隨機(jī)變量的分布函數(shù)

關(guān)于隨機(jī)變量的分布函數(shù)

問(wèn)：在上式中，X,x

皆為變量.二者有什么區(qū)別？x起什么作用？F(x)

是不是概率？X是隨機(jī)變量,x是參變量.F(x)

是r.vX取值不大于x

的概率.第2頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月

由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)x1<x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間（x1,x2]的概率為：P{x1<Xx2

}=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)

因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.第3頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月

分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來(lái)研究隨機(jī)變量.第4頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月二、離散型r.v的分布函數(shù)設(shè)離散型r.vX

的概率分布列是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…則

F(x)=P(X

x)=

由于F(x)

是X

取的諸值xk

的概率之和，故又稱

F(x)

為累積概率函數(shù).第5頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月當(dāng)x<0時(shí)，{X

x}=，故F(x)=0例1.，求F(x).當(dāng)0x<1時(shí)，

F(x)=P(X

x)=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解:X012P第6頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月當(dāng)1x<2時(shí)，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=當(dāng)x2時(shí)，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例1.，求F(x).F(x)=P(X

x)解:X012P第7頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來(lái)看一下.第8頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月概率函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫分布函數(shù)圖X012P第9頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月

不難看出，F(xiàn)(x)

的圖形是階梯狀的圖形，在

x=0，1，2處有跳躍，其躍度分別等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).第10頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月三、分布函數(shù)的性質(zhì)(3)F(x)

非降，即若x1<x2，則F(x1)F(x2);(2)F()=F(x)=0

(4)F(x)

右連續(xù)，即

如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)r.vX

的分布函數(shù).也就是說(shuō)，性質(zhì)(1)--(4)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.F()=F(x)=1(1)0≤F(x)≤1,－∞<x<+∞;第11頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月試說(shuō)明F(x)能否是某個(gè)r.v

的分布函數(shù).例2.設(shè)有函數(shù)F(x)

注意到函數(shù)F(x)在上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).不滿足性質(zhì)(2)，可見F(x)也不能是r.v

的分布函數(shù).或者解：第12頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月P66定理3.2.1

例3.3.2

一個(gè)班有100名學(xué)生其中20歲的有30人，21歲的有40人，22歲的有30人?，F(xiàn)從班上任意挑選一名學(xué)生，§是學(xué)生的的年齡，求§的分布函數(shù)第13頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月例3.2.3在△ABC中任取一點(diǎn)，設(shè)§為該點(diǎn)到底邊AB的距離。又已知AB上的高位h，求§的分布函數(shù)F(x)及F(x)的導(dǎo)數(shù)，并畫出F(x)的圖像。第14頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月例3.2.4

設(shè)§是某臺(tái)儀器從時(shí)刻零開始持續(xù)工作的時(shí)間。假設(shè)在時(shí)刻t以前沒(méi)有損壞，而在時(shí)間間隔（t，t+△t）中損壞的條件概率為求§的分布函數(shù)為。第15頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月3.4連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.第16頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月.連續(xù)型隨機(jī)變量、概率密度定義

設(shè)F（x）是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在一個(gè)非負(fù)的函數(shù)f(x),對(duì)任何實(shí)數(shù)x，有，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，同時(shí)稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。

f(x)xoy第17頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月由定義知：1.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)

是連續(xù)函數(shù).2.對(duì)f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有由此F(x)與f(x)可以互推。第18頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月概率密度函數(shù)的性質(zhì)1.2.這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件.o

f(x)xy第19頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月3．

f(x)xoyx1x2第20頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月

故

X的密度f(wàn)(x)

在x

這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：=f(x)4.對(duì)f(x)的進(jìn)一步理解:P79中第21頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月

要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.

f(x)xo第22頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：

它表示隨機(jī)變量X

取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.第23頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因?yàn)樾枰赋龅氖?由于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，從而P(X=a)=0.第24頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月

P(X=a)=0的充分必要條件是F(x)是連續(xù)函數(shù)。任意a∈R。由此得，1)對(duì)連續(xù)型r.vX,有第25頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S第26頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月下面給出幾個(gè)r.v的例子.

由于連續(xù)型r.v唯一被它的密度函數(shù)所確定.所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型r.v的概率規(guī)律就得到了全面描述.

f(x)xo第27頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月解：例1.

設(shè)r.v

X

的密度函數(shù)為f(x)求(1)A,(2)F(x),(3)（1）由性質(zhì)2，A=2.第28頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月對(duì)x<-1，F(xiàn)(x)=0對(duì)對(duì)

x>1，F(xiàn)(x)=1求F(x).解：F(x)=P(X

x)=(2)第29頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月即(3).第30頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月大家一起來(lái)作下面的練習(xí).求F(x).例2

設(shè)由于f(x)是分段表達(dá)的，求F(x)時(shí)注意分段求.第31頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月=01F(x)第32頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月對(duì)連續(xù)型r.v，若已知F(x)，我們通過(guò)求導(dǎo)也可求出f(x)，請(qǐng)看下例.即第33頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月例3

設(shè)r.vX的分布函數(shù)為(1)求X取值在區(qū)間(0.3,0.7)的概率；

(2)求X的概率密度.解:(1)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4

(2)f(x)=注意到F(x)在1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在沒(méi)意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定的值.第34頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布（1）若r.vX的概率密度為：則稱X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記作：X

～U(a,b)第35頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月它的實(shí)際背景是：r.vX

取值在區(qū)間[a,b]上，并且取值在[a,b]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比.則X

具有[a,b]上的均勻分布.分布函數(shù)為:f(x)≥0,滿足概率密度性質(zhì)。第36頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月若X~U[a,b],

(x1,x2)為[a,b]的任意子區(qū)間，則

公交線路上兩輛公共汽車前后通過(guò)某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；第37頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月例4.

某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.解：依題意，

X

～U(0,30)

以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位第38頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月

為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即

7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.第39頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月例5.設(shè)K在[0，5]上服從均勻分布，求方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概率。解：K~U[0，5]，有實(shí)根等價(jià)于Δ≥0，即16K2