《三維設(shè)計(jì)》高三數(shù)學(xué) 第5章 第2節(jié) 課時(shí)限時(shí)檢測(cè) 新人教A版_第1頁(yè)
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第5章第2節(jié)(時(shí)間60分鐘,滿分80分)一、選擇題(共6個(gè)小題,每小題5分,滿分30分)1.一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是a,x,b,2x,則eq\f(a,b)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析:依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+2x=x+b,2b=x+2x)),所以b=eq\f(3x,2),a=eq\f(x,2),于是有eq\f(a,b)=eq\f(1,3).答案:C2.若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)之和S5=25,且a2=3,則a7=()A.12 B.13C.14 D.15解析:由S5=eq\f(a2+a4·5,2)?25=eq\f(3+a4·5,2)?a4=7,所以7=3+2d?d=2,所以a7=a4+3d=7+3×2=13.答案:B3.已知數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1,若{eq\f(1,an+1)}為等差數(shù)列,則a11=()A.0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.2解析:由已知可得eq\f(1,a3+1)=eq\f(1,3),eq\f(1,a7+1)=eq\f(1,2)是等差數(shù)列{eq\f(1,an+1)}的第3項(xiàng)和第7項(xiàng),其公差d=eq\f(\f(1,2)-\f(1,3),7-3)=eq\f(1,24),由此可得eq\f(1,a11+1)=eq\f(1,a7+1)+(11-7)d=eq\f(1,2)+4×eq\f(1,24)=eq\f(2,3),解之得a11=eq\f(1,2).答案:B4.設(shè)命題甲為“a,b,c成等差數(shù)列”,命題乙為“eq\f(a,b)+eq\f(c,b)=2”,那么()A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件解析:由eq\f(a,b)+eq\f(c,b)=2,可得a+c=2b,但a、b、c均為零時(shí),a、b、c成等差數(shù)列,但eq\f(a,b)+eq\f(c,b)≠2.答案:B5.已知等差數(shù)列{an}、{bn}的公差分別為2和3,且bn∈N*,則數(shù)列{abn}是()A.等差數(shù)列且公差為5 B.等差數(shù)列且公差為6C.等差數(shù)列且公差為8 D.等差數(shù)列且公差為9解析:依題意有abn=a1+(bn-1)×2=2bn+a1-2=2b1+2(n-1)×3+a1-2=6n+a1+2b1-8,故abn+1-abn=6,即數(shù)列{abn}是等差數(shù)列且公差為6.答案:B6.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若eq\f(a11,a10)<-1,且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值,則使Sn>0的n的最大值為()A.11 B.19C.20 D.21解析:∵eq\f(a11,a10)<-1,且Sn有最大值,∴a10>0,a11<0,且a10+a11<0,∴S19=eq\f(19a1+a19,2)=19·a10>0,S20=eq\f(20a1+a20,2)=10(a10+a11)<0,所以使得Sn>0的n的最大值為19.答案:B二、填空題(共3個(gè)小題,每小題5分,滿分15分)7.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,則k=________.解析:a7-a5=2d=4,d=2,a1=a11-10d=21-20=1,Sk=k+eq\f(kk-1,2)×2=k2=9.又k∈N*,故k=3.答案:38.在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=eq\f(1,2),eq\f(2,an+1)=eq\f(1,an)+eq\f(1,an+2)(n∈N*),則該數(shù)列的通項(xiàng)an=________.解析:由eq\f(2,an+1)=eq\f(1,an)+eq\f(1,an+2),eq\f(1,an+2)-eq\f(1,an+1)=eq\f(1,an+1)-eq\f(1,an),∴{eq\f(1,an)}為等差數(shù)列.又eq\f(1,a1)=1,d=eq\f(1,a2)-eq\f(1,a1)=1,∴eq\f(1,an)=n,∴an=eq\f(1,n).答案:eq\f(1,n)9.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a4-a2=8,a3+a5=26.記Tn=eq\f(Sn,n2),如果存在正整數(shù)M,使得對(duì)一切正整數(shù)n,Tn≤M都成立,則M的最小值是________.解析:∵{an}為等差數(shù)列,由a4-a2=8,a3+a5=26,可解得Sn=2n2-n,∴Tn=2-eq\f(1,n),若Tn≤M對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,則只需(Tn)max≤M即可.又Tn=2-eq\f(1,n)<2,∴只需2≤M,故M的最小值是2.答案:2三、解答題(共3個(gè)小題,滿分35分)10.已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為a-1,4,2a,記前n項(xiàng)和為Sn(1)設(shè)Sk=2550,求a和k的值;(2)設(shè)bn=eq\f(Sn,n),求b3+b7+b11+…+b4n-1的值.解:(1)由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a又a1+a3=2a2∴(a-1)+2a=8,即a∴a1=2,公差d=a2-a1=2.由Sk=ka1+eq\f(kk-1,2)d,得2k+eq\f(kk-1,2)×2=2550,即k2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去).∴a=3,k=50.(2)由Sn=na1+eq\f(nn-1,2)d得Sn=2n+eq\f(nn-1,2)×2=n2+n.∴bn=eq\f(Sn,n)=n+1,∴{bn}是等差數(shù)列,則b3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)=eq\f(4+4nn,2).∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n.11.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2Sn=aeq\o\al(2,n)+n-4.(1)求證{an}為等差數(shù)列;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.解:(1)當(dāng)n=1時(shí),有2a1=aeq\o\al(2,1)+1-4,即aeq\o\al(2,1)-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=aeq\o\al(2,n-1)+n-5,又2Sn=aeq\o\al(2,n)+n-4,兩式相減得2an=aeq\o\al(2,n)-aeq\o\al(2,n-1)+1,即aeq\o\al(2,n)-2an+1=aeq\o\al(2,n-1),也即(an-1)2=aeq\o\al(2,n-1),因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,則an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,這與數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{(lán)an}為等差數(shù)列.(2)由(1)知a1=3,d=1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3+(n-1)=n+2,即an=n+2.12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n2+cn(c∈R,n=1,2,3…),且S1,eq\f(S2,2),eq\f(S3,3)成等差數(shù)列.(1)求c的值;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解:(1)∵nSn+1-(n+1)Sn=n2+cn(n=1,2,3,…),∴eq\f(Sn+1,n+1)-eq\f(Sn,n)=eq\f(n2+cn,nn+1)(n=1,2,3,…).∵S1,eq\f(S2,2),eq\f(S3,3)成等差數(shù)列,∴eq\f(S2,2)-eq\f(S1,1)=eq\f(S3,3)-eq\f(S2,2).∴eq\f(1+c,2)=eq\f(4+2c,6),∴c=1.(2)由(1)得eq\f(Sn+1,n+

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