2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之專題六 類型二 折疊問題 教學(xué)課件

專題六綜合與實踐類型二折疊問題(2020.27)二階

綜合訓(xùn)練1.(2023成都黑白卷)綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師給出了這樣一個問題：如圖①，在正方形紙片ABCD中，點E是邊AB的中點，將△BCE沿CE所在的直線折疊，得到△B′CE，延長CB′交AD于點P，連接AB′.猜想證明：(1)求證：∠PAB′＝∠PB′A；第1題圖(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝∠BAD＝90°.由折疊的性質(zhì)知，△B′CE≌△BCE，∠EB′C＝∠B＝90°，EB′＝EB，∴∠EB′P＝180°－∠EB′C＝180°－90°＝90°，∴∠BAD＝∠EB′P.∵點E是AB的中點，∴AE＝BE＝B′E，∴∠EAB′＝∠EB′A，∴∠BAD－∠EAB′＝∠EB′P－∠EB′A，即∠PAB′＝∠PB′A；第1題圖拓展探究：如圖②，延長AB′交CD于點F.(2)求證：CF＝DF；第1題圖(2)證明：由(1)知∠EAB′＝∠EB′A，∴∠BEB′＝2∠EAB′.∵∠BEB′＝2∠BEC，∴∠EAB′＝∠BEC，∴AF∥EC.∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴CF＝AE＝

AB＝

CD，∴CF＝DF；(3)求

的值．第1題圖(3)解：如圖，連接BB′，BB′交EC于點O.O∴∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.∵∠ABB′＋∠OBC＝90°，∴∠ABB′＝∠OCB.∵∠AB′B＝∠EBC＝90°，∴△AB′B∽△EBC，∴

＝

＝

，即2AB′＝BB′，設(shè)AE＝EB＝a，則AB＝BC＝CD＝AD＝2a.在Rt△ABB′中，AB2＝AB′2＋BB′2，∴4a2＝AB′2＋(2AB′)2，解得AB′＝

a.∵AD＝2a，DF＝a，∠D＝90°，∴AF＝＝＝a，∴FB′＝AF－AB′＝a－

a＝

a，∴

＝

＝

.第1題圖O2.(2020成都B卷27題10分)在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處．(1)如圖①，若BC＝2BA，求∠CBE的度數(shù)；第2題圖解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠C＝90°.由折疊的性質(zhì)得BC＝BF，∠EBF＝∠EBC，∠BFE＝∠C＝90°.∵BC＝2BA，∴BF＝2BA，在Rt△ABF中，∵sin∠AFB＝

＝

，∴∠AFB＝30°.∵AD∥BC，∴∠FBC＝∠AFB＝30°，∴∠CBE＝

∠FBC＝15°；第2題圖(2)如圖②，當(dāng)AB＝5，且AF·FD＝10時，求BC的長；第2題圖(2)∵∠BFE＝∠C＝90°，∴∠AFB＋∠DFE＝90°.又∵∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠DFE＝∠ABF.∵∠D＝∠A＝90°，∴△EDF∽△FAB，∴

＝

＝

，∴DE＝

＝

＝2，∴EF＝EC＝DC－DE＝AB－DE＝5－2＝3，在Rt△DEF中，DF＝＝＝，∴BF＝

＝

＝3，∴BC＝BF＝3；第2題圖(3)如圖③，延長EF，與∠ABF的平分線交于點M，BM交AD于點N，當(dāng)NF＝AN＋FD時，求

的值．第2題圖(3)∵NF＝AN＋FD，∴NF＝

AD＝

BC＝

BF，如圖，過點N作NG⊥BF于點G.∟G∴∠NGF＝90°.∵∠A＝90°，∴∠NGF＝∠A.∵∠GFN＝∠AFB，∴△NFG∽△BFA，∴

＝

＝

＝

，∴NG＝

AB.∵BM為∠ABF的平分線，∴∠ABN＝∠GBN.∵BN＝BN，∠A＝∠NGB＝90°，∴△ABN≌△GBN，∴AB＝BG，AN＝NG，∴FG＝BF－BG＝BC－AB，F(xiàn)A＝AN＋NF＝NG＋NF＝

AB＋

BC.第2題圖∟G∵

＝

，∴＝

，∴3BC＝5AB，∴

＝

.第2題圖∟G折疊問題3.綜合與實踐(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，諸葛小組將正方形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形內(nèi)部的點M處，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，請寫出圖中的一個45°角：________；第3題圖【解法提示】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，由折疊的性質(zhì)得，∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE＋∠MAF＝∠BAE＋∠DAF＝

∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°.∠EAF(2)【拓展探究】如圖②，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點恰好落在折痕AE上的點N處，連接NF交AM于點P.①∠AEF＝________°；第3題圖【解法提示】∵四邊形ABCD是正方形，∴由折疊的性質(zhì)得，∠AEB＝∠AEF，∠CEF＝∠AEF.∵∠AEB＋∠AEF＋∠CEF＝180°，∴3∠AEF＝180°，∠AEF＝60°.60②若AB＝

，求線段PM的長；第3題圖②由(1)知∠EAF＝45°，∵∠ENF＝∠ECF＝90°，∴∠ANF＝90°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°＋∠NFE，∴2(45°＋∠NFE)＋∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°.∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，

∴△ANP≌△FNE(ASA)，∴AP＝FE，PN＝EN，由①知∠NEF＝∠CEF＝∠AEB＝60°，又∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝

AB＝1，∴AE＝2BE＝2，第3題圖設(shè)PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，∵AN＋EN＝AE，∴a＋a＝2，解得a＝－1，∴AP＝2a＝2－2，∴PM＝AM－AP＝AB－AP＝－(2－2)＝2－；第3題圖(3)【遷移應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將矩形ABCD沿AE，AF折疊，點B落在點M處，點D落在點G處，點A，M，G恰好在同一直線上，若點F為CD的三等分點，AB＝3，AD＝5，請直接寫出線段BE的長．第3題圖【解法提示】如圖，在AD上取一點J，使得AJ＝AB，過點J作JT⊥BC于點T，交AF于點K，連接EK.∟TKJ∵AB＝CD＝3，∴當(dāng)DF＝2CF時，CF＝1，DF＝2.∵JK∥DF，∴△AJK∽△ADF，∴

＝

，∴

＝

，解得JK＝

，由(1)可知EK＝EM＋MK＝BE＋JK，設(shè)BE＝x，則EK＝x＋

，ET＝BT－BE＝AJ－BE＝3－x，KT＝JT－JK＝AB－JK＝3－

＝

，在Rt△EKT中，根據(jù)勾股定理可得，EK2＝ET2＋KT2，即(x＋

)2＝(3－x)2＋(

)2，解得x＝

；第3題圖∟TKJ(3)BE的長為

或2.當(dāng)CF＝2DF時，同理可得BE＝2.綜上所述，滿足條件的BE的值為

或2.第3題圖∟TKJ

解題關(guān)鍵點由題干可知，F(xiàn)為CD的三等分點，則需分DF＝2CF和CF＝2DF兩種情況討論．4.綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的折疊”為主題展開活動．已知菱形ABCD，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點，將菱形ABCD沿EF折疊．【猜想證明】(1)如圖①，設(shè)對角線AC與BD相交于點O，若點B的對應(yīng)點與點O重合，折痕EF交BD于點G.試判斷四邊形EBFO的形狀，并說明理由；第4題圖解：(1)四邊形EBFO為菱形．理由如下：∵折疊點B與點O重合，折痕為EF，∴BO被EF垂直平分，∴BE＝OE，BF＝OF，∠BGE＝∠BGF＝90°.∵四邊形ABCD為菱形，∴∠EBG＝∠FBG，∴△EBG≌△FBG，∵BE＝BF，∴BE＝OE＝BF＝OF，∴四邊形EBFO為菱形；第4題圖【問題解決】(2)如圖②，若點B的對應(yīng)點恰好落在對角線AC上的點M處，若AM＝2，MC＝4，求線段AE的長；第4題圖(2)如圖，過點F作FH⊥AC于點H，∟H∵四邊形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°.∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∴△BAC為等邊三角形，∴BC＝AC＝AM＋MC＝6，∠BAC＝∠BCA＝60°，由折疊可知，MF＝BF，∠EMF＝∠B＝60°，∴∠EMA＋∠FMC＝180°－∠EMF＝120°，∠EMA＋∠AEM＝180°－∠EAM＝120°，∴∠FMC＝∠AEM.∵∠BAC＝∠BCA，∴△AEM∽△CMF，∴

＝

.第4題圖∟H設(shè)FC＝x，則BF＝FM＝6－x，在Rt△FHC中，CH＝

x，F(xiàn)H＝

x，則MH＝4－

x，在Rt△MFH中，MF2＝FH2＋MH2，即(6－x)2＝(

x)2＋(4－

x)2，解得x＝

，∴FC＝

，即

＝

，