北京市順義區(qū)牛欄山一中2022-2023學年高三上學期期中考試數(shù)學試題及答案

牛欄山一中2022-2023學年度第一學期期中考試數(shù)學試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設，，，則（）A B. C.5 D.3.下列每組雙曲線中漸近線都為是（）A.， B.，C.， D.，4.拋物線的準線過雙曲線的左焦點，則雙曲線的虛軸長為（）A.8 B. C.2 D.5.給出三個等式：，，．下列函數(shù)中不滿足任何一個等式的是（）A. B.C. D.6.已知和是兩個互相垂直的單位向量，，則是和夾角為的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.圓上的點到直線的距離為，點和在變化過程中，的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.48.在平行四邊形中，是邊的中點，與交于點．若，，則（）A. B. C. D.9.函數(shù)圖象上存在兩點，滿足，則下列結(jié)論成立的是（）A B.C. D.10.已知曲線，則下列說法正確有幾個（）（1）關(guān)于原點對稱；（2）只有兩條對稱軸；（3）曲線上點到原點最大距離是1；（4）曲線所圍成圖形的總面積小于；A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.，，若，則______．12.如圖，正六邊形的邊長為1，______．13.若是奇函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對可以是______．（寫出你認為正確的一組數(shù)即可）．14.若函數(shù)滿足存在使有兩個不同的零點，則的取值范圍是______．15.已知圓和定點，動點在圓上，為中點，為坐標原點．則下面說法正確的是______．①點到原點的最大距離是4；②若是等腰三角形，則其周長為10；③點的軌跡是一個圓；④的最大值是．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若在上的值域為，求值．17.設的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有（1）求角大?。唬?）從下列條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使唯一確定，并求的面積．條件①：邊上的高為；條件②：，；條件③：，．18.橢圓．（1）點是橢圓上任意一點，求點與點兩點之間距離的最大值和最小值；（2）和分別為橢圓的右頂點和上頂點．為橢圓上第三象限點．直線與軸交于點，直線與軸交于點．求．19.已知橢圓的焦點在軸上，且經(jīng)過點，左頂點為，右焦點為．（1）求橢圓離心率和的面積；（2）已知直線與橢圓交于A，B兩點．過點作直線的垂線，垂足為．判斷直線是否經(jīng)過定點?若存在，求出這個定點；若不存在，請說明理由．20.已知是函數(shù)的一個極值點．（1）求值；（2）判斷的單調(diào)性；（3）是否存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集為?直接寫出的取值范圍．21.已知有限數(shù)列A：，，…，（且）各項均為整數(shù)，且滿足對任意，3，…，N成立．記．（1）若，，求能取到的最大值；（2）若，求證：；（3）若（這里是數(shù)列的項數(shù)），求證：數(shù)列A中存在使得．

牛欄山一中2022-2023學年度第一學期期中考試數(shù)學試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由并集的定義直接求解.【詳解】，，∴.故選：C2.設，，，則（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積坐標運算求解即可.【點睛】因為，，，所以.故選：B3.下列每組雙曲線中漸近線都為是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】依次求出各雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因為雙曲線的焦點在軸上，，，其漸近線方程為，且雙曲線的焦點在軸上，，，其漸近線方程為，所以選項A正確；因為雙曲線的焦點在軸上，，，其漸近線方程為，但雙曲線的焦點在軸上，，，其漸近線方程為，所以選項B錯誤；因為雙曲線的焦點在軸上，，，其漸近線方程為，但雙曲線的焦點在軸上，，，其漸近線方程為，所以選項C錯誤；因為雙曲線的焦點在軸上，，，其漸近線方程為，但雙曲線的焦點在軸上，，其漸近線方程為，所以選項D錯誤.故選：A.4.拋物線的準線過雙曲線的左焦點，則雙曲線的虛軸長為（）A.8 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求出拋物線的準線，從而可得雙曲線的，根據(jù)的關(guān)系可得答案.【詳解】因為拋物線的準線為，所以由題意可知雙曲線的左焦點為，因為，所以，所以雙曲線的虛軸長為.故選：B5.給出三個等式：，，．下列函數(shù)中不滿足任何一個等式的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對于A，利用對數(shù)的運算法則檢驗即可；對于B，利用指數(shù)的運算法則檢驗即可；對于C，利用三角函數(shù)誘導公式檢驗即可；對于D，舉反例逐一判斷三個等式即可.【詳解】對于A，因為，所以，故A不滿足題意；對于B，因為，所以，故B不滿足題意；對于C，因為，所以，故C不滿足題意；對于D，因為，所以令，則，故；令，則，故；令，則，故；綜上：不滿足任何一個等式，故D滿足題意.故選：D.6.已知和是兩個互相垂直的單位向量，，則是和夾角為的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量公式表示出和夾角的余弦值，再討論夾角為時的取值，最后根據(jù)充分條件和必要條件定義選出答案.【詳解】，，，當時，，即和夾角為,故是和夾角為的充分不必要條件故選：A7.圓上的點到直線的距離為，點和在變化過程中，的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】設出點坐標，并利用點在圓上得出，根據(jù)點到直線距離公式表達出距離，利用輔助角公式化簡，進而得出的最小值.【詳解】解：由題意，在圓中，圓心，半徑，點到直線的距離為設，，，解得：在中，，其中，∴當時，d最小，.故選：C.8.在平行四邊形中，是邊的中點，與交于點．若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，根據(jù)三點共線，即共線，可設，用表示出關(guān)系，即可解出結(jié)果.【詳解】.設，則,又，且三點共線，則共線，即，使得，即，又不共線，則有，解得，所以，.故選：D.9.函數(shù)圖象上存在兩點，滿足，則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù),在上,可得出,再根聯(lián)立,得到的值,根據(jù)縮小的取值范圍,進而代入求值即可.【詳解】解:由題知,,均在上,,,,故有:,兩等式聯(lián)立有,解得,,,,,綜上選項B正確.故選:B10.已知曲線，則下列說法正確的有幾個（）（1）關(guān)于原點對稱；（2）只有兩條對稱軸；（3）曲線上點到原點最大距離是1；（4）曲線所圍成圖形的總面積小于；A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】對于（1）（2），代入即可判斷曲線的對稱情況；對于（3），利用基本不等式與兩點距離公式的幾何意義即可判斷；對于（4），利用（3）中的結(jié)論容易判斷.【詳解】對于（1），不妨設點在曲線上，則也在該曲線上，所以曲線關(guān)于原點對稱，故（1）正確；對于（2），易知也都在該曲線上，所以曲線關(guān)于軸、軸、對稱，故（2）錯誤；對于（3），因為，所以，即，所以曲線上點到原點最大距離是1，故（3）正確；對于（4），由（3）得，曲線所圍成的圖形落在圓內(nèi)，且顯然是圓內(nèi)的部分圖形，而圓的面積為，所以曲線所圍成圖形的總面積小于，故（4）正確；綜上：（1）（3）（4）正確，（2）錯誤，故說法正確的有3個.故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.，，若，則______．【答案】1【解析】【分析】利用向量共線的坐標表示和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式進行求解.【詳解】由題意，得，則.故答案為：1.12.如圖，正六邊形的邊長為1，______．【答案】-1【解析】【分析】由正六邊形性質(zhì)，結(jié)合向量線性運算及數(shù)量積運算即可【詳解】由正六邊形性質(zhì)，，.故答案為：-1.13.若是奇函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對可以是______．（寫出你認為正確的一組數(shù)即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先根據(jù)正弦函數(shù)和差角公式將原式化簡整理，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義得到參數(shù)，應該滿足的條件，按等式關(guān)系選取答案即可.【詳解】已知，，若是奇函數(shù)，則即可，可以取，.故答案為：（答案不唯一）14.若函數(shù)滿足存在使有兩個不同的零點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象即可得到答案.【詳解】如圖所示，畫出函數(shù)的圖象.結(jié)合圖象可知，故答案為：.15.已知圓和定點，動點在圓上，為中點，為坐標原點．則下面說法正確的是______．①點到原點的最大距離是4；②若是等腰三角形，則其周長為10；③點的軌跡是一個圓；④的最大值是．【答案】②③④【解析】【分析】利用求軌跡方程的方法求出點的軌跡，再根據(jù)點和圓的位置關(guān)系確定點到原點的最大距離，再根據(jù)幾何關(guān)系確定的周長，利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到即可求出的最大值.【詳解】設由中點坐標公式得,所以,因為在圓上,所以,即,即,所以點的軌跡是一個圓,方程為,是以為圓心,為半徑的圓,所以點到原點的最大距離是,故①錯誤；因為，所以,若為等腰三角形，若,則,此時三點共線，不滿足題意，若,則,滿足題意，所以的周長等于，故②正確；由以上過程可知的軌跡是一個圓,方程為,所以③正確；設，當時，，不是最大角，不為時，中，,當且僅當,即時取得等號，所以，故④正確.故答案為：②③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若在上的值域為，求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由誘導公式、二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡函數(shù)為一個角的三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求值．【小問1詳解】解：已知增區(qū)間為：所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】解：已知，，即，因為，值域為，.17.設的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有（1）求角的大小；（2）從下列條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使唯一確定，并求的面積．條件①：邊上的高為；條件②：，；條件③：，．【答案】（1）（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）注意到已知等式右邊為，可得.（2）若選擇①，結(jié)合（1）只能求得b.若選擇②，結(jié)合（1）和正弦定理，可求得.若選擇③，結(jié)合（1）和正，余弦定理，可求得b，c.【小問1詳解】由題，因.則，因A為三角形內(nèi)角，所以A.【小問2詳解】若選擇①，設邊上的高為，則，得.因題目條件不足，故無法唯一確定.若選擇②，由正弦定理及（1），有.因，又題目條件不足，故無法判斷B為鈍角還是銳角，則無法唯一確定.若選擇③，由正弦定理，及，則又由余弦定理及（1），有，得，.此時唯一確定，.綜上選擇③時，唯一確定，此時的面積為18.橢圓．（1）點是橢圓上任意一點，求點與點兩點之間距離的最大值和最小值；（2）和分別為橢圓的右頂點和上頂點．為橢圓上第三象限點．直線與軸交于點，直線與軸交于點．求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設，，計算得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最值.（2）過點作軸于，過點作軸于，設，利用相似計算得到答案.【小問1詳解】設，，則，，當時，，當時，.【小問2詳解】如圖所示：過點作軸于，過點作軸于，設，19.已知橢圓的焦點在軸上，且經(jīng)過點，左頂點為，右焦點為．（1）求橢圓的離心率和的面積；（2）已知直線與橢圓交于A，B兩點．過點作直線的垂線，垂足為．判斷直線是否經(jīng)過定點?若存在，求出這個定點；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過定點，理由見詳解.【解析】【分析】（1）由橢圓經(jīng)過點，代入橢圓方程求得，結(jié)合，解得的值，進而求得離心率和的面積；（2）由直線與橢圓交于A，B兩點，則說明斜率存在，所以分，，進行討論找出直線過得點.【小問1詳解】由題意，橢圓經(jīng)過點，可得，解得，即橢圓，因為，即，所以橢圓的離心率為，又由左頂點為，右焦點為，所以，所以的面積為【小問2詳解】由直線與橢圓交于A，B兩點所以當時，直線為與橢圓交于A，B兩點由解得：令，此時所以所以直線即，令所以直線是經(jīng)過定點同理若，則令所以直線是經(jīng)過定點當時，由直線與橢圓交于A，B兩點設聯(lián)立方程組，整理得，則，所以設點，所以的方程為，令，可得，所以直線經(jīng)過定點，綜上可得，直線經(jīng)過定點.20.已知是函數(shù)的一個極值點．（1）求值；（2）判斷的單調(diào)性；（3）是否存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集為?直接寫出的取值范圍．【答案】（1）（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）存在，【解析】【分析】（1）求導得到導函數(shù)，根據(jù)計算得到答案.（2）求導得到，根據(jù)導數(shù)的正負得到單調(diào)區(qū)間.（3）先證明，，計算得到，且，得到答案.【小問1詳解】，則，，解得.，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.故是函數(shù)的極大值點，滿足.【小問2詳解】，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.【小問3詳解】，當，易知，，故.故，滿足條件.當時，設，故，故，即，當時，設，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，故.，即可以無限接近.綜上所述：.【點睛】本題考查