數(shù)學14章股定理學案 (一)

第1課時勾股定理

學習目標：1.掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。

2.會用勾股定理進行簡單的計算

重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。

一、自學導航

（一）知識回顧（用學過的知識完成下列填空）

1.在RtZ\ABC中，ZC=90°

我們把NC所對的邊叫做,

把,叫做直角邊。

2.ZA+ZB=，換句話說：o

3.已知如圖1,小方格的邊長是1,則圖中正方形的面積是.

二、互動沖浪

（一）、勾股定理的發(fā)現(xiàn)

L在我國古代，人們將直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股,

斜邊叫做弦.

2.（1）若小方格的邊長為1.觀察下面兩幅圖并填表

（2）能發(fā)現(xiàn)各圖中三個正方形的面積之間有何關(guān)系嗎？

A的面積B的面積C的面積

甲圖

乙圖

三.歸納定理

勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么就有即直角三角形兩

直角邊的平方和等于斜邊的平方.

強調(diào)：勾股定理反映了直角三角形的三邊關(guān)系。

四，變式應用

例1：在Rt/XABC中，NC=90°.已知:a=3,b=4,求c；

試一試

(1)已知：在Rt^ABC中，/C=90°,b=3,c=4,求a；

(2)已知：在Rtz^ABC中，NC=90°,b=5,c=13,求a；

(3)已知：在RtZ^ABC中，ZC=90°.a=6,c=10,求b；

小組討論

(l)Rt^ABC中，AB=4,AC=3,NA=90°,則BC的長為

⑵RtZ^ABC中，AB=4,AC=3貝ljBC的長為.

例2已知：四邊形ABCD中，NDAB=NDBC=90°

AD=3,AB=4,BC=12

求：DC的長。

五.達標檢測

1、如圖，正方形A的面積是.

2、已知在RtZ\ABC中，ZC=90°。

(1)若a=3,b=4,貝!Jc=；

(2)若a=6,b=10,則c=；

(3)若a=5,b=12,貝!|c二。

(4)若a=8,b=15,則c=。

(5)若a=l,b=L貝!Jc=。

(6)若a=l,b=2,則c=o

(7)若a=4,b=9,則c二________。

3.在三角形ABC中，ZC=90°,AC=6,CB=8,則

ABC面積為,斜邊為上的高為.

4、已知，如圖在AABC中，AB=BC=CA=2cm,AD是邊BC上的高.

求①AD的長；②AABC的面積.

第2課時拼圖法驗證勾股定理

【學習目標】1、經(jīng)歷運用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程，

2、體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值。

【學習重點】能熟練應用拼圖法證明勾股定理.

一、學習準備：

1、直角三角形性質(zhì)有：如圖，直角AABC的主要性質(zhì)是：ZC=90°,(用幾何語言表示)

(1)兩銳角之間的關(guān)系：;

(2)若NB=30°,則NB的對邊和斜邊：；

(3)直角三角形斜邊上的等于斜邊的。

(4)三邊之間的關(guān)系：?

(5)已知在RtZ^ABC中，ZB=90°,a、b、c是AABC的三邊，則

C二o(已知a>b,求c)

a=_______________o(已知b、c,求a)

b二o(已知a、c,求b)

2、(1)在Rt/XABC,ZC=90°,a=3,b=4,貝!Jc=?

(2)在RtZiABC,ZC=90°,a=6,c=8,貝!Jb=?

(3)在Rt^ABC,ZC=90°,b=12,c=13,貝!Ia=.

二.解讀教材：

1、利用拼圖來驗證勾股定理

2、

如左圖：

大正方形的面積可以表示為；

也可以表示為?

-2ab+b2-2,ab+a

=a2+b2

/.a2+b2=c2

2.分別用下面的圖形證明上述結(jié)論(方法：面積法)

三.釋疑提高

1.在在△/比'中，有兩邊長為5,12,求第三邊長及斜邊上的高線的長度。

2、在股△/8C中，Zz^90°(1)已知a:左1:2,c=5,求a.(2)已知為6,//=30°,求a,c.

四.達標檢測

1.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無理數(shù)的邊

數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.如圖所不，在△ABC中，二邊a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c

3.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為

7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為cm2

4.等邊三角形的邊長是6.求：

①高AD的長

②這個三角形的面積。

5.已知：如圖，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=4,CD=2?求：四邊形ABCD的面積。

【學習課題】第3課時能得到直角三角形（判定）

【學習目標】L掌握勾股定理的逆定理，并會用它判斷一個三角形是不是直角三角形.

2.探究勾股定理的逆定理的證明方法.

【學習重點】判別三角形是直角三角形

【學習過程】

學習準備：1、直角三角形中有一個角為直角，其中兩個銳角是互為,兩條直角邊的

等于斜邊的。

二.引導新知

1.畫以線段mb,c.為邊的三角形

⑴。=3,Z?=4c=5⑵a=5,b=12c=13

2.這三組數(shù)滿足=°2嗎？

3.分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？

猜想命題2：如果三角形的三邊長a、b、C,滿足/+匕2=c2,那么這個三角形是三角形

勾股定理逆定理：_____________________________________________________

證明勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足片+>2=02,那么這個三角形是直角三

角形.

已知：在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,S.a~+b~=c2

求證：ZC=90°

思路：構(gòu)造法一一構(gòu)造一個直角三角形，使它與原三角形全等，

利用對應角相等來證明.

證明：

三、課堂練習

1、判斷由線段a、b,c組成的三角形是不是直角三角形：

(1)a=15,Z?=8,c=17；(2)?=13,Z?=14,c=15.

2、滿足下列條件的△ABC,不是直角三角形的是()

A、ZA=ZB-ZCB、ZA：ZB：ZC=1：1：2C、a:b:c=l:l:2D、b2=a2-c2

3、△ABC中，AC2+BC2=AB2,那么=90°

挖掘教材：

例1：一個零件的形狀如圖，按規(guī)定這個零件中NA與/BDC都應為直角，工人師傅量得零件各邊

尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,這個零件符合要求嗎？

即時練習

1.下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；(3)12,35,36；(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為_____三角形，是最大角.

例2:如圖2,在正方形ABCD中，E為AB中點，F(xiàn)為AD上一點，且4尸=,試判斷AEFC的

4

形狀，并說明理由

即時練習如圖(3)AD=24、BC=20、CD=15,AD=7、ZC=90°,求NA

【達標檢測】

1、△ABC中,AC=24、AB=1O、BC=26,判別AABC的形狀。

2、如圖(4)AD=7、AB-25.BC=1O>DC=26、DB=24,求四邊形ABCD的面積。

別為o

【學習課題】第4課時勾股定理應用

【學習目標】會用勾股定理解決與直角三角形有關(guān)的計算問題.

【學習重點】適當添加輔助線構(gòu)建直角三角形，選擇恰當未知數(shù)列方程。

【候課朗讀】在直角三角形中，(1)兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；

(2)30°角所對直角邊等于斜邊的一半.

【學習過程】

一、學習準備：

1、填空：在RtABC,NC=90,AC=b,BC=a,AB=c,則/+〃=

(1)a=5,6=24,貝Uc=o(2)c=17,匕=15,貝必=。

二、解讀教材：

2、特殊直角三角形問題

例1已知在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=10?求BC,AC的長。

解：由NC=90°,ZA=30",得BC=L=。

2

由勾股定理得A[2=()2-()2=,AC>Q,：.AC=,

即時練習：已知在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZA=45°,則BC=,AC=。

三、挖掘教材

3、利用勾股定理求三角形的高

例2在RtABC^,NC=90,CD是斜邊上的高，AC=6cm,BC=8cm,求CD.

解：

即時練習：

ABC中，A3=AC=10,BC=6,求SMC(學生要畫出草圖)

4、勾股定理在折疊中的應用

例4如圖，已知長方形46(%中/斤8cm,8信10cm,在邊磬上取一點￡,將應折疊使點。恰好

落在a'邊上的點“求B的長.

【達標檢測】

1、在A/4BC中，ZC=90",若c=34,a?=8:15,則。=,b=

2、三角形三個內(nèi)角的比為1：2：3,它的最大邊長為a,那么它的最小邊是.

3、一輪船以16海里/小時的速度離A港向東北方向航行，另一艘輪船同時以12海里/小時的速度

離A港向西北方向航行，2小時后，兩船相距多少海里？(學生畫出草圖)

4、在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1尺紅蓮被風一吹，花朵剛好與水面平齊，已知紅蓮移

動的水平距離是2尺問這里水深是多少？

5、如圖，受臺風麥莎影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，這棵樹

折斷前有多高？

課題：勾股定理全章復習課型：復習課

【學習目標】：復習勾股定理及其逆定理，能利用它們求三角形的邊長或證明三角形是直角三角形.

【學習重點】：勾股定理及其逆定理的應用。

【學習過程】

一、知識要點1：直角三角形中，已知兩邊求第三邊

1.勾股定理：若直角三角形的三邊分別為a,b,c,ZC=90°,則o

公式變形①：若知道a,b,則。=；

公式變形②：若知道a,c,則匕=；

公式變形③：若知道b,c,則。=；

例1：求圖中的直角三角形中未知邊的長度：

b=,c=.

⑴在RtAABC中，若NC=90°,a=4,b=3,則0=.

(2)在RtAABC中，若ZB=90°,a=9,6=41,則6=.

(3)在RtAABC中，若NA=90°,a=7,b=5,則0=.

二、知識要點2：判別一個三角形是否是直角三角形。

例2：分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、

5、6,試找出哪些能夠成直角三角形。

1、在下列長度的各組線段中，能組成直角三角形的是()

A.12,15,17B.9,16,25C.5a,12a,13a(a>0)D.2,3,4

2、判斷由線段a,。，c組成的AABC是不是直角三角形.

(1)a=8,b=15,c=17(2)a=13,6=14,c=15

⑶a：。：c=V13：3：2(4)a=6,b=2后，c=V5

三、知識要點3：利用列方程求線段的長

例3：如圖，鐵路上A,B兩點相距25km,C,D為兩村莊，DA_LAB于A,CBJ_AB于B,已知

DA=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C,D兩村到E站的距

離相等，則E站應建在離A站多少km處？

如圖，某學校(A點)與公路(直線L)的距離為300米，又與公路車站(D點)

的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個小商店(C點)，使之與該校A及車站D

的距離相等，求商店與車站之間的距離.

四、知識要點4：構(gòu)造直角三角形解決實際問題

例4：如圖，小明想知道學校旗桿AB的高，他發(fā)現(xiàn)固定在旗桿頂端的繩子垂下到地面時還多1米,

當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能求出旗桿的高度嗎？

一透明的玻璃杯，從內(nèi)部測得底部半徑為6cm,杯深16cm.

今有一根長為22cm的吸管如圖2放入杯中，露在杯口外的

長度為2cm,則這玻璃杯的形狀是體.

五、拼圖

例5、在直線/上依次擺放著七個正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、

3,正放置的四個正方形的面積依次是Si、S［、$3、$4,則Sl+S2+S3+$4=.

練習：

1、已知直角三角形的兩邊長為3、2,則另一條邊長是.

2、如圖4為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要多少米?

3、一種盛飲料的圓柱形杯，測得內(nèi)部底面半徑為2.5cm,高為12cm,吸管放進杯里，杯口外面至

少要露出4.6cm,問吸管要做多長？

4、如圖一個圓柱，底圓周長6cM1,高4CMJ,一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到2點，則最少要爬

行cm

5、在直角△ABC中，斜邊長為2,周長為2+遙，求AA3C的面積.

6、小明想測量學校旗桿的高度，他采用如下的方法：先降旗桿上的繩子接長一些，讓它垂到地面還

多1米，然后將繩子下端拉直，使它剛好接觸地面，測得繩下端離旗桿底部5米，你能幫它計算一

下旗桿的高度.

7、點A是一個為半徑300根的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有2、C兩個村莊，在8C兩

個村莊之間修一條長1000m的筆直公路將兩村連通，經(jīng)測量得/ABC=45。，ZACB=30°,問次公路

是否會穿過該森林公園？請通過計算進行說明。

8、如圖，在△ABC中，是2C邊上的中線，其中，BC=6,AD=4,AB=5,.求證：AB=AC?

9、如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用Si、S、S表示，

則不難證明Si=&+S3.（1）如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別

用Si、S2、S3表示，那么Si、S2、珀之間有什么關(guān)系？（不必證明）（2）如圖③，分別以直角三角形

ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用Si、S2、8表示，請你確定Si、S2、8之間的關(guān)

系并加以證明；（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正多邊形，其面積分別用Si、S2、

$3表示，請你猜想51、$2、$3之

六、課后鞏固練習

（-）填空選擇

1、在直角三角形中，若兩邊長分別為la”，2cm,則第三邊長為

2、直角三角形一直角邊為12cm,斜邊長為13cm,則它的面積為