高中數(shù)學(xué)-平面幾何中的向量方法教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

人教版高中數(shù)學(xué)必修四251平面幾何中的向量方法

教材分析

本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學(xué)4第二章平面向量第5節(jié)平面向量應(yīng)用舉例第1

小節(jié)，是在學(xué)習(xí)了平面向量定義運(yùn)算數(shù)量積的基礎(chǔ)上，展示平面向量

在平面幾何和物理中的應(yīng)用.向量作為一種重要的解題方法，滲透于

高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，特別

是在解決幾何問題中的工具作用更為突出.這種數(shù)學(xué)方法，把幾何從

思辨數(shù)學(xué)化成算法數(shù)學(xué)，降低了思考問題的難度，推進(jìn)了幾何研究的

發(fā)展.本節(jié)內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)交匯點(diǎn)，因此在中學(xué)數(shù)學(xué)

教材中的地位也越來越重要.本節(jié)也為學(xué)生以后學(xué)習(xí)向量在三角函數(shù)、

立體幾何、復(fù)數(shù)等章節(jié)內(nèi)容中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).

本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對向量的認(rèn)識，更好地體會(huì)向量這個(gè)工

具的優(yōu)越性.對于向量方法，就思路而言，幾何中的向量方法完全與幾

何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來代替”數(shù)和數(shù)

的運(yùn)算”.這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對這些向量

借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、

線、面的相應(yīng)結(jié)果.代數(shù)方法的流程圖可以簡單地表述為：

則向量方法的流程圖可以簡單地表述為：

這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”,也是本節(jié)的

重點(diǎn).

人教版高中數(shù)學(xué)必修四251平面幾何中的向量方法

學(xué)情分析

“授人以魚，不如授人以漁''，最有價(jià)值的知識是關(guān)于方法的知識。學(xué)

生作為教學(xué)活動(dòng)的主題，在學(xué)習(xí)過程中的參與狀態(tài)和參與度是影響教

學(xué)效果最重要的因素。在教法學(xué)法方面,采用啟發(fā)式、探討式的教學(xué)

方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，合作交流。教師創(chuàng)造疑問，學(xué)生想辦法解決疑

問,通過教師的啟發(fā)點(diǎn)撥，學(xué)生以自己的努力找到了解決問題的方法。

2.5平面向量應(yīng)用舉例

2.5.1平面幾何中的向量方法

教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)

1.通過平行四邊形這個(gè)幾何模型，歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何問題的

“三步曲”.

2.明了平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由

向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.

3.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生深刻理解向量在處理有關(guān)平面幾何問題中的優(yōu)越性，活

躍學(xué)生的思維,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,并體會(huì)向量在幾何

和現(xiàn)實(shí)生活中的意義.教學(xué)中要求盡量引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)這個(gè)現(xiàn)代化手段.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法；向量法解決幾何問題的“三步

曲”.

教學(xué)難點(diǎn)：如何將幾何等實(shí)際問題化歸為向量問題.

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背景和幾何背景，當(dāng)向量和平面坐標(biāo)系

結(jié)合后，向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.這就為我們解決物理問題和幾

何研究帶來了極大的方便.本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法.

思考：1、前面的向量學(xué)習(xí)了哪些知識.

定義、運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、坐標(biāo)）、共線向量定理、平面向量基

本定理等。2、用這些知識解決了哪些問題

平行、垂直、夾角、長度

推進(jìn)新課

探究一（長度問題）

長方形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系？

對角線長度的平方=兩鄰邊的平方和.

平行四邊形有類似的數(shù)量關(guān)系嗎？

例1.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖，

AC=AB+AD,DB=AB-AD,

你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？

分析：不妨設(shè)設(shè)A3=a,AO=B,

(選擇這組基底，其它線段對應(yīng)向量用它們表示.)

則

AC=a+b,DB—a—b,

涉及長度問題常?？紤]向量的數(shù)量積，為此，我們計(jì)算口4)麗

解：

=4/46=0+歷(￡+楊

=a*a+a*b+b*a+b*b(1)

=同+24+印

同理

回『=@-2》+問2.(2)

觀察(1),(2)兩式的特點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)，(1)+(2)得

|AC|2+1麗卜2(p|2+呼)=2(|AB|2+J而卜

即平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.

有沒有其他的方法證明上述結(jié)論？

活動(dòng):①教師引導(dǎo)學(xué)生猜想平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)

系.利用類比的思想方法，猜想平行四邊形有沒有相似關(guān)系.指導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論:

平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.

②教師引導(dǎo)學(xué)生探究證明方法，并點(diǎn)撥學(xué)生對各種方法分析比較，平行四邊形是

學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形，在平面幾何的學(xué)習(xí)中，學(xué)生得到了它的許多性質(zhì)，有

些性質(zhì)的得出比較麻煩，有些性質(zhì)的得出比較簡單.讓學(xué)生體會(huì)研究幾何可以采

取不同的方法，這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法.

以AB所在直線為x軸,A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)B(a,0),D(b,c),則C(a+b,c).

|AC12=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,

IBD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.

A|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB12+1AD|2).

為解決重點(diǎn)問題所作的鋪墊已經(jīng)完成，向前發(fā)展可以說水到渠成.教師充分

讓學(xué)生對以上各種方法進(jìn)行分析比較，討論認(rèn)清向量方法的優(yōu)越性，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)

生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟.由于平面幾何經(jīng)常涉及距離

(線段長度)、夾角問題,而平面向量的運(yùn)算,特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及

向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題.解決幾何問題時(shí),

先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素.然后通過向量的運(yùn)算，特別是數(shù)

量積來研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系.最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系,

得到幾何問題的結(jié)論.這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”，即

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何

問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題；

⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

曠c

4

2.5-

2

例4圖2.5-2oABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn),BE、BF分別與AC

交1R,T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？

相動(dòng)：為了培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想能力，讓學(xué)生能動(dòng)態(tài)地發(fā)現(xiàn)圖形中

AR、?氏PC之間的相等關(guān)系,教學(xué)中可以充分利用多媒體，作出上述圖形,測量AR、

RT、TC的長度，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)AR=RT=TC,拖動(dòng)平行四邊形的頂點(diǎn)，動(dòng)態(tài)觀察發(fā)

現(xiàn),AR=RT=TC這個(gè)規(guī)律不變，因此猜想AR=RT=TC.事實(shí)上，由于R、T是對角線AC

上的兩點(diǎn),要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR、RT、TC與AC的關(guān)

系即可.又因?yàn)锳R、RT、TC、AC共線，所以只需判斷而、標(biāo)區(qū)與北之間的關(guān)

系即可.探究過程對照用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”很容易地可得

到結(jié)論.第一步,建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素,將

平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;第二步，通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系;

第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系:AR=RT=TC.

解:如圖

設(shè)AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,則AC=a+b.

由于AR與AC共線,所以我們設(shè)r=n(a+b),neR.

—*..I

又因?yàn)槠?=a--b,

2

礪與礪共線，

―?―?1

所以我們設(shè)ER=mEB=m(a-—b).

2

因?yàn)樽?族+而，

所以r=—b+m(a~—b).

22

因此n(a+b)=—b+m(a-b),

2

即(n-m)a+(n+生-)b=:0.

2

由于向量a、b不共線，要使上式為0,必須

n-m=O,

<m-\八

nH--------=0.

I2

解得n=m=-.

3

—,,I，

所以AR—-AC,

3

?1.

同理TC=±AC.

3

—?1——?

于是RT=—AC.

3

所以AR=RT=TC.

點(diǎn)評:教材中本例重在說明是如何利用向量的辦法找出這個(gè)相等關(guān)系的，因此在

書寫時(shí)可簡化一些程序.指導(dǎo)學(xué)生在今后的訓(xùn)練中，不必列出三個(gè)步驟.

探究二（角度問題）

例3.若正方形OABC的邊長為1,點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，試求

cosZDOE.

卡埼

分析：建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角.

解：以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A、0C所在的直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)

系，

cosZPOE="

網(wǎng)網(wǎng)

歷=(1,2),礪=(」)

22lx—+—xl

=22二4A.

讓x近5

22

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)形式，可使解題思路明確，過程簡潔.

課堂練習(xí)

B

圖9

已知AC為。0的一條直徑，ZABC是圓周角.

求證：NABC=90°.

證明：

設(shè)AO=a,OB=b,

則AB=a+b,OC=a,BC=a-b,|a|=|b|.

因?yàn)锳B,BC=(a+b)?(a-b)=|a|2-1b12=0,

所以詬，記.

由此，得NABC=90°.

點(diǎn)評:充分利用圓的特性，設(shè)出向量.

課堂小結(jié)

1.由學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識有哪些:平行四邊形向量加、減法的幾何

模型，用向量方法解決平面幾何問題的步驟,即“三步曲”.特別是這“三步曲”，

要提醒學(xué)生理解領(lǐng)悟它的實(shí)質(zhì)，達(dá)到熟練掌握的程度.

2.本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)方法：向量法，向量法與幾何法、解析法的比較，將平面

幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的化歸的思想方法,深切體會(huì)向量的工具性這一特點(diǎn).

3、用向量方法解決平面幾何問題(長度、夾角、垂直等)

①選取恰當(dāng)?shù)幕?用來表示待研究的向量

②建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算。

作業(yè)

課本習(xí)題2.5A組1、2,

人教版高中數(shù)學(xué)必修四251平面幾何中的向量方法

學(xué)情分析

“授人以魚,不如授人以漁“，最有價(jià)值的知識是關(guān)于方法的知識。學(xué)

生作為教學(xué)活動(dòng)的主題，在學(xué)習(xí)過程中的參與狀態(tài)和參與度是影響教

學(xué)效果最重要的因素。在教法學(xué)法方面,采用啟發(fā)式、探討式的教學(xué)

方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，合作交流。教師創(chuàng)造疑問，學(xué)生想辦法解決疑

問,通過教師的啟發(fā)點(diǎn)撥，學(xué)生以自己的努力找到了解決問題的方法。

人教版高中數(shù)學(xué)必修四251平面幾何中的向量方法

評測練習(xí)

雙基達(dá)標(biāo)（限時(shí)20分鐘）

1.在△ABC中，若D、E分別是A3、AC的中點(diǎn)，則（）.

—?-?

A.BD=CE

—?—?

8.8。與。后共線

C.BE=BC

D.DE與BC共線

解析如圖，可知OE〃故DE與共線.

答案D

2.在四邊形ABCO中，AB=-CD,ACBD=0,則四邊形為（）.

A.平行四邊形B.矩形

C.等腰梯形D.菱形

解析'：AB=-CD,即AB=OC,

：.AB^DC,

：.四邊形ABCD是平行四邊形.

又ACBD=0,

：.AC±BD,

即ACLBO,.?.□ABC。是菱形.

答案D

3若物體在共點(diǎn)力Fi=(lg2,1g2),正2=(lg5,1g2)的作用下產(chǎn)生位移s=(21g5,1),

則共點(diǎn)力對物體所做的功卬為().

A.1g2B.1g5C.1D.2

解析W=(Fi+F2)-s=(lg2+lg5,21g2)-(21g5,1)=(1,21g2).(21g5,l)=21g5+21g

2=2,故選D.

答案D

4.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的對角線。8cl____號，1)

的兩端點(diǎn)分別為。(0,0)，8(1,1)，則ABAC=_______.I________

O|Ax

解析由已知得A(I,O),c(o,i),

/MB=(0,l),AC=(-1,1),

-A-A

：.ABAC=1.

答案1

5.一纖夫用牽繩拉船沿直線方向前進(jìn)60m,若牽繩與行進(jìn)方向夾角為30。，纖

夫的拉力為50N.則纖夫?qū)Υ龅墓?

解析所做的功W=60X50Xcos30°=150(h/3J.

答案150MJ

—?-?

6.已知點(diǎn)A(l,0),直線/：y=2x—6,點(diǎn)R是直線/上的一點(diǎn)，若RA=2AP,求

點(diǎn)P的軌跡方程.

解設(shè)尸(x,y),R(x\,yi),則

—?—?

凡4=(1—xi,—yi),AP=(x—1,y)；

-A-A

由/M=2AP得(1-xi,—yi)=2(x—l,y),

xi=-2x+3

即，

VI=一

代入直線/的方程得y=2x.

所以，點(diǎn)尸的軌跡方程為y=2x.

綜合提高（限時(shí)25分鐘）

7.已知在△ABC中，AB=a,AC=b,且a仍<0,則△ABC的形狀為（）.

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.等腰直角三角形

解析Vfl-/>=|a||Z,|cosZBAC<Q,/.cosZBAC<0,

：.90°<ZBAC<lS0°,故△ABC是鈍角三角形.

答案A

8.點(diǎn)。是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足。4.OB=OBOC=OCOA,則點(diǎn)

。是△48。的（）.

A.三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)

B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

C.三條中線的交點(diǎn)

D.三條高的交點(diǎn)

解析'：OAOB=OBOC,

(QA-OC?08=0.

:.O8C4=0.

/.OB_LAC同理OC±AB,

二0為垂心.

答案D

9.一個(gè)重20N的物體從傾斜角30。，斜面長1m的光滑斜面頂端下滑到底端,

則重力做的功是.

解析由力的正交分解知識可知沿斜面下滑的分力大小

|F|=1x20N=10N,

W=|F|-|s|=10J.

或由斜面高為2m,W=|G|-/i=20x1J=10J.

答案10J

10.已知作用于原點(diǎn)的兩個(gè)力為=(3,4),g=(2,-5),現(xiàn)增加一個(gè)力F,使這

三個(gè)力晶，F(xiàn)i,b的合力為0,則尸=.

解析VFI+F2+F=0,：.F=-Fi-F2=(-3,-4)+(-2,5)=(-5,l).

答案(-5,1)

11.(2012?寧波高一檢測)已知RtZ\ABCZC=90°,設(shè)AC=m,BC=n,

⑴若。為斜邊4?的中點(diǎn)，求證：CD=1AB；

(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交8C于凡求Af的長(用力、〃表示).

解以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB、C4所在的直線分別為x軸、y軸建立坐標(biāo)系,

如圖，A(0,m)，8(〃,0).

,,,nm\

為AB的中點(diǎn)，...。仁，yj,

CD=1/4+加2,A8=#/+“2,

—1―r1

CD=2AB'即CD=^AB.

(2)???E為CO的中點(diǎn),

AF=(x,—m),

\"A.E、=共線,：.AF=XAE,

即x=?即《事，0).?'>=|yln2+9m2.

12.(創(chuàng)新拓展)如圖所示，用兩根分別長5啦m

和10m的繩子將100N的物體吊在水平屋頂AB上,

平衡后G點(diǎn)距屋頂?shù)木嚯x恰好為5m,求A處受力的大小.

解由已知條件可知AG與鉛直方向成45。角，與鉛直方向成60。角，設(shè)A處

所受的力為凡，B處所受的力為歷,，

?《|F?|cos45°=|n|cos30°,

,*l|Ffl|sin45°+|F/)|sin30。=100,

解得I凡|=15味一5M,故A處受力的大小為(15瓶

人教版高中數(shù)學(xué)必修四251平面幾何中的向量方法

效果分析

本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)用向量方法解決平面幾何問題的步驟，即“三步

曲”.特別是這“三步曲”，學(xué)生能理解領(lǐng)悟它的實(shí)質(zhì)，達(dá)到熟練掌握

并能分析解決相關(guān)問題。學(xué)生能利用向量的幾何法簡捷地解決了平面

幾何問題.將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的化歸的思想方法，深切

體會(huì)向量的工具性這一特點(diǎn).

人教版高中數(shù)學(xué)必修四2