2024貴州中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)貴州中考題型研究 類型一 線段問(wèn)題（課件）

類型一線段問(wèn)題函數(shù)微技能——?jiǎng)狱c(diǎn)坐標(biāo)及線段表示一階例1

如圖，已知拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線y＝－x2＋2x＋3上一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q.一題多設(shè)問(wèn)例1題圖設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)P的坐標(biāo)可表示為________________，點(diǎn)Q的坐標(biāo)可表示為______________；用含t的代數(shù)式表示下面的距離：(1)點(diǎn)P到x軸的距離為______________；(2)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為______________；(3)點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離為___________；(4)線段PQ的長(zhǎng)為______________；(5)點(diǎn)P到直線BC的距離為______________.(t，－t2＋2t＋3)(t，－t＋3)|－t2＋2t＋3||t||t－1||－t2＋3t|例1題圖【方法總結(jié)】①與x軸垂直的線段的長(zhǎng)：縱坐標(biāo)相減(上減下);_②與y軸垂直的線段的長(zhǎng)：橫坐標(biāo)相減(右減左);_③斜線段時(shí)，可過(guò)線段端點(diǎn)分別作x軸、y軸垂線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函數(shù)值或相似進(jìn)行求解．設(shè)問(wèn)突破二階考向一線段數(shù)量關(guān)系例2拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)若PQ＝2QM，求點(diǎn)P的坐標(biāo)一題多設(shè)問(wèn)例2題圖①【思維教練】點(diǎn)P位置變化，PQ和QM的代數(shù)式表示不相同，需要分點(diǎn)P在BC上方和下方．分別用PQ、QM的代數(shù)式代入，構(gòu)建方程即可；解：(1)∵拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，將點(diǎn)B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，得

，解得

，

∴y＝－x＋3，∵PM⊥x軸于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)Q，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，－m＋3)，M(m，0)，∵PQ＝2QM，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的上方時(shí)，即0<m<3，例2題圖①PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，QM＝－m＋3，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，解得m＝2或m＝3(舍去)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方且m>3時(shí)，PQ＝m2－3m，QM＝m－3，∴m2－3m＝2(m－3)，解得m＝2(舍去)或m＝3(舍去)，此時(shí)點(diǎn)P不存在；當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方且m<0時(shí)，PQ＝m2－3m，QM＝－m＋3，∴m2－3m＝2(－m＋3)，解得m＝－2或m＝3(舍去)，例2題圖①∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，－5)．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，3)或(－2，－5)；例2題圖①(2)∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴Q(m，3－m)，∵CQ∶QB＝2，C(0，3)，B(3，0)，

∴OM∶MB＝2，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，即0<m<3，m＝2(3－m)，解得m＝2，此時(shí)P(2，3)；當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方且m>3時(shí)，m＝2(m－3)，解得m＝6，此時(shí)P(6，－21)；(2)若CQ∶QB＝2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)例2題圖②【思維教練】遇到比例線段，找相似，豎直看，水平看，按比例設(shè)未知數(shù)；當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方且m<0時(shí)，∵BQ>CQ，∴此情況不存在．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，3)或(6，－21)；例2題圖②(3)∵PC＝PB，∴點(diǎn)P在直線BC的垂直平分線上，由(1)可知直線BC的解析式為y＝－x＋3，∴設(shè)直線BC的垂直平分線的解析式為y＝x＋b，將BC中點(diǎn)(，

)代入y＝x＋b中得b＝0，(3)連接PC，PB，若PC＝PB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)【思維教練】PC＝PB，則點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，由兩垂直直線的解析式中k的關(guān)系，即可求得該垂直平分線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求解；例2題圖③∴直線BC垂直平分線的解析式為y＝x，聯(lián)立得

，解得

或

.∴點(diǎn)P坐標(biāo)為

或

；例2題圖③創(chuàng)新考法(4)是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)

P到直線

BC的距離是點(diǎn)

M到直線

BC的距離的3倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思維教練】通過(guò)相似將斜線段的比值轉(zhuǎn)化為豎直線段的比值，表示出線段長(zhǎng)，分情況列比例式求解即可．(4)存在．如解圖，過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M作直線BC的垂線，垂足為點(diǎn)F，例2題解圖∵∠PEQ＝∠MFQ＝90°，∠PQE＝∠MQF，∴△PEQ∽△MFQ，∵點(diǎn)P到直線BC的距離是點(diǎn)M到直線BC的距離的3倍，∴＝3，∵P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，－m＋3)，M(m，0)，∴當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的上方即0<m<3時(shí)，PQ＝－m2＋3m，MQ＝－m＋3，∴－m2＋3m＝3(－m＋3)，解得m＝3(舍去)；同理，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)拋物線上即m<0時(shí)，例2題解圖創(chuàng)新考法PQ＝m2－3m，MQ＝－m＋3，∴m2－3m＝3(－m＋3)，解得m＝3(舍去)或m＝－3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，－12)；同理，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)拋物線上即m>3時(shí)，PQ＝m2－3m，MQ＝m－3，∴m2－3m＝3(m－3)，解得m＝3(舍去)．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，－12)．例2題解圖創(chuàng)新考法考向二線段最值問(wèn)題例3題圖①例3拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC.(1)點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.①求線段PQ的最大值；一題多設(shè)問(wèn)解：(1)①∵拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，將點(diǎn)B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，得

，解得

，∴y＝－x＋3，∴P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，3－m)(0<m<3)．∴dPQ＝－m2＋2m＋3－(3－m)＝－m2＋3m＝－(m－

)2＋

，∵－1＜0，∴當(dāng)m＝

時(shí)，PQ值最大，最大值為

；例3題圖①∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵PE∥y軸，PH⊥BC，∴∠HEP＝45°，∠EHP＝90°，②作PH⊥BC于點(diǎn)H，求PH的最大值；斜線段最值【思維教練】過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)E，易證∠HEP＝45°，要求PH的最大值，可先求得PE的最大值，再結(jié)合三角函數(shù)即可求解；②解：如解圖①，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E，例3題圖②E∴PH＝PE·sin∠HEP＝

PE，∴要求PH的最大值，即求PE的最大值，由①可得PE的最大值為

，∴PH的最大值為

PE＝

；例3題圖②E(2)在拋物線對(duì)稱軸

l上是否存在一點(diǎn)

F，使得△ACF的周長(zhǎng)最小，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△ACF周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；將軍飲馬求最值【思維教練】因?yàn)锳C長(zhǎng)為定值，

要使△ACF周長(zhǎng)最小，即要使CF＋AF的值最小，由點(diǎn)

A、B關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱，可知直線BC與對(duì)稱軸l的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，即可使

CF＋AF最??；例3題圖③(2)解：存在．如解圖②，連接BC交對(duì)稱軸l于點(diǎn)F，連接AF，例3題圖③F∵C△ACF＝AC＋CF＋AF，AC為定值，∴當(dāng)CF＋AF的值最小時(shí)，△ACF的周長(zhǎng)最小，∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴AF＝BF，∴當(dāng)B、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，BF＋CF的值最小，即CF＋AF的值最小，∴C△ACF＝AC＋CF＋AF＝AC＋CF＋BF＝AC＋BC，由①知直線BC的解析式為y＝－x＋3，∵點(diǎn)F在直線BC上，拋物線對(duì)稱軸l為直線x＝1，∴令x＝1，則y＝2，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，2)．∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，

∴OA＝1，OB＝3，OC＝3，由勾股定理得AC＝

，BC＝

，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，2)時(shí)，△ACF的周長(zhǎng)最小，最小值為

；例3題圖③F(3)若拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)N為拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求BN＋

DN的最小值．胡不歸求最值【思維教練】要求BN＋

DN的最小值，首先構(gòu)造直角三角形將

DN轉(zhuǎn)化為一直角邊，通過(guò)“化折為直”將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到AD的距離即可求解．例3題圖④例3題解圖③(3)解：如解圖③，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，連接AD，過(guò)點(diǎn)N作AD的垂線，垂足為點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為點(diǎn)T，交對(duì)稱軸于點(diǎn)N′，∵拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)，∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AE＝EB＝2，AB＝4，由勾股定理得AD＝

，∴sin∠ADE＝

，∵NK⊥AD，∴sin∠NDK＝

，

∴NK＝

DN，∴BN＋

DN＝BN＋NK，∴當(dāng)B、N、K三點(diǎn)共線時(shí)，BN＋

DN取得最小值，即線段BT，例3題解圖③∵S△ABD＝

AB·DE＝

AD·BT，∴×4×4＝

×2BT，∴BT＝

，∴BN＋

DN的最小值為

.例3題解圖③綜合訓(xùn)練三階1.(2023黔西南州26題16分)已知拋物線y＝ax2＋bx＋6(a≠0)交x軸于點(diǎn)A(6，0)和點(diǎn)B(－1，0)，交y軸于點(diǎn)C.(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；第1題圖(1)解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，0)，B(－1，0)，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，

得

，

解得

.∴拋物線的解析式為y＝－x2＋5x＋6.(3分)第1題圖∴y＝－x2＋5x＋6＝－(x－

)2＋

，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，

)；

(4分)第1題圖(2)由拋物線解析式可求得點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，6)，∴OC＝OA＝6，∠OAC＝45°.∵PD∥x軸，PE∥y軸，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，PD＝PE,(5分)(2)如圖①，點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸，y軸的平行線，交直線AC于點(diǎn)D，E，當(dāng)PD＋PE取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；第1題圖∴PD＋PE＝2PE.∴當(dāng)PE的長(zhǎng)度最大時(shí)，PE＋PD取最大值．(6分)設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋m，將A(6，0)、C(0，6)兩點(diǎn)代入，得

，解得

.∴y＝－x＋6.(7分)設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(t，－t＋6)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(t，－t2＋5t＋6)，且0<t<6,

(8分)則PE＝(－t2＋5t＋6)－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，第1題圖∴PE是關(guān)于t的二次函數(shù)，－1<0，∴當(dāng)t＝3時(shí)，PE有最大值，最大值為9.當(dāng)t＝3時(shí)，－t2＋5t＋6＝12.∴當(dāng)PD＋PE取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，12)；(10分)第1題圖(3)如圖②，點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)直線AC垂直平分△AMN的邊MN時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．∵∠HAC＝45°，∴∠QAC＝∠OCA＝45°，∵AC垂直平分線段MN，∴AM＝AN，∠NAC＝∠MAC，∴∠HAN＝∠MAQ，∴Rt△ANH≌Rt△AMQ，(12分)(3)解：如解圖①，過(guò)點(diǎn)A，M分別作y軸、x軸的平行線交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)