新人教A版高中數(shù)學(xué)必修2直線與圓同步質(zhì)量檢測(一)

新人教A版高中數(shù)學(xué)必修2直線與圓同步質(zhì)量檢測(一)

新人教A版必修2同步質(zhì)量檢測

直線與圓(1)

一、選擇題

1.[2013?長春模擬]己知點(diǎn)A(l,-1),B(—1,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是

()A.x2

+y2

—2B.x2

4-y2

=2C.x2+y2=lD.x2+y2=4

答案：A

解析：圓心為(0,0)2,應(yīng)選A項(xiàng).

2.[2013?吉林模擬]圓x2+y2-2x+6y+5a=0關(guān)于直線y=x+2b成軸對稱圖形，則

a-b的取值范圍是()

A.(—8,4)B.(—8,o)C.(—4,+°°)D.(4,+=°)

答案：A

解析：由題意，得圓心(1,一3)在直線y=x+2b上，得b=-2,由圓成立的條件可得

(-2)2+62—4X5a>0,解得a<2,.\a-b<4,故選A.

3.過點(diǎn)M(l,2)的直線1將圓(x-2)2+y2=9分成兩段弧，當(dāng)其中的劣弧最短時(shí)，直線

的方程是()

A.x=lB.y=lC.x—y+l=0D.x—2y+3=0

答案：D

解析：設(shè)圓心為C,當(dāng)CMJ_1時(shí)，圓截1的弦最短，其所對的劣弧最短，又kCM=-2,

.?.kl=12

直線1的方程為y-2=1

2

(x—1),即x—2y+3=0.

4.[2013?安徽淮北模擬]若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和

x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x—2)2+(y—1)2—1B.(x—2)2+(y—3)2—1C.(x—3)2+(y—2)2—1D.(x—

3)2+(y-l)2=l答案：A

解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b),由題意知a>0,且b=l.又?.?圓和直線4x—3y=0相切，

|4a-3|

5

—1,即14a—31=5,Va>0,.".a—2.

所以圓的方程為(x—2)2+(y—1)2=1.

5.[2013?海淀檢測]點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()

A.(x-2)2+(y+l)2=lB.(x-2)2+(y+l)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+

2)2+(y-l)2=l答案：A

x4+x

解析：設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0

，y0

),PQ的中點(diǎn)為M(x,y),則2

解得0=2x—4,

y—2+y

y0

=2y+2.

2

x因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2+y2=4上,所以x20+為0=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即

(x—2)2+(y+l)2

1.

6.[2013?金版原創(chuàng)]若圓0的半徑為3,直徑AB上一點(diǎn)D使AB-=3AD-

,E、F為另一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則DE-?DFf

=()

A.-3B.-4C.-6D.-8

答案：D

解析：依題意得，DEf,DF-*—(DO->+OE-*),(DO-*+0F—*)—(DO->H_OE—*),(DO-*

-0E->

)=1-9=一8,故選D.7.[2012?遼寧高考]將圓x2+y2-2x-4y+l=0平分的直線

是()A.x+y—1=0B.x+y+3=0C.x-y+l=0D.x-y+3=0

答案：C

解析：本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系.解題的突破口為弄清平分線的實(shí)質(zhì)是過圓

心的直線，即圓心符合直線方程.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2

+(y-2)2

=4,所以圓心為(1,2),把點(diǎn)(1,2)代入A、B、C、D,不難得出選項(xiàng)C符合要求.8.

[2013?玉湖月考]圓(x+l)2+(y—4)2=1關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程是()A.(x-

l)2+(y+4)2=lB.(x-4)2+(y+l)2=lC.(x+4)2+(y-1)2=1D.(x-l)2+(y-

4)2=1答案:B

解析：已知圓的圓心為(-1,4),它關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)是(4,-1),即為對稱圓

心.二、填空題

9.[2013?東北四校模擬]已知圓C過點(diǎn)A(l,0)和B(3,0),且圓心在直線y=x上，則

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案：(x-2)2+(y-2)2=5

解析：由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+(y—a)2=r2,

/.1-a2+a2=r2

3-a2+a2=r2解得a=2r2=5

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y—2)2=5.

10.已知圓C的圓心與點(diǎn)M(l,-1)關(guān)于直線x—y+l=0對稱，并且圓C與x—y+l=

0相切，則圓C的方程為.

答案：(x+2)2+(y-2)2=9

2

解析:所求圓的圓心為(一2,2),設(shè)圓的方程為(x+2)2

+(y-2)2

=r2

(r>0),則圓心(一2,2)到直線x-y+1=0的距離為r,得r=9

2,故圓C的方程為(x+2)2+(y—2)2=2

11.[2013?溫州模擬]若直線2ax+by—2=0(a,b為正實(shí)數(shù))平分圓x2+y2—2x—4y—

6=0,則2

a+

1

b

.答案：3+22

解析:圓心為(1,2),代入直線方程得a+b=l,則2a+lb=(2a+lb)(a+b)=3+a2b

ba23+22.等

號成立的條件為a=2—2,b2-l.

12.[2013?金版原創(chuàng)題]若圓的方程為x2+y2+kx+2y+k2=0,則當(dāng)圓的面積最大

時(shí)，圓心為.

答案：(0,-1)

方程為x2

+y2

+kx+2y+k2

=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+k23k2解析：2

2)+(y+l)=l-4

2

3k2

Vr=14

Wl,.?.k=0時(shí)r最大.

此時(shí)圓心為(0,-1).三、解答題

13.已知圓的方程為(x-m)2+(y+m—4)2=2.(1)求圓心C的軌跡方程；

(2)當(dāng)|OC|最小時(shí)，求圓C的一般方程(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

解析：(1)設(shè)C(x,y),則x=m,

y=4—m.

消去m,得y=4—x.

圓心C的軌跡方程為x+y-4=0.

⑵當(dāng)|0C|最小時(shí)，0C與直線x+y—4=0垂直，直線0C的方程為x—y=0.

由x+y-4=0,

得x=y=2.

x—y=0,

即|0C|最小時(shí)，圓心的坐標(biāo)為(2,2),???mnZ.圓C的方程為(x—2)2+(y—2)2=2.其

一般方程為x2+y2—4x—4y+6=0.

14.[2013?吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(—1,0)和B(3,4),線

段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和D,且|CD1=410.

(1)求直線CD的方程；(2)求圓P的方程.

解析：(1)直線AB的斜率k=l,AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),直線CD的方程為y—2=—

(x—1),即x+y—3=0.

(2)設(shè)圓心心a,b),則由P在CD上得a+b—3=0.①又直徑|CD=410,A|PA=

210,(a+l)2+b2=40.②由①②解得a=-3,a=5,b=6或b

=-2.

二圓心心一3,6)或P(5,-2).

...圓P的方程為(x+3)2+(y—6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.15.已知點(diǎn)P(x,y)

是圓(x+2)2+y2=l上任意一點(diǎn).(1)求x-2y的最大值和最小值；(2)求y—2

X—1

的最大值和最小值.

解析：(1)設(shè)t=x-2y,則直線x-2y-t=0與圓(x+2)2+y2=l有公共點(diǎn).-2

-1|

1+21.5—2Wt<5—2.tmax=5—2,tmin=-2—5.

⑵設(shè)k=y—2

kx—y—k+2=0與圓(x+2)2+y2x—l=l有公共點(diǎn)，

|—3k+21k+1

1.3-333

妹W4.

.\k3+3max=

4k3—3min=4

.16.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+l)2+y2=4上運(yùn)動，求線

段AB的中點(diǎn)M的軌跡.

解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(xO,yO),由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),且

點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn).所以xx0+4y0+3

2y=2

x0=2x—4,y0=2y—3.①

因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x+l)2

+y2

=4上運(yùn)動，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2

+y2

=4,即(xO+1)

2

+y20=4.②

把①代入②，得(2x-4+l)2+(2y-3)2=4,整理，得x-33

22+y-22=l.所以，點(diǎn)M的軌跡是以3322為圓心，半徑長是1的圓.

17.[2013?紹興模擬]已知圓C經(jīng)過P(4,-2),Q(—1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線

段長為3,

半徑小于5.

(1)求直線PQ與圓C的方程；

⑵若直線1〃PQ，且1與圓C交于點(diǎn)A,B,且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求

直線1的方程.

解析：(1)直線PQ的方程為：x+y-2=0,設(shè)圓心C(a,b),半徑為r,由于線段PQ

的垂直平分線的方程是yl3

2=x—2

，即y=x—l,所以b=a—L①又由在y軸上截得的線段長為43,知(a+l)2+(b-

3)2=12+a2.②由①②得：a=l,b=0或a=5,b=4.當(dāng)a=l,b=0時(shí)，r2=13滿足

題意當(dāng)a=5,b=4時(shí)，r2=37不滿足題意，故圓C的方程為(x—l)2+y2=13.⑵設(shè)

直線1的方程為y=—x+m,A(xl,m—xl),B(x2,m—x2),

由題意可知OA_LOB,即kOA?kOB=-LA

m-xlm-xlx2

xl.2

整理