2025版新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第1課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題型探究新人教A版選擇性必修第一冊

3.2雙曲線3.2.2雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)第1課時雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)題型探究題型一由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)1．求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.[分析]將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，先求出參數(shù)a，b，c的值，再寫出各個結(jié)果.[解析]雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝eq\r(13).又雙曲線的焦點在x軸上，∴頂點坐標(biāo)為(－3,0)，(3,0)，焦點坐標(biāo)為(－eq\r(13)，0)，(eq\r(13)，0)，實軸長2a＝6，虛軸長2b＝4，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x.[規(guī)律方法]由雙曲線的方程探討幾何性質(zhì)1．把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.2．由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點位置和a，b的值.3．由c2＝a2＋b2求出c值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).提示：把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是求其幾何性質(zhì)的前提.對點訓(xùn)練?(1)雙曲線2x2－y2＝－8的實軸長是(D)A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)(2)雙曲線3x2－y2＝3的漸近線方程是(C)A．y＝±3x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±eq\f(\r(3),3)x[解析](1)雙曲線方程可變形為eq\f(y2,8)－eq\f(x2,4)＝1，所以a2＝8，a＝2eq\r(2)，故實軸長2a＝4eq\r(2).(2)令x2－eq\f(y2,3)＝0，則y＝±eq\r(3)x.題型二依據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程2．求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)虛軸長為12，離心率為eq\f(5,4)；(2)頂點間距離為6，漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x；(3)與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2).[分析]eq\x(分析雙曲線的幾何性質(zhì))→eq\x(求a，b，c)→eq\x(確定\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(探討))焦點位置)→eq\x(求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程)[解析](1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).由題知2b＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.(2)方法一：當(dāng)焦點在x軸上時，由eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)且a＝3，得b＝eq\f(9,2)，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,\f(81,4))＝1.當(dāng)焦點在y軸上時，由eq\f(a,b)＝eq\f(3,2)且a＝3，得b＝2.∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.方法二：設(shè)以直線y＝±eq\f(3,2)x為漸近線的雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝λ(λ≠0).當(dāng)λ>0時，a2＝4λ，∴2a＝2eq\r(4λ)＝6，解得λ＝eq\f(9,4)；當(dāng)λ<0時，a2＝－9λ，∴2a＝2eq\r(－9λ)＝6，解得λ＝－1.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,\f(81,4))＝1或eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.(3)設(shè)與雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為eq\f(x2,2)－y2＝k(k≠0)，將點M(2，－2)的坐標(biāo)代入得k＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.[規(guī)律方法]1.由幾何性質(zhì)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的解題思路由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法.當(dāng)雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應(yīng)留意分類探討，為了避開探討，也可設(shè)雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn＞0).2．常見雙曲線方程的設(shè)法(1)漸近線為y＝±eq\f(n,m)x的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；假如兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0).(2)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝λ(λ≠0).(3)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)離心率相等的雙曲線系方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝λ(λ＞0)，這是因為由離心率不能確定焦點位置.對點訓(xùn)練?求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為eq\f(5,3)；(2)過點(2,0)，與雙曲線eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝1的離心率相等.[解析](1)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題意知2b＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，從而b＝4，c＝eq\f(5,3)a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)當(dāng)所求雙曲線的焦點在x軸上時，可設(shè)其方程為eq\f(x2,64)－eq\f(y2,16)＝λ(λ>0)，將點(2,0)的坐標(biāo)代入方程得λ＝eq\f(1,16)，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－y2＝1；當(dāng)所求雙曲線的焦點在y軸上時，可設(shè)其方程為eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝λ(λ>0)，將點(2,0)的坐標(biāo)代入方程得λ＝－eq\f(1,4)<0(舍去).綜上可知，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.題型三求雙曲線的離心率3．已知圓C：x2＋y2－10y＋21＝0與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是(C)A.eq\r(2) B．eq\f(5,3)C．eq\f(5,2) D．eq\r(5)[解析]由雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，可得其一條漸近線的方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，又由圓C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圓心為C(0,5)，半徑r＝2，則圓心到直線的距離為d＝eq\f(|－5a|,\r(b2＋－a2))＝eq\f(5a,c)，則eq\f(5a,c)＝2，可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,2).[規(guī)律方法]求雙曲線離心率的方法(1)干脆法：若可求得a，c，則干脆利用e＝eq\f(c,a)得解.(2)解方程法：若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.對點訓(xùn)練?中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4，－2)，則它的離心率為(D)A.eq\r(6) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(6),2) D．eq\f(\r(5),2)[解析]由題意知，過點(4，－2)的漸近線的方程為y＝－eq\f(b,a)x，∴－2＝－eq\f(b,a)·4，∴a＝2b.方法一：設(shè)b＝k，則a＝2k，c＝eq\r(5)k，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)k,2k)＝eq\f(\r(5),2).方法二：e2＝eq\f(b2,a2)＋1＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，故e＝eq\f(\r(5),2).易錯警示4．雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x，則離心率為(C)A.eq\f(5,4) B．eq\f(\r(5),2)C.eq\f(5,3)或eq\f(5,4) D．eq\f(\r(5),2)或eq\f(\r(15),3)[錯解]由雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x，得eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(5,4)，故選A.[辨析