八年級數(shù)學下冊專題11 一次函數(shù)幾何壓軸訓練（解析版）

專題11一次函數(shù)幾何壓軸訓練1．（2023秋?東陽市期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸，y軸于點B，A，直線OC⊥AB，垂足為點C，D為線段OA上一點（不與端點重合），過點D作直線l∥x軸，交直線AB于點E，交直線OC點F．（1）求線段OC的長；（2）當DE＝EF時，求點D的坐標；（3）若直線l過點C，點M為線段OC上一點，N為直線l上的點，已知OM＝CN，連結AN，AM，求線段AN+AM的最小值．【答案】（1）OC＝4.8；（2）；（3）．【解答】解：（1）∵直線分別交x軸，y軸于點B，A，∴當x＝0，則y＝0，故A（0，6）；當y＝0，則x＝8，故B（8，0）；∴，∵OC⊥AB，∴，即OA×OB＝OC×AB，∴6×8＝10×OC，∴OC＝4.8；（2）依題意，設點D的坐標為（0，a），∵過點D作直線l∥x軸，交直線AB于點E，交直線OC點F．且，∴當y＝a，則，解得，∴，即；過點C作CH⊥OB，由（1）知OC＝4.8，OB＝8∴根據(jù)等面積法，得，∴，則C（2.88，3.84），設直線OC的解析式為y＝kx，把C（2.88，3.84）代入y＝kx，解得，∴直線OC的解析式為，則點，∴，∵DE＝EF，∴，解得，∴；（3）如圖：在OB上取點H，OH＝AC，連接MH，∵C（2.88，3.84），A（0，6），B（8，0），∠AOB＝90°，∴AB＝10，∵直線l過點C，∴D（0，3.84），∴AD＝6﹣3.84＝2.16，∴，∵OM＝CN，∠ACN＝∠HOM，AC＝OH，∴△ACN≌△HOM（AAS），∴AN＝HM，OH＝AC＝3.6∵要求線段AN+AM的最小值，∴要求出HM+AM最小值，則點A，M，H三點共線時，則有最小值，此時最小值＝．2．（2023秋?和平縣期末）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點O是坐標原點，直線AB：y＝kx+與直線AC：y＝﹣2x+b交于點A，兩直線與x軸分別交于點B（﹣3，0）和C（2，0）．（1）求直線AB和AC的表達式．（2）點P是y軸上一點，當PA+PC最小時，求點P的坐標．（3）如圖2，點D為線段BC上一動點，將△ABD沿直線AD翻折得到△ADE，線段AE交x軸于點F，若△DEF為直角三角形，求點D坐標．【答案】見解析．【解答】解：（1）把B（﹣3，0）代入y＝kx+，∴﹣3k+＝0，∴k＝，∴直線AB的函數(shù)表達式為：y＝x+，把點C（2，0）代入y＝﹣2x+b，∴﹣4+b＝0，∴b＝4，∴直線AC的函數(shù)表達式為：y＝﹣2x+4；（2）作A關于y軸的對稱點A′，連接A′C與y軸的交點即為P點，如圖：當﹣2x+4＝x+時，解得x＝1，將x＝1，代入y＝﹣2x+4，解得：y＝2．所以A的坐標為：A（1，2）作A關于y軸的對稱點A′，則A′坐標為：A′（﹣1，2），∵A′（﹣1，2），C（2，0）；∴設A′C所在直線解析式為：y＝mx+n，將A′，C代入得：，解得：，即解析式為：y＝﹣x+，令x＝0，y＝，即P點坐標為：P（0，）．（3）△DEF為直角三角形，分兩種情況討論：①當∠EDF＝90°時，如圖，由對折可得，∠ADB＝∠ADE＝＝135°，∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°，過點A作AG⊥BC于G，∴AG＝DG＝2，∵OG＝1，∴OD＝1，∴D（﹣1，0）；②當∠ADE＝90°時，如圖所示：由圖可知：BC＝OB+OG＝4，AF＝2，F(xiàn)（1，0），OG＝1，由對折得，AE＝AB＝2，BD＝DE，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣2，設DF＝a，BD＝4﹣a，則DE＝4﹣a，由勾股定理可知：DF2+EF2＝DE2，a2+＝（4﹣a）2，解得：a＝﹣1，∴BD＝4﹣（﹣1）＝5﹣，∴OD＝OB﹣BD＝3﹣（5﹣）＝﹣2，∵D在x軸負半軸，∴D（2﹣，0）．綜上所述：D點坐標為：（﹣1，0）或（2﹣，0）．3．（2023秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，直線和直線l2與x軸分別相交于A，B兩點，且兩直線相交于點C，直線l2與y軸相交于點D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直線l2的函數(shù)表達式；（2）E是x軸上一點，若S△ABC＝2S△BCE，求點E的坐標；（3）若F是直線l1上方且位于y軸上一點，∠ACF＝2∠CAO，判斷△BCF的形狀并說明理由．【答案】（1）y＝2x﹣4；（2）點E的坐標為（﹣1，0）或（5，0）；（3）△BCF是等腰直角三角形，理由見解析．【解答】解：（1）y＝x+2，令y＝0，則0＝x+2得，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∴OA＝4，∵OA＝2OB，∴OB＝2，∴B（2，0），設直線l2的函數(shù)表達式為：y＝kx+b，將D（0，﹣4）、B（2，0）分別代入y＝kx+b得：，解得，∴直線l2的函數(shù)表達式為：y＝2x﹣4；（2）∵點C是直線l1和l2的交點，∴，解得，∴C（4，4），∵A（﹣4，0），B（2，0），∴AB＝6．∴△ABC的面積為：×AB×yC＝×6×4＝12，∵S△ABC＝2S△BCE，∴S△BCE＝6，設E（m，0），∴S△BCE＝×4×|m﹣2|＝6，∴m＝﹣1或5，∴點E的坐標為（﹣1，0）或（5，0）；（3）△BCF是等腰直角三角形，理由如下：設直線l1：y＝x+2與y軸相交于點N，過點C作CM∥x軸，∴∠MCA＝∠CAO，CM⊥y軸，N（0，2），∵∠ACF＝2∠CAO，∴∠MCA＝∠MCF＝∠CAO，∵A（﹣4，0），C（4，4），∴OA＝MC＝4，∵∠CMF＝AON，∴△AON≌△CMF（ASA），∴MF＝ON＝2，∴F（0，6），∴CF2＝42+（6﹣4）2＝20，CB2＝42+（4﹣2）2＝20，F(xiàn)B2＝22+62＝40，∴CF2+CB2＝FB2，CF＝CB，∴△BCF是等腰直角三角形．4．（2023秋?巴中期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，直線BC與x軸負半軸交于點C，且CO＝2AO．（1）求線段AC的長；（2）動點P從點C出發(fā)沿射線CA以每秒1個單位的速度運動，連接BP，設點P的運動時間為t（秒），△BPO的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；（3）在（2）的條件下，在線段BC上是否存在點D，連接DP，使得△BDP是以BP為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）9；（2）S＝×3×|6﹣t|＝|6﹣t|，t＞0且t≠6；（3）t的值為或5．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，y＝3，∴B（0，3），把y＝0代入y＝﹣x+3，x＝3，∴A（3，0），∴AO＝3，∵CO＝2AO，∴CO＝6，∴C（﹣6，0）；∴AC＝6+3＝9；（2）∵C（﹣6，0），動點P從點C出發(fā)沿射線CA以每秒1個單位的速度運動，∴CP＝t，∴P（﹣6+t，0），∴OP＝|6﹣t|，∴S＝×3×|6﹣t|＝|6﹣t|，t＞0且t≠6；（3）存在點D，使得△BDP是以BP為直角邊的等腰直角三角形，理由如下：如圖1，當∠PBD＝90°時，過點B作GH∥x軸，過點D作DG⊥GH交于G點，過點P作PH⊥GH交于H點，∵∠PBD＝90°，∴∠DBG+∠PBH＝90°，∵∠GBD+∠BDG＝90°，∴∠PBH＝∠BDG，∵BD＝BP，∴△BDG≌△PGH（AAS），∴GB＝PH＝3，GD＝BH＝t﹣6，∴D（﹣3，9﹣t），設直線BC的解析式為y＝kx+3，∴﹣6k+3＝0，解得k＝，∴直線BC的解析式為y＝x+3，∴9﹣t＝﹣+3，解得t＝；如圖2，當∠PBD＝90°時，過點D作DM⊥x軸交于M點，同理可得△PDM≌△BPO（AAS），∴DM＝OP＝6﹣t，MP＝OB＝3，∴D（t﹣9，6﹣t），∴6﹣t＝（t﹣9）+3，解得t＝5；綜上所述：t的值為或5．5．（2023秋?金牛區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+b與x軸、y軸分別交于點A、點B，S△AOB＝4，點C（3，m）是直線AB上一點，在直線AB左側過點C的直線交y軸于點D，交x軸于點E．（1）求m和b的值；（2）當∠ACD＝45°時，求直線CD的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，過C作CM⊥x軸，在直線AC上一點P，直線CD上一點Q，直線CM上一點H，當四邊形AHQP為菱形時，求P點的坐標．【答案】（1）m的值為2，b的值為﹣4；（2）直線CD的解析式為y＝x+1；（3）P點的坐標為（，3﹣3）或（，﹣3﹣3）．【解答】解：（1）∵直線y＝2x+b與x軸、y軸分別交于點A、點B，∴B（0，b），A（﹣，0），∵S△AOB＝OA?OB＝4，∴×（﹣）×（﹣b）＝4，解得b＝﹣4或4（舍去），∴b的值為﹣4，∴直線y＝2x+b＝2x﹣4，∵點C（3，m）是直線AB上一點，∴m＝2×3﹣4＝2，∴m的值為2；（2）∵b的值為﹣4，m的值為2，∴B（0，﹣4），A（2，0），C（3，2），過點A作AM⊥CD于M，過點M作MR⊥x軸于R，過點C作CT⊥MR于T，設M（m，n），∴∠ARM＝∠MTC＝90°，∠AMC＝90°，∵∠ACD＝45°，∠AMR+∠MAR＝∠AMR+∠CMT＝90°，∴∠ACD＝∠CAM＝45°，∠MAR＝∠CMT，∴AM＝MC，∴△AMR≌△MCT（AAS），∴AR＝MT＝2﹣m＝2﹣n，MR＝CT＝n＝3﹣m，∴n＝，m＝，∴M（，），設直線CD的解析式為y＝rx+t，∴，解得，∴直線CD的解析式為y＝x+1；（3）如圖2，設P（p，2p﹣4），∵A（2，0），CM⊥x軸，直線CM上一點H，∴點H的橫坐標為3，∵四邊形AHQP為菱形，∴Q（p+1，p+），H（3，p），AP＝AH，∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2＝（3﹣2）2+（p）2，解得p＝或，∴P點的坐標為（，3﹣3）或（，﹣3﹣3）．6．（2023秋?咸陽期末）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣6，0），與y軸交于點B（0，8）．（1）求該一次函數(shù)的表達式；（2）點C為點B上方y(tǒng)軸上的點，在該一次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形與△OAB全等？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）在該一次函數(shù)的圖象上存在點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形與△OAB全等；點P的坐標為（6，16）或（4.8，14.4）．【解答】解：（1）把A（﹣6，0），B（0，8）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直線AB的函數(shù)表達式為：；（2）在該一次函數(shù)的圖象上存在點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形與△OAB全等，理由如下：∵A（﹣6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴，當△AOB≌△PCB時，如圖1所示：∵△AOB≌△PCB，∴∠BCP＝∠AOB＝90°，PC＝OA＝6，BC＝OB＝8，∴OC＝OB+BC＝8+8＝16，∴此時點P的坐標為：（6，16）；當△AOB≌△CPB時，過點P作PQ⊥y軸，如圖2所示：∵△AOB≌△CPB，∴PB＝OB＝8，PC＝OA＝6，BC＝10，∠CPB＝90°，∵S△PBC＝BC×PQ＝PC×PB，∴PQ＝＝＝4.8，把x＝4.8代入得：y＝×4.8+8＝14.4，∴此時點P的坐標為：（4.8，14.4）；綜上分析可知，點P的坐標為：（6，16）或（4.8，14.4）．7．（2023秋?歷城區(qū)期末）如圖1，直線AB：y＝﹣x+b分別與x，y軸交于A（3，0），B兩點，點A沿x軸向右平移3個單位得到點D．（1）分別求直線AB和BD的函數(shù)表達式．（2）在線段BD上是否存在點E，使△ABE的面積為，若存在，求出點E坐標；若不存在，說明理由．（3）如圖2，P為x軸上A點右側的一動點，以P為直角頂點，BP為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角△BPQ，連接QA并延長交y軸于點K．當點P運動時，點K的位置是否發(fā)生變化？如果不變請求出它的坐標；如果變化，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵直線AB解析式：y＝﹣x+b且過點A（3，0），∴﹣3+b＝0，∴b＝3，∴y＝﹣x+3，∴B（0，3），由已知得點D為（6，0），設直線BD為y＝kx+b，則有，解得，∴直線BD的解析式為；（2）存在．理由如下：∵S△BOD＝OB?OD＝×3×6＝9，S△AOB＝OA?OB＝×3×3＝，∴S△ADE＝S△BOD﹣S△AOB﹣S△ABE＝9﹣﹣＝3，又∵S△ADE＝AD?yE＝y(tǒng)E，∴yE＝2，將y＝2代入，得x＝2，∴點E為（2，2）；（3）K點的位置不發(fā)生變化．理由如下：如圖2中，過點Q作CQ⊥x軸，設PA＝m，∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，∴∠OPB＝∠PQC，∵PB＝PQ，∴△BOP≌△PCQ（AAS），∴BO＝PC＝3，OP＝CQ＝3+m，∴AC＝3+m＝QC，∴∠QAC＝∠OAK＝45°，∴OA＝OK＝3，∴K（0，﹣3）．8．（2023秋?江門期末）如圖所示，直線AB交x軸于點A（a，0），交y軸于點B（0，b），且a，b滿足+（a﹣4）2＝0．（1）a＝4，b＝﹣4；（2）如圖1，若點C的坐標為（﹣1，0），且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P，試求點P的坐標；（3）如圖2，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連接MD，過點D作DN⊥DM交x軸于點N，當點M在y軸正半軸上運動的過程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求出該式子的值．【答案】（1）4，﹣4；（2）P（0，﹣1）；（3）4．【解答】解：（1）∵+（a﹣4）2＝0，且≥0，（a﹣4）2≥0，∴a+b＝0，a﹣4＝0，∴a＝4，b＝﹣4．故答案為：4，﹣4；（2）∵a＝4，b＝﹣4，則OA＝OB＝4．∵AH⊥BC于H，∴∠OAP+∠OPA＝∠BPH+∠OBC＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，在△OAP與△OBC中，，∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1，則P（0，﹣1）；（3）S△BDM﹣S△ADN的值不發(fā)生改變．S△BDM﹣S△ADN＝4．連接OD，則OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，∠OAD＝45°∴OD＝AD，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA，在△ODM與△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO?BO＝××4×4＝4．9．（2023秋?簡陽市期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣x+8分別與x軸、y軸交于A、B兩點，過點B作BC⊥AB交x軸于點C．（1）求點C的坐標；（2）點D為直線AB上一點，且∠DCA＝∠DAC，求直線CD的解析式；（3）若點Q是x軸上一點，連接BQ，將△ABQ沿著BQ所在直線折疊，當點A落在y軸上時，求點Q的坐標．【答案】（1）C（﹣，0）；（2）直線CD的解析式為y＝x+；（3）點Q的坐標為（，0）或（﹣24，0）．【解答】解：（1）設C（﹣m，0），m＞0，∵直線AB：y＝﹣x+8分別交x軸、y軸于點A，B，∴A（6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，AB＝＝10，BC＝，AC＝m+6，∴S△ABC＝AB?BC＝AC?OB，∴10×＝8（m+6），解得m＝，∴C（﹣，0）；（2）過點D作DE⊥x軸于E，∵∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∴AE＝CE，∵A（6，0），C（﹣，0），∴E（﹣，0），∵點D為直線AB上一點，∴D（﹣，），設直線CD的解析式為y＝sx+t，∴，解得，∴直線CD的解析式為y＝x+；（3）設點Q的坐標為（q，0）．將△ABQ沿著BQ所在直線折疊，當點A落在y軸負半軸上時，設點A落在y軸負半軸的點A′處，如圖所示：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：QA＝QA′，AB＝A′B＝10，B（0，8），∴A′（0，﹣2），∴QA′＝2，在Rt△OA′Q中，A′Q2＝OA′2+OQ2，∴（6﹣q）2＝22+q2，解得q＝，∴點Q的坐標為（，0）；將△ABQ沿著BQ所在直線折疊，當點A落在y軸正半軸上時，設點A落在y軸正半軸的點A′處，如圖所示：′根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：QA＝QA′，A′B＝AB＝10，B（0，8），∴A′（0，18），∴QA′＝QA＝6﹣q，在Rt△OA′Q中，A′Q2＝OA′2+OQ2，∴（6﹣q）2＝182+q2，解得q＝﹣24，∴點Q的坐標為（﹣24，0）；綜上，點Q的坐標為（，0）或（﹣24，0）．10．（2023秋?天橋區(qū)期末）如圖1，已知函數(shù)y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C與點A關于y軸對稱．（1）請寫出點A坐標（﹣6，0），點B坐標（0，3），直線BC的函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x+3；；（2）設點M是x軸上的一個動點，過點M作y軸的平行線，交直線AB于點P，交直線BC于點Q．①若△PQB的面積為，求點Q的坐標；②點M在線段AC上，連接BM，如圖2，若∠BMP＝∠BAC，直接寫出P的坐標．【答案】（1）A（﹣6，0），B（0，3），y＝﹣x+3；（2）①（，3﹣）或（﹣，3+）；②（﹣，）或（，）．【解答】解：（1）對于y＝x+3，由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵點C與點A關于y軸對稱．∴C（6，0）設直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線BC的函數(shù)解析式為y＝﹣x+3；故答案為：A（﹣6，0），B（0，3），y＝﹣x+3；（2）①設點M（m，0），則點P（m，m+3），點Q（m，﹣m+3），過點B作BD⊥PQ與點D，則PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，則△PQB的面積＝PQ?BD＝m2＝，解得m＝±，故點Q的坐標為（，3﹣）或（﹣，3+）；②如圖2，當點M在y軸的左側時，∵點C與點A關于y軸對稱，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°，∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，∴BM2+BC2＝MC2，設M（x，0），則P（x，x+3），∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，∴P（﹣，），如圖2，當點M在y軸的右側時，同理可得P（，），綜上，點P的坐標為（﹣，）或（，）．11．（2023秋?萬州區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與x軸，y軸分別交于A、B兩點，點C是OB的中點．（1）求直線AC的解析式；（2）如圖2，若點M是直線AC上的一動點，當S△ABM＝2S△AOC時，求點M的坐標；（3）將直線AB向右平移3個單位長度得到直線l，若點E為平移后直線l上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點F，使以點A、C、E、F為頂點，AE為邊的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x+2；（2）M（2，4）或（﹣6，﹣4）；（3）存在，點F的坐標為：（，）或（﹣，）或（2，0）．【解答】解：（1）由直線AB的表達式知，點A、B的坐標分別為：（﹣2，0）、（0，4），∵C是BO中點，∴C（0，2），設直線AC的表達式為：y＝kx+2，將點A的坐標代入上式得：0＝﹣2k+2，解得：k＝1，∴直線AC的解析式：y＝x+2；（2）∵S△AOC＝×2×2＝2，且C是OB中點，∴S△ABM＝2S△AOC＝4，S△ABC＝×2×2＝2，設M（x，x+2），①當M在C點右側，∵S△ABM＝S△ABC+S△BCM，∴4＝2+×2×x，∴x＝2，∴M（2，4）；②當M在點C左側，S△BCM＝S△ABC+S△ABM，∴×2×（﹣x）＝2+4，∴x＝﹣6，∴M（﹣6，﹣4），∴M（2，4）或（﹣6，﹣4）；（3）存在，理由：由題意得，直線l的表達式為：y＝2（x﹣3）+4＝2x﹣2，設點E（m，2m﹣2）、點F（s，t），當AF為對角線時，由中點坐標公式和AC＝AE得：，解得：或，即點F（，）或（2，0）；當AC為對角線時，由中點坐標公式和AE＝AF得：，解得：，即點F（﹣，），綜上，點F的坐標為：（，）或（﹣，）或（2，0）．12．（2022秋?鹽都區(qū)期末）如圖，直線AB：y＝x+b分別與x、y軸交于A，B兩點，點A的坐標為（?4，0），過點B的直線交x軸正半軸于點C，且OB：OC＝4：3．（1）求直線BC的函數(shù)表達式；（2）在x軸上方是否存在點D，使以點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等．若存在，畫出△ABD，并求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；（3）點P是y軸上的一點，連接CP，將△BCP沿直線CP翻折，當點B的對應點B′恰好落在x軸上時，請直接寫出此時直線CP的函數(shù)表達式．【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）點D的坐標為（﹣7，4）或（﹣4，7）；（3）y＝﹣x+或y＝2x﹣6．【解答】解：（1）∵直線AB：y＝x+b過點A（﹣4，0），∴0＝﹣4+b，∴b＝4．當x＝0時，y＝x+b＝b＝4，∴點B的坐標為（0，4），即OB＝4．∵OB：OC＝4：3，∴OC＝3．∵點C在x軸正半軸，∴點C的坐標為（3，0）．設直線BC的解析式為y＝kx+c（k≠0），將B（0，4）、C（3，0）代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直線BC的函數(shù)表達式為y＝﹣x+4；（2）分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC兩種情況考慮（如圖1）：①當△BAD≌△ABC時，∵OA＝OB＝4，∴∠BAC＝45°．∵△BAD≌△ABC，∴∠ABD＝∠BAC＝45°，BD＝AC＝7，∴BD∥AC，∴點D的坐標為（﹣7，4）；②當△ABD≌△ABC時，∠BAD＝∠BAC＝45°，AD＝AC＝7，∴∠DAC＝90°，∴點D的坐標為（﹣4，7）．綜上所述，點D的坐標為（﹣7，4）或（﹣4，7）；（3）依照題意畫出圖形，如圖2所示．由翻折得，PB＝PB′，B′C＝BC，∵OB＝4，OC＝3，∴B′C＝BC＝＝5，∴OB′＝5﹣3＝2或OB′＝5+3＝8，∴設OP＝x，則PB＝PB′＝4﹣x或4+x．在Rt△POB′中，∠POB′＝90°，∴OP2+OB′2＝PB′2，即x2+22＝（4﹣x）2或x2+82＝（4+x）2，解得：x＝或x＝6，∴點P的坐標為（0，）或（0，﹣6），設直線CP的函數(shù)表達式為y＝mx+n，∴或，解得或，∴直線CP的函數(shù)表達式為y＝﹣x+或y＝2x﹣6．13．（2023春?陽江期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝﹣x+5與y軸交于點A，直線l2與x軸、y軸分別交于點B（﹣4，0）和點C，且與直線l1交于點D（2，m）．（1）求直線l2的解析式；（2）若點E為線段BC上一個動點，過點E作EF⊥x軸，垂足為F，且與直線l1交于點G，當EG＝6時，求點G的坐標；（3）若在平面上存在點H，使得以點A，C，D，H為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點H的坐標．【答案】（1）y＝x+2；（2）（﹣2，7）；（3）（2，0）或（2，6）或（﹣2，4）．【解答】解：（1）∵當x＝2時，y＝﹣2+5＝3＝m，∴D（2，3）．設直線l2的解析式為y＝kx+b，由題意得：，解得：．∴直線l2的解析式為y＝x+2．（2）∵EF⊥x軸，∴G，E的橫坐標相同．設G（n，﹣n+5），則E（n，n+2）．∵E為線段BC上一個動點，∴﹣n+5＞0，n+2＞0，∴FG＝﹣n+5，F(xiàn)E＝n+2．∴EG＝FG﹣FE＝﹣n+3＝6．解得：n＝﹣2．∴G（﹣2，7）．（3）如圖，當四邊形AHCD為平行四邊形時，令x＝0，則y＝，∴C（0，2）．∵CH∥AD，∴直線CH的解析式為：y＝﹣x+2．令x＝0，則y＝﹣1×0+5＝5，∴A（0，5）．∵AH∥CD，∴直線AH的解析式為：y＝x+5．∴．解得：．∴H（﹣2，4）．如圖，當四邊形AHDC為平行四邊形時，∵DH∥AC，∴直線DH的解析式為x＝2，∵AH∥DC，∴直線AH的解析式為y＝x+5，∴當x＝2時，y＝×2+5＝6，∴H（2，6）．當四邊形ADHC為平行四邊形時，如圖，∵DH∥AC，∴直線DH的解析式為x＝2，∵CH∥AD，∴直線CH的解析式為：y＝﹣x+2，當x＝2時，y＝﹣2+2＝0，∴H（2，0）．綜上，存在點H，使得以點A，C，D，H為頂點的四邊形是平行四邊形，點H的坐標為：（2，0）或（2，6）或（﹣2，4）．14．（2022春?潮陽區(qū)期末）如圖，直線y＝x﹣3交x軸于A，交y軸于B，（1）求A，B的坐標和AB的長（直接寫出答案）；（2）點C是y軸上一點，若AC＝BC，求點C的坐標；（3）點D是x軸上一點，∠BAO＝2∠DBO，求點D的坐標．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）對于直線y＝x﹣3，令x＝0，得到y(tǒng)＝﹣3，∴B（0，﹣3）．令y＝0，得到x＝4，∴點A為（4，0），點B為（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5．（2）設OC＝x，則BC＝BO+OC＝x+3，即AC＝BC＝x+3，在Rt△AOC中，∵AC2＝OC2+AO2，∴x2+42＝（x+3）2，∴x＝，∴點C坐標為（0，）．（3）如圖，當點D在x軸的負半軸上時，∵∠BAO＝2∠DBO，∴∠ABD＝∠DBO+∠ABO＝∠BAO+90°﹣∠BAO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣∠DBO＝∠ADB，∴AD＝AB＝5，∴OD＝5﹣4＝1，∴D（﹣1，0），根據(jù)對稱性可知，當點D在x軸的正半軸上時，D′（1，0）．綜上所述，滿足條件的點D坐標為（﹣1，0）或（1，0）．15．（2023春?武穴市期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l1：y＝x+2與x軸交于點A，直線l2：y＝3x﹣6與x軸交于點D，與l1相交于點C．（1）求點D的坐標；（2）在y軸上一點E，若S△ACE＝S△ACD，求點E的坐標；（3）直線l1上一點P（1，3），平面內(nèi)一點F，若以A、P、F為頂點的三角形與△APD全等，求點F的坐標．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵直線l2：y＝3x﹣6與x軸交于點D，∴令y＝0，則3x﹣6＝0，∴x＝2，∴D（2，0）；（2）如圖1，∵直線l1：y＝x+2與x軸交于點A，∴令y＝0．∴x+2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），由（1）知，D（2，0），∴AD＝4，聯(lián)立直線l1，l2的解析式得，，解得，，∴C（4，6），∴S△ACD＝AD?|yC|＝×4×6＝12，∵S△ACE＝S△ACD，∴S△ACE＝12，直線l1與y軸的交點記作點B，∴B（0，2），設點E（0，m），∴BE＝|m﹣2|，∴S△ACE＝BE?|xC﹣xA|＝|m﹣2|×|4+2|＝3|m﹣2|＝12，∴m＝﹣2或m＝6，∴點E（0，﹣2）或（0，6）；（3）如圖2，①當點F在直線l1上方時，∵以A、P、F為頂點的三角形與△APD全等，∴Ⅰ、當△APF'≌△APD時，連接DF'，BD，由（2）知，B（0，2），由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0），∴OB＝OA＝OD，∴∠ABO＝∠DBO＝45°，∴∠ABD＝90°，∴DB⊥l1，∵△APF'≌△APD，∴PF'＝PD，AF'＝AD，∴直線l1是線段DF'的垂直平分線，∴點D，F(xiàn)'關于直線l1對稱，∴DF'⊥l1，∴DF'過點B，且點B是DF'的中點，∴F'（﹣2，4），Ⅱ、當△PAF≌△APD時，∴PF＝AD，∠APF＝∠PAD，∴PF∥AD，∵點D（2，0），A（﹣2，0），∴點D向左平移4個單位，∴點P向左平移4個單位得，F(xiàn)（1﹣4，3），∴F（﹣3，3），②當點F在直線l1下方時，∵△PAF''≌△APD，由①Ⅱ知，△PAF≌△APD，∴△PAF≌△PAF''，∴AF＝AF''，PF＝PF''，∴點F與點F'關于直線l1對稱，∴FF''⊥l1，∵DF'⊥l1，∴FF''∥DF'，而點F'（﹣2，4）先向左平移一個單位，再向下平移一個單位，∴D（2，0），向左平移1個單位，再向下平移一個單位得F''（2﹣1，0﹣1），∴F''（1，﹣1），當點F與點P重合時，符合題意，即F（2，0），即：點F的坐標為（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）或（2，0）．16．（2023春?淅川縣期末）如圖，已知直線y＝kx+b經(jīng)過A（6，0）、B（0，3）兩點．（1）求直線y＝kx+b的解析式；（2）若C是線段OA上一點，將線段CB繞點C順時針旋轉90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上．①求點C和點D的坐標；②若點P在y軸上，Q在直線AB上，是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點Q坐標，否則說明理由．【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）①點C的坐標為（1，0），點D的坐標為（4，1）；②存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點Q的坐標為（3，）或（﹣3，）或（5，）．【解答】解：（1）將A（6，0），B（0，3）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直線AB的表達式為y＝﹣x+3；（2）①∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠BCO＝∠CDE．在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS），∴OC＝DE，BO＝CE＝3．設OC＝DE＝m，則點D的坐標為（m+3，m），∵點D在直線AB上，∴m＝﹣（m+3）+3，∴m＝1，∴點C的坐標為（1，0），點D的坐標為（4，1）；②存在，設點Q的坐標為（n，﹣n+3）．分兩種情況考慮，當CD為邊時，∵點C的坐標為（1，0），點D的坐標為（4，1），點P的橫坐標為0，∴0﹣n＝4﹣1或n﹣0＝4﹣1，∴n＝﹣3或n＝3，∴點Q的坐標為（3，）或（﹣3，）；當CD為對角線時，∵點C的坐標為（1，0），點D的坐標為（4，1），點P的橫坐標為0，∴n+0＝1+4，∴n＝5，∴點Q″的坐標為（5，）．綜上所述：存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點Q的坐標為（3，）或（﹣3，）或（5，）．17．（2023春?拜泉縣期末）綜合與探究．如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的兩條鄰邊分別在x軸、y軸上，對角線，點B的坐標為B（2a，a）．（1）A（0，4），C（8，0）．（2）把矩形OABC沿直線DE對折使點C落在點A處，直線DE與OC、AC、AB的交點分別為D，F(xiàn)，E，求直線DE的解析式（問題（1）中的結論可直接使用）．（3）若點M在y軸上，則在平面直角坐標系中的x軸及x軸的下方，是否存在這樣的點N，使得以A、D、N、M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（0，4），（8，0）；（2）y＝2x﹣6；（3）存在，N的坐標為（3，﹣5）或（﹣3，0）．【解答】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，B（2a，a）∴OA＝BC＝a，AB＝OC＝2a，則，∴a＝4，則2a＝8，∴A（0，4），C（8，0），故答案為：（0，4），（8，0）；（2）連接AD，CE，∵矩形OABC沿直線DE對折使點C落在點A處，∴DE是AC的垂直平分線，AF＝CF，AB∥OC，則∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，∴AD＝CD，AE＝CE，△EAF≌△DCF（AAS），∴AE＝CD，則四邊形ADCE是菱形，∴AD＝CD＝AE＝CE，設OD＝x，則AD＝CD＝8﹣x，在Rt△AOD中：AD2＝OA2+OD2，即（8﹣x）2＝x2+16，解得：x＝3，∴OD＝3，CD＝AE＝5，∴D（3，0），E（5，4），設直線DE的解析式為y＝kx+b，將D、E坐標代入得：，解得：，∴直線DE的解析式為y＝2x﹣6．（3）設M（0，m），∵OA＝4，OD＝3，∴，①當AM＝AD時，即|4﹣m|＝5，解得：m＝﹣1（m＝9時，點N在x軸上方，舍去）∴M（0，﹣1），由中點坐標可得：，得，即：N（3，﹣5）；②當DM＝AD時，，解得：m＝﹣4（m＝4時，點M與點A重合，舍去），∴M（0，﹣4），由中點坐標可得：，得，即：N（﹣3，0）；③當MA＝MD時，MA＝DM＝|4﹣m|，由勾股定理可得：DM2＝OM2+OD2，即（4﹣m）2＝m2+32，解得：，此時點N在x軸上方，故不符合題意，綜上，當N的坐標為（3，﹣5）或（﹣3，0）時，使得以A、D、N、M為頂點的四邊形是菱形．18．（2023春?唐縣期末）（1）基本圖形的認識：如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E是邊BC上一點，AB＝EC，BE＝CD，連結AE、DE，求證：△AED是等腰直角三角形．（2）基本圖形的構造：如圖2，在平面直角坐標系中，A（2，0），B（0，3），連結AB，過點A在第一象限內(nèi)作AB的垂線，并在垂線截取AC＝AB，求點C的坐標；（3）基本圖形的應用：如圖3，一次函數(shù)y＝﹣2x+2的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B，直線AC交x軸于點D，且∠CAB＝45°，求點D的坐標．【答案】（1）證明過程見解析；（2）（5，2）；（2）（6，0）．【解答】（1）證明：∵在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（SAS），∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，在Rt△EDC中，∠C＝90°，∴∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠AEB+∠DEC＝90°．∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝90°．∴△AED是等腰直角三角形；（2）解：過點C作CH⊥x軸于點H，如圖2，則∠AHC＝90°．∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA．在△AOB和△CHA中，，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AO＝CH，OB＝HA，∵A（2，0），B（0，3），∴AO＝2，OB＝3，∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3，∴OH＝OA+AH＝5，∴點C的坐標為（5，2）；（3）解：如圖3，過點B作BE⊥AB，交AD于點E，過點E作EF⊥OD，交OD于點F，把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2，∴點A的坐標為（0，2），∴OA＝2，把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1，∴點B的坐標為（1，0），∴OB＝1，∵AO⊥OB，EF⊥BD，∴∠AOB＝∠BFE＝90°，∵AB⊥BE，∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°，又∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠EBF，在△AOB和△BFE中，，∴△AOB≌△BFE（AAS），∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，∴OF＝3，∴點E的坐標為（3，1），設直線AC的解析式為y＝kx+b，由題意可得，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+2，令y＝0，解得x＝6，∴D（6，0）．19．（2023春?新羅區(qū)期末）數(shù)形結合作為一種數(shù)學思想方法，數(shù)形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”．例如：在我們學習數(shù)軸的時候，數(shù)軸上任意兩點，A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，則A，B兩點的距離可用式子|a﹣b|表示．研一研：如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A（a，0）、點B（0，b），且a、b滿足（a﹣6）2+|b﹣4|＝0．（1）直接寫出以下點的坐標：A（6，0），B（0，4）．（2）若點P、點Q分別是y軸正半軸（不與B點重合）、x軸負半軸上的動點，過Q作QC∥AB，連接PQ．已知∠BAO＝34°，請?zhí)剿鳌螧PQ與∠PQC之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）已知點D（3，2）是線段AB的中點，若點H為y軸上一點，且，求S△AHD＝S△AOB，求點H的坐標．【答案】（1）6，4；（2）∠BPQ+∠PQC＝236°，理由見解答過程；（3）H（0，）或（0，﹣）．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|b﹣4|＝0，∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，解得a＝6，b＝4，故答案為：6，4；（2）∠BPQ+∠PQC＝236°，理由如下：設QC交y軸于點M，∵∠BAO＝34°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝56°，∵QC∥AB，∴∠PMQ＝∠ABO＝56°，∵∠BPQ＝∠PQM+∠PMQ＝（180°﹣∠PQC）+∠PMQ＝236°﹣∠PQC，即∠BPQ+∠PQC＝236°；（3）設H（0，m），過D點作DN⊥y軸于N，∵D（3，2），A（6，0），B（0，4），∴OB＝4，ON＝2，OA＝6，DN＝3，∵S△AHD＝S△AOB＝××4×6＝8，∴S△ABH﹣S△BHD＝8，即BH?OA﹣BH?DN＝8，∴BH＝16÷（OA﹣DN）＝16÷（6﹣3）＝，∴m＝＝或m＝4﹣，即H（0，）或（0，﹣）．20．（2023春?紅安縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝kx+8分別交x軸，y軸于點A，B，點A（8，0）．直線l2：經(jīng)過線段AB的中點Q，分別交x軸，y軸于點C，D．（1）請直接寫出k的值；（2）請求出直線l2的解析式；（3）點P（t，0）為x軸上一動點，過點P作PE∥y軸交l1，l2于點E，F(xiàn)；當EF＝2EP時，求t的值．【答案】（1）k＝﹣1；（2）y＝x+2；（3）t＝20，或t＝；【解答】解：（1）∵A（8，0）過直線l1：y＝kx+8，∴0＝k×8+8，解得：k＝﹣1，∴k＝﹣1；（2）∵l1：y＝﹣x+8分別交x軸，y軸于點A，B，∴B（0，8），∵AB的中點Q，A（8，0），∴Q（）即Q（4，4），∵l2：y＝x+b過Q點，∴4＝×4+b，解得：b＝2，∴l(xiāng)2：y＝x+2；（3）∵P（t，0）為x軸上一動點，過點P作PE∥y軸交l1：y＝﹣x+8，l2：y＝x+2于點E，F(xiàn)；∴E（t，﹣t+8），F(xiàn)（t，t+2），∴EF＝＝，EP＝，當EF＝2EP時，＝2，解得：t＝20，或t＝；21．（2023春?樊城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象與x軸，y軸交于A，B；與直線y2＝kx交于P（2，1），且PO＝PA．（1）求點A的坐標；（2）求函數(shù)y1，y2的解析式；（3）點D為直線y1＝ax+b上一動點，其橫坐標為t（t＜2），DF⊥x軸于點F，交y2＝kx于點E，且DF＝2EF，求點D的坐標；（4）在（3）的條件下，如果點D在第一象限內(nèi)，過點P的直線y＝mx+n將四邊形OBDE分為兩部分，兩部分的面積分別設為S1，S2．若≤2，直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）A（4，0）．（2），．（3）或（﹣4，4）．（4）．【解答】解：（1）如圖，過點P作PQ⊥OA于Q，∵PO＝PA，PQ⊥OA，P（2，1），∴OQ＝QA＝2，∴OA＝4，點A（4，0）．（2）把P（2，1）代入y＝kx中，得2k＝1，解得，則，把A（4，0），P（2，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴．（3）∵點D的橫坐標為t，分別代入y1，y2中，得，，∴，，F(xiàn)（t，0），∵DE＝2EF，∴|﹣|＝2||，當時，解得，∴，當時，解得t＝﹣4，∴D（﹣4，4）．（4）由（3）可得：，，，在中，令x＝0，則y＝2，∴B（0，2），∵直線y＝mx+n過點P（2，1），∴1＝2m+n，即n＝1﹣2m，∴y＝mx+1﹣2m，如圖，設直線y＝mx+1﹣2m與y軸交于點Q，與直線DE交于點R，令x＝0，則y＝1﹣2m，∴Q（0，1﹣2m），令，則，∴，∴，BQ＝2﹣（1﹣2m）＝1+2m，∵過點P的直線y＝mx+n將四邊形OBDE分為兩部分，且，∴四邊形BDRQ的面積為四邊形OBDE的或，∵，，∴或，解得或，∴m的范圍是．22．（2023春?松北區(qū)期末）如圖，直線y＝x+10交x軸于點A，交y軸于點B，直線y＝kx+b過點A，交y軸于點C，且C為線段OB的中點．（i）求k、b的值；（2）點P為線段AC延長線上一點，連接PB，設點P的橫坐標為t，△PAB的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式；（3）在（2）的條件下，點D在線段AO的延長線上，連接CD、PD，且，點E在AD上，且∠DPE＝45°，過點C作CF∥PE，交x軸于點F，若AF＝DE，求P點的坐標．【答案】（1），b＝5（2）S＝t+25；（3）P（4，7）．【解答】解：（1）當x＝0時，y＝10，∴B（0，10），∴OB＝10，∵C為線段OB的中點，∴C（0，5），當y＝0時，x＝﹣10，∴A（﹣10，0），將點A、C代入y＝kx+b，∴，解得；（2）∵BC＝5，∴S△PAB＝×BC×（xP﹣xA）＝×（t+10）＝t+25，∴S＝t+25；（3）過點A作AM∥PD，延長CF與AM交于點M，∵CF∥PE，∴∠PED＝∠CFD，∵∠AFM＝∠CFD，∴∠AFM＝∠PED，∵AM∥PD，∴∠FAM＝∠PDE，∵AF＝ED，∴△PED≌△MFA（ASA），∴∠M＝∠EPD＝45°，過點D作PN⊥CP交于點N，設∠APE＝α，∵CF∥PE，∴∠ACF＝α，∵，∴∠CDN＝∠CDP，∴ND是∠CDP的角平分線，∴CD＝DP，∴∠PCD＝45°+α，∴∠ACD＝135°﹣α，∵∠CAM＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，∴∠ACD＝∠CAM，∵AC＝AC，∠ACD＝∠CAM，AM＝CD，∴△AMC≌△CDA（SAS），∴∠CDA＝∠M＝45°，∴CO＝DO＝5，∴D（5，0），設P（m，m+5），∴PD＝＝5，解得m＝0（舍）或m＝4，∴P（4，7）．23．（2023春?碑林區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣2x+b與x軸，y軸分別交于A、B兩點．直線交線段AB于點C（1，m），且S△AOB＝2S△BOC．（1）求b的值；（2）若點D是y軸上一點，點E為平面上一點，是否存在以點A，B，D，E為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點E的坐標，若不存在請說明理由．【答案】（1）b＝4；（2）存在以點A，B，D，E為頂點的四邊形是矩形，點E的坐標為（﹣2，3）或（2，4）．【解答】解：（1）將點C（1，m）代入y＝x+得，m＝×1+＝2，∴點C（1，2），把點C（1，2）代入y＝﹣2x+b得，2＝﹣2+b，∴b＝4；（2）設點D（0，m），∵直線y＝﹣2x+b與x軸，y軸分別交于A、B兩點，b＝4．∴A（2，0），B（0，4），①當AB為矩形的邊時，如圖1，∵四邊形ABED是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AD2+AB2＝BD2，∴m2+22+22+42＝（4﹣m）2，解得m＝﹣1，∴點D（0，﹣1），∵A（2，0），B（0，4），∴點E的坐標為（﹣2，3）；②當AB為矩形的對角線時，如圖2，∵四邊形ADBE是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴m2+22+（4﹣m）2＝22+42，解得m＝0或4（舍去），∴點D（0，0），∵A（2，0），B（0，4），∴點E的坐標為（2，4）；綜上，存在以點A，B，D，E為頂點的四邊形是矩形，點E的坐標為（﹣2，3）或（2，4）．24．（2023春?臺江區(qū)期末）已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，P為直線AB上的一個動點，過點P分別作PF⊥x軸于點F，PE⊥y軸于點E，如圖所示．（1）若點P為線段AB的中點，求OP的長；（2）若四邊形PEOF為正方形時，求點P的坐標；（3）點P在AB上運動過程中，EF的長是否有最小值，若有，求出這個最小值；若沒有，請說明理由．【答案】（1）OP的長為；（2）P（12，12）或（﹣，）；（3）P在AB上運動過程中，EF的長有最小值，EF的長最小值為．【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，3），∵點P為線段AB的中點，∴P（﹣2，），∴OP＝＝，∴OP的長為；（2）設P（m，m+3），∴PE＝|m|，PF＝|m+3|，∵∠PFO＝∠PEO＝∠EOF＝90°，∴PE＝PF時，四邊形PEOF為正方形，∴|m|＝|m+3|，即m＝m+3或﹣m＝m+3，解得m＝12或m＝﹣，經(jīng)檢驗，m＝12，m＝﹣均符合題意，∴P（12，12）或（﹣，）；（3）點P在AB上運動過程中，EF的長有最小值，理由如下：連接OP，如圖：∵∠PFO＝∠PEO＝∠EOF＝90°，∴四邊形PEOF為矩形，∴EF＝OP，∴當OP最小時，EF最小，此時OP⊥AB，∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝＝5，∵2S△AOB＝OA?OB＝AB?OP，∴OP＝＝＝，∴EF的長最小值為．25．（2023春?舞陽縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+6與x軸、y軸分別交于點D、C，直線AB與y軸交于點B（0，﹣3），與直線CD交于點A（m，3）．（1）求直線AB的解析式；（2）點E是射線CD上一動點，過點E作EF∥y軸，交直線AB于點F．若以O、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點E的坐標；（3）設P是射線CD上一點，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝2x﹣3；（2）點E的坐標為（5，1）或（1，5）；（3）存在，點Q的坐標為（﹣，），（9，6）或（，﹣﹣3）．【解答】解：（1）∵點A（m，3）在直線y＝﹣x+6上，∴﹣m+6＝3解得m＝3，∴點A的坐標為（3，3），設直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝2x﹣3；（2）設點E的坐標為（a，﹣a+6），∵EF∥y軸，點F在直線y＝2x﹣3上，∴點F的坐標為（a，2a﹣3），∴EF＝|﹣a+6﹣（2a﹣3）|＝|﹣3a+9|，∵以點O、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，且EF∥OC，∴EF＝OC，∵直線y＝﹣x+6與y軸交于點C，∴點C的坐標為（0，6），∴OC＝6，即|﹣3a+9|＝6，解得：a＝5或a＝1，∴點E的坐標為（5，1）或（1，5）；（3）如圖2，當BC為對角線時，PQ是BC的垂直平分線，且點P和點Q關于BC對稱，∵B（0，﹣3），C（0，6），∴點P的縱坐標為，將y＝代入y＝﹣x+6中，得﹣x+6＝，∴x＝，∴P（，），∴Q（﹣，）；如圖3，當CP是對角線時，CP是BQ的垂直平分線，設Q（m，n），∴BQ的中點坐標為（，），代入直線y＝﹣x+6中，得﹣+6＝①，∵CQ＝CB，∴m2+（n﹣6）2＝（6+3）2②，聯(lián)立①②得，（舍）或，∴Q（9，6）；如圖4，當PB是對角線時，PC＝BC＝9，設P（c，﹣c+6），∴c2+（﹣c+6﹣6）2＝81，∴c＝﹣（舍）或c＝，∴P（，6﹣），∴Q（，﹣﹣3），綜上，存在，點Q的坐標為（﹣，），（9，6）或（，﹣﹣3）．26．（2022秋?新都區(qū)期末）如圖所示，直線l1：y＝x﹣1與y軸交于點A，直線l2：y＝﹣2x﹣4與x軸交于點B，直線l1與l2交于點C．（1）求點A，C的坐標；（2）點P在直線l1上運動，求出滿足條件S△PBC＝S△ABC且異于點A的點P的坐標；（3）點D（2，0）為x軸上一定點，當點Q在直線l1上運動時，請直接寫出|DQ﹣BQ|的最大值．【答案】（1）點A的坐標為（0，﹣1），點C的坐標為（﹣1，﹣2）；（2）（﹣2，﹣3）；（3）|DQ﹣BQ|的最大值為．【解答】解：（1）∵直線l1：y＝x﹣1，令x＝0，y＝﹣1，∴點A的坐標為（0，﹣1），聯(lián)立直線l1：y＝x﹣1與直線l2：y＝﹣2x﹣4得，解得，∴點C的坐標為（﹣1，﹣2）；（2）如圖，直線l1：y＝x﹣1，令y＝0，0＝x﹣1，∴x＝1，∴點M的坐標（1，0），直線l2：y＝﹣2x﹣4，令y＝0，0＝﹣2x﹣4，∴x＝﹣2，∴點B的坐標（﹣2，0），∴BM＝3，∴S△ABC＝S△MBC﹣S△ABM＝×3×2﹣××3×1＝，∵S△PBC＝S△ABC，∴S△PBC＝S△MBP﹣S△CBM＝×3×|yP|﹣××3×2＝，∴|yP|＝3，∵點P在直線l1上運動，∴x﹣1＝±3，解得x＝﹣2或4（舍去），∴滿足條件S△PBC＝S△ABC且異于點A的點P的坐標為（﹣2，﹣3）；（3）如圖，作點B關于直線l1的對稱點B′，連接B′D并延長交直線l1于Q，∴BQ＝B′Q，BE＝B′E，CE⊥BB′．∴∠B′EB＝90°，設直線l1交x軸于E，∵直線l1：y＝x﹣1，令y＝0，則x＝1，∴點E的坐標為（1，0），∵點B的坐標（﹣2，0），∴BE＝B′E＝3，∴點B′的坐標（1，﹣3），∴|DQ﹣BQ|的最大值為|DQ﹣B′Q|＝B′D．∵點D（2，0），∴B′D＝＝，∴|DQ﹣BQ|的最大值為．27．（2022秋?金華期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝kx+1交y軸于點A，交x軸于點B（4，0），過點E（2，0）的直線l2平行于y軸，交直線l1于點D，點P是直線l2上一動點（異于點D），連接PA、PB．（1）直線l1的表達式為y＝﹣x+1，點D的坐標為（2，）；（2）設P（2，m），當點P在點D的下方時，求△ABP的面積S的表達式（用含m的代數(shù)式表示）；（3）當△ABP的面積為3時，則以點B為直角頂點作等腰直角△BPC，請直接寫出點C的坐標．【答案】（1）y＝﹣x+1，（2，）；（2）S＝1﹣2m；（3）點C坐標為（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．【解答】解：（1）∵直線l1：y＝kx+1交x軸于點B（4，0），∴0＝4k+1．∴k＝﹣．∴直線l1：y＝﹣x+1，把x＝2代入y＝﹣x+1得y＝，∴點D的坐標為（2，），故答案為：y＝﹣x+1；（2，）；（2）由得：．∴D（2，）．∵P（2，m），∴PD＝|m﹣|．∴S＝×|4﹣0|?PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．當m＜時，S＝1﹣2m；（3）當S△ABP＝3時，2m﹣1＝3，解得m＝2，∴點P（2，2），∵E（2，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°，如圖2，∠PBC＝90°，BP＝BC，過點C作CF⊥x軸于點F，∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBF＝∠PBE＝45°，在△CBF與△PBE中，，∴△CBF≌△PBE（AAS）．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．∴C（6，2）；如圖3，△PBC是等腰直角三角形，∴PE＝CE，∴C（2，﹣2），∴以點B為直角頂點作等腰直角△BPC，點C的坐標是（6，2）或（2，﹣2）．當1﹣2m＝3時，m＝﹣1，可得P（2，﹣1），同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．綜上所述，滿足條件的點C坐標為（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．28．（2021秋?新都區(qū)校級期末）如圖，已知直線y＝x﹣2分別與x軸，y軸交于A，B兩點，直線OG：y＝kx（k＜0）交AB于點D．（1）求A，B兩點的坐標；（2）如圖1，點E是線段OB的中點，連接AE，點F是射線OG上一點，當OG⊥AE，且OF＝AE時，在x軸上找一點P，當PE+PD的值最小時，求出△APE的面積；（3）如圖2，若k＝﹣2，過B點BC∥OG，交x軸于點C，此時在x軸上是否存在點M，使∠OBM+∠OBC＝45°，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）B（0，﹣2），A（2，0）；（2）當PE+PD的值最小時，P（，0），△APE的面積為；（3）存在，點M的坐標為（，0）或（﹣，0）．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝﹣2，∴B（0，﹣2），令y＝0，則x＝2，∴A（2，0）；（2）∵點E是線段OB的中點，B（0，﹣2），∴E（0，﹣1），如圖，過F點作FW⊥y軸交于點W，∵OG⊥AE，∴∠AOF+∠OAE＝90°，∵∠AOE+∠EOF＝90°，∴∠OAE＝∠EOF，∵OF＝AE，∠AOE＝∠OWF，∴△AOE≌△OWF（AAS）∴OE＝FW＝1，OA＝OW＝2，∴F（1，﹣2），作E點關于x軸的對稱點E'，連接E'D交x軸于點P，∴EP＝E'P，∴PE+PD＝PE'+PD≥E'D，當E'、D、P三點共線時，PE+PD的值最小，∵E（0，﹣1），∴E'（0，1），∵F（1，﹣2）在直線OG上，∴k＝﹣2，∴y＝﹣2x，，聯(lián)立，∴x＝，∴D（，﹣），設直線E'D的解析式為y＝k'x+b，∴，∴，∴y＝﹣x+1，