重慶市云陽(yáng)縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題含解析

Page232024-2025學(xué)年高二上學(xué)期其次次月考(數(shù)學(xué))時(shí)間：120分鐘總分:150分一、單項(xiàng)選擇題．本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.定義：既是中心對(duì)稱，也是軸對(duì)稱的曲線稱為“尚美曲線”，下是方程所表示的曲線中不是“尚美曲線”的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圓、橢圓、雙曲線、拋物線性質(zhì)，依據(jù)條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析推斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，由圓的性質(zhì)知，的對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為軸，軸，即既是中心對(duì)稱，也是軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由橢圓的性質(zhì)知，的對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為軸，軸，即既是中心對(duì)稱，也是軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由雙曲線的性質(zhì)知，的對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為軸，軸，即既是中心對(duì)稱，也是軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由，得到，由拋物線性質(zhì)知，關(guān)于軸對(duì)稱，無(wú)對(duì)稱中心，所以選項(xiàng)D正確.故選：D.2.若與是兩條不同的直線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用兩直線平行的結(jié)論即可進(jìn)行推斷.【詳解】由題意，若，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或時(shí)，，則“”是“”的必要不充分條件，故選：C．3.已知橢圓：離心率為，則（）A. B.1 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知.故選：C4.如圖，在三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義結(jié)合已知條件，可把分解成基底向量的線性組合即可得解.【詳解】如下圖所示：首先有，一方面：由，所以，又是的中點(diǎn)，所以，所以；另一方面：，且留意到分別是，的中點(diǎn)，所以.因此.故選：D．5.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分和兩種狀況探討，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系分析求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，傾斜角為當(dāng)時(shí)，直線的斜率，因?yàn)?，則，所以；綜上所述：線的傾斜角的范圍是.故選：C．6.點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若的最小值是2，則的值為（）A.10 B. C.20 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)圓心到直線的距離以及的最小值求得.【詳解】圓的圓心為，半徑為，到直線的距離為，由于的最小值是，所以直線與圓相離，所以的最小值為.故選：D7.“太極圖”因其形態(tài)如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，故也被稱為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)是陰影部分（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與連線的斜率，數(shù)形結(jié)合后由直線與圓的位置關(guān)系求解，【詳解】記，則為直線的斜率，故當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，得k最小，此時(shí)設(shè)，故，解得或（舍去），即．故選：C8.如圖，已知，是雙曲線C：的左?右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿意，且，則雙曲線C的離心率為（）（A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)P＇，易得，設(shè)，結(jié)合雙曲線定義得，進(jìn)而在中應(yīng)用勾股定理得到齊次方程，即可得離心率.【詳解】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)P＇，因?yàn)?，依?jù)對(duì)稱性知，設(shè)，則，，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)P＇，利用雙曲線對(duì)稱性及定義求出，最終在中應(yīng)用勾股定理得到齊次方程為關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知、，則下列命題中正確的是（）A.平面內(nèi)滿意的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓B.平面內(nèi)滿意的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支C.平面內(nèi)滿意的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線D.平面內(nèi)滿意的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓【答案】AD【解析】【分析】由橢圓的定義可干脆判定選項(xiàng)A；由雙曲線的定義可干脆判定選項(xiàng)B；由拋物線的定義可干脆判定選項(xiàng)C；設(shè)點(diǎn)，列式化簡(jiǎn)即可判定選項(xiàng)D；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,有、，且,由橢圓定義可知選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,有、，且,軌跡為射線，不符合雙曲線的定義可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,有、，且,軌跡為線段垂直平分線，不符合拋物線的定義可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,有、，且,設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)可得，可知選項(xiàng)D正確;故選：AD10.已知圓，直線．則（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C.直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)D.若圓與圓恰有三條公切線，則【答案】AD【解析】【分析】化簡(jiǎn)直線的方程為，可判定A正確；依據(jù)圓心到直線的距離，可判定B錯(cuò)誤；依據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)部，可判定C錯(cuò)誤；依據(jù)兩圓的位置關(guān)系，列出方程，求得的值，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)橹本€，可得，令，解得，所以直線恒過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，所以A正確；對(duì)于B中，由圓，可得圓心，半徑為，要使得圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則圓心到直線的距離，則滿意，當(dāng)時(shí)，直線，可得圓心到直線的距離為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，因?yàn)橹本€恒過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)，可得，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線圓圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)閳A，可得，要使得圓與圓恰有三條公切線，可得，即，解得，所以D正確.故選：AD.11.正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，，的中點(diǎn),則正確的是（）A.B.平面AEFC.點(diǎn)B、C到平面AEF的距離相等D.若P為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P的軌跡是線段【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，逐一推斷求解.【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，選項(xiàng)A：，，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：設(shè)平面的法向量為，，，故有，即，令，則，因?yàn)榍移矫?，所以平面；選項(xiàng)C：，，點(diǎn)到平面的距離為：，點(diǎn)到平面的距離為：，所以點(diǎn)B、C到平面AEF的距離相等，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：設(shè)，，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)坐標(biāo)滿意且，故點(diǎn)的軌跡是一條線段，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上兩個(gè)位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且有．直線與準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于【答案】ACD【解析】【分析】易得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，，求出的坐標(biāo)即可推斷A；依據(jù)即可推斷B；結(jié)合B選項(xiàng)即可推斷C；結(jié)合A選項(xiàng)，求出，即可推斷D.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，由，得，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，，則，設(shè)直線，把代入，可得，令，則，同理，則，因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B選項(xiàng)知，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，，，由選項(xiàng)A知，，，，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求三角形面積的比值可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的比值，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為相像比問(wèn)題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C分別交于M，N兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】20【解析】【分析】由橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為．【詳解】由，得，由橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為．故答案為：20.14.已知半徑為1的圓關(guān)于直線對(duì)稱，寫出圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程__________．【答案】（答案不唯一，只要圓心在直線上，半徑為1，均可）【解析】【分析】依據(jù)題意，可知圓心在直線上，半徑為1，取滿意題意的圓心坐標(biāo)，即可得出圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：由題可知，圓關(guān)于直線對(duì)稱，半徑1，則圓心在直線上，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)圓心為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.（答案不唯一，只要圓心在直線上，半徑為1，均可）15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在正方體的對(duì)角線（不含端點(diǎn)）上．設(shè)，若為鈍角，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)，依據(jù)，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?，可得，可得，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)不重合，所以，所以為鈍角，等價(jià)于，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16.圓形是古代人最早從太陽(yáng)、陰歷十五的月亮得到圓的概念的.始終到兩千多年前我國(guó)的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個(gè)定義：圓，一中同長(zhǎng)也．意思是說(shuō)：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等．現(xiàn)在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上取隨意一點(diǎn)，若的取值與x、y無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線與直線距離之和的5倍，這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無(wú)關(guān)可得圓在兩直線之間，利用直線與圓相切可得答案.【詳解】由已知可得所在的圓的方程為，設(shè)，故可看作點(diǎn)到直線與直線距離之和的5倍，因?yàn)榈娜≈蹬cx、y無(wú)關(guān)，所以這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無(wú)關(guān)，圓心到直線的距離為，所以圓與直線相離，如圖所示，可知直線平移時(shí)，點(diǎn)與直線的距離之和均為直線之間的距離，此時(shí)可得圓在兩直線之間，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得（舍去），或，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線與直線距離之和的5倍.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知離心率為的雙曲線C與橢圓的焦點(diǎn)相同.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件取得雙曲線的，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線的方程為，，所以雙曲線的半焦距.又由，得，所以，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，所以雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為.18.如圖在邊長(zhǎng)是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)．（1）求異面直線EF與所成角的大?。?）證明：平面．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】分析】（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用可得解；（2）利用和，可證得線線垂直，進(jìn)而得線面垂直.【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴異面直線EF和所成的角為．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．19.如圖，已知一艘海監(jiān)船上配有雷達(dá)，其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東的處動(dòng)身，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的處島嶼，速度為.（1）求外籍船航行路徑所在的直線方程；（2）這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到？若能，持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)？【答案】19.；20.能，小時(shí).【解析】【分析】（1）首先以為原點(diǎn)，東西方向?yàn)檩S，南北方程為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用截距式求解直線方程即可；（2）利用直線與圓的位置關(guān)系和弦長(zhǎng)公式即可得到答案.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，東西方向?yàn)檩S，南北方程為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:則，則直線，即，外籍船航行路徑所在的直線方程為:;（2）點(diǎn)到直線的距離，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到；檢測(cè)路途的長(zhǎng)度，則檢測(cè)時(shí)間，所以外籍輪船被監(jiān)測(cè)到的持續(xù)時(shí)間為小時(shí).20.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于拋物線C：上，且到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2．（1）求拋物線C的方程；（2）已知點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，求的最小值以及此時(shí)直線l的方程．【答案】（1）（2）13；．【解析】【分析】（1）依據(jù)拋物線的定義計(jì)算即可；（2）依據(jù)韋達(dá)定理及二次函數(shù)最值計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】依據(jù)題意可得，又，解方程組得，，故所求拋物線C方程，【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)，，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)直線l的斜率等于0時(shí)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率不等于0時(shí)，不妨設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線l的方程為：；聯(lián)立拋物線方程可得，消去x得：，，得，由韋達(dá)定理得，，易知，故．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為13．此時(shí)直線l的方程為．21.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿意題意.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，得到，然后利用線面平行的判定定理得到平面；（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿意題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依據(jù)平面與平面的夾角的余弦值為，則兩平面法向量所成角的余弦值的確定值等于，求出，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，，底面四邊形是矩形，為棱的中點(diǎn)，，．，，故四邊形是平行四邊形，．又平面，平面，平面．【小問(wèn)2詳解】假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿意題意，在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，則是四棱錐的高．設(shè)，則，，，所以.以點(diǎn)為原點(diǎn)，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，．設(shè)，．設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為，則取．易知平面的一個(gè)法向量為，，，故存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿意題意.22.已知點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿意關(guān)系式