新工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三 線性代數(shù)及Python實現(xiàn) 課件 5.2 相似矩陣與矩陣的對角化_第1頁
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文檔簡介

§5.2

相似矩陣與矩陣的對角化定義2

設(shè)A,B

都是n階矩陣，若有可逆矩陣

P

滿足P

?1AP=B，則稱B為矩陣A

的相似矩陣，或稱矩陣A

和B相似．記作A~B．性質(zhì)1若n階矩陣A

和B相似，則A

和B的特征多項式相同,從而A

和B的特征值也相同．(逆命題不成立)證明：根據(jù)題意，存在可逆矩陣

P

，使得P

?1AP=B．

于是

|B?lE|=|P

?1AP?P

?1(lE)P|=|P

?1(A?lE

)P|=|P

?1||A?lE

||P|=|A?lE

|．定理：若n階矩陣A

和B相似，則A

和B的特征多項式相同,從而A

和B的特征值也相同．推論：若n階矩陣A

和B相似，則A

的多項式j(luò)

(A)和B的多項式j(luò)

(B)相似．證明：設(shè)存在可逆矩陣

P

，使得P

?1AP=B，則P

?1AkP=Bk

.設(shè)j

(x)=cmxm+cm?1xm?1+…+c1x+c0，那么P

?1j

(A)P

=P

?1

(cmAm+cm?1Am?1

+…+c1A

+c0

E)P

=cmP

?1Am

P+cm?1P

?1Am?1

P+…+c1

P

?1

AP+c0

P

?1EP

=cmBm+cm?1Bm?1+…+c1B+c0

E=j

(B)

.定理：設(shè)n階矩陣

L

=diag(l1,l2,…,ln

)，則l1,l2,…,ln

就是L

的n個特征值．證明：故l1,l2,…,ln

就是L

的n個特征值．定理：若n階矩陣A

和B相似，則A

和B的特征多項式相同,從而A

和B的特征值也相同．推論：若n階矩陣A

和B相似，則A

的多項式j(luò)

(A)和B的多項式j(luò)

(B)相似．若n階矩陣A

和n階對角陣

L

=diag(l1,l2,…,ln

)相似，則從而通過計算j

(L)可方便地計算j

(A).若j

(l)=|A?lE|，那么j

(A)=O（零矩陣）.可逆矩陣

P

，滿足P?1AP=L（對角陣）AP=PLApi=li

pi(i=1,2,…,n)A

的特征值對應(yīng)的特征向量其中?P.138定理1：n階矩陣A

和對角陣相似當(dāng)且僅當(dāng)A

有n個線性無關(guān)的特征向量推論：如果A

有n個不同的特征值，則A

和對角陣相似．例1

判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解解之得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系故不能化為對角矩陣.A能否對角化？若能對角例2解解之得基礎(chǔ)解系所以可對角化.注意

即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)．小結(jié)

這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成

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