2024成都中考數(shù)學第一輪專題復習之專題一 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題 教學課件

專題一反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題1.(2023南充)如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點A(－1，6)，B(

，a－3)，與x軸交于點C，與y軸交于點D.(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；第1題圖解：(1)設反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式分別為y＝

(n≠0)，y＝kx＋b(k≠0).將點A(－1，6)代入y＝

中，得，n＝－6，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝－

.∵點B在反比例函數(shù)的圖象上，∴

(a－3)＝－6，第1題圖解得a＝1，∴B(3，－2).∵點A(－1，6)，B(3，－2)在一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象上，∴解得∴一次函數(shù)的解析式為y＝－2x＋4；(2)點M在x軸上，若S△OAM＝S△OAB，求點M的坐標．第1題圖(2)設點M(m，0)，由(1)得，一次函數(shù)的解析式為y＝－2x＋4，交x軸于點C(2，0).S△OAB＝S△OAC＋S△OCB＝

×2×6＋

×2×2＝8，∴S△OAM＝

×|m|×6＝8，解得m＝±

，∴點M的坐標為(

，0)或(－

，0).2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x＋b與反比例函數(shù)y＝

(x＜0)的圖象交于A(－2，1)，B(n，2)兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達式和n的值；第2題圖

解：(1)把點A(－2，1)代入y＝

中，得1＝

，解得k＝－2，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝－

，將點B(n，2)代入y＝－

中，得n＝－1；第2題圖(2)將直線y＝x＋b向下平移m個單位，當平移后的直線與反比例函數(shù)的圖象只有一個交點時，求m的值．(2)將點A(－2，1)代入y＝x＋b中，解得b＝3，∴直線的表達式為y＝x＋3，將直線向下平移m個單位長度得新直線表達式為y＝x＋3－m.當平移后的直線與反比例函數(shù)圖象只有一個交點時，聯(lián)立得第2題圖即x＋3－m＝－

只有一個解，∴x2＋(3－m)x＋2＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝(3－m)2－4×1×2＝0，解得m＝3－2或m＝3＋2(舍去)，∴m＝3－2.3.(2023雙流區(qū)二診節(jié)選)如圖，已知直線y＝x－2與x軸交于A點，與y軸交于B點，P(m，n)為雙曲線y＝－

(x＞0)上一動點，過P點分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為C，D，射線PC交直線AB于點E，射線PD交直線AB于點F.(1)當DF＝PC時，求m的值；第4題圖(1)解：由題意得，點P(m，－

)，則點F(2－

，－

).∵DF＝PC，x>0，可知m>0，即2－

＝

，解得m＝2；第4題圖(2)連接OE，OF，求證：∠EOF的度數(shù)為45°.(2)證明：∵點E，F(xiàn)在直線AB上，設點P(m，n)，∴點E，F(xiàn)的坐標分別為(m，m－2)，(n＋2，n)，由點O，E，F(xiàn)，P的坐標得，OF2＝(n＋2)2＋n2＝2n2＋4n＋4，EF＝

＝

(m－n－2)，∵點A，B為y＝x－2與x軸，y軸的交點，點P(m，n)在反比例y＝－

圖象上，第4題圖∴A(2，0)，B(0，－2)，∴OA＝2，OB＝2，mn＝－2，AF＝

＝

×|n|，則EF·AF＝

(m－n－2)××|n|＝－2n(m－n－2)＝2n2－2mn＋4n＝2n2－2×(－2)＋4n＝2n2＋4n＋4＝OF2，即

＝

.∵∠OFA＝∠EFO，∴△OFA∽△EFO，∴∠FOE＝∠FAO.第4題圖∵OA＝OB，∠BOA＝90°，∴∠FAO＝45°，∴∠EOF的度數(shù)為45°.5.在平面直角坐標系xOy中，設函數(shù)y1＝k1x＋2＋k1，函數(shù)y2＝

(k1，k2是常數(shù)，k1≠0，k2≠0).(1)若函數(shù)y1和y2的圖象相交于點A(－1，m)，B(2，n)，①求函數(shù)y1，y2的表達式；解：(1)①函數(shù)y1＝k1x＋2＋k1的圖象過點A(－1，m)，將A(－1，m)代入y1中，得m＝2，∴點A(－1，2).∵函數(shù)y2＝

的圖象過點A(－1，2)，∴k2＝－1×2＝－2，∴反比例函數(shù)的表達式為y2＝－

.當x＝2時，y＝－1，∴點B(2，－1).把點B(2，－1)代入函數(shù)y1＝k1x＋2＋k1中，得2k1＋2＋k1＝－1，∴k1＝－1，∴一次函數(shù)的表達式為y1＝－x＋1；②當y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍；②∵一次函數(shù)的表達式為y1＝－x＋1，反比例函數(shù)的表達式為y2＝－

，y1與y2的圖象相交于點A(－1，2)，點B(2，－1)，∴當y1＜y2時，x的取值范圍為－1＜x＜0或x＞2；(2)若點C(1，p)在函數(shù)y1的圖象上，點C先關于x軸對稱得點C′，再向左平移2個單位長度得點D，點D恰好落在函數(shù)y1的圖象上，求p的值．(2)∵C(1，p)，∴點C關于x軸對稱得點C′(1，－p)，再向左平移2個單位長度得點D(－1，－p).∵點D恰好落在函數(shù)y1的圖象上，∴－p＝－k1＋2＋k1，∴p＝－2.6.如圖，一次函數(shù)y＝x＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝

的圖象交于點A(a，2)，C，與x軸交于點B(2，0)，點P為x軸上一動點．(1)求b和k的值；第6題圖解：(1)將點B(2，0)代入函數(shù)y＝x＋b中，得0＝2＋b，解得b＝－2，則一次函數(shù)的表達式為y＝x－2；將點A(a，2)代入y＝x－2中，得2＝a－2，解得a＝4，即點A(4，2).將點A(4，2)代入y＝

中，得k＝4×2＝8，即反比例函數(shù)的表達式為y＝

，即b＝－2，k＝8；(2)連接AP，CP，OA，OC，若S△APC＝4S△AOC，求點P的坐標；第6題圖∟∟DE(2)如圖，過點C作CD⊥x軸于點D，過點A作AE⊥x軸于點E.聯(lián)立

，解得

或

∴A(4，2)，C(－2，－4)，∴CD＝4，AE＝2.設P(x，0)，第6題圖∟∟DE∴PB＝|2－x|.∵S△APC＝4S△AOC，即S△APB＋S△CPB＝4(S△AOB＋S△BOC)，∴

PB·(AE＋CD)＝4×

OB·(AE＋CD)，∴

PB＝2OB，即

×|2－x|＝4，解得x＝－6或x＝10，∴點P的坐標為(－6，0)或(10，0)；7.(2023高新區(qū)二診)在平面直角坐標系xOy中，P是反比例函數(shù)y＝

(x＞0)在第一象限圖象上的一點．(1)如圖，過點P的直線y＝

x＋1分別與x軸，y軸交于點A，B，且AB＝BP.①求反比例函數(shù)的表達式；第7題圖∟C解：(1)①如圖，過點P作PC⊥x軸于點C.∵PC⊥x軸，OB⊥OA，∴PC∥OB，∴△AOB∽△ACP.第7題圖∟C∵AB＝BP，∴

＝

＝

＝

.∵點A，B是直線y＝

x＋1分別與x軸，y軸的支點，∴A(－2，0)，B(0，1)，∴OA＝2，OB＝1，∴PC＝2OB＝2，AC＝2OA＝4，∴OC＝AC－OA＝4－2＝2，∴P(2，2).將P(2，2)代入反比例函數(shù)y＝

，得k＝4，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝

；②點D為x軸正半軸上一點，點E在反比例函數(shù)圖象上，若以點B，D，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，求點E的坐標；②由①可得B(0，1)，P(2，2)，設D(a，0)，E(

，b)，當點B，D，E，P組成平行四邊形BDEP時，∵yB＋yE＝y(tǒng)D＋yP，∴1＋b＝0＋2，∴b＝1，∴E(4，1)；當點B，D，E，P組成平行四邊形BDPE時，第7題圖∟C第7題圖∟C∵yB＋yP＝y(tǒng)D＋yE，∴1＋2＝0＋b，∴b＝3，∴E(

，3).綜上所述，點E的坐標為(4，1)或(

，3)；(2)過定點P的直線y＝mx－3m＋2交反比例函數(shù)在第一象限的圖象于另一點Q，交y軸于點M，連接OP，OQ，設△POQ的面積為S1，△MOP的面積為S2，若2S1＝S2，求m的值．第7題圖(2)∵直線y＝mx－3m＋2＝m(x－3)＋2過定點(3，2)，∴點P的坐標為(3，2)，代入反比例函數(shù)y＝

，得k＝6.①如解圖②，當點Q在線段MP上時，作QK⊥y軸于點K，PL⊥y軸于點L.第7題解圖②∵S△MOP＝2S△POQ，∴MQ＝PQ.第7題解圖②∵QK⊥y軸，PL⊥y軸，∴QK∥PL，∴△MKQ∽△MLP，∴

＝

＝

，∴KQ＝

PL＝

，即xQ＝

，將x＝

代入y＝

中，得y＝4，∴Q(

，4)，將Q(

，4)代入直線y＝mx－3m＋2，得m＝－

；第7題解圖③②如解圖③，當點Q在線段MP的延長線上時，作QK⊥y軸于點K，PL⊥y軸于點L，∵S△MOP＝2S△POQ，∴MP＝2PQ，∵QK⊥y軸，PL⊥y軸，∴QK∥PL，∴△MKQ∽△MLP，∴

＝

＝

，∴KQ＝

PL＝

，即xQ＝

，第7題解圖③將x＝

代入y＝

中，得y＝

，∴Q(

，

)，將點Q(

，

)代入直線y＝mx－3m＋2，得m＝－

.綜上所述，m的值為－

或－

.

解題關鍵點根據(jù)題干條件畫出解圖后，需注意點Q的位置，點Q在MP上或者在MP的延長線上．8.(2023錦江區(qū)二診)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝2x＋b的圖象與x軸交于點A(－2，0)，與反比例函數(shù)y＝

(x＞0)交于點B(1，m).(1)求反比例函數(shù)的表達式；第8題圖解：(1)將點A代入y＝2x＋b中，得0＝－4＋b，解得b＝4，∴一次函數(shù)的表達式為y＝2x＋4，當x＝1時，y＝2x＋4＝6，則點B(1，6)，將點B代入y＝

(x>0)中，得k＝1×6＝6，即反比例函數(shù)的表達式為y＝

；(2)點M為反比例函數(shù)在第一象限圖象上異于點B的一點，過點M作x軸垂線，交一次函數(shù)y＝2x＋b圖象于點N，連接BM，若△BMN是以MN為底邊的等腰三角形，求△BMN的面積；第8題圖(2)設點N的坐標為(t，2t＋4)，則點M(t，

).∵△BMN是以MN為底邊的等腰三角形，則點B在