點G，使得，連接，過點C作，交于點F，交點于點D，過點D作．交的延長線于點E．(1)求證：與相切．(2)若，，求的長．

例4．（2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學真題）如圖，在中，是上（異于點，）的一點，恰好經(jīng)過點，，于點，且平分．(1)判斷與的位置關系，并說明理由；(2)若，，求的半徑長．

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點（切點）當遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點，或連接內(nèi)心到各邊切點（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計算所得的商就是這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）

例2．（2023·云南紅河·九年級統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)切圓半徑，、、為切點，，，，則．

例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，課后專項訓練1．（2023秋·重慶·九年級校聯(lián)考階段練習）如下圖，的半徑為，以A為圓心，為半徑的弧交于B，C兩點，則弦的長度為（）

A． B． C．8 D．2．（2023秋·廣東東莞·九年級?？计谥校┤鐖D，是半圓O的直徑，C是半圓O上異于A，B的一點，D為的中點，延長交的延長線于點E，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．3．（2023秋·北京海淀·九年級首都師范大學附屬中學?？茧A段練習）如圖，面積為12的正方形內(nèi)接于，則的半徑為（

）

A．3 B． C． D．4．（2023秋·浙江溫州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，的半徑弦于點E，C是上一點，，的最大值為18，則的長為（

）

A．8 B．6 C．4 D．25．（2023秋·江蘇無錫·九年級無錫市太湖格致中學?？茧A段練習）如圖，是的直徑，點在上，若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．6．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？计谀┤鐖D，是的弦，，，則的直徑等于（）

A．2 B．3 C．4 D．67．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）如圖，是的弦，半徑于點C，為直徑，，則線段的長為（

）

A． B．8 C． D．8．（2022秋·湖北武漢·九年級?？计谥校┤鐖D，弦垂直于的直徑，垂足為H，且，，則的長是（

）

A．3 B．5 C．8 D．189．（2022·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在中，，以點為圓心，為半徑的圓與邊相切于點，與，分別交于點和點，點是優(yōu)弧上一點，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．10．（2023·廣東江門·?？既＃┤鐖D，是半圓的直徑，以為圓心，長為半徑的半圓交于，兩點，弦切小半圓于點．已知，，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．11．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點，連接并延長交于點．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．12．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）

A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分13．（2022秋·黑龍江雞西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半徑為的上，依次有三個點，若四邊形為菱形，則弦所對的圓周角為度．

14．（2023秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習）如圖，是的弦，且，點是弧中點，點是優(yōu)弧上的一點，，則圓心到弦的距離等于．15．（2023秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標系中，點A在y軸上，線段的中點P的坐標為，與x軸相切于點C，則點B的坐標為．

16．（2023秋·廣東東莞·九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點作交的延長線于點，延長，交于點，，若，，則的半徑=．

17．（2023秋·浙江溫州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，A、B、C為上的點，，連接，交于點D，若，，則的長為．

18．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？茧A段練習）如圖，與的的三邊分別相切于點D、E、F，若，則的半徑為．

19．（2022秋·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習）如圖，的直徑與弦的延長線交于點，若，，求的度數(shù)．

20．（2023秋·湖北武漢·九年級期中）如圖，的弦交直徑于E，，，若，求的長．21．（2023秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習）如圖是的直徑，是的弦，延長到點C，使．過D點作于E，求證：為的切線.22．（2023秋·山東·九年級專題練習）如圖，在中，，的平分線交于點，點在上，且以為直徑的經(jīng)過點．(1)求證：是的切線；(2)當，且時，求的半徑．

23．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，為的直徑，P在的延長線上，C為圓上一點，且(1)求證：與相切；(2)若，求的半徑．

24．（2023·江西宜春·九年級?？茧A段練習）如圖，是的直徑，于點，連接交于點，弦．(1)求證：垂直平分；(2)求證：是的切線．

專題16.圓中的輔助線模型在平面幾何中，與圓有關的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關題目中，不要忽略隱含的已知條件。當我們要解決有關角度、長度問題時，通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關定理，還可連接圓周上一點和弦的兩個端點，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長度的計算問題例1．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB，CD是的弦，延長AB，CD相交于點P．已知，，則的度數(shù)是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【分析】如圖，連接OB，OD，AC，先求解，再求解，從而可得，再利用周角的含義可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，

∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度數(shù)20°．故選：C．【點睛】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應用，掌握“圓心角與弧的度數(shù)的關系”是解本題的關鍵．例2．（2023?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．【分析】連接OD，如圖，由AB＝2DE，AB＝2OD得到OD＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠DOE＝∠E＝20°，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠CDO＝40°，加上∠C＝∠ODC＝40°，然后再利用三角形外角性質(zhì)即可計算出∠AOC．【解析】連接OD，如圖，∵AB＝2DE，而AB＝2OD，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝20°，∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，而OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝40°，∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．例3．（2023?天寧區(qū)初三期中）如圖，兩個正方形都在⊙O的直徑MN的同側(cè)，頂點B、C、G都在MN上，正方形ABCD的頂點A和正方形CEFG的頂點F都在⊙O上，點E在CD上．若AB＝5，F(xiàn)G＝3，則OC的長為．【分析】由四邊形ABCD，EFGC是正方形，得到∠ABC＝∠FGC＝90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接AO，OF，∵四邊形ABCD，EFGC是正方形，∴∠ABC＝∠FGC＝90°，∴AB2+BO2＝OG2+FG2，∴52+（5﹣OC）2＝（3+OC）2+32∴OC＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．例4．（2023·湖南長沙初三二模）如圖，在中，點C為弧AB的中點，OC交弦AB于D，如果，，那么OD的長為___．【答案】3【分析】先根據(jù)C為弧AB的中點得出AB⊥OC，再根據(jù)垂徑定理求出AD的長，OA=5，在Rt△AOD中根據(jù)勾股定理即可得出OD的值．【解析】連接OA，∵C為弧AB的中點，∴AB⊥OC，∵AB=8cm，∴OA=5，在Rt△AOD中，∵即解得:OD=3.【點睛】考查垂徑定理以及勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵.模型2、遇弦作弦心距（解決有關弦長的問題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過點OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關量。一般有弦中點、或證明弦相等或已知弦相等時，常作弦心距。例1．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點，連接并延長交于點．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】連接,∵,∴∴,∵,∴是等邊三角形,∴,

∵，,∴,，∴,∵,，，即的半徑為，故選:.【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)度量是解題的關鍵.例2．（2023·湖南九年級期中）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕AB的長為________．【答案】cm【分析】在圖中構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)勾股定理得AD的長，再根據(jù)垂徑定理得AB的長即可．【詳解】如圖：作OD⊥AB于D，連接OA．根據(jù)題意得：OD＝OA＝1cm，再根據(jù)勾股定理得：AD＝＝＝cm，由垂徑定理得：AB＝2cm．故答案為：cm．【點睛】本題考查了垂徑定理，根據(jù)題意構(gòu)造垂徑、應用勾股定理是解答本題的關鍵.例3．（2021·青海中考真題）如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）．A．1.0厘米/分 B．0.8厘米分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先過⊙O的圓心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，連接OA，由垂徑定理，即可求得OC的長，繼而求得CD的長，又由從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海面的時間為10分鐘，即可求得“圖上”太陽升起的速度．【詳解】解：過⊙O的圓心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，連接OA，∴AC=AB=×16=8（厘米），在Rt△AOC中，（厘米），∴CD=OC+OD=16（厘米），∵從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海面的時間為16分鐘，∴16÷16=1（厘米/分）．∴“圖上”太陽升起的速度為1.0厘米/分．故選：A．【點睛】此題考查了垂徑定理的應用．解題的關鍵是結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．例4．（2023·成都市九年級期末）如圖是一種機械傳動裝置示意圖，⊙O的半徑為50cm，點A固定在⊙O上，連桿AP定長，點P隨著⊙O的轉(zhuǎn)動在射線OP上運動．在一個停止狀態(tài)時，AP與⊙O交于點B，測得AB＝60cm，PB＝70cm，此時OP長為__________________．【答案】20cm【分析】作OD⊥AB于D，連接OB，根據(jù)垂徑定理得到AD=BD=30cm，即可得到PD=100cm，利用勾股定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：作OD⊥AB于D，連接OB，∴AD＝BDAB＝30cm，∴OD40（cm），∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），∴OP20（cm）；故答案為：20cm．．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應用，作出輔助線根據(jù)直角三角形是解題的關鍵．模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點，點C是圓上一動點，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2020·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點C，D是以為直徑的半圓O的三等分點，弧的長為，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，根據(jù)，是以為直徑的半圓的三等分點，可得，是等邊三角形，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，根據(jù)求解即可．【詳解】解：連接、、，，是以為直徑的半圓的三等分點，，，又，、是等邊三角形，，∴，，弧的長為，，解得：，．故選：A．【點睛】本題考查扇形面積的計算，解答本題關鍵是將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，難度一般．例2．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預測）如圖，點是上一點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取優(yōu)弧上一點C，連接，由圓周角定理，得，運用圓內(nèi)接四邊形對角互補求解．【詳解】解：如圖，取優(yōu)弧上一點C，連接,則,∴．故選：B【點睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形；由相關定理得角之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．例3．（2023·江西九江·?？家荒＃┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點，，均在網(wǎng)格線的交點上，則的值是．

【答案】【分析】連接并延長交于點，連接，則，，利用勾股定理求解的長，再根據(jù)余弦的定義，即可求解．【詳解】解：連接并延長交于點，連接，則，，

∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，圓周角定理，求余弦，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點，的半徑為2．若，則的長為（

）

A．2 B． C． D．【答案】D【分析】連接，圓周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位線定理，即可求出的長．【詳解】解：連接，

∵的半徑為2．，∴，∴，∵D，G分別為的中點，∴為的中位線，∴．故選D．【點睛】本題考查圓周角定理和三角形的中位線定理．熟練掌握相關定理，并靈活運用，是解題的關鍵．模型4、遇直徑作直徑所對的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當圖形中含有直徑時，構(gòu)造直徑所對的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關問題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2022秋·河北石家莊·九年級?？茧A段練習）如圖,將大小不同的兩塊量角器的零度線對齊,且小量角器的中心恰好在大量角器的圓周上,設圖中兩圓周的交點為.且點在小量角器上對應的刻度為,那么點在大量角器上對應的刻度為(只考慮小于的角)(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意，設大量角器的左端點為，小量角器的圓心為.利用三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后根據(jù)圓的知識可求出大量角器上對應的角度.【詳解】設大量角器的左端點為，小量角器的圓心為，連接、，則，，因而，在大量角器中弧所對的圓心角是，因而在大量角器上對應的度數(shù)為.故選：A.【點睛】本題主要考查了直徑所對的圓心角是，能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解決本題的關鍵.例2．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

【答案】【分析】連接，，根據(jù)在同圓中直徑所對的圓周角是可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關系可得，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，，如圖：∵是的直徑，∴，

∵，∴，∴，又∵，∴，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了在同圓中直徑所對的圓周角是，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關系，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．例3．（2022秋·江蘇揚州·九年級?？茧A段練習）如圖，和分別是半圓的直徑和弦，且，點是上的點，交于點，垂足為點，且：：，若，則．【答案】8【分析】連接，設，，利用勾股定理求解出、即可解決問題．【詳解】解：連接，設，．是直徑，，，，，在中，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，含度的直角三角形，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時，常連接兩條弦沒有公共點的另一端點，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，則AD的長是．【答案】【分析】如圖，連接，設交于點，根據(jù)題意可得是的直徑，，設，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出，根據(jù)，勾股定理求得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，設交于點，∵∠ACB＝90°∴是的直徑，，tan∠CBD＝，，在中，，，，，設則，AC＝BC，，，中，，，，,又，，，，，，，，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查了90°圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．例2．（2022秋·安徽合肥·九年級?？计谀┤鐖D所示，直徑為的經(jīng)過點和點，B是y軸右側(cè)優(yōu)弧上一點，則為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設交x軸于D點，連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得到為的直徑，，再利用勾股定理計算出，然后根據(jù)余弦的定義求出，從而得到的值．【詳解】解：設交x軸于D點，連接，如圖，

∵，∴為的直徑，即，∵點，∴，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．也考查了解直角三角形．例3．（2023·河南周口·?？既＃┛咨腥卧凇短一ㄉ取分袑懙溃骸昂翁幀幪祗吓犜弃Q縹緲，玉珮丁冬．”玉佩是我國古人身上常佩戴的一種飾品，現(xiàn)從一塊直徑為的圓形玉料上刻出一個如圖所示圓周角為的最大扇形玉佩，則陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）

【答案】/平方厘米【分析】根據(jù)圓周角定理由得為的直徑，即，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，然后用圓的面積減去扇形的面積即可求解．【詳解】∵，∴為的直徑，即，∴，∴（平方厘米），∴故答案為：．

【點睛】本題考查了扇形的面積計算以及圓周角定理，解答本題的關鍵是掌握扇形的面積公式．模型6、遇切線連圓心和切點（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時，常把切點與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關性質(zhì)解題。例1．（2023·重慶九年級期中）如圖，、分別與相切于、兩點，是圓上一點，連接、，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OA、OB，先證明∠P=180°-∠AOB，根據(jù)∠AOB=2∠ACB，求出∠AOB即可解決問題．【詳解】解：連接OA、OB，∵PA、PB是⊙O切線，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，∴∠P=180°-∠AOB，∵∠ACB=62°，∴∠AOB=2∠ACB=124°，∴∠P=180°-124°=56°，故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理．例2．（2023年重慶市中考數(shù)學真題）如圖，是的切線，為切點，連接．若，，，則的長度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到，再根據(jù)勾股定理得到．【詳解】解：連接，∵是的切線，為切點，∴，∵，，∴在中，，∵，∴在，，故選．

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關鍵．例3．（2023年湖北省武漢市數(shù)學真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點為．若，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作延長線于點，連接，根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求解在和，最終得到，即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解．【詳解】解：如圖所示，作延長線于點，連接，

∵，，∴，∴四邊形為矩形，，，∴為的切線，由題意，為的切線，∴，，∵，∴設，，，則，，在中，，在中，，∵，∴，解得：或（不合題意，舍去），∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強，熟練運用圓的相關性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關鍵．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時：（1）有點連圓心：當直線和圓的公共點已知時，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無點作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學真題）如圖，為的直徑，和相交于點F，平分，點C在上，且，交于點P．求證：是的切線；

【答案】見解析【分析】連接，由等腰三角形的性質(zhì)得，再證，則，然后證，即可得出結(jié)論；【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵，∴，

∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；【點睛】本題考查了切線的判，熟練掌握圓周角定理和切線的判定是解題的關鍵．例2．（2023秋·福建福州·九年級?？茧A段練習）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

【答案】見解析【分析】過點作于點，根據(jù)三線合一和勾股定理求出的長，即可．【詳解】解：過點作于點，

∵，，∴，∴，∵的直徑為6，∴為的半徑，又，∴直線是的切線．【點睛】本題考查切線的判定．熟練掌握切線的判定方法，是解題的關鍵．例3．（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長到點G，使得，連接，過點C作，交于點F，交點于點D，過點D作．交的延長線于點E．

(1)求證：與相切．(2)若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，結(jié)合圓周角定理，根據(jù)，可得，再根據(jù)平行的性質(zhì)，即有，進而可得，問題隨之得證；（2）過C點作于點K，先證明四邊形是平行四邊形，即有，求出，即有，利用三角形函數(shù)有，同理，即可得，，進而有，再證明，可得，即可得，在中，有，問題隨之得解．【詳解】（1）連接，如圖，

∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴半徑，∴與相切；（2）過C點作于點K，如圖，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在，，同理，∵在中，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴．【點睛】本題是一道綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)以及勾股定理等知識，掌握切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關鍵．例4．（2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學真題）如圖，在中，是上（異于點，）的一點，恰好經(jīng)過點，，于點，且平分．

(1)判斷與的位置關系，并說明理由；(2)若，，求的半徑長．【答案】(1)見解析(2)的半徑長為．【分析】（1）連接，證明，即可證得，從而證得是圓的切線；（2）設，則，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列得比例式，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如下圖所示，

∵是的平分線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，又∵過半徑的外端點B，∴與相切；（2）解：設，則，∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，即，解得．故的半徑長為．【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定是解本題的關鍵．模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點（切點）當遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點，或連接內(nèi)心到各邊切點（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計算所得的商就是這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）

【答案】6【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑，得到直徑．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為，則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑（步），即直徑為6步，故答案為：6．【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握中，兩直角邊分別為、，斜邊為，其內(nèi)切圓半徑是解題的關鍵．例2．（2023·云南紅河·九年級統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)切圓半徑，、、為切點，，，，則．

【答案】5【分析】連接、、、、、，根據(jù)題意得到，即，進而得出，即可求解．【詳解】解：如圖，連接、、、、、，

∵的內(nèi)切圓半徑，、、為切點，，

，

，

，，

，

，

，，即，，故答案為：5．【點睛】本題考查圓的外接三角形，等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線定理，準確作出輔助線是解題的關鍵．題的關鍵．例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考常考題型．課后專項訓練1．（2023秋·重慶·九年級校聯(lián)考階段練習）如下圖，的半徑為，以A為圓心，為半徑的弧交于B，C兩點，則弦的長度為（）

A． B． C．8 D．【答案】A【分析】如圖：連接，根據(jù)題意可知，繼而即可推出，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形以及垂徑定理即可解答．【詳解】解：如圖：連接，∵的半徑為，以A為圓心，為半徑的弧交于，兩點，∴，∴，∵，∴．故選A．

【點睛】本題主要考查了垂徑定理、解直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，推出并掌握解直角三角形是解答本題的關鍵．2．（2023秋·廣東東莞·九年級?？计谥校┤鐖D，是半圓O的直徑，C是半圓O上異于A，B的一點，D為的中點，延長交的延長線于點E，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)弧與角的關系得出，再由圓周角定理得出，結(jié)合圖形，利用各角之間的關系求解即可．【詳解】解：連接，

∵D為的中點，∴，∵是半圓O的直徑，∴，∴，∴，∴故選：D．【點睛】題目主要考場圓與三角形綜合問題，包括圓周角及弧、弦、角的關系，三角形外角的性質(zhì)等，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵．3．（2023秋·北京海淀·九年級首都師范大學附屬中學?？茧A段練習）如圖，面積為12的正方形內(nèi)接于，則的半徑為（

）

A．3 B． C． D．【答案】C【分析】如圖：連接，則為等腰直角三角形，由正方形面積為12，即，然后運用勾股定理即可求得圓的半徑．【詳解】解：如圖，連接，則，

∵四邊形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∵正方形的面積是12，∴，∵∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)等知識點，作出輔助線、構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關鍵．4．（2023秋·浙江溫州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，的半徑弦于點E，C是上一點，，的最大值為18，則的長為（

）

A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】連接，根據(jù)垂徑定理得，設半徑為，根據(jù)當，，在同一條直線上時最長得到，在中，根據(jù)勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，

的半徑弦于點，，，設半徑為，可知當，，在同一條直線上時最長，即，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，，故選D．【點睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，解題的關鍵是利用垂徑定理得，屬于中考常考題型．5．（2023秋·江蘇無錫·九年級無錫市太湖格致中學?？茧A段練習）如圖，是的直徑，點在上，若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，由求得，再根據(jù)圓周角等于同弧所對圓心角的一半得到答案．【詳解】解：如圖，連接、，

∵點A、B、C、D在圓上，∴四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】此題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確連接輔助線是解題的關鍵．6．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？计谀┤鐖D，是的弦，，，則的直徑等于（）

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】作直徑，連接，根據(jù)圓周角定理得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：作直徑，連接，

由圓周角定理得，，，∴，故選：C．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理及其推論是解題的關鍵．7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）如圖，是的弦，半徑于點C，為直徑，，則線段的長為（

）

A． B．8 C． D．【答案】D【分析】如圖：連接，根據(jù)垂徑定理可得的長，設的半徑為r,可表示出,再利用勾股定理求可出r的值，進而求得;然后根據(jù)圓周角定理得到，再由三角形中位線定理得到=6，最后運用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖：連接，

∵，∴，設的半徑為r,∴，在中，由勾股定理得：，解得：，∴；∵，∴，∵是直徑，∴，∵是的中位線，∴，∴．故選D．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理、三角形中位線定理等知識點，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．8．（2022秋·湖北武漢·九年級?？计谥校┤鐖D，弦垂直于的直徑，垂足為H，且，，則的長是（

）

A．3 B．5 C．8 D．18【答案】D【分析】連接，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理即可得到答案．【詳解】解：連接，

，是的直徑，，，，，，在中，，，故選：D．【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關鍵．9．（2022·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在中，，以點為圓心，為半徑的圓與邊相切于點，與，分別交于點和點，點是優(yōu)弧上一點，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由切線的性質(zhì)得出，，利用解直角三角形求出，由圓周角定理求出，進而求出，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，繼而求出的度數(shù)．【詳解】如圖，連接，

是的切線，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，掌握切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．10．（2023·廣東江門·?？既＃┤鐖D，是半圓的直徑，以為圓心，長為半徑的半圓交于，兩點，弦切小半圓于點．已知，，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再利用勾股定理計算出，計算出，，則，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積進行計算．【詳解】連接、，如圖，

弦切小半圓于點，，，，，，在中，，，，，，，，圖中陰影部分的面積．故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積公式，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．11．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點，連接并延長交于點．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】連接,∵,∴∴,∵,∴是等邊三角形,∴,

∵，,∴,，∴,∵,，，即的半徑為，故選:.【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)度量是解題的關鍵.12．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）

A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分【答案】A【分析】設“圖上”圓的圓心為，連接，過點作于，由垂徑定理，即可求得的長，繼而由勾股定理求得的長，又由太陽從所處位置到完全跳出海平面的時間為16分鐘，即可求得“圖上”太陽升起的速度．【詳解】解：設“圖上”圓的圓心為，連接，過點作于，如圖所示：

厘米，（厘米），厘米，（厘米），海平線以下部分的高度（厘米），太陽從所處位置到完全跳出海平面的時間為16分鐘，“圖上”太陽升起的速度（厘米/分），故選：A．【點睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關鍵．13．（2022秋·黑龍江雞西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半徑為的上，依次有三個點，若四邊形為菱形，則弦所對的圓周角為度．

【答案】或【分析】利用圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形和菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，在優(yōu)弧取一點，連接，，

∵四邊形是菱形，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴，，∴則弦所對的圓周角為或，故答案為：或．【點睛】此題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形和菱形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角是圓心角的一半及菱形的性質(zhì)及其應用．14．（2023秋·江蘇宿遷·九年級?？茧A段練習）如圖，是的弦，且，點是弧中點，點是優(yōu)弧上的一點，，則圓心到弦的距離等于．【答案】【分析】連接、，根據(jù)垂徑定理，C是弧的中點可知，，，可知，再用三角函數(shù)關系就可以求出的長；【詳解】如圖，連接、，交于點E，∵點C是弧中點，，∴，且，∵，∴，∴，∴，故圓心O到弦的距離為．故答案為：．【點睛】本題考查垂徑定理、圓周角圓心角的關系和三角函數(shù)關系求邊長；熟練掌握圓周角與圓心角的關系和垂徑定理是解決本題的關鍵．15．（2023秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標系中，點A在y軸上，線段的中點P的坐標為，與x軸相切于點C，則點B的坐標為．

【答案】【分析】連接，作軸于點D，作軸于點E，根據(jù)切線的性質(zhì)求得，得到，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，作軸于點D，作軸于點E，

∵與x軸相切于點C，∴軸于點C，∴，∴，∵點P是線段的中點，∴，∴，∵軸于點C，∴四邊形是矩形，∴，，∵點P的坐標為，，，在中，，∴，∴點B的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．16．（2023秋·廣東東莞·九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點作交的延長線于點，延長，交于點，，若，，則的半徑=．

【答案】【分析】連接，，，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得，根據(jù)兩直線平時，內(nèi)錯角相等可得，，推得，根據(jù)等角對等邊可得，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得，推得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求得的值，即可求解．【詳解】解：連接，，，如圖：∵是直徑，∴，，∵，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴,∴的半徑是．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理直徑所對的圓周角是直角，等角對等邊，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關鍵是作合適的輔助線．17．