浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段性監(jiān)測試題含解析

Page20考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過直線方程求出斜率，進(jìn)而求出直線的傾斜角.【詳解】由題意，直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，即.故選：D.2.已知直線l的一個方向向量，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點，則等于（）A.0 B.1 C. D.3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)方向向量的定義以及向量平行的規(guī)則求解.【詳解】因為A，B點在直線l上，必有，，，，解得：；故選：A.3.我國聞名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和探討中，常用函數(shù)的圖象來探討函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來探討函數(shù)圖象的特征．我們從這個商標(biāo)中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象知函數(shù)的定義域解除選項選項A、D，再依據(jù)不成立解除選項C，即可得正確選項.【詳解】由圖知的定義域為，解除選項A、D，又因為當(dāng)時，，不符合圖象，所以解除選項C，故選：B.4.已知直線與直線平行，則實數(shù)的值是（）A. B.或0 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】首先推斷直線是否存在斜率，依據(jù)斜率相等求出參數(shù)值，檢驗是否重合.【詳解】當(dāng)時，兩直線都為，重合，故舍去；當(dāng)時，由兩直線平行，得到，解得，經(jīng)檢驗，兩直線不重合，成立，綜上，實數(shù)的值是．故選A．5.已知點A（，2），B（4，﹣3），若直線l過點P（0，1）與線段AB相交，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A. B.[]C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出直線PA、PB的斜率，即可求得直線l與線段AB相交時直線l的傾斜角取值范圍.【詳解】如圖所示，由A（，2），B（4，﹣3），P（0，1），可得斜率kPA，kPB1，因為直線l與線段AB相交，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：C.6.如圖所示，在三棱柱中，，，，點，分別是棱，的中點，則直線和所成的角是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先將EF平移到AB1，再利用中位線進(jìn)行平移，使兩條異面直線移到同一點，得到所成角，求之即可．【詳解】連接AB1，易知AB1∥EF，連接B1C交BC1于點G，取AC的中點H，連接GH，則GH∥AB1∥EF．設(shè)AB=BC=AA1=a，連接HB，在三角形GHB中，易知GH=HB=GB=a，故兩直線所成的角即為∠HGB=60°．故選B．【點睛】本題主要考查了異面直線及其所成的角，平移法是探討異面直線所成的角的最常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．7.已知，，直線，，且，則的最小值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)得到，再將化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因，所以，即，因為，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．故選：D.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要留意其必需滿意的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必需驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最簡潔發(fā)生錯誤的地方.8.如圖，在邊長為的正方體中，為的中點，點在底面上移動，且滿意，則線段的長度的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，依據(jù)得出、滿意的關(guān)系式，并求出的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最大值.【詳解】如下圖所示，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點、、，設(shè)點，，，，，得，由，得，得，，，當(dāng)時，取得最大值.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中線段長度最值的計算，涉及利用空間向量法處理向量垂直問題，考查計算實力，屬于中等題.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法不正確的是（）A.不能表示過點且斜率為的直線方程；B.在軸、軸上的截距分別為的直線方程為；C.直線與軸的交點到原點的距離為；D.平面內(nèi)的全部直線的方程都可以用斜截式來表示.【答案】BCD【解析】【分析】由中可推斷A；當(dāng)可推斷B；由距離為正數(shù)可推斷C；由截距式斜率確定存在可推斷D【詳解】由于定義域為，故不過點，故A選項正確；當(dāng)時，在軸、軸上的截距分別為0的直線不行用表示，故B不正確；直線與軸的交點為，到原點的距離為，故C不正確；平面內(nèi)斜率不存在的直線不行用斜截式表示.故選：BCD【點睛】本題考查了直線方程的幾種形式的適用范圍，考查了學(xué)生概念理解，綜合分析的實力，屬于基礎(chǔ)題.10.在長方體中，，，則異面直線與所成角的大小可能為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)空間向量夾角公式、長方體的性質(zhì)，結(jié)合空間向量加法的幾何意義、余弦函數(shù)的單調(diào)性、異面直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，，所以由勾股定理可知：，設(shè)異面直線與所成角為，，因為，所以，即，因為，所以，因此選項AB符合，故選：AB11.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則A可以是B.若，，，則C.若是銳角三角形，，，則邊長c的取值范圍是D.若，則角A的取值范圍是【答案】CD【解析】【分析】對選項A，依據(jù)正弦定理即可推斷A錯誤，對選項B，依據(jù)余弦定理即可推斷B錯誤，對選項C，依據(jù)余弦定理即可推斷C正確，對選項D，依據(jù)正弦定理角化邊公式得到，再利用余弦定理即可推斷D正確.【詳解】對選項A，，解得，故A錯誤；對選項B，，解得或，故B錯誤.對選項C，因為是銳角三角形，所以，解得，故C正確.對選項D，因為，所以，，，即，又因為，所以，故D正確.故選：CD12.將邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，如圖所示，點，分別為線段，的中點，則（）A.B.四面體的表面積為C.四面體的外接球的體積為D.過且與平行的平面截四面體所得截面的面積為【答案】BCD【解析】【分析】A用非等腰三角形來推斷，B求四面體表面積來推斷，C求外接球體積來推斷，D作出截面并計算出截面面積來推斷.【詳解】設(shè)是的中點，則兩兩相互垂直，二面角為之二面角，平面，A選項，連接，，，所以三角形不是等腰三角形，而是的中點，所以與不垂直，A選項錯誤.B選項，，所以三角形和三角形是等邊三角形，所以四面體的表面積為，B選項正確.C選項，由于，所以是四面體外接球的球心，外接球的半徑為，體積為，C選項正確.D選項，設(shè)是中點，是中點，畫出圖象如下圖所示，，四點共面.由于平面，平面，所以平面，，由于，所以平面，所以，而，所以，所以截面面積為.D選項正確.故選：BCD三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知，，當(dāng)事務(wù)，相互獨立時，________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)獨立事務(wù)的概率乘法公式求出，最終依據(jù)計算可得.【詳解】因為，，且事務(wù)，相互獨立，所以，.故答案為：14.某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差___________________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由平均數(shù)及方差的定義可得；.考點：樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征：平均值與方差.15.直線的方程為：，若直線不經(jīng)過其次象限，則實數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，分類探討，當(dāng)或時，依據(jù)直線不經(jīng)過其次象限，列出不等式方程，計算可得答案.【詳解】（1），即時，直線為，滿意不經(jīng)過其次象限；（2），即時，直線的方程化簡為：，不經(jīng)過其次象限，則有，解得；綜上，得時滿意不經(jīng)過其次象限.故答案為：16.對于銳角，若，則______．【答案】##【解析】【分析】視察角與角之間的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式將所求角轉(zhuǎn)化為已知角，然后可解.【詳解】因為為銳角，所以，所以，又因為所以.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.設(shè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）若，的面積為，求；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先應(yīng)用面積公式求a,再應(yīng)用余弦定理求解即可；（2）先應(yīng)用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用幫助角公式結(jié)合正弦求值域即可解.【小問1詳解】，解得，由余弦定理可得；【小問2詳解】由正弦定理得，所以，，，，，，的取值范圍是．18.如圖，直四棱柱中，，底面是邊長為菱形，且，為中點．（1）求點到直線的距離．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意分析可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)關(guān)系求解點到直線的距離；（2）依據(jù)二面角的向量求解方法即可.【小問1詳解】由題意易知，則如圖所示，分別以、、為，，軸建立坐標(biāo)系，則，，，，又因為，設(shè)，

,所以點到直線的距離；【小問2詳解】又，，，

設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，

則，有，解得，即可得，

解得，即可得，

設(shè)二面角的平面角為，可知為鈍角，

則，

所以平面與平面夾角的余弦值是．19.已知直線，相互垂直，且相交于點．（1）若的斜率為2，與軸的交點為Q，點在線段PQ上運動，求的取值范圍；（2）若，分別與y軸相交于點A，B，求的最小值．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）利用直線的位置關(guān)系及點斜式可得的方程為，然后利用的幾何意義及斜率公式即得；（2）設(shè)的斜率為，由題可得直線方程，進(jìn)而可得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由于的斜率為2，則的斜率為，則的方程為，令，得，表示點與連線的斜率，由于，，所以，的取值范圍是．【小問2詳解】由題可知，直線，的斜率均存在，且不為0，設(shè)的斜率為，則的斜率為，直線的方程為，令，得，直線的方程為，令，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”．故的最小值為2．20.已知以點為圓心的圓與直線：相切，過點的動直線l與圓A相交于、兩點.（1）求圓A的方程；（2）當(dāng)時，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)題意結(jié)合點到直線的距離公式求圓的半徑，即可得圓的方程；（2）先求圓心到直線l的距離，在結(jié)合點到直線的距離公式求直線l的斜率，留意探討直線l的斜率是否存在.小問1詳解】點到直線：的距離為，即圓A的圓心，半徑，故圓A的方程為.【小問2詳解】設(shè)圓心到直線l的距離為，則，解得，當(dāng)直線l的斜率不存在時，則，此時圓心到直線l的距離為，符合題意，成立；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)為，則，即，∵，解得，∴直線l：；綜上所述：直線l的方程為或.21.函數(shù)在上的最大值為，.（1）若點在的圖象上，求函數(shù)圖象的對稱中心；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的，得函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，求的最大值.【答案】（1）對稱中心為：（2）2.【解析】【分析】（1）首先依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)解析式，將點代入解析式求出，依據(jù)正弦函數(shù)的中心對稱點整體代入即可求解.（2）依據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換可得，由題意可得，解不等式即可求解.【詳解】因為函數(shù)在上的最大值為，所以因為，所以，因為，所以，所以（1）由題知：，所以，所以，又因為，所以因此；由得：所以函數(shù)圖象的對稱中心為：（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得：.再將的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的，得：，又因為在上為增函數(shù)，所以的周期，解得.所以的最大值為2.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)以及圖像的平移伸縮變換，熟記三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.22.如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面間的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連，可證四邊形為平行四邊形，，再依據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）依據(jù)平面，轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離，取的中點，連，可證平面，以為原點，分別為軸，在平面內(nèi)，作平面，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)點面距的向量公式可求出結(jié)果.【小問1詳解】取的中