四川省2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期強基班第三次月考試題含解析

2024級強基班高一（下）第三次學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題（時間：120分鐘滿分：150分）留意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用商關(guān)系和平方關(guān)系建立方程組可得答案.【詳解】因為，所以；因為，所以，解得；因為，所以，所以.故選：A.2.在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD確定是（）A.正方形 B.平行四邊形 C.矩形 D.菱形【答案】D【解析】【分析】由向量的運算可得，四邊形為平行四邊形；利用，說明四邊形對角線相互垂直，然后得到結(jié)果．【詳解】解：由,得可知，四邊形為平行四邊形；又由可知，四邊形對角線相互垂直，故四邊形為菱形．故選：D．3.若a，b為兩條異面直線，，為兩個平面，，，，則下列結(jié)論中正確的是()A.l至少與a，b中一條相交B.l至多與a，b中一條相交C.l至少與a，b中一條平行D.l必與a，b中一條相交，與另一條平行【答案】A【解析】【分析】此種類型的題可以通過舉反例推斷正誤.【詳解】因為a，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.若l與a、b都不相交，則a∥l，b∥l，a∥b，與a、b異面沖突，故A對；當a、b為如圖所示的位置時，可知l與a、b都相交，故B、C、D錯.故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可【詳解】因為，明顯，故，故選：A5.已知，，設(shè)，的夾角為，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)投影向量的求法求得正確答案.【詳解】在上的投影向量是：.故選：A6.已知A、B、C是直線上三個相異的點，平面內(nèi)的點O不在此直線上，若正實數(shù)x、y滿意，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)平面對量線性運算得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，因為已知A、B、C是直線上三個相異的點，平面內(nèi)的點O不在此直線上，所以.所以當且僅當，即時取等號.故選：D7.已知菱形的邊長為3，，沿對角線折成一個四面體，使平面垂直平面，則經(jīng)過這個四面體全部頂點的球的體積為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)球心為，，則，，可得，求出，可得，即可求出球的體積．【詳解】是的中點，由題意可知：平面,如圖所示，設(shè)球心為，在平面中的射影為，是的中點，，則，,所以，球的體積為．故選：A．8.如圖，屋頂?shù)臄嗝鎴D是等腰三角形，其中，橫梁的長為8米，，為了使雨水從屋頂（設(shè)屋頂頂面為光滑斜面）上盡快流下，則的值應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)物體受力分析，利用二倍角的正弦公式化簡后，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出雨水流下時間的最小值對應(yīng)的值.【詳解】設(shè)雨水的質(zhì)量為，下滑加速度為，，取的中點，連接.則,且.因為，所以；在直角三角形中，所以當,即時等號成立，故選：B.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.一組數(shù)據(jù)2，6，8，3，3，3，7，8，則（）A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5 B.這組數(shù)據(jù)的方差是C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是8 D.這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是6【答案】AB【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，依據(jù)數(shù)據(jù)特征，逐項推斷即可.【詳解】解：數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，3，3，3，6，7，8，8，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A項正確；這組數(shù)據(jù)的方差為：，故B項正確；這組數(shù)據(jù)中有3個3，2個8，1個2，1個6，1個7，所以眾數(shù)為3，故C項錯誤；因為，這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是7，故D項錯誤.故選：AB.10.在等腰直角三角形中，斜邊，向量，滿意，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先由，結(jié)合等腰直角三角形，可求出對應(yīng)的模及其夾角，即可推斷A，由可推斷B；由可推斷C；由是否等于0可推斷D【詳解】由題意，等腰直角三角形，，，，又對A，，故A對；對B，，故B錯；對C，，故C對；對D，，故D對；故選：ACD11.已知函數(shù)的部分圖像如圖，下列結(jié)論正確的有（）A.是函數(shù)的一條對稱軸B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)在為增函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上有個零點【答案】ACD【解析】【分析】由圖分別計算值，從而得，代入點計算可得值，從而得函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一計算分析即可得答案.【詳解】由圖可知，，，得，所以，，得，因為，所以，所以得，則，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故A正確；函數(shù)，所以函數(shù)偶函數(shù)，故B錯誤；，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故C正確；當時，即，得，因為，可得的取值是，函數(shù)在區(qū)間上有個零點，故D正確；故選：ACD12.在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，點M在線段PC上運動（不含端點），則（）A.存在點M使得B.四棱錐外接球的表面積為C.直線PC與直線AD所成角為D.當動點M到直線BD的距離最小時，過點A，D，M作截面交PB于點N，則四棱錐的體積是【答案】BCD【解析】【分析】取AD的中點G，證明平面PGC，然后由線面垂直的性質(zhì)定理推斷A，把四棱錐補形成一個如圖2的正方體，依據(jù)正方體的性質(zhì)推斷BC，由平面PGC，當動點M到直線BD的距離最小時，從而得為PC的中點，N為QA的中點，再由體積公式計算后推斷D．【詳解】如圖1，取AD的中點G，連接GC，PG，BD，,則，因為平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，則．又因為，所以，又，平面，所以平面PGC．因為平面PGC，平面PGC，所以不成立，A錯誤．因為△APD為等腰直角三角形，將四棱錐的側(cè)面APD作為底面一部分，補成棱長為1的正方體．如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確．如圖2，直線PC與直線AD所成角即為直線PC與直線BC所成角，為，C正確．如圖1，因為平面PGC，當動點M到直線BD的距離最小時，由上推導(dǎo)知，，，，，，，因此M為PC的中點．如圖3，由M為PC的中點，即為中點,平面即平面與的交點也即為與的交點,可知N為QA的中點，故，D正確．故選：BCD．【點睛】方法點睛：空間幾何體外接球問題，（1）干脆找尋球心位置，球心都在過各面外心用與該面垂直的直線上，（2）對特別的幾何體，經(jīng)常通過補形（例如把棱錐）補成一個長方體或正方體，它們的外接球相同，而長方體（或正方體）的對角線即為外接球的直徑，由此易得球的半徑或球心位置．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知是銳角，，則的值是_________．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角差的余弦公式求得正確答案.【詳解】由于是銳角，，所以，所以.故答案為：14.已知圓柱的底面半徑和母線長均為，，分別為圓、圓上的點，若，則異面直線，所成的角為_________.【答案】【解析】【分析】利用異面直線所成角的定義、勾股定理、余弦定理運算即可得解.【詳解】解：如上圖，過點作圓所在平面的垂線，垂足為，即是母線，連接，∵圓所在平面，∴，，所以四邊形是平行四邊形，，與所成的角就是或其補角；由題意可知，，，在直角中，，在等腰中，由余弦定理可得：，∴，又因異面直線夾角的范圍是，∴與所成的角是的補角，即.故答案為：.15.曲柄連桿機構(gòu)的示意圖如圖所示，當曲柄在水平位置時，連桿端點在的位置，當自按順時針方向旋轉(zhuǎn)角時，和之間的距離是，若，，，則的值是_________．【答案】5【解析】【分析】依據(jù)余弦定理解決實際問題，干脆計算即可.【詳解】如下圖，在中，由余弦定理可知，另外，由圖可知，在點與點重合時，,故答案為：516.在中，有，則的最大值是_______【答案】##【解析】【分析】依據(jù)數(shù)量積的運算律化簡，結(jié)合數(shù)量積定義以及余弦定理可得，再利用余弦定理以及基本不等式即可求得答案.【詳解】在中，因為，所以，又，，所以，又中，，則，，，所以，即，，當且僅當即時取等號，結(jié)合即，明顯為銳角，要使取最大值，則取最小值，此時，所以，即的最大值是．故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知向量，滿意，，．求：（1）；（2）與的夾角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量模的坐標運算以及向量的基本運算可以干脆求得；（2）依據(jù)向量數(shù)量積的定義進行計算即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由，得，故，代入，，得，由，得【小問2詳解】由,由于，故與的夾角為.18.如圖，在三棱錐中，平面分別是的中點．求證：（1）平面；（2）平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由線面平行判定定理可得答案；（2）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得答案.【小問1詳解】如圖所示，在中，分別為的中點，．又平面平面，平面；【小問2詳解】在中，，，平面平面，又平面平面，平面．平面，在中，為的中點，，又平面平面，平面．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值，并寫出當取最小值時x的取值集合；（2）若，，求的值．【答案】（1）最小值，（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）由，即可求出，再依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再依據(jù)二倍角公式求出、，最終利用兩角和的正弦公式計算可得；【小問1詳解】解：．當，即時，取得最小值．此時的取值集合為．【小問2詳解】解：由（1）知，，又，所以，即，因為，所以，所以，，所以．20.某探討小組經(jīng)過探討發(fā)覺某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，須要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)勻整分布，以事務(wù)發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事務(wù)發(fā)生的概率．（1）當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；（2）設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．【答案】（1），；（2），最小值為．【解析】【分析】（1）依據(jù)題意由第一個圖可先求出，再依據(jù)其次個圖求出的矩形面積即可解出；（2）依據(jù)題意確定分段點，即可得出的解析式，再依據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．【小問1詳解】依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．【小問2詳解】當時，；當時，,故，所以在區(qū)間的最小值為．21.如圖，四棱錐的底面為菱形，，，，平面，點在棱上.（1）證明：；（2）若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的余弦.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明平面可得(線面垂直得線線垂直)；（2）先由已知得點是棱的中點，再通過構(gòu)造點到面的垂線段，結(jié)合線面角的定義作出線面角，在直角三角形中計算即可.【小問1詳解】如圖，連接，因為四邊形為菱形，所以，因為平面，平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】設(shè)點到平面的距離為，則三棱錐的體積，解得.因為平面，，所以，即是棱的中點.設(shè)，如圖，連接，則平面，所以，過點作的垂線，垂足為，連接，由（1）知，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，則為直線與平面的所成角，因為，，所以，又因為，因為，所以，所以，又，所以，在中，，所以直線與平面所成角的余弦值為.22.已知函數(shù)的最大值為，與直線的相鄰兩個交點的距離為.將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標不變，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù).（1）求的解析式.（2）若，且方程在上有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的相關(guān)學(xué)問與