九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)題16圓中的輔助線模型(原卷版+解析)

專(zhuān)題16.圓中的輔助線模型在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來(lái)解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專(zhuān)題通過(guò)分析探索歸納八類(lèi)圓中常見(jiàn)的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，通常可以連接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題例1．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB，CD是的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知，，則的度數(shù)是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°例2．（2023?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．例3．（2023?天寧區(qū)初三期中）如圖，兩個(gè)正方形都在⊙O的直徑MN的同側(cè)，頂點(diǎn)B、C、G都在MN上，正方形ABCD的頂點(diǎn)A和正方形CEFG的頂點(diǎn)F都在⊙O上，點(diǎn)E在CD上．若AB＝5，F(xiàn)G＝3，則OC的長(zhǎng)為．例4．（2023·湖南長(zhǎng)沙初三二模）如圖，在中，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，OC交弦AB于D，如果，，那么OD的長(zhǎng)為_(kāi)__．模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過(guò)點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長(zhǎng)、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時(shí)，常作弦心距。例1．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·湖南九年級(jí)期中）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則折痕AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．例3．（2021·青海中考真題）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于，兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）．A．1.0厘米/分 B．0.8厘米分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分例4．（2023·成都市九年級(jí)期末）如圖是一種機(jī)械傳動(dòng)裝置示意圖，⊙O的半徑為50cm，點(diǎn)A固定在⊙O上，連桿AP定長(zhǎng)，點(diǎn)P隨著⊙O的轉(zhuǎn)動(dòng)在射線OP上運(yùn)動(dòng)．在一個(gè)停止?fàn)顟B(tài)時(shí)，AP與⊙O交于點(diǎn)B，測(cè)得AB＝60cm，PB＝70cm，此時(shí)OP長(zhǎng)為_(kāi)_________________．模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2020·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)C，D是以為直徑的半圓O的三等分點(diǎn)，弧的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．例2．（2022·黑龍江·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023·江西九江·?？家荒＃┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，是的外接圓，點(diǎn)，，均在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則的值是．

例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點(diǎn)，的半徑為2．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問(wèn)題的重要思路，在證明有關(guān)問(wèn)題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖,將大小不同的兩塊量角器的零度線對(duì)齊,且小量角器的中心恰好在大量角器的圓周上,設(shè)圖中兩圓周的交點(diǎn)為.且點(diǎn)在小量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為,那么點(diǎn)在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為(只考慮小于的角)(

)A． B． C． D．例2．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

例3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，和分別是半圓的直徑和弦，且，點(diǎn)是上的點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，且：：，若，則．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，則AD的長(zhǎng)是．例2．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，直徑為的經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，B是y軸右側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為（

）

A． B． C． D．例3．（2023·河南周口·校考三模）孔尚任在《桃花扇》中寫(xiě)道：“何處瑤天笙弄，聽(tīng)云鶴縹緲，玉珮丁冬．”玉佩是我國(guó)古人身上常佩戴的一種飾品，現(xiàn)從一塊直徑為的圓形玉料上刻出一個(gè)如圖所示圓周角為的最大扇形玉佩，則陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）

模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來(lái)，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題。例1．（2023·重慶九年級(jí)期中）如圖，、分別與相切于、兩點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，連接、，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例2．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．例3．（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點(diǎn)為．若，則的值是（

）

A． B． C． D．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)：（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過(guò)圓上一點(diǎn)C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無(wú)點(diǎn)作垂線：需證明的切線，條件中沒(méi)有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過(guò)圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，和相交于點(diǎn)F，平分，點(diǎn)C在上，且，交于點(diǎn)P．求證：是的切線；

例2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

例3．（2023年遼寧省盤(pán)錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，交點(diǎn)于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：與相切．(2)若，，求的長(zhǎng)．

例4．（2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長(zhǎng)為8步，長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為15步．問(wèn)這個(gè)直角三角形切圓的直徑是多少？書(shū)中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長(zhǎng)和長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)，求得斜邊的長(zhǎng)．用直角三角形三條邊的長(zhǎng)相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計(jì)算所得的商就是這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長(zhǎng)度單位）

例2．（2023·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)切圓半徑，、、為切點(diǎn)，，，，則．

例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·重慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如下圖，的半徑為，以A為圓心，為半徑的弧交于B，C兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)度為（）

A． B． C．8 D．2．（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是半圓O的直徑，C是半圓O上異于A，B的一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．3．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，面積為12的正方形內(nèi)接于，則的半徑為（

）

A．3 B． C． D．4．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，的半徑弦于點(diǎn)E，C是上一點(diǎn)，，的最大值為18，則的長(zhǎng)為（

）

A．8 B．6 C．4 D．25．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)無(wú)錫市太湖格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．6．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的弦，，，則的直徑等于（）

A．2 B．3 C．4 D．67．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，是的弦，半徑于點(diǎn)C，為直徑，，則線段的長(zhǎng)為（

）

A． B．8 C． D．8．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，弦垂直于的直徑，垂足為H，且，，則的長(zhǎng)是（

）

A．3 B．5 C．8 D．189．（2022·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與邊相切于點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是優(yōu)弧上一點(diǎn)，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．10．（2023·廣東江門(mén)·?？既＃┤鐖D，是半圓的直徑，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的半圓交于，兩點(diǎn)，弦切小半圓于點(diǎn)．已知，，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．11．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．12．（2023秋·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于，兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）

A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分13．（2022秋·黑龍江雞西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，半徑為的上，依次有三個(gè)點(diǎn)，若四邊形為菱形，則弦所對(duì)的圓周角為度．

14．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的弦，且，點(diǎn)是弧中點(diǎn)，點(diǎn)是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，，則圓心到弦的距離等于．15．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，線段的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為，與x軸相切于點(diǎn)C，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

16．（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)校考期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，，若，，則的半徑=．

17．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，A、B、C為上的點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)D，若，，則的長(zhǎng)為．

18．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，與的的三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，若，則的半徑為．

19．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的直徑與弦的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)．

20．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)期中）如圖，的弦交直徑于E，，，若，求的長(zhǎng)．21．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是的直徑，是的弦，延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使．過(guò)D點(diǎn)作于E，求證：為的切線.22．（2023秋·山東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)當(dāng)，且時(shí)，求的半徑．

23．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，為的直徑，P在的延長(zhǎng)線上，C為圓上一點(diǎn)，且(1)求證：與相切；(2)若，求的半徑．

24．（2023·江西宜春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，弦．(1)求證：垂直平分；(2)求證：是的切線．

專(zhuān)題16.圓中的輔助線模型在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來(lái)解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專(zhuān)題通過(guò)分析探索歸納八類(lèi)圓中常見(jiàn)的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題例1．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB，CD是的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知，，則的度數(shù)是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【分析】如圖，連接OB，OD，AC，先求解，再求解，從而可得，再利用周角的含義可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，

∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度數(shù)20°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握“圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵．例2．（2023?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．【分析】連接OD，如圖，由AB＝2DE，AB＝2OD得到OD＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠DOE＝∠E＝20°，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠CDO＝40°，加上∠C＝∠ODC＝40°，然后再利用三角形外角性質(zhì)即可計(jì)算出∠AOC．【解析】連接OD，如圖，∵AB＝2DE，而AB＝2OD，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝20°，∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，而OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝40°，∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．例3．（2023?天寧區(qū)初三期中）如圖，兩個(gè)正方形都在⊙O的直徑MN的同側(cè)，頂點(diǎn)B、C、G都在MN上，正方形ABCD的頂點(diǎn)A和正方形CEFG的頂點(diǎn)F都在⊙O上，點(diǎn)E在CD上．若AB＝5，F(xiàn)G＝3，則OC的長(zhǎng)為．【分析】由四邊形ABCD，EFGC是正方形，得到∠ABC＝∠FGC＝90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接AO，OF，∵四邊形ABCD，EFGC是正方形，∴∠ABC＝∠FGC＝90°，∴AB2+BO2＝OG2+FG2，∴52+（5﹣OC）2＝（3+OC）2+32∴OC＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·湖南長(zhǎng)沙初三二模）如圖，在中，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，OC交弦AB于D，如果，，那么OD的長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】3【分析】先根據(jù)C為弧AB的中點(diǎn)得出AB⊥OC，再根據(jù)垂徑定理求出AD的長(zhǎng)，OA=5，在Rt△AOD中根據(jù)勾股定理即可得出OD的值．【解析】連接OA，∵C為弧AB的中點(diǎn)，∴AB⊥OC，∵AB=8cm，∴OA=5，在Rt△AOD中，∵即解得:OD=3.【點(diǎn)睛】考查垂徑定理以及勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過(guò)點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長(zhǎng)、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時(shí)，常作弦心距。例1．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】連接,∵,∴∴,∵,∴是等邊三角形,∴,

∵，,∴,，∴,∵,，，即的半徑為，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)度量是解題的關(guān)鍵.例2．（2023·湖南九年級(jí)期中）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則折痕AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】cm【分析】在圖中構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)勾股定理得AD的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理得AB的長(zhǎng)即可．【詳解】如圖：作OD⊥AB于D，連接OA．根據(jù)題意得：OD＝OA＝1cm，再根據(jù)勾股定理得：AD＝＝＝cm，由垂徑定理得：AB＝2cm．故答案為：cm．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，根據(jù)題意構(gòu)造垂徑、應(yīng)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.例3．（2021·青海中考真題）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于，兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）．A．1.0厘米/分 B．0.8厘米分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先過(guò)⊙O的圓心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，連接OA，由垂徑定理，即可求得OC的長(zhǎng)，繼而求得CD的長(zhǎng)，又由從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海面的時(shí)間為10分鐘，即可求得“圖上”太陽(yáng)升起的速度．【詳解】解：過(guò)⊙O的圓心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，連接OA，∴AC=AB=×16=8（厘米），在Rt△AOC中，（厘米），∴CD=OC+OD=16（厘米），∵從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海面的時(shí)間為16分鐘，∴16÷16=1（厘米/分）．∴“圖上”太陽(yáng)升起的速度為1.0厘米/分．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．例4．（2023·成都市九年級(jí)期末）如圖是一種機(jī)械傳動(dòng)裝置示意圖，⊙O的半徑為50cm，點(diǎn)A固定在⊙O上，連桿AP定長(zhǎng)，點(diǎn)P隨著⊙O的轉(zhuǎn)動(dòng)在射線OP上運(yùn)動(dòng)．在一個(gè)停止?fàn)顟B(tài)時(shí)，AP與⊙O交于點(diǎn)B，測(cè)得AB＝60cm，PB＝70cm，此時(shí)OP長(zhǎng)為_(kāi)_________________．【答案】20cm【分析】作OD⊥AB于D，連接OB，根據(jù)垂徑定理得到AD=BD=30cm，即可得到PD=100cm，利用勾股定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：作OD⊥AB于D，連接OB，∴AD＝BDAB＝30cm，∴OD40（cm），∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），∴OP20（cm）；故答案為：20cm．．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線根據(jù)直角三角形是解題的關(guān)鍵．模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2020·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)C，D是以為直徑的半圓O的三等分點(diǎn)，弧的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，根據(jù)，是以為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，可得，是等邊三角形，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，根據(jù)求解即可．【詳解】解：連接、、，，是以為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，，，又，、是等邊三角形，，∴，，弧的長(zhǎng)為，，解得：，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，解答本題關(guān)鍵是將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，難度一般．例2．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取優(yōu)弧上一點(diǎn)C，連接，由圓周角定理，得，運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求解．【詳解】解：如圖，取優(yōu)弧上一點(diǎn)C，連接,則,∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形；由相關(guān)定理得角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·江西九江·?？家荒＃┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，是的外接圓，點(diǎn)，，均在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則的值是．

【答案】【分析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則，，利用勾股定理求解的長(zhǎng)，再根據(jù)余弦的定義，即可求解．【詳解】解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則，，

∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，圓周角定理，求余弦，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點(diǎn)，的半徑為2．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．【答案】D【分析】連接，圓周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位線定理，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：連接，

∵的半徑為2．，∴，∴，∵D，G分別為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和三角形的中位線定理．熟練掌握相關(guān)定理，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問(wèn)題的重要思路，在證明有關(guān)問(wèn)題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖,將大小不同的兩塊量角器的零度線對(duì)齊,且小量角器的中心恰好在大量角器的圓周上,設(shè)圖中兩圓周的交點(diǎn)為.且點(diǎn)在小量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為,那么點(diǎn)在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為(只考慮小于的角)(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意，設(shè)大量角器的左端點(diǎn)為，小量角器的圓心為.利用三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后根據(jù)圓的知識(shí)可求出大量角器上對(duì)應(yīng)的角度.【詳解】設(shè)大量角器的左端點(diǎn)為，小量角器的圓心為，連接、，則，，因而，在大量角器中弧所對(duì)的圓心角是，因而在大量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓心角是，能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵.例2．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

【答案】【分析】連接，，根據(jù)在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系可得，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，，如圖：∵是的直徑，∴，

∵，∴，∴，又∵，∴，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，和分別是半圓的直徑和弦，且，點(diǎn)是上的點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，且：：，若，則．【答案】8【分析】連接，設(shè)，，利用勾股定理求解出、即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接，設(shè)，．是直徑，，，，，在中，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，含度的直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，則AD的長(zhǎng)是．【答案】【分析】如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得是的直徑，，設(shè)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出，根據(jù)，勾股定理求得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，∵∠ACB＝90°∴是的直徑，，tan∠CBD＝，，在中，，，，，設(shè)則，AC＝BC，，，中，，，，,又，，，，，，，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了90°圓周角所對(duì)的弦是直徑，同弧所對(duì)的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)校考期末）如圖所示，直徑為的經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，B是y軸右側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)交x軸于D點(diǎn)，連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得到為的直徑，，再利用勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)余弦的定義求出，從而得到的值．【詳解】解：設(shè)交x軸于D點(diǎn)，連接，如圖，

∵，∴為的直徑，即，∵點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了解直角三角形．例3．（2023·河南周口·?？既＃┛咨腥卧凇短一ㄉ取分袑?xiě)道：“何處瑤天笙弄，聽(tīng)云鶴縹緲，玉珮丁冬．”玉佩是我國(guó)古人身上常佩戴的一種飾品，現(xiàn)從一塊直徑為的圓形玉料上刻出一個(gè)如圖所示圓周角為的最大扇形玉佩，則陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）

【答案】/平方厘米【分析】根據(jù)圓周角定理由得為的直徑，即，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，然后用圓的面積減去扇形的面積即可求解．【詳解】∵，∴為的直徑，即，∴，∴（平方厘米），∴故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積計(jì)算以及圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式．模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來(lái)，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題。例1．（2023·重慶九年級(jí)期中）如圖，、分別與相切于、兩點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，連接、，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OA、OB，先證明∠P=180°-∠AOB，根據(jù)∠AOB=2∠ACB，求出∠AOB即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接OA、OB，∵PA、PB是⊙O切線，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，∴∠P=180°-∠AOB，∵∠ACB=62°，∴∠AOB=2∠ACB=124°，∴∠P=180°-124°=56°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．例2．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到，再根據(jù)勾股定理得到．【詳解】解：連接，∵是的切線，為切點(diǎn)，∴，∵，，∴在中，，∵，∴在，，故選．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點(diǎn)為．若，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求解在和，最終得到，即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解．【詳解】解：如圖所示，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

∵，，∴，∴四邊形為矩形，，，∴為的切線，由題意，為的切線，∴，，∵，∴設(shè)，，，則，，在中，，在中，，∵，∴，解得：或（不合題意，舍去），∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強(qiáng)，熟練運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)：（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過(guò)圓上一點(diǎn)C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無(wú)點(diǎn)作垂線：需證明的切線，條件中沒(méi)有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過(guò)圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，和相交于點(diǎn)F，平分，點(diǎn)C在上，且，交于點(diǎn)P．求證：是的切線；

【答案】見(jiàn)解析【分析】連接，由等腰三角形的性質(zhì)得，再證，則，然后證，即可得出結(jié)論；【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵，∴，

∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判，熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三線合一和勾股定理求出的長(zhǎng)，即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，∴，∵的直徑為6，∴為的半徑，又，∴直線是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定．熟練掌握切線的判定方法，是解題的關(guān)鍵．例3．（2023年遼寧省盤(pán)錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，交點(diǎn)于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：與相切．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）連接，結(jié)合圓周角定理，根據(jù)，可得，再根據(jù)平行的性質(zhì)，即有，進(jìn)而可得，問(wèn)題隨之得證；（2）過(guò)C點(diǎn)作于點(diǎn)K，先證明四邊形是平行四邊形，即有，求出，即有，利用三角形函數(shù)有，同理，即可得，，進(jìn)而有，再證明，可得，即可得，在中，有，問(wèn)題隨之得解．【詳解】（1）連接，如圖，

∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴半徑，∴與相切；（2）過(guò)C點(diǎn)作于點(diǎn)K，如圖，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在，，同理，∵在中，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)以及勾股定理等知識(shí)，掌握切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的半徑長(zhǎng)為．【分析】（1）連接，證明，即可證得，從而證得是圓的切線；（2）設(shè)，則，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列得比例式，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如下圖所示，

∵是的平分線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，又∵過(guò)半徑的外端點(diǎn)B，∴與相切；（2）解：設(shè)，則，∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，即，解得．故的半徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定是解本題的關(guān)鍵．模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長(zhǎng)為8步，長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為15步．問(wèn)這個(gè)直角三角形切圓的直徑是多少？書(shū)中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長(zhǎng)和長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)，求得斜邊的長(zhǎng)．用直角三角形三條邊的長(zhǎng)相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計(jì)算所得的商就是這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長(zhǎng)度單位）

【答案】6【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑，得到直徑．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為，則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑（步），即直徑為6步，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握中，兩直角邊分別為、，斜邊為，其內(nèi)切圓半徑是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)切圓半徑，、、為切點(diǎn)，，，，則．

【答案】5【分析】連接、、、、、，根據(jù)題意得到，即，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：如圖，連接、、、、、，

∵的內(nèi)切圓半徑，、、為切點(diǎn)，，

，

，

，，

，

，

，，即，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查圓的外接三角形，等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線定理，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題的關(guān)鍵．例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如圖，連接．利用切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·重慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如下圖，的半徑為，以A為圓心，為半徑的弧交于B，C兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)度為（）

A． B． C．8 D．【答案】A【分析】如圖：連接，根據(jù)題意可知，繼而即可推出，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形以及垂徑定理即可解答．【詳解】解：如圖：連接，∵的半徑為，以A為圓心，為半徑的弧交于，兩點(diǎn)，∴，∴，∵，∴．故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、解直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，推出并掌握解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是半圓O的直徑，C是半圓O上異于A，B的一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)弧與角的關(guān)系得出，再由圓周角定理得出，結(jié)合圖形，利用各角之間的關(guān)系求解即可．【詳解】解：連接，

∵D為的中點(diǎn)，∴，∵是半圓O的直徑，∴，∴，∴，∴故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考場(chǎng)圓與三角形綜合問(wèn)題，包括圓周角及弧、弦、角的關(guān)系，三角形外角的性質(zhì)等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，面積為12的正方形內(nèi)接于，則的半徑為（

）

A．3 B． C． D．【答案】C【分析】如圖：連接，則為等腰直角三角形，由正方形面積為12，即，然后運(yùn)用勾股定理即可求得圓的半徑．【詳解】解：如圖，連接，則，

∵四邊形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∵正方形的面積是12，∴，∵∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作出輔助線、構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，的半徑弦于點(diǎn)E，C是上一點(diǎn)，，的最大值為18，則的長(zhǎng)為（

）

A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】連接，根據(jù)垂徑定理得，設(shè)半徑為，根據(jù)當(dāng)，，在同一條直線上時(shí)最長(zhǎng)得到，在中，根據(jù)勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，

的半徑弦于點(diǎn)，，，設(shè)半徑為，可知當(dāng)，，在同一條直線上時(shí)最長(zhǎng)，即，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理得，屬于中考常考題型．5．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)無(wú)錫市太湖格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，由求得，再根據(jù)圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半得到答案．【詳解】解：如圖，連接、，

∵點(diǎn)A、B、C、D在圓上，∴四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確連接輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)校考期末）如圖，是的弦，，，則的直徑等于（）

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】作直徑，連接，根據(jù)圓周角定理得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：作直徑，連接，

由圓周角定理得，，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理及其推論是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的弦，半徑于點(diǎn)C，為直徑，，則線段的長(zhǎng)為（

）

A． B．8 C． D．【答案】D【分析】如圖：連接，根據(jù)垂徑定理可得的長(zhǎng)，設(shè)的半徑為r,可表示出,再利用勾股定理求可出r的值，進(jìn)而求得;然后根據(jù)圓周角定理得到，再由三角形中位線定理得到=6，最后運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖：連接，

∵，∴，設(shè)的半徑為r,∴，在中，由勾股定理得：，解得：，∴；∵，∴，∵是直徑，∴，∵是的中位線，∴，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，弦垂直于的直徑，垂足為H，且，，則的長(zhǎng)是（

）

A．3 B．5 C．8 D．18【答案】D【分析】連接，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理即可得到答案．【詳解】解：連接，

，是的直徑，，，，，，在中，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．9．（2022·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與邊相切于點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是優(yōu)弧上一點(diǎn)，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由切線的性質(zhì)得出，，利用解直角三角形求出，由圓周角定理求出，進(jìn)而求出，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，繼而求出的度數(shù)．【詳解】如圖，連接，

是的切線，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，掌握切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（2023·廣東江門(mén)·?？既＃┤鐖D，是半圓的直徑，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的半圓交于，兩點(diǎn)，弦切小半圓于點(diǎn)．已知，，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再利用勾股定理計(jì)算出，計(jì)算出，，則，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積進(jìn)行計(jì)算．【詳解】連接、，如圖，

弦切小半圓于點(diǎn)，，，，，，在中，，，，，，，，圖中陰影部分的面積．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積公式，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．11．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】連接,∵,∴∴,∵,∴是等邊三角形,∴,

∵，,∴,，∴,∵,，，即的半徑為，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)度量是解題的關(guān)鍵.12．（2023秋·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于，兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）

A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分【答案】A【分析】設(shè)“圖上”圓的圓心為，連接，過(guò)點(diǎn)作于，由垂徑定理，即可求得的長(zhǎng)，繼而由勾股定理求得的長(zhǎng)，又由太陽(yáng)從所處位置到完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，即可求得“圖上”太陽(yáng)升起的速度．【詳解】解：設(shè)“圖上”圓的圓心為，連接，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：

厘米，（厘米），厘米，（厘米），海平線以下部分的高度（厘米），太陽(yáng)從所處位置到完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，“圖上”太陽(yáng)升起的速度（厘米/分），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．（2022秋·黑龍江雞西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，半徑為的上，依次有三個(gè)點(diǎn)，若四邊形為菱形，則弦所對(duì)的圓周角為度．

【答案】或【分析】利用圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形和菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，在優(yōu)弧取一點(diǎn)，連接，，

∵四邊形是菱形，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴，，∴則弦所對(duì)的圓周角為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半及菱形的性質(zhì)及其應(yīng)用．14．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的弦，且，點(diǎn)是弧中點(diǎn)，點(diǎn)是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，，則圓心到弦的距離等于．【答案】【分析】連接、，根據(jù)垂徑定理，C是弧的中點(diǎn)可知，，，可知，再用三角函數(shù)關(guān)系就可以求出的長(zhǎng)；【詳解】如圖，連接、，交于點(diǎn)E，∵點(diǎn)C是弧中點(diǎn)，，∴，且，∵，∴，∴，∴，故圓心O到弦的距離為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、圓周角圓心角的關(guān)系和三角函數(shù)關(guān)系求邊長(zhǎng)；熟練掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系和垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．15．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，線段的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為，與x軸相切于點(diǎn)C，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】連接，作軸于點(diǎn)D，作軸于點(diǎn)E，根據(jù)切線的性質(zhì)求得，得到，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，作軸于點(diǎn)D，作軸于點(diǎn)E，

∵與x軸相切于點(diǎn)C，∴軸于點(diǎn)C，∴，∴，∵點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，∴，∴，∵軸于點(diǎn)C，∴四邊形是矩形，∴，，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，在中，，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)校考期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，，若，，則的半徑=．

【答案】【分析】連接，，，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得，根據(jù)兩直線平時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，，推得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得，推得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求得的值，即可求解．【詳解】解：連接，，，如圖：∵是直徑，∴，，∵，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴,∴的半徑是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理直徑所對(duì)的圓周角是直角，等角對(duì)等邊，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作合適的輔助線．17．