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文檔簡介
2024級強基班高一(下)第三次學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題(時間:120分鐘滿分:150分)留意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每個小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.)1.若,,則的值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用商關(guān)系和平方關(guān)系建立方程組可得答案.【詳解】因為,所以;因為,所以,解得;因為,所以,所以.故選:A.2.在四邊形ABCD中,若,且,則四邊形ABCD確定是()A.正方形 B.平行四邊形 C.矩形 D.菱形【答案】D【解析】【分析】由向量的運算可得,四邊形為平行四邊形;利用,說明四邊形對角線相互垂直,然后得到結(jié)果.【詳解】解:由,得可知,四邊形為平行四邊形;又由可知,四邊形對角線相互垂直,故四邊形為菱形.故選:D.3.若a,b為兩條異面直線,,為兩個平面,,,,則下列結(jié)論中正確的是()A.l至少與a,b中一條相交B.l至多與a,b中一條相交C.l至少與a,b中一條平行D.l必與a,b中一條相交,與另一條平行【答案】A【解析】【分析】此種類型的題可以通過舉反例推斷正誤.【詳解】因為a,b為兩條異面直線且,,,所以a與l共面,b與l共面.若l與a、b都不相交,則a∥l,b∥l,a∥b,與a、b異面沖突,故A對;當a、b為如圖所示的位置時,可知l與a、b都相交,故B、C、D錯.故選:A.4.若,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二倍角公式,結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可【詳解】因為,明顯,故,故選:A5.已知,,設(shè),的夾角為,則在上的投影向量是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)投影向量的求法求得正確答案.【詳解】在上的投影向量是:.故選:A6.已知A、B、C是直線上三個相異的點,平面內(nèi)的點O不在此直線上,若正實數(shù)x、y滿意,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)平面對量線性運算得到,再利用基本不等式求解即可.【詳解】因為,所以,因為已知A、B、C是直線上三個相異的點,平面內(nèi)的點O不在此直線上,所以.所以當且僅當,即時取等號.故選:D7.已知菱形的邊長為3,,沿對角線折成一個四面體,使平面垂直平面,則經(jīng)過這個四面體全部頂點的球的體積為().A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)球心為,,則,,可得,求出,可得,即可求出球的體積.【詳解】是的中點,由題意可知:平面,如圖所示,設(shè)球心為,在平面中的射影為,是的中點,,則,,所以,球的體積為.故選:A.8.如圖,屋頂?shù)臄嗝鎴D是等腰三角形,其中,橫梁的長為8米,,為了使雨水從屋頂(設(shè)屋頂頂面為光滑斜面)上盡快流下,則的值應(yīng)為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)物體受力分析,利用二倍角的正弦公式化簡后,由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出雨水流下時間的最小值對應(yīng)的值.【詳解】設(shè)雨水的質(zhì)量為,下滑加速度為,,取的中點,連接.則,且.因為,所以;在直角三角形中,所以當,即時等號成立,故選:B.二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.)9.一組數(shù)據(jù)2,6,8,3,3,3,7,8,則()A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5 B.這組數(shù)據(jù)的方差是C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是8 D.這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是6【答案】AB【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列,依據(jù)數(shù)據(jù)特征,逐項推斷即可.【詳解】解:數(shù)據(jù)從小到大排列為:2,3,3,3,6,7,8,8,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,故A項正確;這組數(shù)據(jù)的方差為:,故B項正確;這組數(shù)據(jù)中有3個3,2個8,1個2,1個6,1個7,所以眾數(shù)為3,故C項錯誤;因為,這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是7,故D項錯誤.故選:AB.10.在等腰直角三角形中,斜邊,向量,滿意,,則()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先由,結(jié)合等腰直角三角形,可求出對應(yīng)的模及其夾角,即可推斷A,由可推斷B;由可推斷C;由是否等于0可推斷D【詳解】由題意,等腰直角三角形,,,,又對A,,故A對;對B,,故B錯;對C,,故C對;對D,,故D對;故選:ACD11.已知函數(shù)的部分圖像如圖,下列結(jié)論正確的有()A.是函數(shù)的一條對稱軸B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)在為增函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上有個零點【答案】ACD【解析】【分析】由圖分別計算值,從而得,代入點計算可得值,從而得函數(shù)的解析式,利用三角函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一計算分析即可得答案.【詳解】由圖可知,,,得,所以,,得,因為,所以,所以得,則,所以是函數(shù)的一條對稱軸,故A正確;函數(shù),所以函數(shù)偶函數(shù),故B錯誤;,得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,所以函數(shù)在上為增函數(shù),故C正確;當時,即,得,因為,可得的取值是,函數(shù)在區(qū)間上有個零點,故D正確;故選:ACD12.在四棱錐中,底面ABCD是矩形,,,平面平面ABCD,點M在線段PC上運動(不含端點),則()A.存在點M使得B.四棱錐外接球的表面積為C.直線PC與直線AD所成角為D.當動點M到直線BD的距離最小時,過點A,D,M作截面交PB于點N,則四棱錐的體積是【答案】BCD【解析】【分析】取AD的中點G,證明平面PGC,然后由線面垂直的性質(zhì)定理推斷A,把四棱錐補形成一個如圖2的正方體,依據(jù)正方體的性質(zhì)推斷BC,由平面PGC,當動點M到直線BD的距離最小時,從而得為PC的中點,N為QA的中點,再由體積公式計算后推斷D.【詳解】如圖1,取AD的中點G,連接GC,PG,BD,,則,因為平面平面ABCD,平面平面,平面,所以平面ABCD,平面,則.又因為,所以,又,平面,所以平面PGC.因為平面PGC,平面PGC,所以不成立,A錯誤.因為△APD為等腰直角三角形,將四棱錐的側(cè)面APD作為底面一部分,補成棱長為1的正方體.如圖2,則四棱錐的外接球即為正方體的外接球,其半徑,即四棱錐外接球的表面積為,B正確.如圖2,直線PC與直線AD所成角即為直線PC與直線BC所成角,為,C正確.如圖1,因為平面PGC,當動點M到直線BD的距離最小時,由上推導(dǎo)知,,,,,,,因此M為PC的中點.如圖3,由M為PC的中點,即為中點,平面即平面與的交點也即為與的交點,可知N為QA的中點,故,D正確.故選:BCD.【點睛】方法點睛:空間幾何體外接球問題,(1)干脆找尋球心位置,球心都在過各面外心用與該面垂直的直線上,(2)對特別的幾何體,經(jīng)常通過補形(例如把棱錐)補成一個長方體或正方體,它們的外接球相同,而長方體(或正方體)的對角線即為外接球的直徑,由此易得球的半徑或球心位置.三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)13.已知是銳角,,則的值是_________.【答案】##【解析】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角差的余弦公式求得正確答案.【詳解】由于是銳角,,所以,所以.故答案為:14.已知圓柱的底面半徑和母線長均為,,分別為圓、圓上的點,若,則異面直線,所成的角為_________.【答案】【解析】【分析】利用異面直線所成角的定義、勾股定理、余弦定理運算即可得解.【詳解】解:如上圖,過點作圓所在平面的垂線,垂足為,即是母線,連接,∵圓所在平面,∴,,所以四邊形是平行四邊形,,與所成的角就是或其補角;由題意可知,,,在直角中,,在等腰中,由余弦定理可得:,∴,又因異面直線夾角的范圍是,∴與所成的角是的補角,即.故答案為:.15.曲柄連桿機構(gòu)的示意圖如圖所示,當曲柄在水平位置時,連桿端點在的位置,當自按順時針方向旋轉(zhuǎn)角時,和之間的距離是,若,,,則的值是_________.【答案】5【解析】【分析】依據(jù)余弦定理解決實際問題,干脆計算即可.【詳解】如下圖,在中,由余弦定理可知,另外,由圖可知,在點與點重合時,,故答案為:516.在中,有,則的最大值是_______【答案】##【解析】【分析】依據(jù)數(shù)量積的運算律化簡,結(jié)合數(shù)量積定義以及余弦定理可得,再利用余弦定理以及基本不等式即可求得答案.【詳解】在中,因為,所以,又,,所以,又中,,則,,,所以,即,,當且僅當即時取等號,結(jié)合即,明顯為銳角,要使取最大值,則取最小值,此時,所以,即的最大值是.故答案為:四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.已知向量,滿意,,.求:(1);(2)與的夾角.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依據(jù)向量模的坐標運算以及向量的基本運算可以干脆求得;(2)依據(jù)向量數(shù)量積的定義進行計算即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由,得,故,代入,,得,由,得【小問2詳解】由,由于,故與的夾角為.18.如圖,在三棱錐中,平面分別是的中點.求證:(1)平面;(2)平面.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)由線面平行判定定理可得答案;(2)由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得答案.【小問1詳解】如圖所示,在中,分別為的中點,.又平面平面,平面;【小問2詳解】在中,,,平面平面,又平面平面,平面.平面,在中,為的中點,,又平面平面,平面.19.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值,并寫出當取最小值時x的取值集合;(2)若,,求的值.【答案】(1)最小值,(2)【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡,再依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得;(2)由,即可求出,再依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再依據(jù)二倍角公式求出、,最終利用兩角和的正弦公式計算可得;【小問1詳解】解:.當,即時,取得最小值.此時的取值集合為.【小問2詳解】解:由(1)知,,又,所以,即,因為,所以,所以,,所以.20.某探討小組經(jīng)過探討發(fā)覺某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:利用該指標制定一個檢測標準,須要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為;誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)勻整分布,以事務(wù)發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事務(wù)發(fā)生的概率.(1)當漏診率%時,求臨界值c和誤診率;(2)設(shè)函數(shù),當時,求的解析式,并求在區(qū)間的最小值.【答案】(1),;(2),最小值為.【解析】【分析】(1)依據(jù)題意由第一個圖可先求出,再依據(jù)其次個圖求出的矩形面積即可解出;(2)依據(jù)題意確定分段點,即可得出的解析式,再依據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.【小問1詳解】依題可知,左邊圖形第一個小矩形的面積為,所以,所以,解得:,.【小問2詳解】當時,;當時,,故,所以在區(qū)間的最小值為.21.如圖,四棱錐的底面為菱形,,,,平面,點在棱上.(1)證明:;(2)若三棱錐的體積為,求直線與平面所成角的余弦.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)通過證明平面可得(線面垂直得線線垂直);(2)先由已知得點是棱的中點,再通過構(gòu)造點到面的垂線段,結(jié)合線面角的定義作出線面角,在直角三角形中計算即可.【小問1詳解】如圖,連接,因為四邊形為菱形,所以,因為平面,平面,所以,又因為,平面,平面,所以平面,又因為平面,所以.【小問2詳解】設(shè)點到平面的距離為,則三棱錐的體積,解得.因為平面,,所以,即是棱的中點.設(shè),如圖,連接,則平面,所以,過點作的垂線,垂足為,連接,由(1)知,平面,所以,又,平面,平面,所以平面,則為直線與平面的所成角,因為,,所以,又因為,因為,所以,所以,又,所以,在中,,所以直線與平面所成角的余弦值為.22.已知函數(shù)的最大值為,與直線的相鄰兩個交點的距離為.將的圖象先向右平移個單位,保持縱坐標不變,再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍,得到函數(shù).(1)求的解析式.(2)若,且方程在上有實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由三角函數(shù)的相關(guān)學(xué)問與
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