2025屆北京市昌平區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆北京市昌平區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，為了測(cè)量山坡上燈塔的高度，某人從高為的樓的底部處和樓頂處分別測(cè)得仰角為，，若山坡高為，則燈塔高度是（）A． B． C． D．2．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．5．已知圓O1：x2+y2=1與圓O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，則圓O1與圓O2的位置關(guān)系為（）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．相離6．直線：與圓的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定7．已知直線與互相垂直，垂足坐標(biāo)為，且，則的最小值為（）A．1 B．4 C．8 D．98．已知向量，，，的夾角為45°，若，則（）A． B． C．2 D．39．已知等差數(shù)列中，若，則（）A．-21 B．-15 C．-12 D．-1710．已知,下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，則函數(shù)是__________函數(shù)（奇偶性）.12．已知在數(shù)列中，且，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為__________．13．設(shè)為使互不重合的平面，是互不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：①②③④若；其中正確命題的序號(hào)為．14．函數(shù)的最大值是__________．15．在中，角、、所對(duì)的邊為、、，若，，，則角________．16．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前10項(xiàng)和________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè),求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．求點(diǎn)的坐標(biāo)：若點(diǎn)在軸上，且直線與直線垂直，求點(diǎn)的坐標(biāo)．19．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，三點(diǎn)滿足.（1）求值；（2）已知若的最小值為，求的最大值.20．經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路汽車的車流量（千輛/h）與汽車的平均速度之間的函數(shù)關(guān)系式為：．（1）若要求在該段時(shí)間內(nèi)車流量超過2千輛，則汽車在平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）在該時(shí)段內(nèi)，若規(guī)定汽車平均速度不得超過，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？21．不等式(1)若不等式的解集為或,求的值(2)若不等式的解集為,求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中由正弦定理求得，在中求得，從而求得燈塔的高度．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，在中，由正弦定理得，，即，，在中，，又山高為，則燈塔的高度是．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用和正弦定理，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．2、D【解析】

根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可求得；根據(jù)誘導(dǎo)公式可將所求式子化為，代入求得結(jié)果.【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)值的求解、利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值問題；關(guān)鍵是能夠通過角的終邊上的點(diǎn)求得角的三角函數(shù)值.3、C【解析】

由題意，可知，所以角和角表示終邊相同的角，即可得到答案．【詳解】由題意，可知，所以角和角表示終邊相同的角，又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了象限角的表示和終邊相同角的表示，其中解答中熟記終邊相同角的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

根據(jù)正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槔忾L(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等，所以直徑，內(nèi)切球的體積為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的內(nèi)切球的體積，利用正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等求出半徑是解題的關(guān)鍵.5、A【解析】

先求出兩個(gè)圓的圓心和半徑，再根據(jù)它們的圓心距等于半徑之和，可得兩圓相外切.【詳解】圓的圓心為，半徑等于1，圓的圓心為，半徑等于4，它們的圓心距等于，等于半徑之和，兩個(gè)圓相外切.故選A.【點(diǎn)睛】判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．6、C【解析】

求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，然后運(yùn)用點(diǎn)到直線距離求出的值和半徑進(jìn)行比較，判定出直線與圓的關(guān)系.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，則直線與圓相交.故選【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出和半徑比較，得到直線與圓的位置關(guān)系.7、B【解析】

代入垂足坐標(biāo)，可得，然后根據(jù)基本不等式，可得結(jié)果.【詳解】由兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以代入可得，即又，所以即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】

利用向量乘法公式得到答案.【詳解】向量，，，的夾角為45°故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得：，故選A.10、A【解析】

逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)即不滿足選項(xiàng)B,C,D.故選A.【點(diǎn)睛】此題考查不等式的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、偶【解析】

利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可判斷出函數(shù)的奇偶性.【詳解】，因此，函數(shù)為偶函數(shù).故答案為：偶.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)奇偶性的判斷，解題的關(guān)鍵就是利用誘導(dǎo)公式對(duì)三角函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

根據(jù)遞推關(guān)系式可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，得到，進(jìn)而求得；利用裂項(xiàng)相消法求得結(jié)果.【詳解】由得：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即：設(shè)前項(xiàng)和為本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明數(shù)列為等差數(shù)列、等差數(shù)列通項(xiàng)的求解、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和；關(guān)鍵是能夠通過通項(xiàng)公式的形式確定采用的求和方法，屬于?？碱}型.13、④【解析】試題分析：根據(jù)線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)定理，及面面垂直的性質(zhì)定理，對(duì)題目中的四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行分析，即可得到答案．解：當(dāng)m∥n，n?α，，則m?α也可能成立，故①錯(cuò)誤；當(dāng)m?α，n?α，m∥β，n∥β，m與n相交時(shí)，α∥β，但m與n平行時(shí)，α與β不一定平行，故②錯(cuò)誤；若α∥β，m?α，n?β，則m與n可能平行也可能異面，故③錯(cuò)誤；若α⊥β，α∩β=m，n?α，n⊥m，由面面平行的性質(zhì)，易得n⊥β，故④正確故答案為④考點(diǎn)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面之間的位置關(guān)系，直線與平面之間的位置關(guān)系．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握空間線與線，線與面，面與面之間的關(guān)系的判定方法及性質(zhì)定理，是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】分析：利用兩角和正弦公式簡(jiǎn)化為y=，從而得到函數(shù)的最大值.詳解：y=sinx+cosx==．∴函數(shù)的最大值是故答案為點(diǎn)睛：本題考查了兩角和正弦公式，考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍得出角的值.【詳解】由余弦定理得，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用和反三角函數(shù)，解題時(shí)要充分結(jié)合元素類型選擇正弦定理和余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)求出公差，由此能求出【詳解】因?yàn)槭枪畈粸?的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列所以，即解得或(舍)所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前10項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)合理運(yùn)用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）3030【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，可求出首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，利用即可求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明是等差數(shù)列；(2)可將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)合并求和即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，.因?yàn)?，所以是等差?shù)列.（2）法一：，的前2020項(xiàng)和為：法二：，的前2020項(xiàng)和為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的證明，分組求和的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力，難度中等.18、（1）（2）【解析】

（1）由題意利用線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，又，所以，解得，從而．設(shè)，所以，由已知直線與直線垂直，所以則，解得，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了推理與運(yùn)算能力．19、（1）（2）1【解析】

（1）由，得，化簡(jiǎn)得，即可得到答案；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)分類討論求得函數(shù)的最小值，得到關(guān)于的分段函數(shù)，進(jìn)而求得函數(shù)的最大值.【詳解】（1）由題意知三點(diǎn)滿足，可得，所以，即即，則，所以.（2）由題意，函數(shù)因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，綜上所述，，可得函數(shù)的最大值為1，即的最大值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)性質(zhì)，以及三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了分類討論思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.20、（1）﹒（2）時(shí)，最大車流量輛．【解析】

（1）根據(jù)題意，解不等式即可求得平均速度的范圍.（2）將函數(shù)解析式變形，結(jié)合基本不等式即可求得最值，及取最值時(shí)的自變量值.【詳解】（1）車流量（千輛/h）與汽車的平均速度之間的函數(shù)關(guān)系式為：．則，變形可得，解得，即汽車在平均速度應(yīng)在內(nèi).（2）由，、變形可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)汽車的平均速度，車流量最大，最大車流量為千輛/h.