指數(shù)-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

人教2019A版必修第一冊第四章

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)什么是n次方根？【溫故】我們知道，如果，那么叫做的平方根.例如，±2就是4的平方根.如果，那么叫做的立方根.例如2就是8的立方根.

一般地，如果，

其中，n＞1，且n∈N*正數(shù)有兩個平方根，是一對相反數(shù)。0有一個平方根，是0.負(fù)數(shù)沒有平方根.那么

叫做

的n次方根，由于25=32，我們把2叫做32的5次方根.類似地，由于(±2)4=16，我們把±2叫做16的4次方根.n次方根的性質(zhì)【1】當(dāng)n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù).

這時，a的n次方根用符號表示.例如

【2】

當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).正的n次方

根用表示，負(fù)的n次方根用表示.兩者也可以合并成.

例如

【3】負(fù)數(shù)沒有偶次方根.【4】

0的任何次方根都是0.記作：

x=｛什么是根式？【定義】式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

根指數(shù)被開方數(shù)

根據(jù)n次方根的定義，可得：

，比如：

【1】一般讀作“n次根號a”

【2】當(dāng)a＜0且n為偶數(shù)時，在實數(shù)范圍

內(nèi)沒有意義.【3】當(dāng)

有意義時，是一個實數(shù)，且

它的n次方等于a.

什么是根式？【探究】表示的n次方根，

一定成立嗎？

【結(jié)論】①當(dāng)n為奇數(shù)時，

②當(dāng)n為偶數(shù)時，

是實數(shù)的n次方根，本質(zhì)算法是先乘方，再開方.結(jié)果不一定是當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，

是實數(shù)的n次方，其算法是先開方，再乘方，結(jié)果恒等于.

(1)(2)(3)(4)例1：求下列各式的值.【解】(1)

(3)

(2)

(4)={分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是什么？【探究】根據(jù)n次方根的定義和運算，我們知道

，也就是說，當(dāng)根式的被開方數(shù)(看

成冪的形式)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.

【思考】當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也能表示為

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式呢？【設(shè)想】把根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式時，例如把寫成下列形式：

我們希望整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，如：，對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪同樣適用.

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是什么？【定義】由此，我們規(guī)定，正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：

于是，在條件下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿.

我們規(guī)定，

例如，

我們再規(guī)定，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒意義.不可以.顯然不是半個相乘，它的實質(zhì)是根式的另一種寫法，如.在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪就是表示相同意義的量，只是形式不同分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是什么？【問題1】可以理解為個相乘嗎？

【問題2】分?jǐn)?shù)指數(shù)能約分嗎？不能隨意約分.因為約分之后可能會改變根式有意義的條件，如約分后變成了，而在實數(shù)范圍內(nèi)無意義.

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

時運算法則不一定成立.研究的一般性要求：

，此時法則一定成立.

(1)(2)例2：求下列各式的值.【解】(1)

(2)

(1)(2)例3：求用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列式子().【解】(1)(2)

例4：計算下式的值.【解】

（式中字母均為正數(shù)）歸納總結(jié)什么是無理數(shù)指數(shù)冪？的過剩近似值的近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738517752……觀察下表：的是否表示一個確定的實數(shù)？的近似值的不足近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.4149.7383051741.41429.7384619071.414219.7385089281.4142139.7385167651.41421359.7385177051.414213569.7385177361.414213562……什么是無理數(shù)指數(shù)冪？【定義】一般地，無理數(shù)指數(shù)冪

是一個確定的實數(shù).這樣，

我們就將指數(shù)冪中的指數(shù)的范圍從整數(shù)逐步拓展到了

實數(shù)，實數(shù)的指數(shù)冪是一個確定的實數(shù).

【指數(shù)冪的拓展順序】正整數(shù)指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪零次冪整數(shù)指數(shù)冪分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪實數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)【定義】一整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于實數(shù)指數(shù)冪，即對于任意實數(shù)，

均有下面的運算性質(zhì).

1：計算下列各式的值.【解】(1)（1）

（2）

(2)

練習(xí)：P1091、n次方根和根式的概念。2、3、當(dāng)n為奇數(shù)時，a的n次方根是。當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)a的