高中數(shù)學“概率”教學研究(教師培訓版)

高中數(shù)學“概率”教學研究

一、整體把握高中“概率”教學內(nèi)容

隨機現(xiàn)象在日常生活中隨處可見，概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學科，它為人們認識客

觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，同時為統(tǒng)計學的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ).因

此，統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)知識已經(jīng)成為一個未來公民的必備常識.

高中數(shù)學“概率”位于必修三和選修2-3(理科限選).主要知識如下：

(-)概率知識結(jié)構(gòu)圖

隨機數(shù)與隨機模擬

演機事件

P(AUB)=P(A)+P(B)

隨機變量

期

望

、

方

差

、

標

準

差

課標要求：

必修三：

(1)在具體情境中，了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進一步了解

概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.

(2)通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式.

（3）通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件

所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

（4）了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法（包括計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來進行模擬）

估計概率，初步體會兒何概型的意義.

（5）通過閱讀材料，了解人類認識隨機現(xiàn)象的過程.

選修2-3

（1）在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念,

認識分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.

（2）通過實例（如彩票抽獎），理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的

應(yīng)用.

（3）在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重

復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.

（4）通過實例，理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單

離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.

（5）通過實際問題，借助直觀（如實際問題的直方圖），認識正態(tài)分布曲線的特

點及曲線所表示的意義.

（二）重點難點分析

必修三概率部分：概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義.高中“概

率”，是在義務(wù)教育階段的基礎(chǔ)上，學習概率的某些基本性質(zhì)和簡單的概率模型，加深對隨

機現(xiàn)象的理解，并學習用隨機模擬的方法估計簡單隨機事件發(fā)生的概率.

選修2-3（理科限選）部分：主要內(nèi)容是離散型隨機變量的分布列.研究一個隨機現(xiàn)象,

就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率，分布列正是描述了離散型隨機

變量取值的概率規(guī)律，二項分布和超幾何分布是兩個應(yīng)用廣泛的概率模型.

結(jié)合課標要求，可得如卜教學的重點和難點：

重點:

從思想方法的角度：重點是對隨機現(xiàn)象的理解，了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率

的穩(wěn)定性，從而正確理解概率的意義；

從知識技能的角度：

一是概率的統(tǒng)計定義；

二是古典概型以及概率的加法公式；

三是離散型隨機變量的分布列，以及隨機變量的數(shù)字特征——期望、方差.具體地說:

二項分布(期望、方差)和超幾何分布(期望)

難點：正確理解概率的意義；兒何概型；條件概率；

二、高中“概率”教與學的策略

(-)”概率的定義”的教學策略

學生在義務(wù)教育階段已經(jīng)學習過概率，

(1)知道隨機現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的，能對一些簡單的隨機現(xiàn)象發(fā)生的可

能性大小作出定性描述.

(2)能列出隨機現(xiàn)象所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件

發(fā)生的概率.

(3)知道通過大量地重復試驗，可以用頻率來估計概率.

那么，學生在高中學習概率定義，與義務(wù)教育階段的學習有何區(qū)別？重點應(yīng)該強調(diào)的

是什么？主要有兩點：

(1)加強對隨機現(xiàn)象的認識，

(2)將“通過大量地重復試驗，用頻率來估計概率”這種直觀地感性認識逐步提升到

理論的層面，學習“概率的統(tǒng)計定義”.

如何做到這些呢？老師首先需要提升認識：

歷史上，概率源于賭博.博弈的形式多種多樣，但是它們的前提是“公平”，即“機

會均等”，而這正是古典定義適用的重要條件：同等可能.16世紀意大利數(shù)學家和賭博家

卡爾丹（1501—1576）所說的“誠實的骰子”，即道明了這一點.在卡爾丹以后約三百年的

時間里，帕斯卡、費馬、伯努利等數(shù)學家都在古典概率的計算、公式推導和擴大應(yīng)用等方面

做了重要的工作.直到1812年，法國數(shù)學家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理論》

中給出概率的占典定義：事件A的概率等于次試驗中有利于事件A的可能結(jié)果數(shù)與該事件

中所有可能結(jié)果數(shù)之比.

古典定義適用的條件有二：（1）可能結(jié)果總數(shù)有限；（2）每個結(jié)果的出現(xiàn)有同等可

能.其中第（2）條尤其重要，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提.

這就使得古典定義的方法能應(yīng)用的范圍很窄，同時還有一些數(shù)學上的問題（貝特朗悖

論）.

1919年，德國數(shù)學家馮.米塞斯（1883—1953）在《概率論基礎(chǔ)研究》?書中提出了概

率的統(tǒng)計定義：在做大量重復試驗時，隨著試驗次數(shù)n的增加，某個事件出現(xiàn)的頻率m/n

總是在一個固定數(shù)值P的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，把這個固定的數(shù)值p定義為這一

事件的概率.

雖然統(tǒng)計定義不能像古典定義那樣確切地算出概率，但是卻給出了一個估計概率的方

法.而且，它不再需要“等可能”的條件，因此，從應(yīng)用的角度來講，它的適用范圍更廣.但

是從數(shù)學理論上講，統(tǒng)計定義仍然是有問題的.有循環(huán)定義之嫌.

因為定義中出現(xiàn)了‘可能性'.這指的就是概率.（類似地在古典概率定義中通常出

現(xiàn)'等可能性'）.你可以設(shè)法避免這類詞出現(xiàn)，但其本質(zhì)的意義無法避免.事實上，概率

的統(tǒng)計定義的數(shù)學描述是（弱）貝努里大數(shù)律（老師們在大學都學過）：

P{\--p|>^0（n->oo）

n

m

它說的是：當試驗次數(shù)%78時，-個事件發(fā)生的頻率?與某個常數(shù)p的偏差

1皆_I

?“大于任一個正常數(shù)￡的可能性趨于零.之所以不能用這個式子中的常數(shù)P作為'概

率’的定義，是因為在這個式子中已經(jīng)有了‘概率'產(chǎn).

也就是說：概率的概念籠統(tǒng)說并不難，但若深入到理論或哲學中去討論，問題就有一

大堆.在數(shù)學上，概率的概念是用公理化的形式定義的.

即使是大學數(shù)學系的學生，由于他們大都不學‘測度論’，也無法完整地理解這種公

理體系的意義.概率的古典定義、統(tǒng)計定義有其時代背景和現(xiàn)實意義，不能因噎廢食.這里

希望教師了解的是，在各種教科書中出現(xiàn)的’概率統(tǒng)計定義‘，'古典概率定義兒何概

率定義’都是一些描述性的說法，教師不應(yīng)該過分地去揣摩，探究那里的用語，而應(yīng)理解其

實質(zhì).

那么，我們在中學的教學中，應(yīng)該如何把握概率的概念呢？“理解其實質(zhì)”是指什么

呢？

我想主要應(yīng)該理解以下幾點：

1.“重復試驗”.“重復試驗”是指條件相同下的試驗，嚴格說在現(xiàn)實中兩次試驗條

件完全相同是不可能的，這里給出的是數(shù)學模型.至于現(xiàn)實中哪些問題能用這個數(shù)學模型來

近似描述，這是另一個問題.

2.頻率和概率的關(guān)系.頻率反映了事件發(fā)生頻繁的程度，從而可以用來度量事件發(fā)生

的可能性大小.但頻率是隨機的，是這n次試驗中的頻率.換另外n次試驗，一般說，頻率

將不同，而概率是一個客觀存在的常數(shù).因此，人們用概率來度量事件發(fā)生的可能性.不過,

在現(xiàn)實中，概率往往是不知道的，通常用頻率來估計概率.恰如在現(xiàn)實中，一根木棒的長度

是一個客觀的常數(shù)，但其值是未知的，我們是用測量值來估計其長度，不論儀器多么精確，

測得的數(shù)值都會有誤差（即測量值是隨機的），但總是穩(wěn)定在木棒的真實長度值的附近.

3.概率反映的是多次試驗中頻率的穩(wěn)定性.有人往往錯誤地以為，擲一個均勻硬幣，

正面出現(xiàn)的概率等于二分之一、就應(yīng)該兩次試驗中出現(xiàn)一次正面.擲一個均勻骰子，每擲六

次，各點都應(yīng)該出現(xiàn)一次.否則就是不均勻.事實上，頻率的穩(wěn)定性反映的是大量試驗中出

現(xiàn)的性質(zhì)，其穩(wěn)定性要在試驗次數(shù)很多時才體現(xiàn)出來.對個別的幾次試驗，由于其隨機性，

是無法預(yù)料的.

P{\--p|>^0（n—

4.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率趨于概率？請正確理解?

——>p>8）

與正的區(qū)別.正確的應(yīng)該是：即使〃非常大，出現(xiàn)頻率偏離概率較大的情

形也是可能的，這是隨機現(xiàn)象的特性.在概率的教學中，對一些學生容易產(chǎn)生誤解的地方，

有人建議用試驗的辦法幫助學生理解，這當然是很好的.例如，在討論抽簽與抽取順序無關(guān)

時.，就可以用試驗來模擬.但必須注意到頻率偏離概率大的情形.例如,扔一百個均勻硬幣，

一面出現(xiàn)30個，另一面出現(xiàn)70個，是不奇怪的.對此教師應(yīng)有充分的認識.

5.結(jié)果的隨機性不同于結(jié)果未知.比如，至今人們還不知道哥德巴赫猜想是否成立,

但這個命題沒有任何隨機性.

6.用頻率估計概率，一定要大量試驗？實驗次數(shù)多少合適？狄莫弗-拉普拉斯極限定

理給出了解答：

P^\m-np\<ne^=

其中4=1-P,①（x）為標準正態(tài)分布的分布函數(shù).

例如擲硬幣的問題，若要保證有95%的把握使正面向上的頻率與其概率0.5之差落在

0.1的范圍內(nèi)，那要拋擲多少次？根據(jù)（*）式，可以估計出％21537.

有人認為概率的統(tǒng)計定義沒什么可講的，學生有生活經(jīng)驗，很容易理解.從某一方面

看，確實如此.學生不難理解擲均勻硬幣時，出現(xiàn)正面的可能性是二分之一；擲均勻骰子時,

出現(xiàn)各個點數(shù)的可能性都是六分之一，等等.（不過，從歷史上看，人們認識到這一點是經(jīng)

過了很長的一個時期的.教科書上記載的那些歷史上擲硬幣的試驗說明了這一點.之所以會

做這么多的試驗，就是因為人們在過去認識不到這種頻率的穩(wěn)定性.）

根據(jù)以上分析，我們可以確定這一節(jié)課的教學策略：

1）首先通過大量實例，體會隨機事件發(fā)生的不確定性，歸納出隨機事件的概念.

2）然后再深入情境，體會隨機事件的規(guī)律性.

通過發(fā)現(xiàn)隨機事件的發(fā)生既有隨機性，乂存在著統(tǒng)計規(guī)律性，認識概率的意義.很

自然地提出問題：如何把握規(guī)律？

3）從已有的生活經(jīng)驗中提取信息，體會可以用（大量重復）試驗的方法來估計概率.

緊緊抓住大量、重:復這兩個關(guān)鍵詞，認識用大量重復試驗的頻率來估計事件的概率

這種方法.

4）通過數(shù)學實驗，觀察頻率，再次體會隨機性與規(guī)律性，形成概率的統(tǒng)計定義.

其中還可以結(jié)合歷史上科學家們做拋擲硬幣實驗的例子，讓學生在了解史實的同

時，進一步體會大量重復試驗的必要性.

（二）古典概型的教學

需要明確的是古典概率是一類數(shù)學模型，并非是現(xiàn)實生活的確切描述.扔一個硬幣，

可以看成只有兩個結(jié)果：“正面向卜，和“正面向下”.每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，從而

符合古典概率的模型.但現(xiàn)實情況是，硬幣可能卡在一個縫中，每一面既不向匕也不向下.另

外，硬幣是否均勻，也只能是近似的.

同一個現(xiàn)實對象可以用不同的模型來描述.例如物理上，地球有時被看成是一個質(zhì)點

（在研究天體運動時），有時被看成橢球（飛機的航程），有時被看成平面（人在地面行走時）.在

這里同樣如此.同一個問題可以用不同的古典概率模型來解決.在古典概率的問題中，關(guān)鍵

是要給出正確的模型.一題多解所體現(xiàn)的恰是多個模型.下面舉一個例子.

例1.某人有6把鑰匙，但忘記了打開房門的鑰匙是哪一把.于是，他逐把不重復地試

開.若6把中只有1把能打開房門，則

（1）恰好第三次打開房門的概率是多少？

（2）最多3次試開一定能打開房門的概率是多少？

解法1：把6把鑰匙分別編號，能打開房門的鑰匙記為“k”.把用6把鑰匙逐把試開

房門當作一次試驗（即把6把鑰匙全部試完，不論能否打開房門），于是每個基本事件就相

當于6把鑰匙的一個全排列，所有基本事件的個數(shù)為理.這些結(jié)果是等可能的.

恰好第三次打開房門，即“左”排在第3位上，共有啰種結(jié)果，故“恰好第三次打開

產(chǎn)（力）=4=1

房門（設(shè)為事件4）”的概率為46.

最多3次試開一定能打開房門，即“衣”排在前3位上，共有點8種結(jié)果，故“最多

尸⑻=翠=1

3次試開一定能打開房門（設(shè)為事件8）”的概率為A2.

解法2：由于本題中討論的是恰好第三次打開房門的概率，所以，我們可以著眼于前三

次，把“從6把鑰匙中選出3把，逐把試開房門”當作?次試驗.于是，所有基本事件的個

數(shù)為這些結(jié)果是等可能的.

F⑷尸⑻=竽弓

（1）46；⑵42.

解法3：還可以著眼于k的位置.把“用6把鑰匙逐把試開房門”當作一次試驗（即把

6把鑰匙全部試完，不論能否打開房門），但只考慮第幾次能打開房門，也就是考慮k排在

第兒位，這樣，就只有6個基本事件.

產(chǎn)⑷=1P（B）=-=-

（1）''6；（2）'’62.

解法4：仍把鑰匙如前編號.我們只關(guān)注第三次（前三次）取到的鑰匙.第三次取到

的鑰匙顯然是這6把鑰匙之即，有6種結(jié)果.且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相同的.當

第三次取到時，第三次恰好打開房門.因此，“恰好第三次打開房門”的概率為石；

3

最多3次試開一定能打開房門的概率為d.

我們希望通過這樣的例子讓學生很好地體會概率的古典模型、體會概率模型的意義.但

其中排列組合并非必要的知識.

若將問題改為：

有1個黑球和5個白球（除顏色外它們都相同）放在一個袋中，現(xiàn)從中取球，取出記

錄顏色后再放回.求“第3次取到黑球”的概率.

解：由于是有放回地抽取，所以，每次抽取都可以看做是相互獨立的，故第3次取到

黑球的概率為石.

對古典概率模型的認識在具體題目中要注意以下問題：

（i）等可能性與非等可能性;

(ii)有序取與無序取；

(iii)有放回取與不放回??；

(iv)通過全排列的方法，更容易構(gòu)造等可能事件.

(三)緊扣"等可能"，突破幾何概型教學的難點

前一陣在《中學數(shù)學教學參考》上看到這樣一個例子：

1.等腰RtAABC中，在斜邊AB上任取一點M,求AM小于AC的概率

2.等腰RtAABC中，過直角頂點C在NACB內(nèi)部任作一條射線CM,與線段AB交于點M,

求AM小于AC的概率

[3

前者的概率是J5,后者的概率是N

這兩個看上去很相近的問題，答案為什么會不同呢？這個問題引起學生的很多的困

惑.其實，要解決它，還得回到幾何概型的定義.

兒何概型的定義是：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的兒

何區(qū)域Q內(nèi)隨機地取?點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都?樣；而個隨機事件A的發(fā)生

則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域D中的點，這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形,

立體圖形等.用這樣的方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.

.“一派測度

從幾何概型的定義我們可以看出：解決幾何概型問題的基本步驟是：(1)找出等可能

基本事件；(2)對應(yīng)幾何圖形(所有等可能基本事件所在的區(qū)域Q和隨機事件中等可能基

本事件所在的區(qū)域A)；(3)由區(qū)域確定測度.

第一個事件所對應(yīng)的等可能基本事件應(yīng)該是在線段AB上隨機取一點，這一點落在這個

線段上是等可能的.

第二個事件所對應(yīng)的等可能基本事件應(yīng)該是在直角區(qū)域內(nèi)任取一條射線，顯然若射線

等可能出現(xiàn)在直角區(qū)域內(nèi)，則點M就不可能等可能出現(xiàn)在線段AB上.

如何確定等可能基本事件?

抓住“任意”、“隨機”等詞，確定等可能的基本事件空間.

貝特朗悖論：

幾何概率是十九世紀末新發(fā)展起來的一門學科，使很多概率問題的解決變得簡單而不

用運用微積分的知識.然而，1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”，矛頭

直指幾何概率概念本身：

在個圓內(nèi)隨機地畫條弦，它的長度大于該圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少？

從不同方面考慮，可得不同結(jié)果：

(1)由于對稱性，可預(yù)先指定弦的方向.作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于1/4點

與3/4點間的弦，其長才大于內(nèi)接正三角形邊長.所有交點是等可能的，則所求概率為

1/2.

(2)由于對稱性，可預(yù)先固定弦的一端.僅當弦與過此端點的切線的交角在60°?

120。之間，其長才合乎要求.所有方向是等可能的，則所求概率為1/3.

(3)弦被其中點位置唯確定.只有當弦的中點落在半徑縮小了?半的同心圓內(nèi)，其

長才合乎要求.中點位置都是等可能的，則所求概率為1/4.

這導致同一事件有不同概率，因此為悖論.

得到三種不同的結(jié)果，是因為在取弦時采用了不同的等可能性假設(shè)：在第一種解法中

則假定弦的中點在直徑上均勻分布；在第二種解法中假定端點在圓周上均勻分布，而第三種

解法中又假定弦的中點在圓內(nèi)均勻分布.這三種答案是針對三種不同的隨機試驗，對于各自

的隨機試驗而言，它們都是正確的.

三個結(jié)果都正確！——這就是讓老師和學生感到迷惑不解的原因.

這一悖論揭示了幾何概率在19世紀剛興盛時期存在著其邏輯基礎(chǔ)的脆弱性，也反映出

古典概率有著相當?shù)木窒?這也推動了20世紀概率論公理化工作的早II到來.

關(guān)于這個悖論有很多種討論，在此不一一贅述.老師們只需明白的是確定"等可能基

本事件”的重要性，在解決幾何概型問題時，必須找準觀察角度、明確隨機選擇的意義、判

斷好基本事件的等可能性.

如何對應(yīng)兒何圖形？

有的問題，幾何特征較為明顯，能迅速找到相應(yīng)的幾何圖形，計算其測度.但有的問

題中，找到相應(yīng)的幾何圖形較為困難.如：

例.一家快遞公司的投遞員承諾在上午9：00-10：00之間將一份文件送到某單位.

（I）如果這家單位的接收人員在上午9：45離開單位，寫出他在離開單位前能拿到

文件的概率；

（H）如果這家單位的接收人員將在上午9：30-11：00之間離開單位，那么他在離

開單位前能拿到文件的概率是多少？

解：（I）所求事件的概率為075.

（II）設(shè)x為投遞員到達該單位的時間，>為接受人員離開單位的時間.（冗力可以

看成平面中的點，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為

S=-

這是一個長方形區(qū)域，面積為n2.

設(shè)事件』表示“接受人員在離開單位之前能拿到文件”，則事件上所構(gòu)成的區(qū)域為

9.5<j/<n）,

?311111

心力=———X-X-=—

面積為22228.

產(chǎn)（金）=組=U

這是一個幾何概型，所以品12.

11

即接受人員在離開單位之前能拿到文件的概率為正.

利用兒何概型可以很好地給出隨機模擬的思想.隨機模擬的思想十分重要，老師應(yīng)給

予充分的重視.這里就不多說了.

(四)條件概率與事件獨立性的教學

課標要求：了解.

條件概率:

對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概

率，記作：P(B|A)

的)=翳

計算公式：/(力)

例1.某科動物出生后活到20歲以上的概率為0.7,活到25歲以上的概率為0.56,求

現(xiàn)年為20歲的該科動物活到25歲的概率.

設(shè)A表示“活到20歲以上”，B表示“活到25歲以上”，則有P(A)0.7,

產(chǎn)伊同=當駕

產(chǎn)⑷=2(8)=056,所求的實際上是尸⑷=0.8.

例2.某電子元件廠有職工180人，男職工100人，女職工80人，男、女職工中非熟

練工人分別有20人和5人，現(xiàn)從該廠中任選??名職工，若已知被選出的是女職工，求她是

非熟練工人的概率.

設(shè)A表示“任選一名職工為女職工”，B表示“任選一名工人為非熟練工人”，則所求

就是“在A事件發(fā)生的條件FB事件發(fā)生的概率P(B|A)”.

80525

方法「公式法尸⑷二瓦尸⑷=麗/吐瓦殿F⑷。尸⑶)

尸團力尸(幽_5_1

(?AP(A)-80~16

方法二：縮小樣本空間P(B|A)=5/80=1/16.

需要注意的是:

1.條件概率中的事件4、8指的是任何兩個事件A和B（事件A、B不一定有包含關(guān)

系）.

2.分清“AB同時發(fā)生"P（AB）,還是“在A發(fā)生的條件下B發(fā)生"P（B|A）

事件的獨立性

若事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，即尸（BI'）=F（B）,

（尸倒摩卜尸⑻），則稱事件A、B相互獨立.

此時，尸（幽=尸⑷尸⑵

事實上，F(xiàn)（8|m=尸（與，P（AB）=P（A）P（B）tF（冏B）=？⑷相互等價

獨立的直觀概念并不難理解.現(xiàn)實中許多問題可以近似看成是相互獨立的.例如，對

一組對象有放回地抽??；重復地投擲硬幣或骰子；不同射手的射擊等等.因此，在概率論的

研究中，我們給出的數(shù)學模型通常會根據(jù)其背景假設(shè)它滿足獨立的條件或不滿足獨立的條

件.而不是通過驗證F（S|“）=?（8）是否成立來判斷爾6是否獨立.

（五）正確區(qū)分概率模型，準確解決概率問題

概率可以進行運算，互斥事件和相互獨立事件是概率加、乘兩種運算在兩個特殊概率

模型中的體現(xiàn).

互斥事件：是指在同一個試驗下，不可能同時發(fā)生的兩個事件.

特例：對立事件——在同一試驗下必有一個發(fā)生的互斥事件.

相互獨立事件：在兩個或多個獨立實驗下，一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概

率沒有影響.

特例：獨立重復實驗，將同一實驗獨立重復n次，研究同一事件發(fā)生k次的概率.

正確區(qū)分概率模型，有助于準確解決概率問題.

例1.一個口袋中裝有大小相同的1個紅球，2個黑球和3個白球，從口袋中一次摸出

一個球，摸出的球不再放回.

(1)連續(xù)摸球2次，求第次摸出黑球，第二次摸出白球的概率：

(II)如果摸出紅球，則停止摸球，求摸球次數(shù)不超過2次的概率.

解：(I)古典概型

從袋中依次摸出2個球共有6X5=30種結(jié)果，第?次摸出黑球、第二次摸出白球有2

X3=6種結(jié)果，

1l

則所求概率P1=30=5.

(II)互斥事件有一個發(fā)生的概率.

1A-1

第一次摸出紅球的概率為石，第二次摸出紅球的概率為30一丁則摸球次數(shù)不超過2

?111

月=一+—=一

次的概率為663.

例2.一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作

弊，他用兩種方法來檢測.

方法一：在10箱中各任意抽查一枚；

方法二：在5箱中各任意抽查兩枚.

國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別記為必和巧.則

(A)7(C)>P2(D)以上三種情況都有可能

答：B

解：每箱抽查可看做相互獨立.考查不放回的抽樣、重點考查二項分布的概率.

99

方法一：每箱不能選中劣幣的概率均為10。，故至少發(fā)現(xiàn)一枚劣幣的概率為

方法二：每箱不能選中劣幣的概率均為gm，故至少發(fā)現(xiàn)枚劣幣的概率為

'99x98丫9998

(100x99),g^ioo>99,顯然外⑶.

f~T""I例3.如圖，由"到A'的電路中有4個元件，

1rn

"_______nnIrn11

L4..T分別標為T,方，73,外，電源能通過T,Ti,

-------------E)—

乃的概率都是,，電源能通過外的概率是0.9,電

1

源能否通過各元件相互獨立.已知T,門,乃中至少有一個能通過電流的概率為0.999.

(I)求「；

(II)求電流能在M與"之間通過的概率.

分析：本題考查了概率中的互斥事件、對立事件及獨立事件的概率.

解：記4依次表示事件：電流能通過工二二L2,3,4,

力表示事件：T1‘馬'e中至少有一個能通過電流，

B表示事件：電流能在材與力之間通過,

(I)4=4叫叫，4，44相互獨立，

P(A)=產(chǎn)苗囤吸)=產(chǎn)(4*(4*(耳)=(1-p)3

又P(A)=1-尸(⑶=1-0,999=0,001

故（l_p）3=0.001,p=Q9,

（H）B=4+4叫嗎+&叫叫叫

尸（3）=尸（4+4叫叫+4叫叫叫）

=尸（4）+產(chǎn)（工［均叫）+尸（4［耳嗎嗎）

=尸（4）+尸（4）尸（4）尸（4）+尸（4）尸（耳*（4*（④

=0.9+0.1X0.9X0.9+0.1X0.1X0.9X0.9=0.9891

1、概率計算中首先要明確隨機事件是什么，正確識別概率類型.

2、會將復合事件的概率分解為若干個已知概率或易求概率的事件的“和”或“積”.

（六）隨機變量的分布列的教學

在必修課程概率的學習中，學生已經(jīng)對隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性有了

一定的了解，結(jié)果的隨機性和頻率的穩(wěn)定性是隨機現(xiàn)象的兩個最基本的特點，那么，怎樣才

算把一個隨機現(xiàn)象的規(guī)律研究清楚了？

了解一個隨機現(xiàn)象的規(guī)律，就是指了解這個隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果及每個結(jié)

果的概率.為了在數(shù)學上處理，一個常用的做法就是：把每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果都對應(yīng)一個

數(shù)，實際上是建立一個從實驗結(jié)果的集合到實數(shù)集合的映射，這就引出了離散型隨機變量及

其分布列的概念.

超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布是幾類特殊的分布，盡管這些分布無法覆蓋各種各

樣的隨機現(xiàn)象，但他們描述了隨機現(xiàn)象中最有用，最常見的情形，他們有助于我們對一般隨

機現(xiàn)象的理解和討論.

1.注重對具體分布模型的認識和應(yīng)用

注意超幾何分布的使用條件為不放回地抽取，二項分布的使用條件為n次獨立重復實

驗相當于有放回抽取.

二項分布：〃次獨立重復試驗中，事件/發(fā)生的次數(shù)三服從二項分布：

超幾何分布：設(shè)有N個產(chǎn)品，其中有M個次品(MWN),從中任取n個，令&表示取到

「X廣?次一反

尸楮=左)=%，*

則端.

的次品數(shù),k=0,1,2,min(M,n)

稱隨機變量;服從超幾何分布，其中N,M,n是分布的參數(shù).

例如從全班任取n個人，取到女生的人數(shù)；從撲克牌中取n張，取到黑桃的張數(shù)；買n

張彩票，中獎的張數(shù)，等等都可以用超幾何分布描述.

正態(tài)分布，要從頻率分布直方圖到總體分布的過程，讓學生明確總體分布的來源，從

而了解正態(tài)分布密度函數(shù)的意義.在此基礎(chǔ)上，直觀認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示

的意義.了解正態(tài)曲線隨著口和。變化而變化的特點.并結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式及

概率的性質(zhì)，了解3。原則.

應(yīng)要求學生掌握這三種分布列的結(jié)構(gòu)特點，為后繼學習打好基礎(chǔ).不過從寫分布列的

角度看，學生對各種分布列的特性知道與否，似乎都不太重要，因此我們在教學中遇到其它

分布列(單點分布、兩點分布、超幾何分布、泊松分布、帕斯卡分布等)時，用而不談名稱

就是了.下用具體問題進一步說明上述情況.

例1.某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢).若安檢不合格，

則必須進行整改.若整改后經(jīng)復查仍不合格，則強行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨

立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5,整改后安檢合格的概率是0.8,計算(結(jié)果

精確到0.01):

(I)恰好有兩家煤礦必須整改的概率；

(II)平均有多少家煤礦必須整改；

(HI)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.

解：(I)每家煤礦必須整改的概率是1-0.5,且每家煤礦是否整改是相互獨立的，所

^=C^x(l-0,5)2x0.53=—=0.31

以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是16

(II)由題設(shè)，必須整改的煤礦數(shù)4服從二項公布3(5,0為，從而f的數(shù)學期望是

/f=5x0.5=2.5,即平均有2.50家煤礦必須整改.

(Ill)某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復查仍不合格，所以該

煤礦被關(guān)閉的概率是5=(1一°?*(1-08)=01,從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9,由

題意，每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨立的，故至少關(guān)閉一家煤礦的概率是

5=1—0.93=0.41

例2.A、B兩位同學各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現(xiàn)正面

朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達9次時，或在此前

某人已贏得所有卡片時游戲終止.設(shè)《表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù).

(1)求4的取值范圍：(2)求《的數(shù)學期望E1

分析：理解^的含義是解決本題的關(guān)鍵.

|w?|=5

<m^n=&

解：(1)設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m,反面出現(xiàn)的次數(shù)為n,則，可得：

當冽=5,力=?；蛸?0,?=5時,^=5;當冽=6,%=1或加=1,?=6時,&=7;

當冽=7,加=2或冽=2,?=7時,J=9;所以綁I所有可能取值為:5,7,9.

1211

產(chǎn)e=5)=2X(-)5=-=-;P(^=7)=2嗎75

(2)64

275

￡^=5X-!-+7XA+9X—

166464~32

例3.已知隨機變量對兇(°，/)，若尸(*2)=0.023,則F(-2&”2)=

(A)0.477(B)0.628(C)0.954(D)0.977

答案：C

解：因為隨機變量f服從正態(tài)分布"(°，")，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對稱，

又

產(chǎn)("2)=0.023,所以尸&<-2)=0.023,所以

P(-2<^<2)=2)-P(^<-2)=1-2x0.023=0,954,故選C.

【選題目的】本題考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識，掌握其基礎(chǔ)知識是解答好本題的關(guān)鍵.

2.注重對期望、方差的現(xiàn)實意義的解讀

在實際中，有許多決策問題，是用隨機變量均值的大小來決策的.(從下面的例子可

以看到，均值常常是人們期望得到的值.均值被稱為‘數(shù)學期望’.)

例4.有兩個公司歡迎你去面試求職，設(shè)想它們各方面條件相同而且你去面試求職的可

能結(jié)果也一樣：你得到年薪4萬的可能性是20%,得到年薪3萬的可能性是30%,得到年薪

2萬5千元的可能性是40%,公司不雇用你的可能性是10隊你先去一個公司面試，條件是,

--旦你決定在第一個公司工作，就不能再去第二個公司；如果你放棄了第一個公司的工作，

也不允許再返回.試問你該如何決策.

解：當公司1給你年薪4萬時，你應(yīng)該接受.因為公司2無論如何也不會提供比這更

多的年薪.當公司1不雇用你時，你別無選擇，只能去公司2面試.問題是當公司1給你

3萬和2萬5千年薪時，你應(yīng)該如何決策.

顯然，當公司1給你的年薪比公司2給你的年薪低時，你應(yīng)該去公司2；當公司1給你

的年薪比公司2高時，你接受公司1的工作，不再去公司2求職.問題是公司2給你的年薪

是隨機的，事前無法確定.如前所述，我們只能和公司2的平均年薪比較.

現(xiàn)在去公司2能得到的平均年薪是4x0.2+3x0.3+2.5x04+0x0.1=2.7.因此,

當公司1給你3萬的年薪，接受它;若公司1給你2.5萬元的年薪，拒絕它,去公司2面試.這

個決策使你有0.2的概率得到4萬，0.3的概率得到3萬，有0.5的概率去公司2面試得到

2.7萬的平均年薪.從而，這個決策的平均年薪為4x0.2+3x0.3+2.7x0.5=3.05萬元.

(七)隨機模擬試驗

由于計算機具有高速度和大容量的特點，我們可以用計算機來模擬那些龐大而復雜的

試驗，這種模擬稱為隨機模擬或數(shù)字模擬，是種非常重要的方法.

先來看一個例子.

例1（擲硬幣問題）擲有一個均勻的硬幣，正面向上的概率為0.5,那么，把一個均勻

硬幣擲100次，出現(xiàn)50次正面向上的概率是否接近0.5?

解出現(xiàn)50次正面的概率為湍0戶（1-0.5產(chǎn)。?0.08

我們知道，擲一個均勻硬幣，'出現(xiàn)正面'的概率是0.5.有人以為，擲100次應(yīng)該出

現(xiàn)50次正面.為什么這件事發(fā)生的概率只有0.08,和想象相差甚遠.好像均勻硬幣不應(yīng)該

有這樣的結(jié)果.你學過了概率的統(tǒng)計定義，該如何解釋這一結(jié)果呢？

事實上，一個事件的概率0.5是指，在大量重復試驗中，該事件出現(xiàn)的頻率'穩(wěn)定'

在0.5（即在0.5附近，偏離0.5很大的可能性極?。⒎敲績纱卧囼炛谐霈F(xiàn)一次.那么，

擲100次均勻硬幣出現(xiàn)50次正面的概率，也應(yīng)該理解為，做大量重復試驗，即多次地擲100

次硬幣，'出現(xiàn)50次正面’的頻率應(yīng)‘穩(wěn)定’在0.08.

下面是一個模擬試驗結(jié)果.

1.在excel表格中輸入*=rand（）”；（產(chǎn)生不小于0,小于1的隨機數(shù)）

2.用下拉列表得到100個隨機數(shù)（相當于做100次試驗）；

3.用countif函數(shù)統(tǒng)計其中小于0.5的隨機數(shù)（我們規(guī)定小于0.5的隨機數(shù)代表正面

朝上）；（100次試驗中正面朝上的次數(shù)）

4.用下拉列表得到n組試驗數(shù)據(jù)；

5.將n組數(shù)據(jù)中正面朝上的次數(shù)復制到另?個表格中；

6.仍用countif函數(shù)統(tǒng)計各個次數(shù)的組數(shù)：

我們看到，擲100個均勻硬幣不一定出現(xiàn)50個正面.可以出現(xiàn)54個正面，也可以出

現(xiàn)46個正面，等等.計算在上述n組試驗中，出現(xiàn)50個正面向上的次數(shù)的的頻率.和理論

上的值0.08比較大小.

應(yīng)該看到，對一個均勻硬幣來說，擲100次'出現(xiàn)50次正面'的概率雖然不大，但比

正面出現(xiàn)其它次數(shù)，例如出現(xiàn)49次、53次等的概率還是大的.

在上述的模擬試驗中，一共擲了100n次硬幣，只需把上表中的n個數(shù)據(jù)求和，即可計

算正面出現(xiàn)的頻率，與0.5作比較.說明我們的硬幣是均勻的.

鼓勵學生盡可能運用計算器、計算機來處理數(shù)據(jù)，進行模擬活動，更好地體會統(tǒng)計思

想和概率的意義.

三、學生學習目標檢測分析

(-)課程標準與高考對“概率”的要求

1.事件與概率

①了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻

率與概率的區(qū)別.

②了解兩個互斥事件的概率加法公式.

2.古典概型

①理解占典概型及其概率計算公式.

②會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

3.隨機數(shù)與幾何概型

①了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.

②了解幾何概型的意義.

4.(理科限選)概率

①理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻

畫隨機現(xiàn)象的重要性.

②理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應(yīng)用.

③了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復試驗的模型

及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.

④理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型

隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.

⑤利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

總體而言，古典概型、互斥事件、相互獨立事件、隨機變量的分布列(理科)是考察

的重點.

但概率的意義、隨機的思想，這些是很難在一張試卷中體現(xiàn)出來的，需要老師們緊密

結(jié)合生活，提出相關(guān)問題，滲透在平時的教學中.

作為考試的題目，應(yīng)該如何選擇，卜面我們選擇?些例題加以說明：

(-)典型題目的檢測分析

23

例L甲、乙兩人各射擊1次，擊中目標的概率分別是5和4.假設(shè)兩人射擊是否

擊中目標相互之間沒有影響：每人各次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.

(I)求甲射擊4次，至少有1次本.中目標的概率;

(II)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率；

(HI)假設(shè)某人連續(xù)2次本市中目標,則中止其射擊.問：乙恰好射擊5次后，被

中止射擊的概率是多少？

解：記“甲第i次射擊，擊中目標”為事件4,“乙第i次射擊，擊中目標”為事件與，

,、2,、3

則尸⑷弓尸闖=屋(,=123,4,5)

(I)設(shè)“甲連續(xù)射擊4次，至少有1次未擊中目標”為事件乂，則事件N為“4次

全擊中目標”.由題意，射擊4次，相當于做4次獨立重復試驗，故

產(chǎn)—⑷=1—(|)4喑

（n）記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標”為事件M“乙射擊4次，恰有3次擊

中目標”為事件及，則

產(chǎn)=c；.（泡嚴吟尸（朋=C：.產(chǎn)=|Z

產(chǎn)（MQ=P（W）.尸（的=）

由于甲、乙射擊相互獨立，故8.

（ni）記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件c,’=444（44）,故

產(chǎn)⑹=嗝）嗝*（4中-尸（?。??洛X"卜如潟

【選題目的】考查獨立重復試驗，對立事件的概率等知識的運用.層次遞進，第（HI）

綜合考查學生分析問題、轉(zhuǎn)化問題的能力.

例2.某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門.首次到達此門，系

統(tǒng)會隨機（即等可能）為你打開一個通道，若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2

號、3號通道，則分別需要2小時、3小時返回智能門.再次到達智能門時，系統(tǒng)會隨機打

開一個你本到過的通道,直至走完迷宮為止.令4表示走出迷宮所需的時間.

（I）求6的分布列；

（II）求占的數(shù)學期望.

解：必須要走到1號門才能走出，片可能的取值為1,3,4,6

?G=1)=1,p(^=3)=lxl=A,

3326

=4)=-x-=—,P(^=6)=^(-x-)xl=-

分布列為:

41346

111

P

3663

^=lxl+3xA+4xl+6xl=Z/J\St，

36632

【選題目的】考察學生對于分布列的認識，題目不難，規(guī)范解答.

例3.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子,

每粒需再補種1粒，補種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學期望為

(A)100(B)200(C)300(D)400

【選題目的】單純考查學生對二項分布模型的認識.

例4.某同學參加3門課程的考試.假設(shè)該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為5,

第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p,g(p>q),且不同課程是否取得優(yōu)秀

成績相互獨立.記《為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為

40123

624

Pab

125125

(I)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率;

(II)求P,?的值;

(Ill)求數(shù)學期望后最

解：設(shè)事件A表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績”，J=l,2,3,由題意知

4

尸(舄)--,尸⑷)=7，尸但)=q

(I)由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“4二°”是對立的，所

以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是

119

1-P(^=O)=1--—=

125125,

------16

p^=o)=p(444)=-a-p)(i-^)=—

(II)由題意知

424

產(chǎn)c=3)=產(chǎn)(444)=5^4=近

6

■pa-.,

整理得〃i25,p+g=i,

32

p=-q=-

由可得P5.5.

(in)由題意知。=產(chǎn)C=1)=尸(444)+產(chǎn)(447)+產(chǎn)(444)

4