統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)第五篇考前教材回歸文

第五篇考前教材回來一回來教材贏得高考良好的心態(tài)是穩(wěn)定發(fā)揮乃至超常發(fā)揮的前提．考前這幾天，最明智的做法就是回來基礎(chǔ)，鞏固基礎(chǔ)學(xué)問和基本實力；最有效的心態(tài)調(diào)整方法就是每天練一組基礎(chǔ)小題——做到保溫訓(xùn)練手不涼，每天溫故一組基礎(chǔ)學(xué)問——做到胸中有糧心不慌．(一)集合與常用邏輯用語必記知識1.集合(1)集合的運算性質(zhì)①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB.(2)子集、真子集個數(shù)計算公式對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)集合運算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．2．四種命題之間的相互關(guān)系3．四種命題的真假關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假提示(1)兩個命題互為逆否命題時，它們有相同的真假性．(2)兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關(guān)系．(3)假如一些命題的真假不簡潔干脆推斷，則可以推斷其逆否命題的真假．4．否命題與命題的否定的區(qū)分否命題命題的否定區(qū)分否命題既否定其條件，又否定其結(jié)論命題的否定只是否定命題的結(jié)論否命題與原命題的真假無必定聯(lián)系命題的否定與原命題的真假總是相對立的，即一真一假5.含有一個量詞的命題的否定全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，如下所述：命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，?p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，?p(x)提示由于全稱命題常常省略量詞，因此，在寫這類命題的否定時，應(yīng)先確定其中的全稱量詞，再改寫量詞和否定結(jié)論．6．全稱命題與特稱命題真假的推斷方法命題名稱真假推斷方法一推斷方法二全稱命題真全部對象使命題真否定命題為假假存在一個對象使命題假否定命題為真特稱命題真存在一個對象使命題真否定命題為假假全部對象使命題假否定命題為真必會結(jié)論1.集合運算的重要結(jié)論(1)A∩B?A，A∩B?B；A?A∪B；B?A∪B，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)若A?B，則A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，則A?B.若A?B，則A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，則A?B.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).2．一些常見詞語的否定正面詞語否定正面詞語否定正面詞語否定等于(＝)不等于(≠)是不是隨意的存在一個大于(>)不大于(小于或等于，即“≤”)都是不都是(至少有一個不是)全部的存在一個小于(<)不小于(大于或等于，即“≥”)至多有一個至少有兩個且或全為不全為至少有一個一個也沒有或且3.充分條件與必要條件的三種判定方法(1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且qp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件).(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件．(3)等價法：將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于推斷真假的命題．易錯剖析易錯點1忽視集合中元素的互異性【突破點】求解集合中元素含有參數(shù)的問題，先依據(jù)其確定性列方程，求出值后，再依據(jù)其互異性檢驗．易錯點2未弄清集合的代表元素【突破點】集合的特性由元素體現(xiàn)，在解決集合的關(guān)系及運算時，要弄清集合的代表元素是什么．易錯點3遺忘空集【突破點】空集是一個特別的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思維定式的緣由，在解題中常遺忘這個集合，導(dǎo)致解題錯誤或解題不全面．易錯點4忽視不等式解集的端點值【突破點】進行集合運算時，可以借助數(shù)軸，要留意集合中的“端點元素”在運算時的“取”與“舍”．易錯點5對含有量詞的命題的否定不當【突破點】由于有的命題的全稱量詞往往可以省略不寫，從而在進行命題否定時易只否定全稱命題的推斷詞，而不否定被省略的全稱量詞．易錯點6不清晰“否命題”與“命題的否定”的區(qū)分【突破點】“否命題”是既否定其條件，又否定其結(jié)論，而“命題的否定”只是否定命題的結(jié)論．易錯快攻易錯快攻一遺忘空集[典例1]集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))[嘗試解題]糾錯技巧留意空集的特別性．由于空集是任何集合的子集，因此，本題中B＝?時也滿意B?A.解含有參數(shù)的集合問題時，要留意含參數(shù)的所給集合可能是空集的狀況．空集是一個特別的集合，由于受思維定式影響，同學(xué)們往往在解題中易遺忘這個集合，導(dǎo)致解題錯誤或解題不全面．易錯快攻二對含有量詞的命題的否定不當[典例2]已知命題p：?n0∈N，2n0>1000，則?p為()A．?n∈N，2n<1000B．?n?N，2n<1000C．?n∈N，2n≤1000D．?n?N，2n≤1000[嘗試解題]糾錯技巧本題易忽視對量詞的否定致錯．在對含有全稱量詞或存在量詞的命題進行否定時，要先對全稱量詞或存在量詞進行否定：全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，然后對結(jié)論進行否定．簡記為改量詞，否結(jié)論．(二)不等式必記知識1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數(shù)化為正數(shù))；二判(推斷Δ的符號)；三解(解對應(yīng)的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間).解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類探討，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數(shù)，它確定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它確定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三種狀況；③在有根的條件下，要比較兩根的大?。?．一元二次不等式的恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．分式不等式eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0.))提示(1)不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，不探討這個數(shù)的正負，從而出錯．(2)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時，易忽視系數(shù)a的探討導(dǎo)致漏解或錯解，要留意分a>0，a<0進行探討．(3)應(yīng)留意求解分式不等式時正確進行同解變形，不能把eq\f(f（x）,g（x）)≤0干脆轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0.4．圖解法求解線性規(guī)劃問題的基本要點(1)定域：畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，留意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應(yīng)．(2)平移：畫出目標函數(shù)等于0時所表示的直線l，平行移動直線，讓其與可行域有公共點，依據(jù)目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；留意嫻熟駕馭常見的幾類目標函數(shù)的幾何意義．(3)求值：利用直線方程構(gòu)成的方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)，求出最值．提示(1)直線定界，特別點定域：留意不等式中的不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線．若直線不過原點，特別點常選取原點；若直線過原點，則特別點常選取(1，0)，(0，1).(2)線性約束條件下的線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，最優(yōu)解不確定唯一，有時可能有多個；非線性目標函數(shù)或非線性可行域的最值問題，最優(yōu)解不確定在頂點或邊界處取得．5．利用基本不等式求最值(1)對于正數(shù)x，y，若積xy是定值p，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(p).(2)對于正數(shù)x，y，若和x＋y是定值s，則當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)s2.(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，則有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(ax＋by)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.(4)已知a，b，x，y∈R＋，若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，則有x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.提示利用基本不等式求最大值、最小值時應(yīng)留意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相關(guān)項必需是正數(shù)；②求積xy的最大值時，要看和x＋y是否為定值，求和x＋y的最小值時，要看積xy是否為定值，求解時，常用到“拆項”“湊項”等解題技巧；③當且僅當對應(yīng)項相等時，才能取等號．以上三點應(yīng)特別留意，缺一不行．必會結(jié)論解不等式恒成立問題的常用方法(1)若所求問題可以化為一元二次不等式，可以考慮運用判別式法求解，利用二次項系數(shù)的正負和判別式進行求解，若二次項系數(shù)含參數(shù)時，應(yīng)對參數(shù)進行分類探討．(2)對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于零的問題，一般的轉(zhuǎn)化原理是：在閉區(qū)間D上，f(x)≥0恒成立?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸上方或x軸上；f(x)≤0?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸下方或x軸上．(3)對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)的問題，即“f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立問題，通常利用函數(shù)最值進行轉(zhuǎn)化，其一般的轉(zhuǎn)化原理是：f(x)≥a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)min≥a(x∈D)；f(x)≤a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)max≤a(x∈D).(4)分別參數(shù)法：將恒成立的不等式F(x，m)≥0(或≤0)(m為參數(shù))中的參數(shù)m單獨分別出來，不等號一側(cè)是不含參數(shù)的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，該方法主要適用于參數(shù)與變量能分別和函數(shù)的最值易于求出的題目，其一般轉(zhuǎn)化原理是：當m為參數(shù)時，g(m)＞f(x)?g(m)＞f(x)max；g(m)＜f(x)?g(m)＜f(x)min.易錯剖析易錯點1不能正確應(yīng)用不等式性質(zhì)【突破點】在運用不等式的基本性質(zhì)進行推理論證時確定要留意前提條件，如不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)、式，兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，確定要留意使其能夠這樣做的條件．易錯點2忽視基本不等式應(yīng)用的條件【突破點】(1)利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)以及變式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)等求函數(shù)的最值時，務(wù)必留意a，b為正數(shù)(或a，b非負)，特別要留意等號成立的條件．(2)對形如y＝ax＋eq\f(b,x)(a，b>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，確定要留意ax，eq\f(b,x)同號．易錯點3解不等式時轉(zhuǎn)化不等價【突破點】如求函數(shù)f(x)·eq\r(g（x）)≥0可轉(zhuǎn)化為f(x)·eq\r(g（x）)>0或f(x)·eq\r(g（x）)＝0，否則易出錯．易錯點4解含參數(shù)的不等式時分類探討不當【突破點】解形如ax2＋bx＋c>0的不等式時，首先要考慮對x2的系數(shù)進行分類探討．當a＝0時是一次不等式，解的時候還要對b，c進一步分類探討；當a≠0且Δ>0時，不等式可化為a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．易錯點5不等式恒成立問題處理不當【突破點】應(yīng)留意恒成立與存在性問題的區(qū)分，如對隨意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立問題，但對存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，則為存在性問題，可化為f(x)min≤g(x)max，應(yīng)特別留意兩函數(shù)中的最大值與最小值的關(guān)系．易錯點6找尋最優(yōu)整數(shù)解的方法不當【突破點】線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解一般在可行域的端點或邊界處取得，而最優(yōu)整數(shù)解的橫縱坐標均為整數(shù)，所以最優(yōu)整數(shù)解不確定在邊界或端點處取得，一般先把端點或邊界處的整點找出，然后代入驗證．易錯快攻易錯快攻忽視基本不等式的應(yīng)用條件[典例]函數(shù)y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)過定點A，若點A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為()A．3B．2eq\r(2)C．eq\f(3＋2\r(2),2)D．eq\f(3－2\r(2),2)[嘗試解題]糾錯技巧應(yīng)用基本不等式求最值時必需遵循“一正、二定、三相等”的依次．本題中求出eq\f(m,2)＋n＝1后，若接受兩次基本不等式，有如下錯解：eq\f(m,2)＋n＝1≥2eq\r(\f(mn,2))，所以eq\r(mn)≤eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,\r(mn))≥eq\r(2)，①又eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)≥2eq\r(\f(1,mn))，②所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)≥2eq\r(2).選B.此錯解中，①式取等號的條件是eq\f(m,2)＝n，②式取等號的條件是eq\f(1,m)＝eq\f(1,n)即m＝n，兩式的等號不行能同時取得，所以2eq\r(2)不是eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值．【方法點津】基本不等式加以引申，可得到如下結(jié)論：當a≥b>0時，a≥eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≥b，當且僅當a＝b時等號成立．其中稱eq\r(\f(a2＋b2,2))為平方平均數(shù)、稱eq\f(a＋b,2)為算術(shù)平均數(shù)、稱eq\r(ab)為幾何平均數(shù)、稱eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))為調(diào)和平均數(shù)，它們分別包含了兩個正數(shù)的平方之和a2＋b2、兩個正數(shù)之和a＋b、兩個正數(shù)之積ab、兩個正數(shù)的倒數(shù)之和eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，只要已知這四個代數(shù)式的其中一個為定值，就可以求解另外三式的最值，應(yīng)用特別廣泛，應(yīng)加以重視．(三)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)必記知識1.函數(shù)的定義域和值域(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍．②若已知f(x)的定義域為[a，b]，則f(g(x))的定義域為不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為函數(shù)y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．(2)常見函數(shù)的值域①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的值域為R.②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當a>0時，值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，當a<0時，值域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))；③反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域為{y∈R|y≠0}．提示(1)解決函數(shù)問題時要留意函數(shù)的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則．(2)解決分段函數(shù)問題時，要留意與解析式對應(yīng)的自變量的取值范圍．2．函數(shù)的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對于定義域內(nèi)的隨意x(定義域關(guān)于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù)).(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對于函數(shù)f(x)，假如對于定義域內(nèi)的隨意一個x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期．提示推斷函數(shù)的奇偶性，要留意定義域必需關(guān)于原點對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必需留意使定義域不受影響．3．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．①單調(diào)性的定義的等價形式：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．②若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是增函數(shù)；依據(jù)同增異減推斷復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性．提示求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“與”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必需是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．4．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)定點：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(0，1)點；y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(1，0)點．(2)單調(diào)性：當a>1時，y＝ax在R上單調(diào)遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當0<a<1時，y＝ax在R上單調(diào)遞減；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．5．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).(2)切點的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上．6．利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟①求函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；③由f′(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間．(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍①若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立(留意：等號不恒成立)；②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集．提示已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)，則f′(x)≥0(≤0)對?x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需驗證“＝”不能恒成立；已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a，b)，則f′(x)>0(<0)的解集為(a，b).7．利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值與最值(1)求函數(shù)的極值的一般步驟①確定函數(shù)的定義域；②解方程f′(x)＝0；③推斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側(cè)的符號變更；若左正右負，則x0為極大值點；若左負右正，則x0為微小值點；若不變號，則x0不是極值點．(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟①求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)的極值；②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．提示f′(x)＝0的解不確定是函數(shù)f(x)的極值點．確定要檢驗在x＝x0的兩側(cè)f′(x)的符號是否發(fā)生變更，若變更，則為極值點；若不變更，則不是極值點．必會結(jié)論1.函數(shù)周期性的常見結(jié)論(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|；若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|.(2)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)(a≠0，f(x)≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|；若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)(a≠0，f(x)≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|.(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則函數(shù)f(x)的周期為|a－b|.(4)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a與x＝b(a≠b)對稱，則函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|.(5)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|.(6)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期為4|a|.2．函數(shù)圖象的對稱性(1)若函數(shù)y＝f(x)滿意f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；(2)若函數(shù)y＝f(x)滿意f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱；(3)若函數(shù)y＝f(x)滿意f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．3．三次函數(shù)的相關(guān)結(jié)論給定三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，則(1)當4(b2－3ac)>0時，f′(x)＝0有兩個實數(shù)解，即f(x)有兩個極值點；當4(b2－3ac)≤0時，f(x)無極值點．(2)若函數(shù)f(x)的圖象存在水平切線，則f′(x)＝0有實數(shù)解，從而4(b2－3ac)≥0.(3)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則a>0且4(b2－3ac)≤0.易錯剖析易錯點1函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不精確【突破點】對于函數(shù)的幾個不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，切忌運用并集，只要指明這幾個區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可．易錯點2推斷函數(shù)的奇偶性時忽視定義域【突破點】一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，假如不具備這個條件，函數(shù)確定是非奇非偶函數(shù)．易錯點3用判別式求函數(shù)值域，忽視判別式存在的前提【突破點】(1)確保二次項前的系數(shù)不等于零．(2)確認函數(shù)的定義域沒有其他限制．(3)留意檢驗答案區(qū)間端點是否符合要求．易錯點4函數(shù)零點定理運用不當【突破點】只有函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)<0時，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)才有零點，但f(a)f(b)>0時，不能否定函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點．易錯點5不清晰導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系【突破點】(1)f′(x0)＝0只是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要條件，即必需有這個條件，但只有這個條件還不夠，還要考慮f′(x)在x0兩側(cè)是否異號．(2)已知極值點求參數(shù)要進行檢驗．易錯點6混淆“切點”致誤【突破點】留意區(qū)分“過點A的切線方程”與“在點A處的切線方程”的不同．“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不確定是切點．易錯點7導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系理解不精確【突破點】(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件．(2)對可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上為單調(diào)增(減)函數(shù)的充要條件為：對于隨意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)內(nèi)的任何子區(qū)間上都不恒為零．若求單調(diào)區(qū)間，可用充分條件．若由單調(diào)性求參數(shù)，可用充要條件．即f′(x)≥0(或f(x)≤0)，否則簡潔漏解．易錯快攻易錯快攻一函數(shù)零點定理運用不當[典例1]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋1（x≤0），,|log4x|（x>0），))若關(guān)于x的方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋3＝0恰好有六個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－2eq\r(3)－2，2eq\r(3)－2)B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(3)－2，\f(3,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(2eq\r(3)－2，＋∞)糾錯技巧(1)F(g(x))＝0的根的個數(shù)問題的解題關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化所給條件，其轉(zhuǎn)化思路為：先進行整體換元，將F(g(x))＝0轉(zhuǎn)化為方程F(t)＝0(t＝g(x))的根的個數(shù)問題，然后轉(zhuǎn)化為t＝g(x)的根的個數(shù)問題，再轉(zhuǎn)化為y＝t與y＝g(x)的圖象的交點個數(shù)問題．(2)“以形助數(shù)”是探討函數(shù)問題時常接受的策略，本題在作函數(shù)f(x)的圖象時，要留意指數(shù)函數(shù)3x>0.(3)由關(guān)于t的一元二次方程的實根分布狀況得到關(guān)于a的不等式組是求解本題的一個關(guān)鍵點，留意一元二次方程的實根分布問題一般須要從一元二次方程根的判別式，對應(yīng)二次函數(shù)在區(qū)間端點所取值的正負，對應(yīng)二次函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間端點的位置關(guān)系三方面考慮．易錯快攻二混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間”[典例2][2024·山東臨沂高三期末]已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－cosx，g(x)＝f(x)－x，a∈R.(1)若f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，求a的最大值；(2)當a取(1)中所求的最大值時，探討g(x)在R上的零點個數(shù)，并證明g(x)>－eq\r(2).糾錯技巧(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問題的常用解法有兩種：一種是子區(qū)間法，即利用集合思想求解；另一種是恒成立法，即若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0).若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0).(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的方法是解不等式f′(x)<0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的方法是解不等式f′(x)＞0.解題時極易混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”，確定要弄清題意，勿因“＝”出錯．(四)三角函數(shù)與平面對量必記知識1.誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名變更，符號看象限提示奇變偶不變，符號看象限“奇、偶”指的是eq\f(π,2)的倍數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)，“變與不變”指的是三角函數(shù)名稱的變更，“變”是指正弦變余弦(或余弦變正弦).“符號看象限”的含義是：把角α看作銳角，看n·eq\f(π,2)±α(n∈Z)是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號．2．三種三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象單調(diào)性在[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減在(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上單調(diào)遞增對稱性對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)對稱中心：(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z)對稱中心：(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)提示求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時，要留意A與ω的符號，當ω<0時，需把ω的符號化為正值后求解．3．三角函數(shù)圖象的變換由函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法提示圖象變換的實質(zhì)是點的坐標的變換，所以三角函數(shù)圖象的伸縮、平移變換可以利用兩個函數(shù)圖象上的特征點之間的對應(yīng)確定變換的方式，一般選取離y軸最近的最高點或最低點，當然也可以選取在原點左側(cè)或右側(cè)的第一個對稱中心點，依據(jù)這些點的坐標即可確定變換的方式、平移的單位與方向等．4．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式).cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.5．二倍角、幫助角及半角公式(1)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).①1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2.②1－sin2α＝(sinα－cosα)2.(2)幫助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中角φ的終邊所在象限由a，b的符號確定，角φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)(a≠0)確定．6．正、余弦定理及其變形(在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑)定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(5)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2RcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)提示在已知兩邊和其中一邊的對角時，要留意檢驗解是否滿意“大邊對大角”，避開增解.7．平面對量數(shù)量積的坐標表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))提示(1)要特別留意零向量帶來的問題：0的模是0，方向隨意，并不是沒有方向；0與隨意非零向量平行．(2)a·b>0是〈a，b〉為銳角的必要不充分條件；a·b<0是〈a，b〉為鈍角的必要不充分條件.必會結(jié)論1.降冪、升冪公式(1)降冪公式①sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；②cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；③sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.(2)升冪公式①1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；②1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)；③1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))eq\s\up12(2)；④1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))eq\s\up12(2).2．常見的幫助角結(jié)論(1)sinx±cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,4))).(2)cosx±sinx＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x?\f(π,4))).(3)sinx±eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,3))).(4)cosx±eq\r(3)sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x?\f(π,3))).(5)eq\r(3)sinx±cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,6))).(6)eq\r(3)cosx±sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x?\f(π,6))).易錯剖析易錯點1忽視零向量【突破點】零向量是向量中最特別的向量，規(guī)定零向量的長度為0，其方向是隨意的，零向量與隨意向量都共線．易錯點2向量投影理解錯誤【突破點】把向量投影錯以為只是正數(shù)．事實上，向量a在向量b上的投影|a|cosθ是一個實數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負數(shù)，也可以是零．易錯點3不清晰向量夾角范圍【突破點】數(shù)學(xué)試題中往往隱含著一些簡潔被考生所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題勝利的關(guān)鍵，如當a·b<0時，a與b的夾角不確定為鈍角，要留意隱含的狀況．易錯點4忽視正、余弦函數(shù)的有界性【突破點】很多三角函數(shù)問題可以通過換元的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，在換元時留意正、余弦函數(shù)的有界性．易錯點5忽視三角函數(shù)值對角的范圍的限制【突破點】在解決三角函數(shù)中的求值問題時，不僅要看已知條件中角的范圍，更重要的是留意挖掘隱含條件，依據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍．易錯點6忽視解三角形中的微小環(huán)節(jié)問題【突破點】(1)解三角形時，不要忽視角的取值范圍．(2)由兩個角的正弦值相等求兩角關(guān)系時，留意不要忽視兩角互補的狀況．(3)利用正弦定理、余弦定理推斷三角形形態(tài)時，切忌出現(xiàn)漏解狀況．易錯點7三角函數(shù)性質(zhì)理解不透徹【突破點】(1)探討奇偶性時，忽視定義域的要求．(2)探討對稱性時，忽視y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸有無窮條、對稱中心有多數(shù)個．(3)探討周期性時，錯將y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期寫成eq\f(2π,ω).易錯點8圖象變換方向或變換量把握不精確【突破點】圖象變換若先作周期變換，再作相位變換，應(yīng)左(右)平移eq\f(|φ|,ω)(ω>0)個單位．另外留意依據(jù)φ的符號判定平移的方向．易錯快攻易錯快攻一忽視向量的夾角范圍致誤[典例1][2024·山東淄博高三期末]已知向量a、b滿意|a|＝|b|＝2，且a－b在a上的投影的數(shù)量為2＋eq\r(3)，則〈a，b〉＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)[嘗試解題]糾錯技巧求解此類問題的關(guān)鍵是：依據(jù)向量的數(shù)量積定義，得到cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).求解時，要留意兩向量夾角的取值范圍為[0，π].易錯快攻二函數(shù)圖象平移的方向把握不準[典例2]已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x的圖象向右平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))個單位長度后，其圖象關(guān)于y軸對稱，則φ＝()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)D．eq\f(5π,12)[嘗試解題]糾錯技巧(1)函數(shù)y＝sinωx，ω>0的圖象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移eq\f(|φ|,ω)個單位長度(“左加右減”)，得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象．(2)解此類題時須要特別留意的地方有：①三角函數(shù)圖象變換的口訣為“左加右減，上加下減”；②自變量的系數(shù)在非“1”狀態(tài)下的“提取”技巧．(五)數(shù)列必記知識1.等差數(shù)列設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an.(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列．(4)eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列．(5)Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（a2＋an－1）,2)＝eq\f(n（a3＋an－2）,2)＝….(6)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2m(m∈N*)，公差為d，全部奇數(shù)項之和為S奇，全部偶數(shù)項之和為S偶，則全部項之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1為中間兩項)，S偶－S奇＝md，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(am＋1,am).(7)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2m－1(m∈N*)，全部奇數(shù)項之和為S奇，全部偶數(shù)項之和為S偶，則全部項之和S2m－1＝(2m－1)am(am為中間項)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(m,m－1).(8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n).2．等比數(shù)列(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*).(2)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；反之，不確定成立(m，n，p，q∈N*).(3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比數(shù)列(m∈N*).(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…成等比數(shù)列(n≥2，且n∈N*).(5)若等比數(shù)列的項數(shù)為2n(n∈N*)，公比為q，奇數(shù)項之和為S奇，偶數(shù)項之和為S偶，則eq\f(S偶,S奇)＝q.(6){an}，{bn}成等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{anbn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))成等比數(shù)列(λ≠0，n∈N*).(7)通項公式an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn，從函數(shù)的角度來看，它可以看作是一個常數(shù)與一個關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)的積，其圖象是指數(shù)型函數(shù)圖象上一系列孤立的點．(8)與等差中項不同，只有同號的兩個數(shù)才能有等比中項；兩個同號的數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)．(9)三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這三個數(shù)分別為eq\f(x,q)，x，xq；四個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這四個數(shù)分別為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.提示（1）假如數(shù)列{an}成等差數(shù)列，那么數(shù)列{}（總有意義）必成等比數(shù)列．（2）假如數(shù)列{an}成等比數(shù)列，且an>0，那么數(shù)列{logaan}（a>1且a≠1）必成等差數(shù)列．（3）假如數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)列；數(shù)列{an}是常數(shù)列僅是數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要不充分條件．（4）假如兩個等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原來兩個等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)．（5）假如由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的公共項順次組成一個新數(shù)列，那么常選用“由特別到一般”的方法進行探討，且以等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中哪些項是它們的公共項，從而分析構(gòu)成什么樣的新數(shù)列．必會結(jié)論1.推斷數(shù)列單調(diào)性的方法(1)作差比較法：an＋1－an>0?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；an＋1－an<0?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列．(2)作商比較法：①當an>0時，則eq\f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；0<eq\f(an＋1,an)<1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．②當an<0時，則eq\f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；0<eq\f(an＋1,an)<1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀推斷．2．數(shù)列中項的最值的求法(1)借用構(gòu)造法求解：依據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)f(n)＝an(n∈N*)，利用求解函數(shù)最值的方法進行求解即可，但要留意自變量的取值必需是正整數(shù)．(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解：利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變更，進而求出數(shù)列中項的最值．(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解：若求數(shù)列{an}的最大項，則可轉(zhuǎn)化為求解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))若求數(shù)列{an}的最小項，則可轉(zhuǎn)化為求解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1，))求出n的取值范圍之后再確定取得最值的項．3．求數(shù)列通項公式的常用方法(1)公式法：①等差數(shù)列的通項公式；②等比數(shù)列的通項公式．(2)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）（n＝1），,\f(f（n）,f（n－1）)（n≥2）.))(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2).(5)已知eq\f(an＋1,an)＝f(n)，求an，用累乘法：an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2).(6)構(gòu)造等比數(shù)列法：若已知數(shù)列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠eq\f(q,1－p)，設(shè)存在非零常數(shù)λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝eq\f(q,p－1)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))就是以a1＋eq\f(q,p－1)為首項，p為公比的等比數(shù)列，先求出數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))的通項公式，再求出數(shù)列{an}的通項公式即可．(7)倒數(shù)法：若an＝eq\f(man－1,k（an－1＋b）)(mkb≠0，n≥2)，對an＝eq\f(man－1,k（an－1＋b）)取倒數(shù)，得到eq\f(1,an)＝eq\f(k,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,an－1)))，即eq\f(1,an)＝eq\f(kb,m)·eq\f(1,an－1)＋eq\f(k,m).令bn＝eq\f(1,an)，則{bn}可歸納為bn＋1＝pbn＋q(p≠0，q≠0)型．4．數(shù)列求和的常用方法(1)公式法：①等差數(shù)列的求和公式；②等比數(shù)列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.(2)分組求和法：當干脆運用公式法求和有困難時，常將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和．(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項的和有共性，則?？紤]選用倒序相加法進行求和．(4)錯位相減法：假如數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成的，那么常選用錯位相減法將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的等比數(shù)列的和”，從而進行求解．(5)裂項相消法：假如數(shù)列的通項可分裂成“兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和．常用的裂項形式有①eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；②eq\f(1,n（n＋k）)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；③eq\f(1,k2)<eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1)))(k≥2)，eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,（k＋1）k)<eq\f(1,k2)<eq\f(1,（k－1）k)＝eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)(k≥2)；④eq\f(1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq\f(1,2)[eq\f(1,n（n＋1）)－eq\f(1,（n＋1）（n＋2）)].易錯剖析易錯點1數(shù)列中的最值錯誤【突破點】在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中取最值的要點：依據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸的遠近而定．易錯點2不清晰an與Sn的關(guān)系【突破點】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求an時，利用an＝Sn—Sn－1，需留意分n＝1和n≥2兩種狀況探討．易錯點3不清晰裂項和拆項的規(guī)律，導(dǎo)致多項或少項【突破點】“裂項法”的特點：①分式的每個分子相同，分母都是兩個(或三個)代數(shù)式相乘，若不具備就須要轉(zhuǎn)化；②剩余項一般是前后對稱．常見形式有：eq\f(a,n（n＋1）)，eq\f(a,n2＋2n)，eq\f(a,\r(n)＋\r(n＋1)).易錯點4忽視對等比數(shù)列中公比的分類探討【突破點】在解決等比數(shù)列{an}的前n項和時，通常只想到Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，把q＝1的狀況不自覺地解除在外，這是對前n項和公式理解不透所致．解等比數(shù)列的問題，確定要留意對公比的分類探討．易錯快攻易錯快攻一忽視對n＝1的檢驗致錯[典例1][2024·四川什邡中學(xué)模擬]數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則它的通項公式是________．[嘗試解題]糾錯技巧數(shù)列{an}中，由Sn與an的等量關(guān)系式求an時，先利用a1＝S1求出首項a1，然后用n－1替換等量關(guān)系式中的n，得到一個新的等量關(guān)系式，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，便可求出當n≥2時an的表達式，最終對n＝1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，若符合，則可以把數(shù)列{an}的通項合寫，若不符合，則應(yīng)當分n＝1與n≥2兩段來寫．而an－an－1＝d(n≥2)與an＋1－an＝d(n∈N*)等價，eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)與eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)等價，不需驗證n＝1的情形．易錯快攻二忽視公比q的取值[典例2]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，則“A＝－B”是“數(shù)列{an}是等比數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[嘗試解題]糾錯技巧(1)等比數(shù)列{an}的前n項和公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1），,\f(a1（1－qn）,1－q)（q≠1），))特別留意q＝1時，Sn＝na1這一特別狀況．(2)計算過程中，若出現(xiàn)方程qn＝t，要看qn中的n是奇數(shù)還是偶數(shù)，若n是奇數(shù)，則q＝eq\r(n,t)；若n是偶數(shù)，則t>0時，q＝±eq\r(n,t)，t<0時，無解．(六)立體幾何必記知識1.空間幾何體的表面積和體積幾何體側(cè)面積表面積體積圓柱S側(cè)＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)πr2h圓臺S側(cè)＝π(r＋r′)lS表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(r2＋r′2＋rr′)h直棱柱S側(cè)＝Ch(C為底面周長)S表＝S側(cè)＋S上＋S下(棱錐的S上＝0)V＝S底h正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′(C為底面周長，h′為斜高)V＝eq\f(1,3)S底h正棱臺S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′(C，C′分別為上、下底面周長，h′為斜高)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.空間線面位置關(guān)系的證明方法(1)線線平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))?c∥b.(2)線面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b?α,a?α))?a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a?β))?a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,a⊥β,a?α))?a∥α.(3)面面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝O,a∥β，b∥β))?α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))?α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∥β))?α∥γ.(4)線線垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b?α))?a⊥b.(5)線面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝O,l⊥a，l⊥b))?l⊥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α，a⊥l))?a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))?a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α.(6)面面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,a⊥α))?α⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,a⊥α))?α⊥β.提示要留意空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理中的條件．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中m?α的限制條件．必會結(jié)論1.三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖一樣；側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣．2．平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖3．球的組合體(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長．(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為eq\f(\r(6),12)a(正四面體高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(1,4))，外接球的半徑為eq\f(\r(6),4)a(正四面體高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(3,4)).易錯剖析易錯點1隨意推廣平面幾何中的結(jié)論【突破點】平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間中不確定成立．例如“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”等性質(zhì)在空間中就不成立．易錯點2不清晰空間點、線、面的位置關(guān)系【突破點】解決這類問題的基本思路有兩個：一是逐個找尋反例作出否定的推斷或逐個進行邏輯證明作出確定的推斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置(如課桌、教室)作出推斷，要留意定理應(yīng)用精確、考慮問題全面細致．易錯點3忽視三視圖中的實、虛線【突破點】三視圖是依據(jù)正投影原理進行繪制，嚴格依據(jù)“長對正，高平齊，寬相等”的規(guī)則去畫，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線，且分界線和可視輪廓線都用實線畫出，不行見的輪廓線用虛線畫出．易錯點4表面積的計算不精確【突破點】在求表面積時還要留意空間物體是不是中空的，表面積與側(cè)面積要細致區(qū)分．易錯點5對折疊與綻開問題相識不清致誤【突破點】留意折疊或綻開過程中平面圖形與空間圖形中的變量與不變量，不僅要留意哪些變了，哪些沒變，還要留意位置關(guān)系的變更．易錯快攻易錯快攻忽視三視圖中實線與虛線的區(qū)分[典例]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(11π,2)C．eq\f(17π,3)D．eq\f(35π,6)[嘗試解題]糾錯技巧本題中，由三視圖還原空間幾何體時簡潔出錯．首先，要熟識簡潔幾何體的三種視圖，要特別留意視圖中虛線與實線的區(qū)分，抓住這一點是識圖、畫圖的關(guān)鍵；其次，要擅長由三視圖想象出簡潔幾何體的形態(tài)．(七)解析幾何必記知識1.直線方程的五種形式(1)點斜式：y－y1＝k(x－x1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線).(2)斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線).(3)兩點式：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線).(4)截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線).(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0).2．直線的兩種位置關(guān)系當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時：(1)兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1＝k2.(2)兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1.提示當一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，兩直線也垂直，此種情形易忽視．3．三種距離公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離|AB|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(2)點到直線的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(其中點P(x0，y0)，直線方程為Ax＋By＋C＝0).(3)兩平行線間的距離d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2).提示應(yīng)用兩平行線間距離公式時，留意兩平行線方程中x，y的系數(shù)應(yīng)對應(yīng)相等．4．圓的方程的兩種形式(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).5．直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)推斷法與幾何推斷法．(2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含，代數(shù)推斷法與幾何推斷法．6．橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形幾何性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸；長軸長為2a，短軸長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與長軸長的比值：e∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2提示橢圓的離心率反映了焦點遠離中心的程度，e的大小確定了橢圓的形態(tài)，反映了橢圓的圓扁程度．因為a2＝b2＋c2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(1－e2)，因此，當e越趨近于1時，eq\f(b,a)越趨近于0，橢圓越扁；當e越趨近于0時，eq\f(b,a)越趨近于1，橢圓越接近于圓．所以e越大橢圓越扁；e越小橢圓越圓，當且僅當a＝b，c＝0時，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2＋y2＝a2(a>0).7．雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b＞0)圖形幾何性質(zhì)范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱性對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實軸和虛軸；實軸長為2a，虛軸長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與實軸長的比值：e∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的關(guān)系a2＝c2－b2提示(1)離心率e的取值范圍為(1，＋∞).當e越接近于1時，雙曲線開口越??；當e越接近于＋∞時，雙曲線開口越大．(2)滿意||PF1|－|PF2||＝2a的點P的軌跡不確定是雙曲線，當2a＝0時，點P的軌跡是線段F1F2的中垂線；當0<2a<|F1F2|時，點P的軌跡是雙曲線；當2a＝|F1F2|時，點P的軌跡是兩條射線；當2a>|F1F2|時，點P的軌跡不存在．8．拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形幾何性質(zhì)對稱軸x軸y軸頂點O(0，0)焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R離心率e＝1必會結(jié)論1.與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2；(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)過圓x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點為A，B，則過A，B兩點的直線方程為x0x＋y0y＝r2；(4)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點P(x0，y0)引圓的切線，切點為T，則|PT|＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋Dx0＋Ey0＋F)；(5)過圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一點P(x0，y0)作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在的直線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(6)若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則過圓外一點P(x0，y0)的切線長d＝eq\r(（x0－a）2＋（y0－b）2－r2).2．橢圓中焦點三角形的相關(guān)結(jié)論由橢圓上一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正、余弦定理．以橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半徑公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e為橢圓的離心率)(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取得最大值，為bc.(4)焦點三角形的周長為2(a＋c).3．雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1)若雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則漸近線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即y＝±eq\f(b,a)x.(2)若漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x(a>0，b>0)，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，則雙曲線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ.(λ≠0)(3)若所求雙曲線與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共漸近線，其方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0，焦點在x軸上；λ<0，焦點在y軸上).4．雙曲線常用的結(jié)論(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為eq\f(2b2,a)，異支的弦中最短的為實軸，其長為2a.(4)P是雙曲線上不同于實軸兩端點A、B的隨意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則kPA·kPB＝eq\