新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)分冊(cè)二探究一五數(shù)列

五數(shù)列必記結(jié)論1.等差數(shù)列設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an.(2)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列．(3)＝n＋是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列也是等差數(shù)列．(4)Sn＝＝＝＝….(5)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù))，公差為d，全部奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，全部偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則全部項(xiàng)之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1為中間兩項(xiàng))，S偶－S奇＝md，＝.(6)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m－1(m∈N*)，全部奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，全部偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則全部項(xiàng)之和S2m－1＝(2m－1)am(am為中間項(xiàng))，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.(7)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n).2．等比數(shù)列(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；反之，不愿定成立(m，n，p，q∈N*)．(3){an}，{bn}成等比數(shù)列，則{λan}，，{anbn}，成等比數(shù)列(λ≠0，n∈N*)．(4)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則＝q.(5)通項(xiàng)公式an＝a1qn－1＝·qn，從函數(shù)的角度來(lái)看，它可以看作是一個(gè)常數(shù)與一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)的積，其圖象是指數(shù)型函數(shù)圖象上一系列孤立的點(diǎn)．(6)與等差中項(xiàng)不同，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才能有等比中項(xiàng)；兩個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．(7)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，x，xq；四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為，xq，xq3.3．求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法(1)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝(2)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝(3)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．(4)已知＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．(5)構(gòu)造等比數(shù)列法：若已知數(shù)列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，設(shè)存在非零常數(shù)λ，使得an＋1＋λ＝＋λ)，其中λ＝，則數(shù)列就是以a1＋為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列，先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式即可．4．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)公式法：①等差數(shù)列的求和公式；②等比數(shù)列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.(2)分組求和法：當(dāng)干脆運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中的“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和．(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)的和有共性，則常考慮選用倒序相加法進(jìn)行求和．(4)錯(cuò)位相減法：假如數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成的，那么常選用錯(cuò)位相減法將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”，從而進(jìn)行求解．(5)裂項(xiàng)相消法：假如數(shù)列的通項(xiàng)可分裂成“兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和．常用的裂項(xiàng)形式有①＝；②＝；③<＝，＝<<＝；④＝[].易錯(cuò)剖析易錯(cuò)點(diǎn)1不清晰an與Sn的關(guān)系【突破點(diǎn)】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求an時(shí)，利用an＝Sn－Sn－1，需留意分n＝1和n≥2兩種狀況探討．易錯(cuò)點(diǎn)2不清晰裂項(xiàng)和拆項(xiàng)的規(guī)律，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)【突破點(diǎn)】“裂項(xiàng)法”的特點(diǎn)：①分式的每個(gè)分子相同，分母都是兩個(gè)(或三個(gè))代數(shù)式相乘，若不具備就須要轉(zhuǎn)化；②剩余項(xiàng)一般是前后對(duì)稱(chēng)．常見(jiàn)形式有：.易錯(cuò)點(diǎn)3忽視對(duì)等比數(shù)列中公比的分類(lèi)探討【突破點(diǎn)】在解決等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和時(shí)，通常只想到Sn＝，把q＝1的狀況不自覺(jué)地解除在外，這是對(duì)前n項(xiàng)和公式理解不透所致．解等比數(shù)列的問(wèn)題，確定要留意對(duì)公比的分類(lèi)探討．易錯(cuò)快攻易錯(cuò)快攻一忽視對(duì)n＝1的檢驗(yàn)失分1[2024·新高考Ⅰ卷]記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數(shù)列．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：＋…＋<2.易錯(cuò)快攻二忽視公比q的取值2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，則“A＝－B”是“數(shù)列{an}是等比數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件五數(shù)列[典例1](1)解析：∵a1＝1，∴S1＝a1，∴＝1，又∵{}是公差為的等差數(shù)列，∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝，∴an＝Sn－Sn－1＝，整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝，∴an＝a1××…×＝1××…×＝，明顯對(duì)于n＝1也成立，∴{an}的通項(xiàng)公式an＝.(2)[典例2]解析：當(dāng)A＝－B時(shí)，Sn＝Aqn－A，則an＝Aqn－1(q－1)，當(dāng)q＝1或A＝0時(shí)，an＝0，此時(shí)數(shù)列{an}不是等比數(shù)列．若