專題02 勾股定理全章復習攻略（2個概念2個定理3種方法2個應用2種思想專練）原卷版-2023-2024學年8下數(shù)學期末考點大串講（人教版）

專題02勾股定理全章復習攻略（2個概念2個定理3種方法2個應用2種思想專練）2個概念【考查題型一】互逆命題在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它的逆命題.【例1】（2023秋?淮陽區(qū)期末）判斷下列命題：①等腰三角形是軸對稱圖形；②若且，則；③全等三角形對應角相等；④直角三角形的兩銳角互余．其中逆命題正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【變式1-1】（2023秋?太康縣期末）下列命題的逆命題是假命題的是A．直角三角形的兩銳角互余 B．全等三角形的對應角相等 C．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 D．等腰三角形的底角相等【變式1-2】．（2023秋?松江區(qū)期末）“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題是．【變式1-3】.在中，，平分，．（1）求證：；（請用一對互逆命題進行證明）（2）寫出你所用到的這對互逆命題．【考查題型二】互逆定理如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理.【例2】．（2023秋?嘉定區(qū)期末）定理“全等三角形的對應角相等”（填“有”或“沒有”逆定理．【變式2-1】．（2023春?三明期末）下列定理有逆定理的是A．對頂角相等 B．兩直線平行，同位角相等 C．全等三角形的對應角相等 D．直角都相等【變式2-2】．（2023秋?澧縣期末）寫出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理是．【變式2-3】．找出下列定理有哪些存在逆定理，把它填在橫線上．①矩形是平行四邊形．②內(nèi)錯角相等，兩直線平行．③如果，那么．④全等三角形的對應角相等．2個定理【考查題型三】勾股定理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．2．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．【例3】．（2023春?乾安縣期末）如圖，在中，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙”，當，時，則陰影部分的面積為A．4 B． C． D．8【變式3-1】．（2023春?樂陵市期末）閱讀下列一段文字，回答問題．【材料閱讀】平面內(nèi)兩點，，，，則由勾股定理可得，這兩點間的距離．例如，如圖1，，，則．【直接應用】（1）已知，，求、兩點間的距離；（2）如圖2，在平面直角坐標系中，，，與軸正半軸的夾角是．①求點的坐標；②試判斷的形狀．【變式3-2】．（2023春?陳倉區(qū)期末）如圖，在中，，，，動點從出發(fā)沿射線以的速度運動，設運動時間為．（1）求邊的長．（2）當為等腰三角形時，求的值．【變式3-3】．（2023春?汝南縣期末）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（如圖中圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有個；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，直角三角形面積為，請判斷，，的關系并證明．【考查題型四】勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【例4】．（2023春?科左中旗校級期末）以下列各組數(shù)為邊長，不能構成直角三角形的是A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，7，8 D．1，，【變式4-1】．（2023春?蘿北縣期末）如圖，一塊草坪的形狀為四邊形，其中，，，，．求這塊草坪的面積．【變式4-2】．（2023春?莘縣期末）燕塔廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級的王明和孫亮兩位同學在學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得的長度為8米；（注②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為17米；③牽線放風箏的王明身高1.6米；（1）求風箏的垂直高度；（2）若王明同學想讓風箏沿方向下降9米，則他應該往回收線多少米？【變式4-3】．（2023春?江津區(qū)期末）2023年江津區(qū)積極摸排城市建成區(qū)內(nèi)可利用的建設用地邊角地、閑置地，在摸排中發(fā)現(xiàn)，在某住宅建成區(qū)一處閑置地，城市綠化管理部門決定將其打造成“口袋公園”．如圖，四邊形為該住宅建成區(qū)一處閑置地，經(jīng)過測量得知：，，，，．（1）如圖，連接，試求的長；（2）該塊閑置用地相關政府部門計劃投入24萬元進行打造，經(jīng)測算，每平方米打造的費用為1000元，請你計算說明將這塊地打造成“口袋公園”政府投入的費用是否夠用？3種方法1．勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．2．平面展開-最短路徑問題（1）平面展開﹣最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角三角形解決問題．（2）關于數(shù)形結合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結合，所以我們在解決有關結合問題時的關鍵就是能從實際問題中抽象出數(shù)學模型．【考查題型五】化曲（折）為直法【例5】．（22-23八年級上·山東青島·期中）如圖，長方體的底面長和寬分別為和（），高為．如果用一根細線從點A開始如圖所示纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要（）cm．A． B．C． D．【變式5-1】．（22-23八年級上·山東青島·期中）如圖，一個圓柱形水杯，底面直徑為，高為，則一只小蟲從下底點處爬到上底處，則小蟲所爬的最短路徑長是（取3）．

【變式5-2】．（21-22八年級下·廣西桂林·期中）如圖，C為線段上一動點，分別過點B，D作，連接．已知．(1)求當x等于何值時，?(2)當時，求的長．(3)利用圖形求代數(shù)式的最小值．【考查題型六】分類計算法【例6】．（23-24八年級上·廣東深圳·期末）如圖是盼盼家新裝修的房子，其中三個房間甲、乙、丙，他將一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作，如果梯子的底端不動，頂端靠在對面墻上，此時梯子的頂端距離地面的垂直距離記作．(1)當盼盼在甲房間時，梯子靠在對面墻上，頂端剛好落在對面墻角處，若米，米，則甲房間的寬度＝______米．(2)當他在乙房間時，測得米，米，且，求乙房間的寬；(3)當他在丙房間時，測得米，且，．求丙房間的寬．【變式6-1】．（23-24八年級上·貴州貴陽·期中）如圖①，等腰三角形中，，點在邊上，且．(1)如圖①，當時，將沿折疊，點落在處，再將沿折疊，點也恰好落在點處，此時，的形狀是，線段之間的關系是__________；(2)如圖②，繞點在內(nèi)部任意位置時，線段之間的數(shù)量關系是__________．試證明你的猜想：若，求的長．(3)當圖③的位置時，線段之間的數(shù)量關系是__________．（不要求證明）【變式6-2】．（23-24八年級上·吉林長春·期中）如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)，沿射線AC以每秒2個單位長度的速度運動．設點P的運動時間為t秒．．(1)AC的長為______．(2)①當點P在AC延長線上運動時，PC的長為______；（用含t的代數(shù)式表示）②當點P在的角平分線上，則PC的長為______；(3)當是直角三角形時，求t的值；(4)在整個運動中，直接寫出為軸對稱圖形時t的值______．【考查題型七】化斜為直法【例7】．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程．2個應用【考查題型八】勾股定理的應用【例8】．（22-23八年級上·浙江杭州·期中）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為米．【變式8-1】．（23-24八年級上·陜西榆林·期中）明朝數(shù)學家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時候，踏板離地高一尺（尺），將它往前推進兩步（尺，于），此時踏板升高離地五尺（尺），求秋千繩索（或）的長度．【變式8-2】．（22-23八年級上·四川成都·期中）交通安全是社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載，某中學八年級數(shù)學活動小組的同學進行了測試汽車的速度的實驗，如圖，先在筆直的公路旁選取一點，在公路上確定點，使得，米，，這時，一輛轎車在公路上由向勻速駛來，測得此車從處行駛到處所用的時間為3秒，并測得，求的距離和此車的速度．（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【變式8-3】．（22-23八年級上·山東青島·期中）問題：在平面直角坐標系中有兩點，，如何求線段的長度？小明在網(wǎng)上搜索到下面的文字材料：在軸上有兩個點，它們的坐標分別為和．則這兩點所成線段長為；同樣的，若在軸上的兩點坐標分別為和，則這兩點所成線段長為．

根據(jù)上面材料，完成探究：（1）如圖1，在直角坐標系中的任意兩點其坐標分別是和，分別過這兩點作兩坐標軸的平行線，構成一個直角三角形，其中直角邊，，利用勾股定理可得，．應用：（2）平面直角坐標系中，已知兩點和，線段．（3）若點在軸上，點的坐標是，且，則點的坐標是．拓展：（4）如圖2，在直角坐標系中，點，的坐標分別為和，點是軸上的動點，且，，三點不在同一條直線上，點在什么位置時的周長最??？最小值是多少？【考查題型九】勾股定理的逆定理的應用【例9】．（23-24八年級上·河南鄭州·期中）著名的趙爽弦圖（如圖（1），其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為，斜邊長都為，大正方形的面積可以表示為），可以推導出重要的勾股定理．

(1)請你利用圖（2）推導勾股定理．(2)如圖（3）一條東西走向河的一側有一村莊，河邊原有兩個取水點，其中，由于種種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通了，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點（在一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．是不是從村莊到河邊的最近路，請通過計算加以說明；并求比原來的路線近了多少．【變式9-1】．（23-24八年級上·廣東梅州·期中）森林火災是一種常見的自然災害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟的不斷發(fā)展，開始應用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與直線上兩點A，B的距離分別為和，又，飛機中心周圍以內(nèi)可以受到灑水影響．(1)著火點C受灑水影響嗎？為什么？(2)若飛機的速度為，要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C能否被撲滅？【變式9-2】．（22-23八年級上·四川成都·期中）問題背景：如圖1，某車間生產(chǎn)了一個豎直放在地面上的零件，過點A搭了一個支架AC，測得支架AC與地面成角，即；在的中點D處固定了一個激光掃描儀，需要對零件進行掃描，已知掃描光線的張角恒為，即．問題提出：數(shù)學興趣小組針對這個裝置進行探究，研究零件邊上的被掃描部分（即線段EF），和未掃到的部分（即線段和線段）之間的數(shù)量關系．問題解決：(1)先考慮特殊情況：①如果點E剛好和點A重合，或者點B剛好和點F重合時，________（填“>”，“<”或“=”）；②當點E位于特殊位置，比如當時，________（填“>”或“<”）；(2)特殊到一般：猜想：如圖2，當時，________，證明你所得到的結論：(3)研究特殊關系：如果，求出的值．【變式9-3】．（22-23八年級上·遼寧丹東·期中）如圖，在中，，，.(1)試判斷的形狀，并證明：(2)當時，點從A出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿折線運動，設運動時間為秒，①當平分時，求的值：②當點落在邊的垂直平分線上時，求的值；③在整個運動過程中，直接寫出為等腰三角形時的值.【變式9-4】．（22-23八年級上·福建漳州·期中）問題提出如圖，等腰直角中，，，點，在邊上，且，問是否存在以，，為邊的三