初中數(shù)學(xué)定理

點(diǎn)的定理：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線

點(diǎn)的定理：兩點(diǎn)之間線段最短

角的定理：同角或等角的補(bǔ)角相等

角的定理：同角或等角的余角相等

直線定理：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直

直線定理：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短

平行定理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

證明兩直線平行定理：同位角相等，兩直線平行

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

兩直線平行推論：兩直線平行，同位角相等

證明兩直線平行定理：

同位角相等，兩直線平行

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

兩直線平行推論：

兩直線平行，同位角相等

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

定理：三角形兩邊的和大于第三邊

推論：三角形兩邊的差小于第三邊

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。

推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余

推論2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

推論3：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

定理：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等

邊角邊定理(SAS)：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

角邊角定理(ASA)：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

推論(AAS)：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

邊邊邊定理(SSS)：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

斜邊、直角邊定理(HL)：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

角的平分線定理定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

定理2：到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距

離相等的所有點(diǎn)的集合

等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角)

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

推論3：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°

等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等

(等角對(duì)等邊)

推論1：二個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

對(duì)稱定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合

定理1：關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

定理2：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

定理3：兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱

軸上

逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條

直線對(duì)稱

直角三角形定理:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊

的一半

判定定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即/2+1/2=廠2

勾股定理的逆定理：如果二角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系屋2+丁2=>2,那么這個(gè)三角

形是直角三角形

多邊形內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360。四邊形的外角和等于360。

多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X180°

推論：任意多邊的外角和等于360°

平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對(duì)角相等

平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對(duì)邊相等

推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等

平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對(duì)角線互相平分

平行四邊形判定定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

平行四邊形判定定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

平行四邊形判定定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

平行四邊形判定定理4：一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形

矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個(gè)角都是直角

矩形性質(zhì)定理2：矩形的對(duì)角線相等

矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

菱形性質(zhì)定理1：菱形的四條邊都相等

菱形性質(zhì)定理2：菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

菱形面積=對(duì)角線乘積的一半，即$=(aXb)4-2

菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)

中心對(duì)稱定理

定理1:關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的

定理2：關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分

逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)

于這一點(diǎn)對(duì)稱

等腰梯形性質(zhì)定理：

1.等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

2.等腰梯形的兩條對(duì)角線相等

等腰梯形判定定理：

1.在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

2.對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線

上截得的線段也相等

推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰

推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半1=（a+b）+2S=LXh

相似三角形定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的

三角形與原三角形相似

相似三角形判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）

直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似（SAS）

判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）

相似直角三角形定理:如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

性質(zhì)定理1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比

性質(zhì)定理2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

性質(zhì)定理3：相似三角形面積的比等于相似比的平方

三角函數(shù)定理

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

圓：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓

經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓，且圓心都在連結(jié)這兩點(diǎn)的線段的垂直平分線上

定理：過(guò)不共線的三個(gè)點(diǎn)，可以作且只可以作一個(gè)圓

推論：三角形的三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的外心

三角形的三條高線的交點(diǎn)叫三角形的垂心

1.3垂徑定理

圓是中心對(duì)稱圖形；圓心是它的對(duì)稱中心

圓是周對(duì)稱圖形，任一條通過(guò)圓心的直線都是它的對(duì)稱軸

定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且評(píng)分弦所對(duì)的兩條弧

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

推論2：弦的垂直平分弦經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

推論3：平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直評(píng)分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

1.4弧、弦和弦心距

定理：在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等

二圓與直線的位置關(guān)系

2.1圓與直線的位置關(guān)系

如果一條直線和一個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)圓相離

如果一條直線和一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)圓相切，這條直線叫

做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的切點(diǎn)

定理：經(jīng)過(guò)圓的半徑外端點(diǎn)，并且垂直于這條半徑的直線是這個(gè)圓的切線

定理：圓的切線垂直經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑

推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心

如果一條直線和一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，我們就說(shuō)，這條直線和這個(gè)圓相交，這條直線叫

這個(gè)圓的割線，這兩個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)

直線和圓的位置關(guān)系只能由相離、相切和相交三種

2.2三角形的內(nèi)切圓

如果一個(gè)多邊形的各邊所在的直線，都和一個(gè)圓相切,這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形,

這個(gè)圓叫做多邊形的內(nèi)切圓

定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)是三角形的內(nèi)心

二角形一內(nèi)角評(píng)分線和其余兩內(nèi)角的外角評(píng)分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的旁心。

以旁心為圓心可以作一個(gè)圓和一邊及其他兩邊的延長(zhǎng)線相切，所作的圓叫做三角形的旁切圓

2.3切線長(zhǎng)定理

定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條

切線的夾角

2.4圓的外切四邊形

定理：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

定理：如果四邊形兩組對(duì)邊的和相等，那么它必有內(nèi)切圓

三圓與圓的位置關(guān)系

3.1兩圓的位置關(guān)系

在平面內(nèi)，不重合的兩圓。它們的位置關(guān)系，有以下五種情況：外離、外切、相交、內(nèi)

切、外切

經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓的圓心的直線，叫做兩圓的連心線，兩個(gè)圓心之間的距離叫做圓心距

定理：兩圓的連心線是兩圓的對(duì)稱軸，并且兩圓相切時(shí)，它們切點(diǎn)在連心線上

(1)兩圓外離d>R+r

(2)兩圓外切d=R+r

(3)兩圓相交R-r〈d〈R+r(R〉r)

(4)兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)

(5)兩圓內(nèi)含d〈R-r(R>r)

特殊情況，兩圓是同心圓d=0

兩圓的公切線