八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題11 一次函數(shù)幾何壓軸訓(xùn)練(解析版)_第1頁(yè)
八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題11 一次函數(shù)幾何壓軸訓(xùn)練(解析版)_第2頁(yè)
八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題11 一次函數(shù)幾何壓軸訓(xùn)練(解析版)_第3頁(yè)
八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題11 一次函數(shù)幾何壓軸訓(xùn)練(解析版)_第4頁(yè)
八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題11 一次函數(shù)幾何壓軸訓(xùn)練(解析版)_第5頁(yè)
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專題11一次函數(shù)幾何壓軸訓(xùn)練1.(2023秋?東陽市期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線分別交x軸,y軸于點(diǎn)B,A,直線OC⊥AB,垂足為點(diǎn)C,D為線段OA上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),過點(diǎn)D作直線l∥x軸,交直線AB于點(diǎn)E,交直線OC點(diǎn)F.(1)求線段OC的長(zhǎng);(2)當(dāng)DE=EF時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)若直線l過點(diǎn)C,點(diǎn)M為線段OC上一點(diǎn),N為直線l上的點(diǎn),已知OM=CN,連結(jié)AN,AM,求線段AN+AM的最小值.【答案】(1)OC=4.8;(2);(3).【解答】解:(1)∵直線分別交x軸,y軸于點(diǎn)B,A,∴當(dāng)x=0,則y=0,故A(0,6);當(dāng)y=0,則x=8,故B(8,0);∴,∵OC⊥AB,∴,即OA×OB=OC×AB,∴6×8=10×OC,∴OC=4.8;(2)依題意,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,a),∵過點(diǎn)D作直線l∥x軸,交直線AB于點(diǎn)E,交直線OC點(diǎn)F.且,∴當(dāng)y=a,則,解得,∴,即;過點(diǎn)C作CH⊥OB,由(1)知OC=4.8,OB=8∴根據(jù)等面積法,得,∴,則C(2.88,3.84),設(shè)直線OC的解析式為y=kx,把C(2.88,3.84)代入y=kx,解得,∴直線OC的解析式為,則點(diǎn),∴,∵DE=EF,∴,解得,∴;(3)如圖:在OB上取點(diǎn)H,OH=AC,連接MH,∵C(2.88,3.84),A(0,6),B(8,0),∠AOB=90°,∴AB=10,∵直線l過點(diǎn)C,∴D(0,3.84),∴AD=6﹣3.84=2.16,∴,∵OM=CN,∠ACN=∠HOM,AC=OH,∴△ACN≌△HOM(AAS),∴AN=HM,OH=AC=3.6∵要求線段AN+AM的最小值,∴要求出HM+AM最小值,則點(diǎn)A,M,H三點(diǎn)共線時(shí),則有最小值,此時(shí)最小值=.2.(2023秋?和平縣期末)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線AB:y=kx+與直線AC:y=﹣2x+b交于點(diǎn)A,兩直線與x軸分別交于點(diǎn)B(﹣3,0)和C(2,0).(1)求直線AB和AC的表達(dá)式.(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn),當(dāng)PA+PC最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)如圖2,點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),將△ABD沿直線AD翻折得到△ADE,線段AE交x軸于點(diǎn)F,若△DEF為直角三角形,求點(diǎn)D坐標(biāo).【答案】見解析.【解答】解:(1)把B(﹣3,0)代入y=kx+,∴﹣3k+=0,∴k=,∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為:y=x+,把點(diǎn)C(2,0)代入y=﹣2x+b,∴﹣4+b=0,∴b=4,∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣2x+4;(2)作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′C與y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn),如圖:當(dāng)﹣2x+4=x+時(shí),解得x=1,將x=1,代入y=﹣2x+4,解得:y=2.所以A的坐標(biāo)為:A(1,2)作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′,則A′坐標(biāo)為:A′(﹣1,2),∵A′(﹣1,2),C(2,0);∴設(shè)A′C所在直線解析式為:y=mx+n,將A′,C代入得:,解得:,即解析式為:y=﹣x+,令x=0,y=,即P點(diǎn)坐標(biāo)為:P(0,).(3)△DEF為直角三角形,分兩種情況討論:①當(dāng)∠EDF=90°時(shí),如圖,由對(duì)折可得,∠ADB=∠ADE==135°,∴∠ADO=135°﹣90°=45°,過點(diǎn)A作AG⊥BC于G,∴AG=DG=2,∵OG=1,∴OD=1,∴D(﹣1,0);②當(dāng)∠ADE=90°時(shí),如圖所示:由圖可知:BC=OB+OG=4,AF=2,F(xiàn)(1,0),OG=1,由對(duì)折得,AE=AB=2,BD=DE,∴EF=AE﹣AF=2﹣2,設(shè)DF=a,BD=4﹣a,則DE=4﹣a,由勾股定理可知:DF2+EF2=DE2,a2+=(4﹣a)2,解得:a=﹣1,∴BD=4﹣(﹣1)=5﹣,∴OD=OB﹣BD=3﹣(5﹣)=﹣2,∵D在x軸負(fù)半軸,∴D(2﹣,0).綜上所述:D點(diǎn)坐標(biāo)為:(﹣1,0)或(2﹣,0).3.(2023秋?槐蔭區(qū)期末)如圖,直線和直線l2與x軸分別相交于A,B兩點(diǎn),且兩直線相交于點(diǎn)C,直線l2與y軸相交于點(diǎn)D(0,﹣4),OA=2OB.(1)求出直線l2的函數(shù)表達(dá)式;(2)E是x軸上一點(diǎn),若S△ABC=2S△BCE,求點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)若F是直線l1上方且位于y軸上一點(diǎn),∠ACF=2∠CAO,判斷△BCF的形狀并說明理由.【答案】(1)y=2x﹣4;(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1,0)或(5,0);(3)△BCF是等腰直角三角形,理由見解析.【解答】解:(1)y=x+2,令y=0,則0=x+2得,x=﹣4,∴A(﹣4,0),∴OA=4,∵OA=2OB,∴OB=2,∴B(2,0),設(shè)直線l2的函數(shù)表達(dá)式為:y=kx+b,將D(0,﹣4)、B(2,0)分別代入y=kx+b得:,解得,∴直線l2的函數(shù)表達(dá)式為:y=2x﹣4;(2)∵點(diǎn)C是直線l1和l2的交點(diǎn),∴,解得,∴C(4,4),∵A(﹣4,0),B(2,0),∴AB=6.∴△ABC的面積為:×AB×yC=×6×4=12,∵S△ABC=2S△BCE,∴S△BCE=6,設(shè)E(m,0),∴S△BCE=×4×|m﹣2|=6,∴m=﹣1或5,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1,0)或(5,0);(3)△BCF是等腰直角三角形,理由如下:設(shè)直線l1:y=x+2與y軸相交于點(diǎn)N,過點(diǎn)C作CM∥x軸,∴∠MCA=∠CAO,CM⊥y軸,N(0,2),∵∠ACF=2∠CAO,∴∠MCA=∠MCF=∠CAO,∵A(﹣4,0),C(4,4),∴OA=MC=4,∵∠CMF=AON,∴△AON≌△CMF(ASA),∴MF=ON=2,∴F(0,6),∴CF2=42+(6﹣4)2=20,CB2=42+(4﹣2)2=20,F(xiàn)B2=22+62=40,∴CF2+CB2=FB2,CF=CB,∴△BCF是等腰直角三角形.4.(2023秋?巴中期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,直線BC與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,且CO=2AO.(1)求線段AC的長(zhǎng);(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CA以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),連接BP,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),△BPO的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍;(3)在(2)的條件下,在線段BC上是否存在點(diǎn)D,連接DP,使得△BDP是以BP為直角邊的等腰直角三角形,若存在,請(qǐng)求出t的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)9;(2)S=×3×|6﹣t|=|6﹣t|,t>0且t≠6;(3)t的值為或5.【解答】解:(1)把x=0代入y=﹣x+3,y=3,∴B(0,3),把y=0代入y=﹣x+3,x=3,∴A(3,0),∴AO=3,∵CO=2AO,∴CO=6,∴C(﹣6,0);∴AC=6+3=9;(2)∵C(﹣6,0),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CA以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),∴CP=t,∴P(﹣6+t,0),∴OP=|6﹣t|,∴S=×3×|6﹣t|=|6﹣t|,t>0且t≠6;(3)存在點(diǎn)D,使得△BDP是以BP為直角邊的等腰直角三角形,理由如下:如圖1,當(dāng)∠PBD=90°時(shí),過點(diǎn)B作GH∥x軸,過點(diǎn)D作DG⊥GH交于G點(diǎn),過點(diǎn)P作PH⊥GH交于H點(diǎn),∵∠PBD=90°,∴∠DBG+∠PBH=90°,∵∠GBD+∠BDG=90°,∴∠PBH=∠BDG,∵BD=BP,∴△BDG≌△PGH(AAS),∴GB=PH=3,GD=BH=t﹣6,∴D(﹣3,9﹣t),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,∴﹣6k+3=0,解得k=,∴直線BC的解析式為y=x+3,∴9﹣t=﹣+3,解得t=;如圖2,當(dāng)∠PBD=90°時(shí),過點(diǎn)D作DM⊥x軸交于M點(diǎn),同理可得△PDM≌△BPO(AAS),∴DM=OP=6﹣t,MP=OB=3,∴D(t﹣9,6﹣t),∴6﹣t=(t﹣9)+3,解得t=5;綜上所述:t的值為或5.5.(2023秋?金牛區(qū)期末)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,S△AOB=4,點(diǎn)C(3,m)是直線AB上一點(diǎn),在直線AB左側(cè)過點(diǎn)C的直線交y軸于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E.(1)求m和b的值;(2)當(dāng)∠ACD=45°時(shí),求直線CD的解析式;(3)如圖2,在(2)的條件下,過C作CM⊥x軸,在直線AC上一點(diǎn)P,直線CD上一點(diǎn)Q,直線CM上一點(diǎn)H,當(dāng)四邊形AHQP為菱形時(shí),求P點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)m的值為2,b的值為﹣4;(2)直線CD的解析式為y=x+1;(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,3﹣3)或(,﹣3﹣3).【解答】解:(1)∵直線y=2x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,∴B(0,b),A(﹣,0),∵S△AOB=OA?OB=4,∴×(﹣)×(﹣b)=4,解得b=﹣4或4(舍去),∴b的值為﹣4,∴直線y=2x+b=2x﹣4,∵點(diǎn)C(3,m)是直線AB上一點(diǎn),∴m=2×3﹣4=2,∴m的值為2;(2)∵b的值為﹣4,m的值為2,∴B(0,﹣4),A(2,0),C(3,2),過點(diǎn)A作AM⊥CD于M,過點(diǎn)M作MR⊥x軸于R,過點(diǎn)C作CT⊥MR于T,設(shè)M(m,n),∴∠ARM=∠MTC=90°,∠AMC=90°,∵∠ACD=45°,∠AMR+∠MAR=∠AMR+∠CMT=90°,∴∠ACD=∠CAM=45°,∠MAR=∠CMT,∴AM=MC,∴△AMR≌△MCT(AAS),∴AR=MT=2﹣m=2﹣n,MR=CT=n=3﹣m,∴n=,m=,∴M(,),設(shè)直線CD的解析式為y=rx+t,∴,解得,∴直線CD的解析式為y=x+1;(3)如圖2,設(shè)P(p,2p﹣4),∵A(2,0),CM⊥x軸,直線CM上一點(diǎn)H,∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為3,∵四邊形AHQP為菱形,∴Q(p+1,p+),H(3,p),AP=AH,∴(p﹣2)2+(2p﹣4)2=(3﹣2)2+(p)2,解得p=或,∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,3﹣3)或(,﹣3﹣3).6.(2023秋?咸陽期末)如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),且k≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣6,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,8).(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式;(2)點(diǎn)C為點(diǎn)B上方y(tǒng)軸上的點(diǎn),在該一次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1);(2)在該一次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等;點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,16)或(4.8,14.4).【解答】解:(1)把A(﹣6,0),B(0,8)代入y=kx+b得:,解得:,∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為:;(2)在該一次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等,理由如下:∵A(﹣6,0),B(0,8),∴OA=6,OB=8,∴,當(dāng)△AOB≌△PCB時(shí),如圖1所示:∵△AOB≌△PCB,∴∠BCP=∠AOB=90°,PC=OA=6,BC=OB=8,∴OC=OB+BC=8+8=16,∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(6,16);當(dāng)△AOB≌△CPB時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥y軸,如圖2所示:∵△AOB≌△CPB,∴PB=OB=8,PC=OA=6,BC=10,∠CPB=90°,∵S△PBC=BC×PQ=PC×PB,∴PQ===4.8,把x=4.8代入得:y=×4.8+8=14.4,∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(4.8,14.4);綜上分析可知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(6,16)或(4.8,14.4).7.(2023秋?歷城區(qū)期末)如圖1,直線AB:y=﹣x+b分別與x,y軸交于A(3,0),B兩點(diǎn),點(diǎn)A沿x軸向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)D.(1)分別求直線AB和BD的函數(shù)表達(dá)式.(2)在線段BD上是否存在點(diǎn)E,使△ABE的面積為,若存在,求出點(diǎn)E坐標(biāo);若不存在,說明理由.(3)如圖2,P為x軸上A點(diǎn)右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn),以P為直角頂點(diǎn),BP為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角△BPQ,連接QA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)K.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)K的位置是否發(fā)生變化?如果不變請(qǐng)求出它的坐標(biāo);如果變化,請(qǐng)說明理由.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)∵直線AB解析式:y=﹣x+b且過點(diǎn)A(3,0),∴﹣3+b=0,∴b=3,∴y=﹣x+3,∴B(0,3),由已知得點(diǎn)D為(6,0),設(shè)直線BD為y=kx+b,則有,解得,∴直線BD的解析式為;(2)存在.理由如下:∵S△BOD=OB?OD=×3×6=9,S△AOB=OA?OB=×3×3=,∴S△ADE=S△BOD﹣S△AOB﹣S△ABE=9﹣﹣=3,又∵S△ADE=AD?yE=y(tǒng)E,∴yE=2,將y=2代入,得x=2,∴點(diǎn)E為(2,2);(3)K點(diǎn)的位置不發(fā)生變化.理由如下:如圖2中,過點(diǎn)Q作CQ⊥x軸,設(shè)PA=m,∵∠POB=∠PCQ=∠BPQ=90°,∴∠OPB+∠QPC=90°,∠QPC+∠PQC=90°,∴∠OPB=∠PQC,∵PB=PQ,∴△BOP≌△PCQ(AAS),∴BO=PC=3,OP=CQ=3+m,∴AC=3+m=QC,∴∠QAC=∠OAK=45°,∴OA=OK=3,∴K(0,﹣3).8.(2023秋?江門期末)如圖所示,直線AB交x軸于點(diǎn)A(a,0),交y軸于點(diǎn)B(0,b),且a,b滿足+(a﹣4)2=0.(1)a=4,b=﹣4;(2)如圖1,若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣1,0),且AH⊥BC于點(diǎn)H,AH交OB于點(diǎn)P,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖2,若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)M為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),連接MD,過點(diǎn)D作DN⊥DM交x軸于點(diǎn)N,當(dāng)點(diǎn)M在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)的過程中,式子S△BDM﹣S△ADN的值是否發(fā)生改變?如發(fā)生改變,求出該式子的值的變化范圍;若不改變,求出該式子的值.【答案】(1)4,﹣4;(2)P(0,﹣1);(3)4.【解答】解:(1)∵+(a﹣4)2=0,且≥0,(a﹣4)2≥0,∴a+b=0,a﹣4=0,∴a=4,b=﹣4.故答案為:4,﹣4;(2)∵a=4,b=﹣4,則OA=OB=4.∵AH⊥BC于H,∴∠OAP+∠OPA=∠BPH+∠OBC=90°,∴∠OAP=∠OBC,在△OAP與△OBC中,,∴△OAP≌△OBC(ASA),∴OP=OC=1,則P(0,﹣1);(3)S△BDM﹣S△ADN的值不發(fā)生改變.S△BDM﹣S△ADN=4.連接OD,則OD⊥AB,∠BOD=∠AOD=45°,∠OAD=45°∴OD=AD,∴∠MDO=∠NDA=90°﹣∠MDA,在△ODM與△ADN中,,∴△ODM≌△ADN(ASA),∴S△ODM=S△ADN,∴S△BDM﹣S△ADN=S△BDM﹣S△ODM=S△BOD=S△AOB=×AO?BO=××4×4=4.9.(2023秋?簡(jiǎn)陽市期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=﹣x+8分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)點(diǎn)D為直線AB上一點(diǎn),且∠DCA=∠DAC,求直線CD的解析式;(3)若點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn),連接BQ,將△ABQ沿著BQ所在直線折疊,當(dāng)點(diǎn)A落在y軸上時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案】(1)C(﹣,0);(2)直線CD的解析式為y=x+;(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,0)或(﹣24,0).【解答】解:(1)設(shè)C(﹣m,0),m>0,∵直線AB:y=﹣x+8分別交x軸、y軸于點(diǎn)A,B,∴A(6,0),B(0,8),∴OA=6,OB=8,AB==10,BC=,AC=m+6,∴S△ABC=AB?BC=AC?OB,∴10×=8(m+6),解得m=,∴C(﹣,0);(2)過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E,∵∠DCA=∠DAC,∴CD=AD,∴AE=CE,∵A(6,0),C(﹣,0),∴E(﹣,0),∵點(diǎn)D為直線AB上一點(diǎn),∴D(﹣,),設(shè)直線CD的解析式為y=sx+t,∴,解得,∴直線CD的解析式為y=x+;(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(q,0).將△ABQ沿著BQ所在直線折疊,當(dāng)點(diǎn)A落在y軸負(fù)半軸上時(shí),設(shè)點(diǎn)A落在y軸負(fù)半軸的點(diǎn)A′處,如圖所示:根據(jù)折疊的性質(zhì)可得:QA=QA′,AB=A′B=10,B(0,8),∴A′(0,﹣2),∴QA′=2,在Rt△OA′Q中,A′Q2=OA′2+OQ2,∴(6﹣q)2=22+q2,解得q=,∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,0);將△ABQ沿著BQ所在直線折疊,當(dāng)點(diǎn)A落在y軸正半軸上時(shí),設(shè)點(diǎn)A落在y軸正半軸的點(diǎn)A′處,如圖所示:′根據(jù)折疊的性質(zhì)可得:QA=QA′,A′B=AB=10,B(0,8),∴A′(0,18),∴QA′=QA=6﹣q,在Rt△OA′Q中,A′Q2=OA′2+OQ2,∴(6﹣q)2=182+q2,解得q=﹣24,∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣24,0);綜上,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,0)或(﹣24,0).10.(2023秋?天橋區(qū)期末)如圖1,已知函數(shù)y=x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱.(1)請(qǐng)寫出點(diǎn)A坐標(biāo)(﹣6,0),點(diǎn)B坐標(biāo)(0,3),直線BC的函數(shù)解析式y(tǒng)=﹣x+3;;(2)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作y軸的平行線,交直線AB于點(diǎn)P,交直線BC于點(diǎn)Q.①若△PQB的面積為,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);②點(diǎn)M在線段AC上,連接BM,如圖2,若∠BMP=∠BAC,直接寫出P的坐標(biāo).【答案】(1)A(﹣6,0),B(0,3),y=﹣x+3;(2)①(,3﹣)或(﹣,3+);②(﹣,)或(,).【解答】解:(1)對(duì)于y=x+3,由x=0得:y=3,∴B(0,3).由y=0得:x+3=0,解得x=﹣6,∴A(﹣6,0),∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱.∴C(6,0)設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b,∴,解得,∴直線BC的函數(shù)解析式為y=﹣x+3;故答案為:A(﹣6,0),B(0,3),y=﹣x+3;(2)①設(shè)點(diǎn)M(m,0),則點(diǎn)P(m,m+3),點(diǎn)Q(m,﹣m+3),過點(diǎn)B作BD⊥PQ與點(diǎn)D,則PQ=|﹣m+3﹣(m+3)|=|m|,BD=|m|,則△PQB的面積=PQ?BD=m2=,解得m=±,故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,3﹣)或(﹣,3+);②如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí),∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA,∵∠BMP=∠BAC,∴∠BMP=∠BCA,∵∠BMP+∠BMC=90°,∴∠BMC+∠BCA=90°,∴∠MBC=180°﹣(∠BMC+∠BCA)=90°,∴BM2+BC2=MC2,設(shè)M(x,0),則P(x,x+3),∴BM2=OM2+OB2=x2+9,MC2=(6﹣x)2,BC2=OC2+OB2=62+32=45,∴x2+9+45=(6﹣x)2,解得x=﹣,∴P(﹣,),如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí),同理可得P(,),綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣,)或(,).11.(2023秋?萬州區(qū)期末)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x軸,y軸分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C是OB的中點(diǎn).(1)求直線AC的解析式;(2)如圖2,若點(diǎn)M是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)S△ABM=2S△AOC時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)將直線AB向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l,若點(diǎn)E為平移后直線l上的一點(diǎn),在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)F,使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn),AE為邊的四邊形為菱形,若存在,請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)y=x+2;(2)M(2,4)或(﹣6,﹣4);(3)存在,點(diǎn)F的坐標(biāo)為:(,)或(﹣,)或(2,0).【解答】解:(1)由直線AB的表達(dá)式知,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣2,0)、(0,4),∵C是BO中點(diǎn),∴C(0,2),設(shè)直線AC的表達(dá)式為:y=kx+2,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得:0=﹣2k+2,解得:k=1,∴直線AC的解析式:y=x+2;(2)∵S△AOC=×2×2=2,且C是OB中點(diǎn),∴S△ABM=2S△AOC=4,S△ABC=×2×2=2,設(shè)M(x,x+2),①當(dāng)M在C點(diǎn)右側(cè),∵S△ABM=S△ABC+S△BCM,∴4=2+×2×x,∴x=2,∴M(2,4);②當(dāng)M在點(diǎn)C左側(cè),S△BCM=S△ABC+S△ABM,∴×2×(﹣x)=2+4,∴x=﹣6,∴M(﹣6,﹣4),∴M(2,4)或(﹣6,﹣4);(3)存在,理由:由題意得,直線l的表達(dá)式為:y=2(x﹣3)+4=2x﹣2,設(shè)點(diǎn)E(m,2m﹣2)、點(diǎn)F(s,t),當(dāng)AF為對(duì)角線時(shí),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AC=AE得:,解得:或,即點(diǎn)F(,)或(2,0);當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AE=AF得:,解得:,即點(diǎn)F(﹣,),綜上,點(diǎn)F的坐標(biāo)為:(,)或(﹣,)或(2,0).12.(2022秋?鹽都區(qū)期末)如圖,直線AB:y=x+b分別與x、y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?4,0),過點(diǎn)B的直線交x軸正半軸于點(diǎn)C,且OB:OC=4:3.(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;(2)在x軸上方是否存在點(diǎn)D,使以點(diǎn)A,B,D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等.若存在,畫出△ABD,并求出點(diǎn)D的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)點(diǎn)P是y軸上的一點(diǎn),連接CP,將△BCP沿直線CP翻折,當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在x軸上時(shí),請(qǐng)直接寫出此時(shí)直線CP的函數(shù)表達(dá)式.【答案】(1)y=﹣x+4;(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣7,4)或(﹣4,7);(3)y=﹣x+或y=2x﹣6.【解答】解:(1)∵直線AB:y=x+b過點(diǎn)A(﹣4,0),∴0=﹣4+b,∴b=4.當(dāng)x=0時(shí),y=x+b=b=4,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),即OB=4.∵OB:OC=4:3,∴OC=3.∵點(diǎn)C在x軸正半軸,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c(k≠0),將B(0,4)、C(3,0)代入y=kx+c,得:,解得:,∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+4;(2)分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC兩種情況考慮(如圖1):①當(dāng)△BAD≌△ABC時(shí),∵OA=OB=4,∴∠BAC=45°.∵△BAD≌△ABC,∴∠ABD=∠BAC=45°,BD=AC=7,∴BD∥AC,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣7,4);②當(dāng)△ABD≌△ABC時(shí),∠BAD=∠BAC=45°,AD=AC=7,∴∠DAC=90°,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣4,7).綜上所述,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣7,4)或(﹣4,7);(3)依照題意畫出圖形,如圖2所示.由翻折得,PB=PB′,B′C=BC,∵OB=4,OC=3,∴B′C=BC==5,∴OB′=5﹣3=2或OB′=5+3=8,∴設(shè)OP=x,則PB=PB′=4﹣x或4+x.在Rt△POB′中,∠POB′=90°,∴OP2+OB′2=PB′2,即x2+22=(4﹣x)2或x2+82=(4+x)2,解得:x=或x=6,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,)或(0,﹣6),設(shè)直線CP的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n,∴或,解得或,∴直線CP的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+或y=2x﹣6.13.(2023春?陽江期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=﹣x+5與y軸交于點(diǎn)A,直線l2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B(﹣4,0)和點(diǎn)C,且與直線l1交于點(diǎn)D(2,m).(1)求直線l2的解析式;(2)若點(diǎn)E為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥x軸,垂足為F,且與直線l1交于點(diǎn)G,當(dāng)EG=6時(shí),求點(diǎn)G的坐標(biāo);(3)若在平面上存在點(diǎn)H,使得以點(diǎn)A,C,D,H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo).【答案】(1)y=x+2;(2)(﹣2,7);(3)(2,0)或(2,6)或(﹣2,4).【解答】解:(1)∵當(dāng)x=2時(shí),y=﹣2+5=3=m,∴D(2,3).設(shè)直線l2的解析式為y=kx+b,由題意得:,解得:.∴直線l2的解析式為y=x+2.(2)∵EF⊥x軸,∴G,E的橫坐標(biāo)相同.設(shè)G(n,﹣n+5),則E(n,n+2).∵E為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∴﹣n+5>0,n+2>0,∴FG=﹣n+5,F(xiàn)E=n+2.∴EG=FG﹣FE=﹣n+3=6.解得:n=﹣2.∴G(﹣2,7).(3)如圖,當(dāng)四邊形AHCD為平行四邊形時(shí),令x=0,則y=,∴C(0,2).∵CH∥AD,∴直線CH的解析式為:y=﹣x+2.令x=0,則y=﹣1×0+5=5,∴A(0,5).∵AH∥CD,∴直線AH的解析式為:y=x+5.∴.解得:.∴H(﹣2,4).如圖,當(dāng)四邊形AHDC為平行四邊形時(shí),∵DH∥AC,∴直線DH的解析式為x=2,∵AH∥DC,∴直線AH的解析式為y=x+5,∴當(dāng)x=2時(shí),y=×2+5=6,∴H(2,6).當(dāng)四邊形ADHC為平行四邊形時(shí),如圖,∵DH∥AC,∴直線DH的解析式為x=2,∵CH∥AD,∴直線CH的解析式為:y=﹣x+2,當(dāng)x=2時(shí),y=﹣2+2=0,∴H(2,0).綜上,存在點(diǎn)H,使得以點(diǎn)A,C,D,H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,點(diǎn)H的坐標(biāo)為:(2,0)或(2,6)或(﹣2,4).14.(2022春?潮陽區(qū)期末)如圖,直線y=x﹣3交x軸于A,交y軸于B,(1)求A,B的坐標(biāo)和AB的長(zhǎng)(直接寫出答案);(2)點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn),若AC=BC,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn),∠BAO=2∠DBO,求點(diǎn)D的坐標(biāo).【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)對(duì)于直線y=x﹣3,令x=0,得到y(tǒng)=﹣3,∴B(0,﹣3).令y=0,得到x=4,∴點(diǎn)A為(4,0),點(diǎn)B為(0,﹣3),∴OA=4,OB=3,∴AB==5.(2)設(shè)OC=x,則BC=BO+OC=x+3,即AC=BC=x+3,在Rt△AOC中,∵AC2=OC2+AO2,∴x2+42=(x+3)2,∴x=,∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,).(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上時(shí),∵∠BAO=2∠DBO,∴∠ABD=∠DBO+∠ABO=∠BAO+90°﹣∠BAO=90°﹣∠BAO=90°﹣∠DBO=∠ADB,∴AD=AB=5,∴OD=5﹣4=1,∴D(﹣1,0),根據(jù)對(duì)稱性可知,當(dāng)點(diǎn)D在x軸的正半軸上時(shí),D′(1,0).綜上所述,滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1,0)或(1,0).15.(2023春?武穴市期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,直線l2:y=3x﹣6與x軸交于點(diǎn)D,與l1相交于點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)在y軸上一點(diǎn)E,若S△ACE=S△ACD,求點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)直線l1上一點(diǎn)P(1,3),平面內(nèi)一點(diǎn)F,若以A、P、F為頂點(diǎn)的三角形與△APD全等,求點(diǎn)F的坐標(biāo).【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)∵直線l2:y=3x﹣6與x軸交于點(diǎn)D,∴令y=0,則3x﹣6=0,∴x=2,∴D(2,0);(2)如圖1,∵直線l1:y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,∴令y=0.∴x+2=0,∴x=﹣2,∴A(﹣2,0),由(1)知,D(2,0),∴AD=4,聯(lián)立直線l1,l2的解析式得,,解得,,∴C(4,6),∴S△ACD=AD?|yC|=×4×6=12,∵S△ACE=S△ACD,∴S△ACE=12,直線l1與y軸的交點(diǎn)記作點(diǎn)B,∴B(0,2),設(shè)點(diǎn)E(0,m),∴BE=|m﹣2|,∴S△ACE=BE?|xC﹣xA|=|m﹣2|×|4+2|=3|m﹣2|=12,∴m=﹣2或m=6,∴點(diǎn)E(0,﹣2)或(0,6);(3)如圖2,①當(dāng)點(diǎn)F在直線l1上方時(shí),∵以A、P、F為頂點(diǎn)的三角形與△APD全等,∴Ⅰ、當(dāng)△APF'≌△APD時(shí),連接DF',BD,由(2)知,B(0,2),由(1)知,A(﹣2,0),D(2,0),∴OB=OA=OD,∴∠ABO=∠DBO=45°,∴∠ABD=90°,∴DB⊥l1,∵△APF'≌△APD,∴PF'=PD,AF'=AD,∴直線l1是線段DF'的垂直平分線,∴點(diǎn)D,F(xiàn)'關(guān)于直線l1對(duì)稱,∴DF'⊥l1,∴DF'過點(diǎn)B,且點(diǎn)B是DF'的中點(diǎn),∴F'(﹣2,4),Ⅱ、當(dāng)△PAF≌△APD時(shí),∴PF=AD,∠APF=∠PAD,∴PF∥AD,∵點(diǎn)D(2,0),A(﹣2,0),∴點(diǎn)D向左平移4個(gè)單位,∴點(diǎn)P向左平移4個(gè)單位得,F(xiàn)(1﹣4,3),∴F(﹣3,3),②當(dāng)點(diǎn)F在直線l1下方時(shí),∵△PAF''≌△APD,由①Ⅱ知,△PAF≌△APD,∴△PAF≌△PAF'',∴AF=AF'',PF=PF'',∴點(diǎn)F與點(diǎn)F'關(guān)于直線l1對(duì)稱,∴FF''⊥l1,∵DF'⊥l1,∴FF''∥DF',而點(diǎn)F'(﹣2,4)先向左平移一個(gè)單位,再向下平移一個(gè)單位,∴D(2,0),向左平移1個(gè)單位,再向下平移一個(gè)單位得F''(2﹣1,0﹣1),∴F''(1,﹣1),當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)P重合時(shí),符合題意,即F(2,0),即:點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣3,3)或(﹣2,4)或(1,﹣1)或(2,0).16.(2023春?淅川縣期末)如圖,已知直線y=kx+b經(jīng)過A(6,0)、B(0,3)兩點(diǎn).(1)求直線y=kx+b的解析式;(2)若C是線段OA上一點(diǎn),將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,此時(shí)點(diǎn)D恰好落在直線AB上.①求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo);②若點(diǎn)P在y軸上,Q在直線AB上,是否存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo),否則說明理由.【答案】(1)y=﹣x+3;(2)①點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,1);②存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,)或(﹣3,)或(5,).【解答】解:(1)將A(6,0),B(0,3)代入y=kx+b得:,解得:,∴直線AB的表達(dá)式為y=﹣x+3;(2)①∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90°,∴∠OCB+∠DCE=90°,∠DCE+∠CDE=90°,∴∠BCO=∠CDE.在△BOC和△CED中,,∴△BOC≌△CED(AAS),∴OC=DE,BO=CE=3.設(shè)OC=DE=m,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m+3,m),∵點(diǎn)D在直線AB上,∴m=﹣(m+3)+3,∴m=1,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,1);②存在,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(n,﹣n+3).分兩種情況考慮,當(dāng)CD為邊時(shí),∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,1),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0,∴0﹣n=4﹣1或n﹣0=4﹣1,∴n=﹣3或n=3,∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,)或(﹣3,);當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí),∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,1),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0,∴n+0=1+4,∴n=5,∴點(diǎn)Q″的坐標(biāo)為(5,).綜上所述:存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,)或(﹣3,)或(5,).17.(2023春?拜泉縣期末)綜合與探究.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩條鄰邊分別在x軸、y軸上,對(duì)角線,點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(2a,a).(1)A(0,4),C(8,0).(2)把矩形OABC沿直線DE對(duì)折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處,直線DE與OC、AC、AB的交點(diǎn)分別為D,F(xiàn),E,求直線DE的解析式(問題(1)中的結(jié)論可直接使用).(3)若點(diǎn)M在y軸上,則在平面直角坐標(biāo)系中的x軸及x軸的下方,是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以A、D、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(0,4),(8,0);(2)y=2x﹣6;(3)存在,N的坐標(biāo)為(3,﹣5)或(﹣3,0).【解答】解:(1)∵四邊形OABC是矩形,B(2a,a)∴OA=BC=a,AB=OC=2a,則,∴a=4,則2a=8,∴A(0,4),C(8,0),故答案為:(0,4),(8,0);(2)連接AD,CE,∵矩形OABC沿直線DE對(duì)折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處,∴DE是AC的垂直平分線,AF=CF,AB∥OC,則∠EAF=∠DCF,∠AEF=∠CDF,∴AD=CD,AE=CE,△EAF≌△DCF(AAS),∴AE=CD,則四邊形ADCE是菱形,∴AD=CD=AE=CE,設(shè)OD=x,則AD=CD=8﹣x,在Rt△AOD中:AD2=OA2+OD2,即(8﹣x)2=x2+16,解得:x=3,∴OD=3,CD=AE=5,∴D(3,0),E(5,4),設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b,將D、E坐標(biāo)代入得:,解得:,∴直線DE的解析式為y=2x﹣6.(3)設(shè)M(0,m),∵OA=4,OD=3,∴,①當(dāng)AM=AD時(shí),即|4﹣m|=5,解得:m=﹣1(m=9時(shí),點(diǎn)N在x軸上方,舍去)∴M(0,﹣1),由中點(diǎn)坐標(biāo)可得:,得,即:N(3,﹣5);②當(dāng)DM=AD時(shí),,解得:m=﹣4(m=4時(shí),點(diǎn)M與點(diǎn)A重合,舍去),∴M(0,﹣4),由中點(diǎn)坐標(biāo)可得:,得,即:N(﹣3,0);③當(dāng)MA=MD時(shí),MA=DM=|4﹣m|,由勾股定理可得:DM2=OM2+OD2,即(4﹣m)2=m2+32,解得:,此時(shí)點(diǎn)N在x軸上方,故不符合題意,綜上,當(dāng)N的坐標(biāo)為(3,﹣5)或(﹣3,0)時(shí),使得以A、D、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.18.(2023春?唐縣期末)(1)基本圖形的認(rèn)識(shí):如圖1,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn),AB=EC,BE=CD,連結(jié)AE、DE,求證:△AED是等腰直角三角形.(2)基本圖形的構(gòu)造:如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,A(2,0),B(0,3),連結(jié)AB,過點(diǎn)A在第一象限內(nèi)作AB的垂線,并在垂線截取AC=AB,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)基本圖形的應(yīng)用:如圖3,一次函數(shù)y=﹣2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,直線AC交x軸于點(diǎn)D,且∠CAB=45°,求點(diǎn)D的坐標(biāo).【答案】(1)證明過程見解析;(2)(5,2);(2)(6,0).【解答】(1)證明:∵在△ABE和△ECD中,,∴△ABE≌△ECD(SAS),∴AE=DE,∠AEB=∠EDC,在Rt△EDC中,∠C=90°,∴∠EDC+∠DEC=90°.∴∠AEB+∠DEC=90°.∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°,∴∠AED=90°.∴△AED是等腰直角三角形;(2)解:過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H,如圖2,則∠AHC=90°.∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°,∴∠OAB=180°﹣90°﹣∠HAC=90°﹣∠HAC=∠HCA.在△AOB和△CHA中,,∴△AOB≌△CHA(AAS),∴AO=CH,OB=HA,∵A(2,0),B(0,3),∴AO=2,OB=3,∴AO=CH=2,OB=HA=3,∴OH=OA+AH=5,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,2);(3)解:如圖3,過點(diǎn)B作BE⊥AB,交AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥OD,交OD于點(diǎn)F,把x=0代入y=﹣2x+2中,得y=2,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),∴OA=2,把y=0代入y=﹣2x+2,得﹣2x+2=0,解得x=1,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),∴OB=1,∵AO⊥OB,EF⊥BD,∴∠AOB=∠BFE=90°,∵AB⊥BE,∴∠ABE=90°,∠BAE=45°,∴AB=BE,∠ABO+∠EBF=90°,又∵∠ABO+∠OAB=90°,∴∠OAB=∠EBF,在△AOB和△BFE中,,∴△AOB≌△BFE(AAS),∴BF=OA=2,EF=OB=1,∴OF=3,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,1),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,由題意可得,解得,∴直線AC的解析式為y=﹣x+2,令y=0,解得x=6,∴D(6,0).19.(2023春?新羅區(qū)期末)數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面:第一種情形是“以數(shù)解形”,而第二種情形是“以形助數(shù)”.例如:在我們學(xué)習(xí)數(shù)軸的時(shí)候,數(shù)軸上任意兩點(diǎn),A表示的數(shù)為a,B表示的數(shù)為b,則A,B兩點(diǎn)的距離可用式子|a﹣b|表示.研一研:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A(a,0)、點(diǎn)B(0,b),且a、b滿足(a﹣6)2+|b﹣4|=0.(1)直接寫出以下點(diǎn)的坐標(biāo):A(6,0),B(0,4).(2)若點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別是y軸正半軸(不與B點(diǎn)重合)、x軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn),過Q作QC∥AB,連接PQ.已知∠BAO=34°,請(qǐng)?zhí)剿鳌螧PQ與∠PQC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)已知點(diǎn)D(3,2)是線段AB的中點(diǎn),若點(diǎn)H為y軸上一點(diǎn),且,求S△AHD=S△AOB,求點(diǎn)H的坐標(biāo).【答案】(1)6,4;(2)∠BPQ+∠PQC=236°,理由見解答過程;(3)H(0,)或(0,﹣).【解答】解:(1)∵(a﹣6)2+|b﹣4|=0,∴a﹣6=0,b﹣4=0,解得a=6,b=4,故答案為:6,4;(2)∠BPQ+∠PQC=236°,理由如下:設(shè)QC交y軸于點(diǎn)M,∵∠BAO=34°,∴∠ABO=90°﹣∠BAO=56°,∵QC∥AB,∴∠PMQ=∠ABO=56°,∵∠BPQ=∠PQM+∠PMQ=(180°﹣∠PQC)+∠PMQ=236°﹣∠PQC,即∠BPQ+∠PQC=236°;(3)設(shè)H(0,m),過D點(diǎn)作DN⊥y軸于N,∵D(3,2),A(6,0),B(0,4),∴OB=4,ON=2,OA=6,DN=3,∵S△AHD=S△AOB=××4×6=8,∴S△ABH﹣S△BHD=8,即BH?OA﹣BH?DN=8,∴BH=16÷(OA﹣DN)=16÷(6﹣3)=,∴m==或m=4﹣,即H(0,)或(0,﹣).20.(2023春?紅安縣期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=kx+8分別交x軸,y軸于點(diǎn)A,B,點(diǎn)A(8,0).直線l2:經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)Q,分別交x軸,y軸于點(diǎn)C,D.(1)請(qǐng)直接寫出k的值;(2)請(qǐng)求出直線l2的解析式;(3)點(diǎn)P(t,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE∥y軸交l1,l2于點(diǎn)E,F(xiàn);當(dāng)EF=2EP時(shí),求t的值.【答案】(1)k=﹣1;(2)y=x+2;(3)t=20,或t=;【解答】解:(1)∵A(8,0)過直線l1:y=kx+8,∴0=k×8+8,解得:k=﹣1,∴k=﹣1;(2)∵l1:y=﹣x+8分別交x軸,y軸于點(diǎn)A,B,∴B(0,8),∵AB的中點(diǎn)Q,A(8,0),∴Q()即Q(4,4),∵l2:y=x+b過Q點(diǎn),∴4=×4+b,解得:b=2,∴l(xiāng)2:y=x+2;(3)∵P(t,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE∥y軸交l1:y=﹣x+8,l2:y=x+2于點(diǎn)E,F(xiàn);∴E(t,﹣t+8),F(xiàn)(t,t+2),∴EF==,EP=,當(dāng)EF=2EP時(shí),=2,解得:t=20,或t=;21.(2023春?樊城區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y1=ax+b的圖象與x軸,y軸交于A,B;與直線y2=kx交于P(2,1),且PO=PA.(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)求函數(shù)y1,y2的解析式;(3)點(diǎn)D為直線y1=ax+b上一動(dòng)點(diǎn),其橫坐標(biāo)為t(t<2),DF⊥x軸于點(diǎn)F,交y2=kx于點(diǎn)E,且DF=2EF,求點(diǎn)D的坐標(biāo);(4)在(3)的條件下,如果點(diǎn)D在第一象限內(nèi),過點(diǎn)P的直線y=mx+n將四邊形OBDE分為兩部分,兩部分的面積分別設(shè)為S1,S2.若≤2,直接寫出m的取值范圍.【答案】(1)A(4,0).(2),.(3)或(﹣4,4).(4).【解答】解:(1)如圖,過點(diǎn)P作PQ⊥OA于Q,∵PO=PA,PQ⊥OA,P(2,1),∴OQ=QA=2,∴OA=4,點(diǎn)A(4,0).(2)把P(2,1)代入y=kx中,得2k=1,解得,則,把A(4,0),P(2,1)代入y=ax+b,得,解得,∴.(3)∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,分別代入y1,y2中,得,,∴,,F(xiàn)(t,0),∵DE=2EF,∴|﹣|=2||,當(dāng)時(shí),解得,∴,當(dāng)時(shí),解得t=﹣4,∴D(﹣4,4).(4)由(3)可得:,,,在中,令x=0,則y=2,∴B(0,2),∵直線y=mx+n過點(diǎn)P(2,1),∴1=2m+n,即n=1﹣2m,∴y=mx+1﹣2m,如圖,設(shè)直線y=mx+1﹣2m與y軸交于點(diǎn)Q,與直線DE交于點(diǎn)R,令x=0,則y=1﹣2m,∴Q(0,1﹣2m),令,則,∴,∴,BQ=2﹣(1﹣2m)=1+2m,∵過點(diǎn)P的直線y=mx+n將四邊形OBDE分為兩部分,且,∴四邊形BDRQ的面積為四邊形OBDE的或,∵,,∴或,解得或,∴m的范圍是.22.(2023春?松北區(qū)期末)如圖,直線y=x+10交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,直線y=kx+b過點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C,且C為線段OB的中點(diǎn).(i)求k、b的值;(2)點(diǎn)P為線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接PB,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,△PAB的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;(3)在(2)的條件下,點(diǎn)D在線段AO的延長(zhǎng)線上,連接CD、PD,且,點(diǎn)E在AD上,且∠DPE=45°,過點(diǎn)C作CF∥PE,交x軸于點(diǎn)F,若AF=DE,求P點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1),b=5(2)S=t+25;(3)P(4,7).【解答】解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=10,∴B(0,10),∴OB=10,∵C為線段OB的中點(diǎn),∴C(0,5),當(dāng)y=0時(shí),x=﹣10,∴A(﹣10,0),將點(diǎn)A、C代入y=kx+b,∴,解得;(2)∵BC=5,∴S△PAB=×BC×(xP﹣xA)=×(t+10)=t+25,∴S=t+25;(3)過點(diǎn)A作AM∥PD,延長(zhǎng)CF與AM交于點(diǎn)M,∵CF∥PE,∴∠PED=∠CFD,∵∠AFM=∠CFD,∴∠AFM=∠PED,∵AM∥PD,∴∠FAM=∠PDE,∵AF=ED,∴△PED≌△MFA(ASA),∴∠M=∠EPD=45°,過點(diǎn)D作PN⊥CP交于點(diǎn)N,設(shè)∠APE=α,∵CF∥PE,∴∠ACF=α,∵,∴∠CDN=∠CDP,∴ND是∠CDP的角平分線,∴CD=DP,∴∠PCD=45°+α,∴∠ACD=135°﹣α,∵∠CAM=180°﹣45°﹣α=135°﹣α,∴∠ACD=∠CAM,∵AC=AC,∠ACD=∠CAM,AM=CD,∴△AMC≌△CDA(SAS),∴∠CDA=∠M=45°,∴CO=DO=5,∴D(5,0),設(shè)P(m,m+5),∴PD==5,解得m=0(舍)或m=4,∴P(4,7).23.(2023春?碑林區(qū)校級(jí)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣2x+b與x軸,y軸分別交于A、B兩點(diǎn).直線交線段AB于點(diǎn)C(1,m),且S△AOB=2S△BOC.(1)求b的值;(2)若點(diǎn)D是y軸上一點(diǎn),點(diǎn)E為平面上一點(diǎn),是否存在以點(diǎn)A,B,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.【答案】(1)b=4;(2)存在以點(diǎn)A,B,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,3)或(2,4).【解答】解:(1)將點(diǎn)C(1,m)代入y=x+得,m=×1+=2,∴點(diǎn)C(1,2),把點(diǎn)C(1,2)代入y=﹣2x+b得,2=﹣2+b,∴b=4;(2)設(shè)點(diǎn)D(0,m),∵直線y=﹣2x+b與x軸,y軸分別交于A、B兩點(diǎn),b=4.∴A(2,0),B(0,4),①當(dāng)AB為矩形的邊時(shí),如圖1,∵四邊形ABED是矩形,∴∠BAD=90°,在Rt△ABD中,AD2+AB2=BD2,∴m2+22+22+42=(4﹣m)2,解得m=﹣1,∴點(diǎn)D(0,﹣1),∵A(2,0),B(0,4),∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,3);②當(dāng)AB為矩形的對(duì)角線時(shí),如圖2,∵四邊形ADBE是矩形,∴∠ADB=90°,在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,∴m2+22+(4﹣m)2=22+42,解得m=0或4(舍去),∴點(diǎn)D(0,0),∵A(2,0),B(0,4),∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,4);綜上,存在以點(diǎn)A,B,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,3)或(2,4).24.(2023春?臺(tái)江區(qū)期末)已知直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,P為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P分別作PF⊥x軸于點(diǎn)F,PE⊥y軸于點(diǎn)E,如圖所示.(1)若點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn),求OP的長(zhǎng);(2)若四邊形PEOF為正方形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)過程中,EF的長(zhǎng)是否有最小值,若有,求出這個(gè)最小值;若沒有,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)OP的長(zhǎng)為;(2)P(12,12)或(﹣,);(3)P在AB上運(yùn)動(dòng)過程中,EF的長(zhǎng)有最小值,EF的長(zhǎng)最小值為.【解答】解:(1)在y=x+3中,令x=0得y=3,令y=0得x=﹣4,∴A(﹣4,0),B(0,3),∵點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn),∴P(﹣2,),∴OP==,∴OP的長(zhǎng)為;(2)設(shè)P(m,m+3),∴PE=|m|,PF=|m+3|,∵∠PFO=∠PEO=∠EOF=90°,∴PE=PF時(shí),四邊形PEOF為正方形,∴|m|=|m+3|,即m=m+3或﹣m=m+3,解得m=12或m=﹣,經(jīng)檢驗(yàn),m=12,m=﹣均符合題意,∴P(12,12)或(﹣,);(3)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)過程中,EF的長(zhǎng)有最小值,理由如下:連接OP,如圖:∵∠PFO=∠PEO=∠EOF=90°,∴四邊形PEOF為矩形,∴EF=OP,∴當(dāng)OP最小時(shí),EF最小,此時(shí)OP⊥AB,∵A(﹣4,0),B(0,3),∴AB==5,∵2S△AOB=OA?OB=AB?OP,∴OP===,∴EF的長(zhǎng)最小值為.25.(2023春?舞陽縣期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、C,直線AB與y軸交于點(diǎn)B(0,﹣3),與直線CD交于點(diǎn)A(m,3).(1)求直線AB的解析式;(2)點(diǎn)E是射線CD上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作EF∥y軸,交直線AB于點(diǎn)F.若以O(shè)、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)設(shè)P是射線CD上一點(diǎn),在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)y=2x﹣3;(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5,1)或(1,5);(3)存在,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣,),(9,6)或(,﹣﹣3).【解答】解:(1)∵點(diǎn)A(m,3)在直線y=﹣x+6上,∴﹣m+6=3解得m=3,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,3),設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,∴,解得,∴直線AB的解析式為y=2x﹣3;(2)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a,﹣a+6),∵EF∥y軸,點(diǎn)F在直線y=2x﹣3上,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(a,2a﹣3),∴EF=|﹣a+6﹣(2a﹣3)|=|﹣3a+9|,∵以點(diǎn)O、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,且EF∥OC,∴EF=OC,∵直線y=﹣x+6與y軸交于點(diǎn)C,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6),∴OC=6,即|﹣3a+9|=6,解得:a=5或a=1,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5,1)或(1,5);(3)如圖2,當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí),PQ是BC的垂直平分線,且點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于BC對(duì)稱,∵B(0,﹣3),C(0,6),∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為,將y=代入y=﹣x+6中,得﹣x+6=,∴x=,∴P(,),∴Q(﹣,);如圖3,當(dāng)CP是對(duì)角線時(shí),CP是BQ的垂直平分線,設(shè)Q(m,n),∴BQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),代入直線y=﹣x+6中,得﹣+6=①,∵CQ=CB,∴m2+(n﹣6)2=(6+3)2②,聯(lián)立①②得,(舍)或,∴Q(9,6);如圖4,當(dāng)PB是對(duì)角線時(shí),PC=BC=9,設(shè)P(c,﹣c+6),∴c2+(﹣c+6﹣6)2=81,∴c=﹣(舍)或c=,∴P(,6﹣),∴Q(,﹣﹣3),綜上,存在,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣,),(9,6)或(,﹣﹣3).26.(2022秋?新都區(qū)期末)如圖所示,直線l1:y=x﹣1與y軸交于點(diǎn)A,直線l2:y=﹣2x﹣4與x軸交于點(diǎn)B,直線l1與l2交于點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)A,C的坐標(biāo);(2)點(diǎn)P在直線l1上運(yùn)動(dòng),求出滿足條件S△PBC=S△ABC且異于點(diǎn)A的點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)點(diǎn)D(2,0)為x軸上一定點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)Q在直線l1上運(yùn)動(dòng)時(shí),請(qǐng)直接寫出|DQ﹣BQ|的最大值.【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2);(2)(﹣2,﹣3);(3)|DQ﹣BQ|的最大值為.【解答】解:(1)∵直線l1:y=x﹣1,令x=0,y=﹣1,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣1),聯(lián)立直線l1:y=x﹣1與直線l2:y=﹣2x﹣4得,解得,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2);(2)如圖,直線l1:y=x﹣1,令y=0,0=x﹣1,∴x=1,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)(1,0),直線l2:y=﹣2x﹣4,令y=0,0=﹣2x﹣4,∴x=﹣2,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)(﹣2,0),∴BM=3,∴S△ABC=S△MBC﹣S△ABM=×3×2﹣××3×1=,∵S△PBC=S△ABC,∴S△PBC=S△MBP﹣S△CBM=×3×|yP|﹣××3×2=,∴|yP|=3,∵點(diǎn)P在直線l1上運(yùn)動(dòng),∴x﹣1=±3,解得x=﹣2或4(舍去),∴滿足條件S△PBC=S△ABC且異于點(diǎn)A的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,﹣3);(3)如圖,作點(diǎn)B關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接B′D并延長(zhǎng)交直線l1于Q,∴BQ=B′Q,BE=B′E,CE⊥BB′.∴∠B′EB=90°,設(shè)直線l1交x軸于E,∵直線l1:y=x﹣1,令y=0,則x=1,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0),∵點(diǎn)B的坐標(biāo)(﹣2,0),∴BE=B′E=3,∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)(1,﹣3),∴|DQ﹣BQ|的最大值為|DQ﹣B′Q|=B′D.∵點(diǎn)D(2,0),∴B′D==,∴|DQ﹣BQ|的最大值為.27.(2022秋?金華期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=kx+1交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B(4,0),過點(diǎn)E(2,0)的直線l2平行于y軸,交直線l1于點(diǎn)D,點(diǎn)P是直線l2上一動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)D),連接PA、PB.(1)直線l1的表達(dá)式為y=﹣x+1,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,);(2)設(shè)P(2,m),當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的下方時(shí),求△ABP的面積S的表達(dá)式(用含m的代數(shù)式表示);(3)當(dāng)△ABP的面積為3時(shí),則以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BPC,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo).【答案】(1)y=﹣x+1,(2,);(2)S=1﹣2m;(3)點(diǎn)C坐標(biāo)為(6,2)或(2,﹣2)或(3,2)或(5,﹣2).【解答】解:(1)∵直線l1:y=kx+1交x軸于點(diǎn)B(4,0),∴0=4k+1.∴k=﹣.∴直線l1:y=﹣x+1,把x=2代入y=﹣x+1得y=,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,),故答案為:y=﹣x+1;(2,);(2)由得:.∴D(2,).∵P(2,m),∴PD=|m﹣|.∴S=×|4﹣0|?PD=×|m﹣|×4=|2m﹣1|.當(dāng)m<時(shí),S=1﹣2m;(3)當(dāng)S△ABP=3時(shí),2m﹣1=3,解得m=2,∴點(diǎn)P(2,2),∵E(2,0),∴PE=BE=2,∴∠EPB=∠EBP=45°,如圖2,∠PBC=90°,BP=BC,過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F,∵∠PBC=90°,∠EBP=45°,∴∠CBF=∠PBE=45°,在△CBF與△PBE中,,∴△CBF≌△PBE(AAS).∴BF=CF=PE=EB=2.∴OF=OB+BF=4+2=6.∴C(6,2);如圖3,△PBC是等腰直角三角形,∴PE=CE,∴C(2,﹣2),∴以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BPC,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(6,2)或(2,﹣2).當(dāng)1﹣2m=3時(shí),m=﹣1,可得P(2,﹣1),同法可得C(3,2)或(5,﹣2).綜上所述,滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為(6,2)或(2,﹣2)或(3,2)或(5,﹣2).28.(2021秋?新都區(qū)校級(jí)期末)如圖,已知直線y=x﹣2分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),直線OG:y=kx(k<0)交AB于點(diǎn)D.(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)如圖1,點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn),連接AE,點(diǎn)F是射線OG上一點(diǎn),當(dāng)OG⊥AE,且OF=AE時(shí),在x軸上找一點(diǎn)P,當(dāng)PE+PD的值最小時(shí),求出△APE的面積;(3)如圖2,若k=﹣2,過B點(diǎn)BC∥OG,交x軸于點(diǎn)C,此時(shí)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使∠OBM+∠OBC=45°,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)B(0,﹣2),A(2,0);(2)當(dāng)PE+PD的值最小時(shí),P(,0),△APE的面積為;(3)存在,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0)或(﹣,0).【解答】解:(1)令x=0,則y=﹣2,∴B(0,﹣2),令y=0,則x=2,∴A(2,0);(2)∵點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn),B(0,﹣2),∴E(0,﹣1),如圖,過F點(diǎn)作FW⊥y軸交于點(diǎn)W,∵OG⊥AE,∴∠AOF+∠OAE=90°,∵∠AOE+∠EOF=90°,∴∠OAE=∠EOF,∵OF=AE,∠AOE=∠OWF,∴△AOE≌△OWF(AAS)∴OE=FW=1,OA=OW=2,∴F(1,﹣2),作E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E',連接E'D交x軸于點(diǎn)P,∴EP=E'P,∴PE+PD=PE'+PD≥E'D,當(dāng)E'、D、P三點(diǎn)共線時(shí),PE+PD的值最小,∵E(0,﹣1),∴E'(0,1),∵F(1,﹣2)在直線OG上,∴k=﹣2,∴y=﹣2x,,聯(lián)立,∴x=,∴D(,﹣),設(shè)直線E'D的解析式為y=k'x+b,∴,∴,∴y=﹣x+1,

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