離散型隨機變量的方差高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機變量的方差復習回顧1、離散型隨機變量的數(shù)學期望數(shù)學期望是反映離散型隨機變量的平均水平.一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn.2、數(shù)學期望的性質E(aX+b)=aE(X)+b復習回顧3、樣本方差設在一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中,是它們的平均數(shù)，那么叫做這組數(shù)據(jù)的方差.4、均值的意義

隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.

因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小.

所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征.自主探究問題2、從兩名同學中挑選出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列為如何評價這兩名同學的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通過計算可得，E(X)=8，E(Y)=8.因為兩個均值相等，所以根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學的射擊水平.除平均中靶環(huán)數(shù)以外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.自主探究下圖分別是X和Y的概率分布圖.XP10987060.10.20.30.4YP10987060.10.20.30.4比較兩個圖形，哪一名同學的射擊成績更穩(wěn)定?乙同學的射擊成績更穩(wěn)定自主探究思考：怎樣定量刻畫隨機變量的離散程度？(1)樣本的離散程度是用哪個量刻畫的？(2)能否用一個與樣本方差類似的量來刻畫隨機變量的穩(wěn)定性呢？

樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的.Xx1x2???xnPp1p2???pn

設離散型隨機變量X的分布列如表所示.

考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2……(xn－E(X))2.因為X取每個值的概念不盡相同，所以我們用偏差平方關于取值概念的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度.概念講解離散型隨機變量方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xx1x2???xnPp1p2???pn為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱

為隨機變量X的標準差，記為σ(X).則稱D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+···+(xn－E(X))2pn概念講解D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+···+(xn－E(X))2pn方差：標準差：

隨機變量的方差和標準差都是反映離散型隨機變量偏離于均值的平均程度的量，它們的值越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.自主探究問題2、從兩名同學中挑選出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列為分別計算這兩名同學的方差和標準差，并用此評價他們的射擊水平.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03因為D(Y)<D(X)，所以隨機變量Y的取值相對更集中，即乙同學的射擊成績相對更穩(wěn)定.概念講解在方差計算中，利用下面的結論經(jīng)?？梢允褂嬎愫喕碊(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+···+(xn－E(X))2pn=x12p1+x22p2+···+xn2pn－(E(X))2=E(X2)－(E(X))2例題解析1、擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差.法一：解：拋擲散子所得點數(shù)X的分布列為X123456P例題解析1、擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差.法二：解：隨機變量X的分布列為拓展：隨堂練習1、已知隨機變量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求D(X)和σ(X).解：∵E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2∴D(X)=(0－2)2×0.1+(1－2)2×0.2+(2－2)2×0.4

+(3－2)2×0.2+(4－2)2×0.1=1.2例題解析2、投資A，B兩種股票，每股收益的分布列如下表所示收益X/元－102概率0.10.30.6股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風險較高?解：(1)股票A、B的投資收益的期望分別為E(X)=－1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1因為E(X)＞E(Y)，∴投資股票A的期望收益大.例題解析2、投資A，B兩種股票，每股收益的分布列如下表所示收益X/元－102概率0.10.30.6股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風險較高?解：(2)股票A、B的投資收益的方差分別為D(X)=(－1)2×0.1+02×0.3+22×0.6－1.12=1.29D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3－12=0.6因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)＞D(Y)，∴投資股票A比投資股票B的風險高.概念講解方差的意義：

隨機變量的方差是一個重要的數(shù)字特征，它刻畫了隨機變量的取值與其均值的偏離程度，或者說反映隨機變量取值的離散程度.在不同的實際問題背景中，方差可以有不同的解釋例如，如果隨機變量是某項技能的測試成績，那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性；如果隨機變量是加工某種產(chǎn)品的誤差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果隨機變量是風險投資的收益，那么方差的大小大小反映了投資風險的高低.隨堂練習2、有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2，2張標有數(shù)字5，從中隨機地抽取3張卡片，設3張卡片所標數(shù)字之和為X，求E(X)和D(X).解：隨機變量X的可能取值為6，9，12.則所以X的分布列為X6912P自主探究探究：離散型隨機變量X加上一個常數(shù)b，方差會有怎樣的變化？離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)，方差又會有怎樣的變化？它們和期望的性質有什么不同？

離散型隨機變量X加上一個常數(shù)b，其均值也相應加上常數(shù)b，故不改變與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)＝D(X).

而離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)a，其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即D(aX)＝a2D(X).概念講解離散型隨機變量方差的性質一般地，有下面的結論成立：D(aX+b)＝a2D(X)D(X)=E(X2)－[E(X)]2D(aX+b)＝a2D(X)隨堂練習3、已知

，且D(ξ)=13，則D(η)=_______117隨堂練習4、袋中有20個大小相同的球，其中標上0號的有10個，標上n號的有n個(其中n=1，2，3，4).現(xiàn)從袋中任取1個球，X表示所取球的標號.(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y=aX+b，E(Y)=1，D(Y)=11，試求a，b的值.解：(1)X的所有可能取值為0，1，2，3，4∴X的分布列為X01234P隨堂練習4、袋中有20個大小相同的球，其中標上0號的有10個，標上n號的有n個(其中n=1，2，3，4).現(xiàn)從袋中任取1個球，X表示所取球的標號.(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y=aX+b，E(Y)=1，D(Y)=11，試求a，b的值.解：(2)由(1)得E(X)=1.5，D(X)=2.75由E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X)得解得課堂小結1、離散型隨機變量取值的方差、標準差方差：D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2