2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)高二下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

/2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)高二下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題試卷說明：1．本試卷共三道大題，共6頁.2．卷面滿分120分，考試時間90分鐘.3．試題答案一律在答題紙上作答，在試卷上作答無效.一、選擇題（每小題4分，共40分）1．函數(shù)在處的瞬時變化率為（

）A．2 B． C． D．12．若、、成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．3．已知直線是曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．已知某一離散型隨機(jī)變量的分布列，且，則的值為（

）49A．5 B．6 C．7 D．85．已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．6．等差數(shù)列中，設(shè)前項(xiàng)和為，，則等于（

）A．80 B．85 C．90 D．957．某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率是，經(jīng)過3次射擊，此人有2次擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．8．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．109．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．10．已知等比數(shù)列的公比為q，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）11．在等比數(shù)列中，，則．12．為了解學(xué)生的體能情況，抽取某學(xué)校一、二年級部分學(xué)生進(jìn)行跳繩測試，將所得的數(shù)據(jù)整理后畫出頻率分布直方圖（如圖），設(shè)一年級跳繩次數(shù)為，二年級跳繩次數(shù)為，則．（填“”或“”）13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．14．函數(shù)（其中，e為自然常數(shù)）．關(guān)于函數(shù)有四個結(jié)論：①，函數(shù)總存在零點(diǎn)．②，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．③，使函數(shù)存在2個零點(diǎn)．④，使得直線為函數(shù)的一條切線．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（本題共5小題，共60分）15．設(shè)函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．16．據(jù)世界田聯(lián)官方網(wǎng)站消息，原定于2023年5月日在中國廣州舉辦的世界田聯(lián)接力賽延期至2025年4月至5月舉行.據(jù)了解，甲?乙?丙三支隊(duì)伍將會參加2025年4月至5月在廣州舉行的米接力的角逐.接力賽分為預(yù)賽?半決賽和決賽，只有預(yù)賽?半決賽都獲勝才能進(jìn)入決賽.已知甲隊(duì)在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；乙隊(duì)在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；丙隊(duì)在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和.(1)甲?乙?丙三隊(duì)中，誰進(jìn)入決賽的可能性最大；(2)設(shè)甲?乙?丙三隊(duì)中進(jìn)入決賽的隊(duì)伍數(shù)為，求的分布列.17．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)若，，成等比數(shù)列，求m的值．18．隨著經(jīng)濟(jì)全球化、信息化的發(fā)展，企業(yè)之間的競爭從資源的爭奪轉(zhuǎn)向人才的競爭，吸引、留住培養(yǎng)和用好人才成為人力資源管理的戰(zhàn)略目標(biāo)和緊迫任務(wù)，在此背景下，某信息網(wǎng)站在15個城市中對剛畢業(yè)的大學(xué)生的月平均收入薪資和月平均期望薪資做了調(diào)查，數(shù)據(jù)如下圖所示.（1）若某大學(xué)畢業(yè)生從這15座城市中隨機(jī)選擇一座城市就業(yè)，求該生選中月平均收入薪資高于8500元的城市的概率；（2）現(xiàn)有2名大學(xué)畢業(yè)生在這15座城市中各隨機(jī)選擇一座城市就業(yè)，且2人的選擇相互獨(dú)立，記X為選中月平均收入薪資高于8500元的城市的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）記圖中月平均收入薪資對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為，月平均期望薪資對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為，判斷與的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）19．已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時，．1．B函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時變化率即為函數(shù)在改點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，求導(dǎo)得解【詳解】，所以函數(shù)在處的瞬時變化率為故選：B本題考查函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2．A【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)?、、成等差?shù)列，則.故選：A.3．A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過切點(diǎn)的切線方程，代入已知點(diǎn)求出，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】直線過點(diǎn)，設(shè)是曲線上的切點(diǎn)，，所以在點(diǎn)處的切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，將代入上式得，所以切點(diǎn)為.故選：A4．B【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及期望公式得到方程組，解得即可.【詳解】依題意可得，解得.故選：B5．C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，即可得答案.【詳解】由可得，，故選：C6．B【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)計算即可.【詳解】由題意可得，故選：B.7．B【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式即可求解.【詳解】由題意可得：此人有2次擊中目標(biāo)的概率為：.故選：B.8．A【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.9．D【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．10．D【分析】舉例即可說明，充分條件性以及必要條件均不成立，即可得出答案.【詳解】取，，此時數(shù)列前幾項(xiàng)為，顯然該數(shù)列不是遞減數(shù)列，故由“”不能推出“為遞減數(shù)列”；取數(shù)列，顯然有，即，所以，為遞減數(shù)列，但，故由“為遞減數(shù)列”也不能推出“”．故“”是“為遞減數(shù)列”的既不充分也不必要條件．故選：D．11．##【分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為，由于，求出的值，由此計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則＝，又，解可得．故．12．【分析】根據(jù)兩個年級的跳繩次數(shù)的集中程度判斷.【詳解】由兩個年級的跳繩次數(shù)的頻率分布直方圖可知，一年級的跳繩次數(shù)相對比較集中，二年級的跳繩次數(shù)相對比較分散，所以故答案為.13．【分析】求定義域，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)大于0解不等式，求出遞增區(qū)間.【詳解】的定義域?yàn)?，，令，解得：或，因?yàn)槎x域?yàn)椋詥握{(diào)遞增區(qū)間為.故14．②③④【分析】對①，舉出反例判斷即可；對②，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可；對③，令，參變分離得到，再根據(jù)函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合分析即可對④，設(shè)切點(diǎn)，再根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)、切線上，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析即可【詳解】對①，當(dāng)時，，不存在零點(diǎn)，故①錯誤；對②，當(dāng)時，在定義域上恒成立，故函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故②正確；對③，顯然不為零點(diǎn)，令，即，設(shè)函數(shù)，則，令可得，易得為增函數(shù)，且，，故存在使得成立，又當(dāng)時，當(dāng)時，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故當(dāng)時有極小值，故當(dāng)時有兩個零點(diǎn).故③正確；對④，若，使得直線為函數(shù)的一條切線，則設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，故，即，故，?dāng)時，當(dāng)時，故存在使得成立，故有解，此時滿足條件，故④正確故②③④本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性問題，同時也考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析切線的問題，屬于難題15．(1)(2)最大值為，最小值為.【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.【詳解】（1）由題意知，，即切點(diǎn)為，由已知，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故在點(diǎn)處的切線方程為：（2）令，即得或，令，則得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為，，因?yàn)?,故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.16．(1)乙進(jìn)入決賽的可能性最大(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式計算得解；（2）根據(jù)（1）及相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式計算，列出分布列.【詳解】（1）甲隊(duì)進(jìn)入決賽的概率為，乙隊(duì)進(jìn)入決賽的概率為，丙隊(duì)進(jìn)入決賽的概率為，顯然乙隊(duì)進(jìn)入決賽的概率最大，所以乙進(jìn)入決賽的可能性最大．（2）由（1）可知：甲?乙?丙三隊(duì)進(jìn)入決賽的概率分別為，的可能取值為，，，，，所以的分布列為：012317．(1)(2)(3)【分析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可求解；（2）結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解；（3）結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）∵為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．∴，解得，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，．（3）∵，，成等比數(shù)列，∴，即，即，又因?yàn)椋獾?18．（1）；（2）分布列見解析，；（3）【分析】（1）根據(jù)圖表得到高于8500元的城市有6座，得到答案.（2）的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算期望得到答案.（3）根據(jù)數(shù)據(jù)的波動性得到答案.【詳解】（1）根據(jù)圖表知：月平均收入薪資高于8500元的城市有6座，故（2）的可能取值為，則；；分布列為：012（3）根據(jù)圖像知月平均收入薪資對應(yīng)數(shù)據(jù)波動更大，故本題考查了概率的計算，分布列，數(shù)學(xué)期望，方差，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.19．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）先求解出，然后求解出，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求解出切線方程；（2）采用分類討論的方法進(jìn)行分析：、、、，分析每種情況下的單調(diào)性并確定最大值，注意結(jié)合分析，由此可完成證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以在處的切線方程為：，即；（2）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)