【曲線運(yùn)動(dòng)加速度的數(shù)學(xué)推導(dǎo)及教學(xué)探究11000字（論文）】

曲線運(yùn)動(dòng)加速度的數(shù)學(xué)推導(dǎo)及教學(xué)研究摘要 2引言 21圓周運(yùn)動(dòng)和一般曲線運(yùn)動(dòng) 31.1圓周運(yùn)動(dòng)的加速度 31.2一般曲線運(yùn)動(dòng)中的加速度 42對(duì)向心加速度的一般推導(dǎo) 52.1向心加速度 52.2向心加速度的推導(dǎo) 52.2.1利用位移合成推導(dǎo) 52.2.2利用速度增量推導(dǎo) 62.2.3利用速度位移公式 72.2.4利用矢量端軌跡推導(dǎo) 82.2.5四種方法小結(jié) 93曲線運(yùn)動(dòng)加速度的數(shù)學(xué)推導(dǎo) 94對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的教學(xué)研究 114.1基于高中物理對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度學(xué)習(xí)的思考 114.2怎樣學(xué)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度 124.2.1學(xué)習(xí)方法 124.2.2重難點(diǎn) 124.3以“向心加速度”為例模擬教學(xué)過(guò)程 134.3.1模擬教學(xué)過(guò)程的意義 134.3.2新課導(dǎo)入 134.3.3新課教學(xué) 134.4.4小結(jié) 154.4.5課后作業(yè) 155總結(jié) 15參考文獻(xiàn) 16摘要：通過(guò)對(duì)一般曲線運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，將曲線運(yùn)動(dòng)的加速度分為切向加速度和法向加速度進(jìn)行研究。對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)切向加速度和法向加速度進(jìn)行了推導(dǎo)，并將結(jié)果擴(kuò)展到一般曲線運(yùn)動(dòng)中。對(duì)向心加速度的推導(dǎo)方法進(jìn)行了研究，采用位移合成法等多種物理方法推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度，得到多種曲線運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)方式。分析了用純物理方法推導(dǎo)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的不足之處，又采用純數(shù)學(xué)方法對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度進(jìn)行了研究。將曲線運(yùn)動(dòng)加速度的研究應(yīng)用到物理教學(xué)中去，進(jìn)行了以高中物理為基礎(chǔ)的曲線運(yùn)動(dòng)加速度的教學(xué)研究，深刻分析了高中曲線運(yùn)動(dòng)加速度教學(xué)的難易點(diǎn)以及方法，并展開(kāi)模擬課堂進(jìn)行教學(xué)研究。關(guān)鍵詞：圓周運(yùn)動(dòng)曲率半徑模擬教學(xué)切向加速度向心加速度引言：曲線運(yùn)動(dòng)是指物體的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線的運(yùn)動(dòng)，可以根據(jù)動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。動(dòng)力學(xué)認(rèn)為，如果一個(gè)物體它速度的方向同它所受到的合力的方向沒(méi)有共線，那么這個(gè)物體就作曲線運(yùn)動(dòng)；而運(yùn)動(dòng)學(xué)認(rèn)為，做曲線運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)速度的方向和它加速度的方向是不在同一條直線上的。所以可以得知做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，它的速度的方向是一直變化的。因?yàn)樗俣仁鞘噶?，它不僅有大小還有著方向，所以曲線運(yùn)動(dòng)也是一種變速運(yùn)動(dòng)，所以曲線運(yùn)動(dòng)是十分常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)，研究曲線運(yùn)動(dòng)可以讓我們更加了解我們的生活。生活中常見(jiàn)的曲線運(yùn)動(dòng)有平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)等，而圓周運(yùn)動(dòng)是研究曲線運(yùn)動(dòng)最基礎(chǔ)最實(shí)用的運(yùn)動(dòng)。判斷物體是否做曲線運(yùn)動(dòng)主要是看物體速度的方向是否發(fā)生著改變，而只有加速度和速度不共線時(shí)，物體的速度方向才會(huì)發(fā)生改變。所以要想了解曲線運(yùn)動(dòng)就必須對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度進(jìn)行研究，對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度研究最基本的就是加速度公式推導(dǎo)，畢竟物理的研究離不開(kāi)數(shù)學(xué)，曲線運(yùn)動(dòng)加速度公式的推導(dǎo)也是本文研究的重點(diǎn)。曲線運(yùn)動(dòng)加速度公式的推導(dǎo)不僅是曲線運(yùn)動(dòng)加速度研究的重點(diǎn)，也是曲線運(yùn)動(dòng)物理教學(xué)的重難點(diǎn)。目前教課書(shū)中對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)，大都采用物理學(xué)方法，雖然該方法直觀性較強(qiáng)但敘述起來(lái)比較麻煩，所以本文著重研究曲線運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)方法，采用數(shù)學(xué)和物理多種方法進(jìn)行推導(dǎo)研究。由于圓周運(yùn)動(dòng)是研究一般曲線運(yùn)動(dòng)和物體轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)，所以本文從圓周運(yùn)動(dòng)著手對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度進(jìn)行研究。在進(jìn)行加速度的分析時(shí)，為了使其的物理意義更加清晰準(zhǔn)確，本文將以平面自然坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行研究。1圓周運(yùn)動(dòng)和一般曲線運(yùn)動(dòng)1.1圓周運(yùn)動(dòng)的加速度圓周運(yùn)動(dòng)是研究一般曲線運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)，所以在探究曲線運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)，我們可以用質(zhì)點(diǎn)在圓周運(yùn)動(dòng)上的軌跡來(lái)研究。在圓周運(yùn)動(dòng)中假設(shè)某個(gè)點(diǎn)繞其圓心不停的作變速的運(yùn)動(dòng)。例如圖1-1所展示的，建立坐標(biāo)系，取圓周運(yùn)動(dòng)軌跡上某一點(diǎn)作為質(zhì)點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為點(diǎn)P，坐標(biāo)系的一個(gè)坐標(biāo)軸沿著P點(diǎn)的切線的方向，并取改點(diǎn)的方向的單位矢量用eτ來(lái)表示，而另一個(gè)坐標(biāo)軸沿著P點(diǎn)軌跡的法線也就是指向曲線內(nèi)側(cè)的線，相應(yīng)單位矢量可以用en來(lái)進(jìn)行表示，這種用en和圖1-1因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的速度是沿切線方向的，所以我們可以將圖1-1質(zhì)點(diǎn)的速度寫(xiě)成為v加速度a可以根據(jù)公式（1-1）求對(duì)t的導(dǎo)數(shù)而得出，并且質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡各點(diǎn)對(duì)切線的方向不同，它的單位矢量eτ同樣也是個(gè)變量。設(shè)在dt時(shí)間內(nèi)eτ的單位增量是deτa所以可知deτ的方向是垂直于eτ并且對(duì)準(zhǔn)圓心o的，它和en的方向相同。單位矢量eτe所以d由此得出d通過(guò)公式（1-5）中可知ds是質(zhì)點(diǎn)在一定時(shí)間dt里所通過(guò)的長(zhǎng)度。將公式(1-5)帶入a的表達(dá)式中就可以得到a因此我們可知圓周運(yùn)動(dòng)加速度可以被正交分解成切向加速度aτ和法向加速度an即，其分解圖如圖圖1-2通過(guò)公式（1-6）我們可以知道aτ和an的大小，其中切線方向表示的是該點(diǎn)速率變化的快慢，法線方向表示的是該點(diǎn)的速度方向變化快慢。我們可以通過(guò)三角函數(shù)關(guān)系來(lái)判斷質(zhì)點(diǎn)是否做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也可以通過(guò)切向加速度是否為零來(lái)判斷，假設(shè)該質(zhì)點(diǎn)作的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么它dvdt因?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)也是一種曲線運(yùn)動(dòng)，所以圓周運(yùn)動(dòng)的加速度的推導(dǎo)是可以推廣到一般的曲線運(yùn)動(dòng)的。1.2一般曲線運(yùn)動(dòng)中的加速度如果一個(gè)物體作曲線運(yùn)動(dòng)，那么它運(yùn)動(dòng)的方向一定會(huì)發(fā)生改變，如果運(yùn)動(dòng)方向并不發(fā)生改變的話，那么它就只是一個(gè)直線運(yùn)動(dòng)。因?yàn)樗俣仁且粋€(gè)矢量，它不僅有大小還有方向，所以只要速度發(fā)生任何改變，那么它一定會(huì)產(chǎn)生加速度，所以如果一個(gè)物體作曲線運(yùn)動(dòng)，那么它速度的方向一定是會(huì)發(fā)生改變的，速度也一定會(huì)變化，所以該物體的加速度就不可能等于零，因此研究曲線運(yùn)動(dòng)的加速度就是很有必要的。圖1-3如圖1-3，質(zhì)點(diǎn)沿軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任意位置的加速度也可以被分解成為an和aτ，但是法向加速度的公式會(huì)有所不同，要把圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度公式中的半徑R用曲線在該點(diǎn)處的曲率半徑aa所以得出加速度的公式a通常情況下，曲線上不同位置處的曲率中心和ρ是不同的，但是an是一定2對(duì)向心加速度的一般推導(dǎo)2.1向心加速度加速度是描寫(xiě)物體的運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間變化快慢的物理量。物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它速度的大小和方向都是變化的，也就是說(shuō)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體有加速度。向心加速度是研究圓周運(yùn)動(dòng)最重要的知識(shí)點(diǎn)，它是指向曲率中心的并且同切線方向垂直，能夠表示圓周的運(yùn)動(dòng)速度方向變化快慢的量詞，由于它和速度方向垂直，所以它只能改變速度的方向，不會(huì)對(duì)速度的大小產(chǎn)生影響。向心加速度是很典型的加速度，很適合單獨(dú)研究，并能夠?qū)⑵浣Y(jié)果推廣至曲線運(yùn)動(dòng)的加速度研究中。由于勻速圓周運(yùn)動(dòng)速度的大小不變，所以我們對(duì)向心加速度的研究基本上都是通過(guò)勻速圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)進(jìn)行的，不僅物理現(xiàn)象清晰明了還特別容易觀察推導(dǎo)，計(jì)算方便只需要考慮法向加速度就行。由于本文是研究曲線運(yùn)動(dòng)的加速度，所以接下來(lái)將探討勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的幾種推導(dǎo)方法，進(jìn)行曲線運(yùn)動(dòng)加速度的研究。向心加速度不僅僅是研究曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的重點(diǎn)，也是物理教學(xué)中一直存在的難點(diǎn)，并且向心運(yùn)動(dòng)這部分知識(shí)不僅僅貫徹初中，高中乃至大學(xué)的物理學(xué)，在基本力學(xué)中占據(jù)重要地位，而且在研究天體運(yùn)動(dòng)描述一切宏觀物體運(yùn)動(dòng)時(shí)常常會(huì)涉及，而且在講述回旋加速器質(zhì)譜儀到現(xiàn)代物理學(xué)也會(huì)用到該物理知識(shí)方面。由于向心加速度研究時(shí)，向心加速度是僅由速度方向的改變而產(chǎn)生的雖然速度的大小不變，但是速度方向變化會(huì)引起速度改變，并且速度的改變量并不為零，因?yàn)樗俣仁鞘噶?，不但有大小，而且有方向。但是剛剛接觸矢量的學(xué)生往往難以想象為什么速度大小不變會(huì)有加速度的產(chǎn)生，只理解速度改變導(dǎo)致加速度改變。所以本文接下來(lái)將介紹幾種推導(dǎo)向心加速度公式的方法，從多個(gè)角度來(lái)加深學(xué)生對(duì)向心加速度概念的理解。2.2向心加速度的推導(dǎo)2.2.1利用位移合成推導(dǎo)如圖2-1，一個(gè)以速率v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在經(jīng)過(guò)一個(gè)極短的時(shí)間?t從A點(diǎn)移動(dòng)到了B點(diǎn)位置處，根據(jù)線速度公式可以得到AB如果當(dāng)時(shí)間?t無(wú)窮小時(shí)，那么路程AB幾乎與AB重合，則有AB圖2-1當(dāng)物體處在A點(diǎn)時(shí)，如果力的作用消失，那么物體將會(huì)沿著A點(diǎn)的切線方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在?t時(shí)間內(nèi)通過(guò)的位移為v?t。但是我們都知道物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是繞圓周運(yùn)動(dòng)在?t時(shí)間內(nèi)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)，這是因?yàn)槲矬w還受到了向心力的作用，更快速的離開(kāi)了切線，在向心力的作用下，物體在此方向上的位移為AF，同過(guò)A點(diǎn)的切線方向上的位移一起合起來(lái)，讓物體運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)。因?yàn)橛邢迺r(shí)間?t很小，我們可以將向心力近似的看成通過(guò)A點(diǎn)半徑方向。根據(jù)圖2-1所示，我們可以通過(guò)幾何方法來(lái)求出向心加速度公式，由于?ABC～?ABF，所以AF于是AF將公式（2-2）帶入該公式，并且知道AC=2R，所以得出AF式中v、R均是常量，這個(gè)公式表明位移AF同時(shí)間?t的平方成正比，該結(jié)果滿足勻加速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。根據(jù)初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式s=1a=根據(jù)本文第一部分內(nèi)容可知，該結(jié)論是正確的圓周運(yùn)動(dòng)的法向加速度，并且我們可以將這一結(jié)論推廣到一般曲線運(yùn)動(dòng)的法向加速度，可以用該幾何法進(jìn)行求解。2.2.2利用速度增量推導(dǎo)如圖2-2，一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在一定時(shí)間?t內(nèi)從A點(diǎn)移動(dòng)到了B點(diǎn)，這段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中因?yàn)橛邢迺r(shí)間?t非常小，可以看成是一個(gè)過(guò)點(diǎn)A的切線的方向速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)，和一個(gè)在AO方向v0為0圖2-2物體通過(guò)A點(diǎn)沿著切線方向的速度為v，物體在AO方向的v0=0，所以當(dāng)物體經(jīng)過(guò)很小的時(shí)間?t內(nèi)，物體雖然從A點(diǎn)到了B點(diǎn)，但物體的線速度仍然是v，但是物體運(yùn)動(dòng)的方向發(fā)生了改變，所以物體在v因此，物體在AO方向速度的增加量應(yīng)該是?v=此時(shí)該物體沿著切線的方向走過(guò)的距離，可以看成從點(diǎn)E到點(diǎn)B的距離，即EB所以可得?t=我們可以根據(jù)加速度的公式得到向心加速度的大小a=本方法是利用速度的增量來(lái)推導(dǎo)的，該法的重點(diǎn)是用加速度的定義式去得到結(jié)論，同樣得到了向心加速度的計(jì)算公式，也同樣可以推廣到一般曲線運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)。2.2.3利用速度位移公式如圖2-3，該圖表示一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，它的速率為v，物體在極短的時(shí)間?t內(nèi)從A移動(dòng)到了B，本方法與第二種類似，我們將運(yùn)動(dòng)過(guò)程看成為是一個(gè)過(guò)A點(diǎn)切線方向，并且速度是v的勻速直線運(yùn)動(dòng)，和一個(gè)在AO方向v0為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，同第二種方法不同的是AOv求得a=圖2-3我們可以從圖2-3看出AE因?yàn)橐阎獀所以a=當(dāng)?t→0時(shí)，有θ→0，就有sinθ→0，a=本方法是利用速度和位移的公式來(lái)求推導(dǎo)的，比上一種方法稍稍復(fù)雜了點(diǎn)，但是仍是一種簡(jiǎn)單的方法去推導(dǎo)向心加速度的計(jì)算公式。2.2.4利用矢量端軌跡推導(dǎo)如圖2-4，該圖為速度矢端的軌跡曲線，它表示一個(gè)圓形的路徑，我們可以在其上面畫(huà)出相等時(shí)間間隔里的一系列的速度的矢量，它們方向不同大小相同。我們可以從共同的原點(diǎn)o,畫(huà)出這些速度的矢量，我們可以使這些速度矢量端點(diǎn)在半徑為v，周長(zhǎng)為2πv的圓上繞一圈。我們可以發(fā)現(xiàn)速度的相繼變化?v都有著相同的長(zhǎng)度，但它們方向卻彼此不相同。圖2-4我們假設(shè)一個(gè)以半徑R作圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在一個(gè)周期以內(nèi)，繞行一周的距離是vT=2πR#根據(jù)這個(gè)思路，我們可以求得速度矢端把v作為半徑，如此繞圓一周，則有aT=2πv#因?yàn)閺墓剑?-19）可知T=所以可得a=本方法比起其它三種方法更加新穎有趣，運(yùn)用速度的矢量端軌跡相疊加得出了向心加速度的計(jì)算方法。2.2.5四種方法小結(jié)我們可以通過(guò)比較上面的四種方法得出，向心加速度的推導(dǎo)其實(shí)是很簡(jiǎn)單的，我們有許多方法來(lái)計(jì)算。通過(guò)四種方法的對(duì)比，我們能將其分為兩類，前面三種利用位移合成法推導(dǎo)、利用速度增量法推導(dǎo)和利用速度位移公式法推導(dǎo)實(shí)際可以概括成一類，它們都是從運(yùn)動(dòng)合成的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行展開(kāi)分析的。不同的是位移合成法在處理上更注重幾何學(xué)方法；速度增量法推導(dǎo)更注重加速度的定義式a=?v總之這四種方法都是非常常見(jiàn)且簡(jiǎn)單的向心加速度公式的推導(dǎo)，運(yùn)用數(shù)學(xué)物理知識(shí)，采用幾何法等方法去推導(dǎo)向心加速度公式無(wú)疑是非常便利的，當(dāng)然物理世界無(wú)窮無(wú)盡好用的辦法數(shù)不勝數(shù)并不僅僅局限于本文所列舉的幾種方法。有關(guān)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)也可以通過(guò)圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度公式推導(dǎo)得出其法向加速度的推導(dǎo)，唯一需要改變的就是將向心加速度公式的R改成曲線運(yùn)動(dòng)的曲率半徑ρ。曲率半徑是用于描述曲線上某處的曲線的曲率度的物理量。圓的半徑越大，曲率的程度就越小，并且它與直線的距離越近。所以，ρ越大，曲率越小，這個(gè)曲線也更借接近直線。曲率半徑也可以認(rèn)為是曲線截面最大程度地微分所得到的弧的半徑。3曲線運(yùn)動(dòng)加速度的數(shù)學(xué)推導(dǎo)曲線運(yùn)動(dòng)不僅是生活中十分常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)，同樣也是大學(xué)物理主要學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一。研究曲線運(yùn)動(dòng)就必不可少的要計(jì)算它的切向加速度和法向加速度，也就是對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的研究。雖然曲線運(yùn)動(dòng)的加速度在中學(xué)時(shí)期已經(jīng)進(jìn)行了研究，學(xué)生早就學(xué)習(xí)了曲線運(yùn)動(dòng)的概念定義，以及如何計(jì)算曲線運(yùn)動(dòng)的加速度，當(dāng)然中學(xué)時(shí)對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的涉及，大多是一般曲線運(yùn)動(dòng)，如圓周運(yùn)動(dòng)等，但是進(jìn)入大學(xué)以后，大學(xué)物理中仍然對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度進(jìn)行著研究，這時(shí)我們的研究就不僅限于運(yùn)用物理學(xué)知識(shí)，更多的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，畢竟自古以來(lái)數(shù)學(xué)物理不分家，當(dāng)我們掌握了更多的知識(shí)也就有著更好的研究問(wèn)題的方式。曲線運(yùn)動(dòng)加速度公式的推導(dǎo)一直都是物理學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，以往較常用的推導(dǎo)方法，主要是物理方法，因?yàn)檫\(yùn)用物理方法推導(dǎo)比較直觀形象，更容易學(xué)習(xí)掌握，但物理方法推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)果往往只是近似的，并不是準(zhǔn)確的結(jié)果，所以我們還需要有更好更合理的方法來(lái)推導(dǎo)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度，也就是用數(shù)學(xué)的方法對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度進(jìn)行推導(dǎo)。在許多力學(xué)教科書(shū)中，并沒(méi)有給出數(shù)學(xué)推導(dǎo)的辦法，而是為了方便學(xué)生的學(xué)習(xí)選擇用物理方法得到近似的結(jié)論，這種舉措有利也有弊，雖然學(xué)習(xí)起來(lái)簡(jiǎn)單了但是學(xué)生對(duì)于這個(gè)結(jié)論的準(zhǔn)確性的懷疑并不能打消。所以本文在這里給出了一種完全通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算的方法來(lái)直接導(dǎo)出計(jì)算結(jié)果，得到曲線運(yùn)動(dòng)加速度的公式，方便大家的學(xué)習(xí)并且使本文更加嚴(yán)謹(jǐn)。圖3-1如圖3-1所示，假設(shè)某一動(dòng)點(diǎn)M沿著曲線AMB進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。在該曲線上建立隨點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)系，其中en和eτ分別表示法向和切向的單位矢量。在某一時(shí)刻，M點(diǎn)處在圖3-1v再假設(shè)曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑為ρ，點(diǎn)o為曲率中心，并且在中心點(diǎn)o處建立直角坐標(biāo)系oxy（坐標(biāo)的位置并不影響計(jì)算結(jié)果，本文為了描述方便所以將坐標(biāo)中心設(shè)于o點(diǎn)）。由圖3-1可知，自然坐標(biāo)系en和eτ與直角坐標(biāo)系的i、jee將公式（3-1）對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，可以得到動(dòng)點(diǎn)M的加速度a然后再將公式(3-2)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)，得d可以注意到dsdt=v，以及dφds=dφ將公式（3-6）代入到公式（3-5）中，得d再將公式（3-7）代入到公式（3-4）中，我們可以得到a所以如上文所推導(dǎo)的，動(dòng)點(diǎn)M的切向加速度為a動(dòng)點(diǎn)M的法向加速度為a以上對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)，有效避開(kāi)了一般物理方法中比較抽象難懂的矢量極限關(guān)系以及含有近似的三角函數(shù)結(jié)論，所以這樣也就不用再附加物理矢量的圖形以及冗雜的文字問(wèn)題說(shuō)明。運(yùn)用純數(shù)學(xué)的方法對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度進(jìn)行推導(dǎo)，清晰明了，準(zhǔn)確嚴(yán)格，這是推導(dǎo)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的極為有效的方法。4對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的教學(xué)研究4.1基于高中物理對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度學(xué)習(xí)的思考本文已經(jīng)對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)進(jìn)行了詳盡的闡述，但是對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的研究并不僅僅局限于公式推導(dǎo)，更應(yīng)該涵蓋方方面面，尤其是教學(xué)方面的研究是我們應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)涉及的。就曲線運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)來(lái)講，它是高中物理學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，所以對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)加速度的研究也要放到高中的物理課堂上，這樣研究起來(lái)才更有意義。對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，力學(xué)不僅僅是一門(mén)關(guān)于運(yùn)動(dòng)的科學(xué)，它可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何運(yùn)用物理知識(shí)去描述自然界發(fā)生的運(yùn)動(dòng)，能夠用物理的視角來(lái)看待我們的生活，而曲線運(yùn)動(dòng)正是自然界最常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)，所以曲線運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)上十分重要的，我們必須打?qū)⑶€運(yùn)動(dòng)乃至整個(gè)物理學(xué)的學(xué)習(xí)放在心上。高中物理的學(xué)習(xí)需要我們有較強(qiáng)的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析能力，而曲線運(yùn)動(dòng)是一個(gè)包括了物體運(yùn)動(dòng)的方向和速度、運(yùn)動(dòng)的合成與分解、加速度、向心力等等一系列的內(nèi)容，這些知識(shí)都是我們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，尤其是曲線運(yùn)動(dòng)的加速度，學(xué)生往往分不清楚切向加速度和法向加速度的區(qū)別，以及如何推導(dǎo)出加速度的計(jì)算公式。所以在新課改背景下，如何更好的展開(kāi)曲線運(yùn)動(dòng)的教學(xué)是老師們必須思考的問(wèn)題。我國(guó)基礎(chǔ)教育的改革對(duì)教師課堂教學(xué)的質(zhì)量十分重視，尤其是學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和課堂的教育質(zhì)量。在改革的背景下，我國(guó)出現(xiàn)了一系列反傳統(tǒng)課堂的授課方式，比如先學(xué)后教的翻轉(zhuǎn)課堂、幕課等。但是如何更好地確定學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)，展開(kāi)更切實(shí)方便的教學(xué)活動(dòng)，給予學(xué)生更多幫助，給學(xué)生提出更多的建議和意見(jiàn)，都是需要老師們不斷研究探討的。就曲線運(yùn)動(dòng)加速度的教學(xué)研究來(lái)說(shuō)，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注重如下幾個(gè)方面：首先，應(yīng)該安排好曲線運(yùn)動(dòng)的教學(xué)結(jié)構(gòu)模式，比如在研究“物體做曲線運(yùn)動(dòng)的方向”這一環(huán)節(jié)中，對(duì)于應(yīng)該怎樣高效的證明曲線上某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樵擖c(diǎn)切線的方向，物理教材安排了以下幾個(gè)步驟來(lái)進(jìn)行證明：現(xiàn)象歸納整理、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、數(shù)理分析、概括以及最后的歸納總結(jié)。這樣的教學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)是有利的，通過(guò)合理的結(jié)構(gòu)安排循序進(jìn)漸的展開(kāi)學(xué)習(xí)活動(dòng)。其次，對(duì)教材的合理分析，物理教材的編寫(xiě)都是有科學(xué)依據(jù)的，每一個(gè)環(huán)節(jié)的安排都是必要存在的，所以教師在備課的時(shí)候應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)鉆研教材，對(duì)課本上安排的互動(dòng)游戲以及探究實(shí)驗(yàn)都要有所涉及。最后，應(yīng)該有科學(xué)嚴(yán)密的理論依據(jù)，物理的學(xué)習(xí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)，雖然我們對(duì)物理的學(xué)習(xí)都是從現(xiàn)象展開(kāi)的，但是數(shù)學(xué)的推導(dǎo)也是十分重要的，沒(méi)有嚴(yán)謹(jǐn)合理的推導(dǎo)，那物理結(jié)論就沒(méi)有科學(xué)的依據(jù)，所以對(duì)物理公式推導(dǎo)的研究也是很有必要的。4.2怎樣學(xué)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度4.2.1學(xué)習(xí)方法俗話說(shuō)得好授人以魚(yú)不如授人以漁，在物欲橫流科技飛速發(fā)展的現(xiàn)在，教給學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方式是比教給學(xué)生正確的知識(shí)更為重要的事情。時(shí)代的發(fā)展是飛速的，我們學(xué)習(xí)的知識(shí)并不是一成不變的，所以對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度學(xué)習(xí)也是要隨時(shí)代變化，不斷地改善我們學(xué)習(xí)的方法。第一，歸納法。歸納法是指從大量的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象去總結(jié)物理規(guī)律的常用的方法。比如我們?cè)谶M(jìn)行曲線運(yùn)動(dòng)加速度的學(xué)習(xí)時(shí)，可以先從生活中許多實(shí)例來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，比如為什么導(dǎo)彈和人造衛(wèi)星發(fā)射后都是作曲線運(yùn)動(dòng)？為什么鋼珠沿著桌面直線運(yùn)動(dòng)之后它會(huì)脫離桌面作斜拋運(yùn)動(dòng)？通過(guò)牛頓第一定律，我們可以得知這些作曲線運(yùn)動(dòng)的物體，它們受到的力和它們的速度并不在同一條直線上。因此可以得出物體作曲線運(yùn)動(dòng)的條件：力和速度不共線。第二，模型法。在學(xué)習(xí)過(guò)力的合成與分解后，對(duì)于受力比較復(fù)雜的物體求合力時(shí)，我們可以將物體受到得力先分解后合成，將力分解成具有獨(dú)立性的模型，這樣更方便求解。對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)我們可以將物體受到的力分解成與速度垂直和與速度共線兩個(gè)方向的力，當(dāng)分力和速度垂直時(shí)速度的方向改變，當(dāng)分力和速度共線時(shí)速度的大小改變。所以通過(guò)模型法，我們可以更好地研究曲線運(yùn)動(dòng)的加速度。第三，分析推理法。通過(guò)已經(jīng)掌握的知識(shí)對(duì)所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行物理分析，在學(xué)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了加速度的概念，由于速度和加速度都是矢量，所以加速度不僅可以使速度的大小發(fā)生改變，還可以使速度的方向發(fā)生改變。所以我們可以對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度進(jìn)行研究時(shí)，可以以勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體為例來(lái)進(jìn)行討論，通過(guò)研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的速度變化，分析推理得出向心加速度的特點(diǎn)。4.2.2重難點(diǎn)第一，曲線運(yùn)動(dòng)也有勻變速運(yùn)動(dòng)。曲線運(yùn)動(dòng)可以被分成兩個(gè)部分：非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)和勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。很多人受到之前學(xué)習(xí)過(guò)的勻速直線運(yùn)動(dòng)的影響，往往會(huì)產(chǎn)生誤解認(rèn)為只有直線運(yùn)動(dòng)才存在勻速運(yùn)動(dòng)。如果作曲線運(yùn)動(dòng)的物體它所受到的加速度不變，那么它就是勻變速運(yùn)動(dòng)，比如拋體運(yùn)動(dòng)。第二，對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)速度的分解。在研究曲線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)，我們通常會(huì)對(duì)它的速度進(jìn)行分解，雖然分解的方向是可以任意的。但是為了更好地研究曲線運(yùn)動(dòng)，我們通常會(huì)將速度根據(jù)實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果分解。比如一個(gè)平拋運(yùn)動(dòng)的小球我們可以將速度分解成沿小球運(yùn)動(dòng)的方向和垂直小球運(yùn)動(dòng)的方向。第三向心力并不一定就是合外力。物體圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的向心力實(shí)際只是一種效果力，它是物體所有力在半徑這條線上的合力，它可能只是一個(gè)力，也可能是多個(gè)力的合成，像變速圓周運(yùn)動(dòng)它的合外力就是向心力和切向力的合力?？傊€運(yùn)動(dòng)的加速度是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，要學(xué)好它一定要掌握好各個(gè)物理量的概念以及含義，并且要善于對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)，這樣學(xué)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)就不會(huì)那么難了。4.3以“向心加速度”為例模擬教學(xué)過(guò)程4.3.1模擬教學(xué)過(guò)程的意義對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的教學(xué)研究不僅僅需要理論方面的研究，也需要基于實(shí)際教學(xué)情境展開(kāi)的研究，所以本文對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的加速度設(shè)計(jì)了模擬教學(xué)過(guò)程，能夠運(yùn)用前文對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的教學(xué)研究以及公式推導(dǎo)。通過(guò)以“向心加速度”為例展開(kāi)的模擬教學(xué)，能夠更好的擴(kuò)展對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)加速度的教學(xué)研究。4.3.2新課導(dǎo)入經(jīng)過(guò)前面拋體運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)，我們了解到在實(shí)際生活中，物體如果做曲線運(yùn)動(dòng)那么它一定會(huì)受到外力的作用，比如以下兩個(gè)例子（通過(guò)課件展示）圖4-1地球公轉(zhuǎn)圖4-2小球繞圖釘轉(zhuǎn)動(dòng)提問(wèn)：圖中所示的地球以及小球它們分別都受到了什么樣的力的作用？它們加速度的大小和方向是怎樣的？帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)，回顧重難點(diǎn)和基本概念。提問(wèn)：什么是加速度？加速度的公式是什么？如果在直線運(yùn)動(dòng)中v0表示初速度，v表示末速度，那么速度的變化量為v?4.3.3新課教學(xué)4.3.3.1速度變化量從加速度的定義式a=vt可知，a的方向和引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，畫(huà)出物體加速和減速運(yùn)動(dòng)的矢量圖，并基于圖片展開(kāi)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生判斷?v是矢量還是標(biāo)量。得到結(jié)論：如果速度是增加的，那么速度的變化量和初速度方向相同，反之亦然?？梢詫⒁陨辖Y(jié)論延伸到曲線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體沿著曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，雖然初速度v1和末速度v2不在同一條直線上，但速度的變化量?v仍然可以用上面的方法求的。比如，如圖4-3，一個(gè)物體沿曲線從A向B運(yùn)動(dòng)，物體于點(diǎn)A和點(diǎn)B的速度為v1和v2，在這個(gè)過(guò)程中?v如圖4-4所示。圖4-3圖4-4我們可以這樣理解，在物體從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，它的速度得到增量?v，可以用矢量合成的方法來(lái)進(jìn)行研究，由圖4-4可以看出初速度和速度增量的矢量和為末速度。初步的得到這一結(jié)論后在通過(guò)課件展示不同曲線運(yùn)動(dòng)的速度矢量合成圖，使學(xué)生更好地理解?v。4.3.3.2向心加速度通過(guò)課件展示圓周運(yùn)動(dòng)的初末速度矢量圖，通過(guò)上一部分的學(xué)習(xí)學(xué)生已經(jīng)能很好的合成速度增量，所以這里可以讓學(xué)生分組討論，親自導(dǎo)出向心加速度的方向。再通過(guò)本節(jié)課的導(dǎo)入，“地球公轉(zhuǎn)”和“小球的轉(zhuǎn)動(dòng)”這類具體的運(yùn)動(dòng)加以區(qū)別，引導(dǎo)學(xué)生得出做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體加速度的特點(diǎn)。雖然已經(jīng)通過(guò)導(dǎo)入部分使學(xué)生知道勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度方向是指向圓心的，但是物體加速度的大小同什么因素有關(guān)還是未知的，所以要進(jìn)行加速度的推導(dǎo)。這里先讓學(xué)生按照課本提示自主推導(dǎo)，然后教師再進(jìn)行總結(jié)，推導(dǎo)過(guò)程如下所示。圖4-5如圖4-5所示，由于vv并且由于vOA所以?OAB近似于vA、vB和?v組成的三角形，以v代表vA和vB的大小，以?v將上式除以?t，可得?v若?t→0，用?v?t表示an的大小，這時(shí)AB所對(duì)應(yīng)的圓心角?l=rθ#將公式（4-7）帶入公式（4-6）可得?v因?yàn)橐阎猘利用v=ωr#可得a這種推導(dǎo)公式的辦法是利用前面所學(xué)的線速度和角速度的知識(shí)來(lái)進(jìn)行的，除此之外還有很多簡(jiǎn)便的辦法。為了讓學(xué)生對(duì)向心加速度的推導(dǎo)掌握得更好，再給學(xué)生補(bǔ)充其它向心加速度的推導(dǎo)方法：位移合成推導(dǎo)法、速度增量法、速度位移公式法來(lái)進(jìn)行補(bǔ)充，通過(guò)前面所學(xué)習(xí)過(guò)的公式來(lái)推導(dǎo)加速度，不僅讓學(xué)生復(fù)習(xí)了以前的知識(shí)，還對(duì)物理公式的運(yùn)用有了更好的理解。4.4.4小結(jié)本節(jié)課通過(guò)生活實(shí)例進(jìn)行情景導(dǎo)入，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了圓周運(yùn)動(dòng)，再通過(guò)復(fù)習(xí)向心力的相關(guān)知識(shí)使學(xué)生更好的進(jìn)行新內(nèi)