靜電場及高斯定理

關(guān)于靜電場及高斯定理一、

電荷的量子化電荷守恒定律(1)電荷摩擦起電：用木塊摩擦過的琥珀能吸引碎草等輕小物體的現(xiàn)象。許多物體經(jīng)過毛皮或絲綢等摩擦后，都能夠吸引輕小的物體。人們就說它們帶了電，或者說它們有了電荷。電荷的定義：帶正負(fù)電的基本粒子。單位：庫侖(C)1、電荷的量子化第2頁,共70頁，星期六，2024年，5月當(dāng)物質(zhì)處于電中性時，質(zhì)子數(shù)＝電子數(shù)當(dāng)物質(zhì)的電子過多或過少時，物質(zhì)就帶有電荷電子過多時——物體帶負(fù)電電子過少時——物體帶正電第3頁,共70頁，星期六，2024年，5月正電子，又稱陽電子、反電子、正子，基本粒子的一種，帶正電荷，質(zhì)量和電子相等，是電子的反粒子。最早是由狄拉克從理論上預(yù)言的。1932年8月2日，美國加州理工學(xué)院的安德森等人向全世界莊嚴(yán)宣告，他們發(fā)現(xiàn)了正電子。正電子的發(fā)現(xiàn)是利用云霧室來觀測的。正電子的發(fā)現(xiàn)開辟了反物質(zhì)領(lǐng)域的研究。第4頁,共70頁，星期六，2024年，5月(2)

電荷量子化1913年，密立根用液滴法從實驗中測出所有電子都具有相同的電荷，而且?guī)щ婓w的電荷是電子電荷的整數(shù)倍。電子電量e

帶電體電量q=ne,n=1,2,3,...第5頁,共70頁，星期六，2024年，5月密立根測定電子電荷的實驗1909年密立根測量電子電荷；1923年獲得諾貝爾物理獎。方法：觀察均勻電場中帶電油滴的運動。不加電場時：油滴在重力和阻力的作用下，最后得到收尾速度。由此式可從實驗中測量油滴的質(zhì)量。第6頁,共70頁，星期六，2024年，5月加電場時油滴在重力、阻力和電場力的作用下，最后也得到收尾速度。因而可得油滴的電荷為密立根油滴實驗的結(jié)果油滴的電荷總是等于同一基元電荷的整數(shù)倍

q=ne,n=1,2,….,電子電荷的值為e=1.603×10-19C，稱為基元電荷；即電荷是量子化的。第7頁,共70頁，星期六，2024年，5月電荷的這種只能取離散的、不連續(xù)的量值的性質(zhì)，叫作電荷的量子化。電子的電荷e稱為基元電荷，或電荷的量子。1986年國際推薦值近似值第8頁,共70頁，星期六，2024年，5月說明：電荷守恒定律適用于一切宏觀和微觀過程(例如核反應(yīng)和基本粒子過程)，是物理學(xué)中普遍的基本定律之一。內(nèi)容：在孤立系統(tǒng)中，不管系統(tǒng)中的電荷如何遷移，系統(tǒng)的電荷的代數(shù)和保持不變。2、電荷守恒定律第9頁,共70頁，星期六，2024年，5月氘和氚的核聚變鈾235的核裂變第10頁,共70頁，星期六，2024年，5月二、庫侖定律庫侖(Charlse-AugustindeCoulomb1736~1806)法國物理學(xué)家1773年提出的計算物體上應(yīng)力和應(yīng)變分布情況的方法，是結(jié)構(gòu)工程的理論基礎(chǔ)。1779年對摩擦力進(jìn)行分析，提出有關(guān)潤滑劑的科學(xué)理論。1785~1789年，用扭秤測量靜電力和磁力，導(dǎo)出著名的庫侖定律。第11頁,共70頁，星期六，2024年，5月1、庫侖定律內(nèi)容在真空中，兩個靜止的點電荷之間的相互作用力，其大小與點電荷電量的乘積成正比，與兩點電荷之間距離的平方成反比，作用力在兩點電荷之間的連線上，同號電荷互相排斥，異號電荷互相吸引。表示單位矢量第12頁,共70頁，星期六，2024年，5月真空介電常數(shù)

庫侖力滿足牛頓第三定律第13頁,共70頁，星期六，2024年，5月實驗表明，庫侖力滿足矢量疊加原理。庫侖力的疊加原理：第14頁,共70頁，星期六，2024年，5月例：在氫原子中，電子與質(zhì)子之間的距離約為5.3×10-11m，求它們之間的庫侖力與萬有引力，并比較它們的大小。解：氫原子核與電子可看作點電荷，庫侖力為：萬有引力為：第15頁,共70頁，星期六，2024年，5月例：在氫原子中，電子與質(zhì)子之間的距離約為5.3×10-11m，求它們之間的庫侖力與萬有引力，并比較它們的大小。結(jié)論：庫侖力比萬有引力大得多。所以在原子中，作用在電子上的力，主要是電場力，萬有引力完全可以忽略不計。第16頁,共70頁，星期六，2024年，5月三、

電場強(qiáng)度(1)電場的概念電荷之間的相互作用是通過電場傳遞的，或者說電荷周圍存在有電場。在該電場的任何帶電體，都受到電場的作用力，這就是所謂的近距作用。電荷電場電荷1、靜電場第17頁,共70頁，星期六，2024年，5月(2)電場的物質(zhì)性給電場中的帶電體施以力的作用。當(dāng)帶電體在電場中移動時，電場力作功；表明電場具有能量。變化的電場以光速在空間傳播，表明電場具有動量。靜止電荷產(chǎn)生的場叫做靜電場。(3)靜電場第18頁,共70頁，星期六，2024年，5月2、電場強(qiáng)度（1）試驗電荷：線度足夠小，小到可以看成點電荷；電量足夠小，小到把它放入電場中后，原來的電場幾乎沒有什么變化。第19頁,共70頁，星期六，2024年，5月（2）實驗在靜止的電荷Q周圍的靜電場中，放入試驗電荷q0

，討論試驗電荷q0的受力情況。F與r有關(guān)，而且還與試驗電荷q0有關(guān)。第20頁,共70頁，星期六，2024年，5月（3）電場強(qiáng)度試驗電荷將受到源電荷的作用力與試驗電荷電量的比值F/q0則與試驗電荷無關(guān)，可以反映電場本身的性質(zhì)，用這個物理量作為描寫電場的場量，稱為電場強(qiáng)度（簡稱場強(qiáng)）。第21頁,共70頁，星期六，2024年，5月電場中某點的電場強(qiáng)度在數(shù)值上等于位于該點的單位正試驗電荷所受的電場力。電場強(qiáng)度的方向與電場力的方向一致（當(dāng)q0為正值時）。單位：N.C-1或V.m-1電場強(qiáng)度是電場的屬性，與試驗電荷的存在與否無關(guān)，并不因無試驗電荷而不存在，只是由試驗電荷反映。第22頁,共70頁，星期六，2024年，5月3、電場力電荷q在電場E中的電場力當(dāng)q>0時，電場力方向與電場強(qiáng)度方向相同；當(dāng)q<0時，電場力方向與電場強(qiáng)度方向相反。第23頁,共70頁，星期六，2024年，5月在真空中，點電荷Q放在坐標(biāo)原點，試驗電荷放在r處，由庫侖定律可知試驗電荷受到的電場力為點電荷場強(qiáng)公式Q>0，電場強(qiáng)度E與er同向Q<0，電場強(qiáng)度E與er反向。+-4、點電荷電場強(qiáng)度第24頁,共70頁，星期六，2024年，5月說明：(1)點電荷電場是非均勻電場；(2)點電荷電場具有球?qū)ΨQ性。+-點電荷場強(qiáng)公式第25頁,共70頁，星期六，2024年，5月（1）電荷離散分布在點電荷系Q1,Q2,…,Qn的電場中，在P點放一試驗電荷q0，根據(jù)庫侖力的疊加原理，可知試驗電荷受到的作用力為P點的電場強(qiáng)度5、電場強(qiáng)度疊加原理第26頁,共70頁，星期六，2024年，5月點電荷系電場中某點的場強(qiáng)等于各個點電荷單獨存在時在該點的場強(qiáng)的矢量和。這就是電場強(qiáng)度的疊加原理。第27頁,共70頁，星期六，2024年，5月（2）電荷連續(xù)分布電荷呈線狀分布dqdq=λdl線密度第28頁,共70頁，星期六，2024年，5月電荷面分布，dq=σdS面密度第29頁,共70頁，星期六，2024年，5月電荷體分布，dq=ρdV體密度第30頁,共70頁，星期六，2024年，5月電荷體分布，dq=ρdV電荷面分布，dq=σdS電荷線分布，dq=λdl體密度面密度線密度第31頁,共70頁，星期六，2024年，5月（3）電場強(qiáng)度的計算方法離散型連續(xù)型第32頁,共70頁，星期六，2024年，5月計算的步驟大致如下：取電荷元dq，寫出dq在待求點的場強(qiáng)的表達(dá)式；選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將場強(qiáng)的表達(dá)式分解為標(biāo)量表示式；進(jìn)行積分計算；寫出總的電場強(qiáng)度的矢量表達(dá)式，或求出電場強(qiáng)度的大小和方向；在計算過程中，要根據(jù)對稱性來簡化計算過程。第33頁,共70頁，星期六，2024年，5月電偶極子：等量異號電荷+q、-q，相距為r0，它相對于求場點很小，稱該帶電體系為電偶極子。r0電偶極矩：電偶極子的軸：從-q指向+q的矢量r0稱為電偶極子的軸（4）電場強(qiáng)度的計算例1、電偶極子的電場強(qiáng)度第34頁,共70頁，星期六，2024年，5月求：電偶極子軸線延長線上任意一點A處的電場強(qiáng)度Oxr0習(xí)題P775-10第35頁,共70頁，星期六，2024年，5月例2、均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的場強(qiáng)。設(shè)正電荷q均勻地分布在半徑為R的圓環(huán)上。計算在環(huán)的軸線任一點p的電場強(qiáng)度。P第36頁,共70頁，星期六，2024年，5月解：由對稱性可知，p點場強(qiáng)只有X分量例2、均勻帶電圓環(huán)軸線上一點x處的場強(qiáng)。設(shè)正電荷q均勻地分布在半徑為R的圓環(huán)上。計算在環(huán)的軸線任一點p的電場強(qiáng)度。討論：當(dāng)求場點遠(yuǎn)大于環(huán)的半徑時，方向在X軸上，正負(fù)由q的正負(fù)決定。說明遠(yuǎn)離環(huán)心的場強(qiáng)相當(dāng)于點電荷的場。Px習(xí)題P765-6（1）

第37頁,共70頁，星期六，2024年，5月例3、均勻帶電圓盤軸線上一點x處的場強(qiáng)。設(shè)圓盤帶電量為q，半徑為R。解：帶電圓盤可看成許多同心的圓環(huán)組成，取一半徑為r，寬度為dr的細(xì)圓環(huán)帶電量dER

x·prodrdqx面密度習(xí)題P765-6（2）第38頁,共70頁，星期六，2024年，5月在遠(yuǎn)離帶電圓面處，相當(dāng)于點電荷的場強(qiáng)。相當(dāng)于無限大帶電平面附近的電場，可看成是均勻場，場強(qiáng)垂直于板面，正負(fù)由電荷的符號決定。討論：1.當(dāng)x<<R2.當(dāng)x>>RdER

x·prodrdqx習(xí)題P765-9第39頁,共70頁，星期六，2024年，5月附：(1+x)m的泰勒級數(shù)展開為：第40頁,共70頁，星期六，2024年，5月小結(jié)電荷的量子化電荷守恒定律庫侖定律靜電場的概念電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度疊加原理電場強(qiáng)度的計算第41頁,共70頁，星期六，2024年，5月第2節(jié)靜電場的高斯定理1、電場強(qiáng)度通量2、高斯定理3、高斯定律應(yīng)用舉例第42頁,共70頁，星期六，2024年，5月一、電場強(qiáng)度通量(1)定義電場線上每一點的場強(qiáng)的方向與該點切線方向相同，而且電場線箭頭的指向表示場強(qiáng)的方向。1、電場線第43頁,共70頁，星期六，2024年，5月(2)幾種典型的電場線分布-Q+2Q第44頁,共70頁，星期六，2024年，5月+Q+Q第45頁,共70頁，星期六，2024年，5月(3)電場線密度定義：經(jīng)過電場中任一點，作一面積元dS，并使它與該點的場強(qiáng)垂直，若通過dS面的電場線條數(shù)為dΦ，則電場線密度為dΦ/dS。對于勻強(qiáng)電場，電場線密度處處相等，而且方向處處一致。第46頁,共70頁，星期六，2024年，5月(1)定義通過電場中某一面的電場線的條數(shù)叫做通過這一面元的電場強(qiáng)度通量。2、電場強(qiáng)度通量第47頁,共70頁，星期六，2024年，5月(2)勻強(qiáng)電場的電通量平面S的法向向量與E有夾角θ時引入面積矢量平面S的法向向量與E平行時第48頁,共70頁，星期六，2024年，5月(3)非均勻電場的電通量微元dS對封閉曲面SndS第49頁,共70頁，星期六，2024年，5月高斯（CarlFriedrichGauss1777~1855）德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家。高斯在數(shù)學(xué)上的建樹頗豐，有“數(shù)學(xué)王子”美稱。高斯長期從事于數(shù)學(xué)并將數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理學(xué)、天文學(xué)和大地測量學(xué)等領(lǐng)域的研究，主要成就：(1)物理學(xué)和地磁學(xué)：關(guān)于靜電學(xué)、溫差電和摩擦電的研究、利用絕對單位法則量度非力學(xué)量以及地磁分布的理論研究。(2)光學(xué)：利用幾何學(xué)知識研究光學(xué)系統(tǒng)近軸光線行為和成像，建立高斯光學(xué)。(3)天文學(xué)和大地測量學(xué)中：如小行星軌道的計算，地球大小和形狀的理論研究等。(4)試驗數(shù)據(jù)處理：結(jié)合試驗數(shù)據(jù)的測算，發(fā)展了概率統(tǒng)計理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引入高斯誤差曲線。3、高斯定律第50頁,共70頁，星期六，2024年，5月高斯定律的內(nèi)容：通過任一閉合曲面的電通量，等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以ε0，與封閉曲面外的電荷無關(guān)。

qdSErS第51頁,共70頁，星期六，2024年，5月包圍點電荷q的任意封閉曲面S'

qSS

電場線對于任意一個閉合曲面S’，只要電荷被包圍在S’面內(nèi)，由于電場線是連續(xù)的，在沒有電荷的地方不中斷，因而穿過閉合曲面S’與S的電場線數(shù)目是一樣的。第52頁,共70頁，星期六，2024年，5月由于電場線的連續(xù)性可知，穿入與穿出任一閉合曲面的電通量應(yīng)該相等。所以當(dāng)閉合曲面無電荷時，電通量為零。通過不包圍點電荷的任意閉合曲面的電通量為零S

q第53頁,共70頁，星期六，2024年，5月多個點電荷的電通量等于它們單獨存在時的電通量的代數(shù)和連續(xù)分布離散分布第54頁,共70頁，星期六，2024年，5月高斯定理的一個重要應(yīng)用，是用來計算帶電體周圍電場的電場強(qiáng)度。實際上，只有在場強(qiáng)分布具有一定的對稱性時，才能比較方便應(yīng)用高斯定理求出場強(qiáng)。求解的關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)母咚姑?。常見的具有對稱性分布的源電荷有：4、高斯定律應(yīng)用舉例第55頁,共70頁，星期六，2024年，5月球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等無限大平面電荷：包括無限大的均勻帶電平面，平板等。軸對稱分布：包括無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等；第56頁,共70頁，星期六，2024年，5月步驟：1.進(jìn)行對稱性分析，即由電荷分布的對稱性，分析場強(qiáng)分布的對稱性，判斷能否用高斯定理來求電場強(qiáng)度的分布（常見的對稱性有球?qū)ΨQ性、軸對稱性、面對稱性等）；2.根據(jù)場強(qiáng)分布的特點，作適當(dāng)?shù)母咚姑妫螅孩俅髨鰪?qiáng)的場點應(yīng)在此高斯面上。②穿過該高斯面的電通量容易計算：一般地，高斯面各面元的法線矢量n與E平行或垂直，n與E平行時，E的大小要求處處相等，使得E能提到積分號外面；3.計算電通量和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場強(qiáng)。第57頁,共70頁，星期六，2024年，5月例5-2、均勻帶電球殼的場強(qiáng)。P66

設(shè)有一半徑為R、均勻帶電為Q的薄球殼。求球殼內(nèi)部和外部任意點的電場強(qiáng)度。解：以球心到場點的距離為半徑作一球面，則通過此球面的電通量為根據(jù)高斯定理，通過球面的電通量為球面內(nèi)包圍的電荷當(dāng)場點在球殼外時(r>R)當(dāng)場點在球殼內(nèi)時(r<R)高斯面均勻帶電球殼高斯面第58頁,共70頁，星期六，2024年，5月當(dāng)場點在球殼外時當(dāng)場點在球殼內(nèi)時第59頁,共70頁，星期六，2024年，5月例2、均勻帶電球體的場強(qiáng)。P77,5-11設(shè)有一半徑為R、均勻帶電為Q的球體。求球體內(nèi)部和外部任意點的電場強(qiáng)度。均勻帶電球體第60頁,共70頁，星期六，2024年，5月例、均勻帶電球體的場強(qiáng)。設(shè)有一半徑為R、均勻帶電為Q的球體。求球體內(nèi)部和外部任意點的電場強(qiáng)度。均勻帶電球體解：以球心到場點的距離為半徑作一球面，則通過此球面的電通量為根據(jù)高斯定理，通過球面的電通量為球面內(nèi)包圍的電荷當(dāng)場點在球體外時(r>R)第61頁,共70頁，星期六，2024年，5月例、均勻帶電球體的場強(qiáng)。設(shè)有一半徑為R、均勻帶電為Q的球體。求球體內(nèi)部和外部任意點的電場強(qiáng)度。當(dāng)場點在球體外時當(dāng)場點在球體內(nèi)時r<R第62頁,共70頁，星期六，2024年，5月例3、無限長均勻帶電直線的場強(qiáng)P765-8設(shè)有一無限長均勻帶電直線，電荷線密度為λ，求距離直線為r的P處的電場強(qiáng)度。P第63頁,共70頁，星期六，2024年，5月例3、無限長均勻帶電直線的場強(qiáng)設(shè)有一無限長均勻帶電直線，電荷線密度為λ，求距離直線為r處的電場強(qiáng)度。解：以帶電直導(dǎo)線為軸，作一個通過P點，高為h的圓筒形封閉面為高斯面S，通過S面的電通量為圓柱側(cè)面和上、下底面三部分的通量。S其中上、下底面的電場強(qiáng)度方向與面平行，電通量為零。所以式中后兩項為零。第64頁,共70頁，星期六，2024年，5月