小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)系列講座幾何綜合（含答案解析）

幾何綜合（一）

【內(nèi)容概述】

幾何圖形的設(shè)計(jì)與構(gòu)造.涉及比例與整數(shù)分解，需要添加輔助線(xiàn)、尋找規(guī)律或利用對(duì)稱(chēng)

性解的較為復(fù)雜的直線(xiàn)形和圓的周長(zhǎng)與面積計(jì)算問(wèn)題.

［典型問(wèn)題】

殿卷級(jí)數(shù)：****

北京市第四屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽?決賽第5題

1.今有9盆花要在平地上擺成9行，其中每盆花都有3行通過(guò),而且每行都通過(guò)3盆花.請(qǐng)

你給出一種設(shè)計(jì)方案，畫(huà)圖時(shí)用點(diǎn)表示花，用直線(xiàn)表示行.

【分析與解】如下圖所示，我們給出四種不同的排法.

跳）知級(jí)數(shù):

南京市第二屆“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽?決賽B卷第3題

2.已知如圖121,一個(gè)六邊形的6個(gè)內(nèi)角都是120°,其連續(xù)四邊的長(zhǎng)依次是1、9、9、

5厘米.求這個(gè)六邊形的周長(zhǎng).

圖12-1

【分析與解】如下圖所示，將六邊形的六條邊分別延長(zhǎng)，相交至三點(diǎn)，并將其標(biāo)上字母,

因?yàn)?BAF=120°,而么/IAF=180°ZBAF=60°.,

又NEFA=120°,而NIFA=180°ZEFA：60°,則

△IAF為等邊三角形.

同理ABCG、AEHD,均為等邊三角形.

在Z\IAF中，有IA=IF=AF=9（厘米），

在^BGC中，有BG=GC=BC=1（厘米）,

有IA+AB+BG=IG=9+9+l=19,即為大正三角形的邊長(zhǎng)，所以有IG=IH=GH=19（厘米）.

則EH=IHIFFE=19-9-5=5（厘米），在ZiEDH中，DH=EH=5（厘米），所以

CD=GHGCDH=1915=13（厘米）.

于是，原圖中六邊形的周長(zhǎng)為1+9+9+5+5+13=42（厘米）.

頓斯級(jí)蚯

3.圖122中共有16條線(xiàn)段，每?jī)蓷l相鄰的線(xiàn)段都是互相垂直的.為「計(jì)算出這個(gè)圖形

的周長(zhǎng)，最少要量出多少條線(xiàn)段的長(zhǎng)度？

圖12-2

【分析與解】如下圖所示，我們想像某只昆蟲(chóng)繞圖形爬行一周，回到原出發(fā)點(diǎn)，那么往右

的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程.于是只用量出往右的路程，往下的路

程，再將它們的和乘以2即為所求的周長(zhǎng).所以，最少的量出下列6段即可.

?**

業(yè)京市1988年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽?復(fù)賽第7題

4.將圖123中的三角形紙片沿虛線(xiàn)折疊得到圖124,其中的粗實(shí)線(xiàn)圖形面積與原三角形

面積之比為

2：3.已知圖124中3個(gè)畫(huà)陰影的三角形面積之和為1,那么重疊部分的面積為多少？

圖12-3圖12-4

【分析與解】設(shè)重疊部分的面積為x,則原三角形面積為l+2x,粗實(shí)線(xiàn)的面棚為1+x.因此

（l+2x）：（1+x）=3：2,解得x=l,即重疊部分面積為1.

第五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽?總決賽口試第20題

5.如圖125,涂陰影部分的小正六角星形面積是16平方厘米.問(wèn)：大正六角星形的面積

是多少平方厘米?

圖12-5

【分析與解】如下圖所示，在正六邊形ABCDEF中,〃與祖面積相等，12個(gè)屢組

成小正六角星形，那么由6個(gè)/雙12個(gè)盒組成的正六邊形的面積為

164-12X（12+6）=24（平方厘米）.

而通過(guò)下圖，我們知道，正六邊形ABCDEF可以分成6個(gè)小正三角形，并且它們面積相等,

且與六個(gè)角

的面積相等，所以大正六角星形的

積為244-6X12=48（平方厘米）.

級(jí)數(shù)：***

1996年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?“我愛(ài)數(shù)學(xué)”夏令營(yíng)第5題

6.如圖126所示，在三角形ABC中，DC=3BD,DE=EA.若三角形ABC的面積是1.則陰

影部分的面積是多少？

圖12-6

【分析與解】△ABC、△ADC同高，所以底的比等于面積比，那么有

&_DC_3_3

*3AAec_4*3MBe一了

13

而E為AD中點(diǎn)，所以無(wú)^=彳51雙=弓

2o

連接FD,ADFE>AFAE面積相等，設(shè)S“EA=M則?S.DE的面積也為x,SMBD=:SMBC=；

13

S^BDF=^AABD-S〉FEA~\FDE~2%，而S.DC=^FDE+M）EC=%+&.

133

SABDF=（7-2%）;（%+三）=1:3，解得x=77?

4d5o

333

所以，陰影部分面積為39石0+3“切=石+”=]

oJO/

殿頓級(jí)數(shù):****

理年第2屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題1986年第4屆美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

1991年上海市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(略有改動(dòng))

7.如圖127,P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，DE平行于AB,FG平行于BC,HI平行于CA,四邊形

AIPD的面積是12,四邊形PGCH的面積是15,四邊形BEPF的面積是20.那么三角形ABC

的面積是多少？

圖12-7

【分析與解】有平行四邊形AIPD與平行四邊形PGCH的面積比為IP與PH的比，即為12：

15=4：5.

同理有FP:PG=20:15=4:3,DP:PE=12:20=3:5.

如圖127(a),連接PC、HD,有APHC的面積為絲■ADPH與APHC同底PH,同高，所以

2

面積相等，即59耽=9，而ADPH與AEPH的高相等，所以底的比即為面積的比，有

51525

SM)PH''S^EPH~DP:PE=3:5,所以S怔PH=1乂S&DPH=—X——X——.

322

SM=^S^IP4

如圖127(b)所示，連接FH、BP,FPPH所5於=/10=8;

_PG_PG_3,9

如圖127(c)所示，連接FD、AP,SADPG^QADFP--^AQAPn--X6--

圖12-7(c)

925

DDF+SA/所+八開(kāi)四1-----------

SZA.XA/RtoC=SAlfrpLn)+SDFtLrr+S(^(jrnIXirrIXUvjr+5/XtLnr=12+20+15+8d--?---?=72.

跳)勵(lì)級(jí)數(shù)：***

1992年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?初賽A卷第5題

8.如圖128,長(zhǎng)方形的面積是小于100的整數(shù)，它的內(nèi)部有三個(gè)邊長(zhǎng)是整數(shù)的正方形,

①號(hào)正方形的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形長(zhǎng)的上，②號(hào)正方形的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形寬的」.那么，圖中陰影

128

部分的面積是多少？

圖12-8

【分析與解】有①號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為長(zhǎng)方形長(zhǎng)的工，則圖中未標(biāo)號(hào)的正方形的邊長(zhǎng)為長(zhǎng)

12

7

方形長(zhǎng)的一.

12

17

而②號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為寬的-，所以未標(biāo)號(hào)的正方形的邊長(zhǎng)為長(zhǎng)方形寬的一.

88

77

所以在長(zhǎng)方形中有：一長(zhǎng)=一寬，則長(zhǎng)：寬=12：8,不妨設(shè)長(zhǎng)的為12k,寬為8k,則

128

①號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為5k,又是整數(shù)，所以k為整數(shù)，有長(zhǎng)方形的面積為96左2,不大于100.所

以k只能為1,即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為12,寬為8.

于是，圖中①號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為5,②號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為1,則未標(biāo)號(hào)的正方形的邊長(zhǎng)為

7,所以剩余的陰影部分的面積為：

12x8-52-l2-72=21.

穎頹級(jí)數(shù):***

1慚年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?決賽A卷第I題

9.如圖129,三個(gè)一樣大小的正方形放在一個(gè)長(zhǎng)方形的盒內(nèi)，A和B是兩個(gè)正方形重疊

部分，C,D,E是空出的部分，這些部分都是長(zhǎng)方形，它們的面積比是A：B：C：D：E=l：2：

3：4：5.那么這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比是多少？

【分析與解】以下用E橫表示E部分橫向的長(zhǎng)度，E堅(jiān)豎表示E部分豎向的長(zhǎng)度，其他下

標(biāo)意義類(lèi)似.

有E橫:D橫=5：4,A橫：B橫=1：2.

而“橫+A橫=口橫+B橫，所以有E橫：D橫：A橫：B橫=5：4：1：2.

而A橫+B橫+C橫=石橫+A橫對(duì)應(yīng)為5+1=6,那么C橫對(duì)應(yīng)為3.

而A面積：B面積：C面積=1：2：3,所以A堅(jiān)=：8堅(jiān)=(2堅(jiān).

有A堅(jiān)+C堅(jiān)豎對(duì)應(yīng)為6,所以A堅(jiān)=(2堅(jiān)對(duì)應(yīng)為3.

那么長(zhǎng)方形的豎邊為6+C堅(jiān)對(duì)應(yīng)為9,長(zhǎng)方形橫邊為

E橫+6+D橫對(duì)應(yīng)為5+6+4=15.

所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比為15：9=5：3.

賴(lài)領(lǐng)級(jí)數(shù)：****

1995年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?“我愛(ài)數(shù)學(xué)”夏令營(yíng)第9題

10.如圖1210,紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個(gè)正方形盒內(nèi)，它們之

間互相疊合.已知露在外面的部分中，紅色的面積是20,黃色的面積是

14,綠色的面積是10.那么，正方形盒子的底面積是多少？

圖12-10

【分析與解】如下圖所示，我們將黃色的正方形紙片向左推向紙盒的過(guò)緣，有露在外面的

部分，黃色減少的面積等于綠色增加的面積，也就是說(shuō)黃色、綠色部分露在外面部分的面積

和不變.

并且有變化后，黃色露出面積+紅色部分面積，綠色露出面積+紅色部分面積，都是小正

方形紙片邊長(zhǎng)乘以大正方形盒子邊長(zhǎng)的積.

所以，黃色露出面積+紅色部分面積=綠色露出面積+紅色部分面積，于是.黃色露出面

積=綠色露出面積，而它們的和為14+10=24,即黃色露出面積=綠色露出面積=12.

有黃：空白=紅：綠，12：空白=20：12,解得空白=7.2,所以整個(gè)正方形紙盒的底面積

為12+7.2+20+12=51.2.

皴（@級(jí)數(shù)：****

1989年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?決賽第13題

11.如圖1211,在長(zhǎng)260厘米，寬150厘米的臺(tái)球桌上，有6個(gè)球袋A,B,C,D,E,

F,其中AB=EF=130厘米.現(xiàn)在從4處沿45°方向打出一球，碰到桌邊后又沿45°方向彈出，

當(dāng)再碰到桌邊時(shí)，仍沿45°方向彈出，如此繼續(xù)下去.假如球可以一直運(yùn)動(dòng)，直至落入某

個(gè)球袋中為止，那么它將落入哪個(gè)袋中？

圖12-11

【分析與解】將每個(gè)點(diǎn)的位置用一組數(shù)來(lái)表示，前一個(gè)數(shù)是這個(gè)點(diǎn)到FA的距離，后一個(gè)

數(shù)是點(diǎn)到FD的距離，于是A的位置為(0,150),球經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)為：

(0,150)-(150,0)—(260,110)-(220,150)-(70,0)-(0,70)-(80,150)一

(230,0)—(260,30)-(140,150)-(0,10)-(10,0)—(160,150)-(260,50)

一(210,0)-(60,150)-(0,90)-(90,0)—(240,150)-(260,130)-(130,0).

因此，該球最后落入E袋.

例頓級(jí)數(shù)：*****

力互演“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽?決賽一試第5題

12.長(zhǎng)方形ABCD是一個(gè)彈子盤(pán)，四角有洞.彈子從A出發(fā)，路線(xiàn)與邊成45度角，撞到

邊界即反彈，并一直按此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，直到落人一個(gè)洞內(nèi)為止.如圖1212.當(dāng)AB=4,AD=3時(shí),

彈子最后落入B洞.問(wèn)：若AB=1995,AD=1994時(shí)，彈子最后落入哪個(gè)洞?在落入洞之前，撞

擊BC邊多少次?

圖12-12

【分析與解】撞擊AD邊的點(diǎn)，每次由A向D移動(dòng)2；撞擊BC邊的點(diǎn)，每次由C向B移動(dòng)2.

因?yàn)榈谝淮巫矒鬊C邊的點(diǎn)距C點(diǎn)1,第一次撞擊AB邊的點(diǎn)距A點(diǎn)為2,19944-2=997.

所以最后落人D洞，在此之前撞擊BC邊997次.

既勵(lì)級(jí)數(shù)：**

13.10個(gè)一樣大的圓擺成如圖1213所示的形狀.過(guò)圖中所示兩個(gè)圓心

A,B作直線(xiàn)，那么直線(xiàn)右上方圓內(nèi)圖形面積總和與直線(xiàn)左下圓內(nèi)圖形面積總和的比是多少?

【分析與解】直線(xiàn)AB的右上方的有2個(gè)完整的圓,2個(gè)半圓，1個(gè)'個(gè)I）而1個(gè)'

個(gè)〈0正好組成一個(gè)完整的圓，即共有4個(gè)完整的圓.

那么直線(xiàn)AB的左下方有104=6個(gè)完整的圓，每個(gè)圓的面積相等，所以直線(xiàn)右上方圓內(nèi)

圖形面積總和與直線(xiàn)左下圓內(nèi)圖形面積總和的比是4：6=2：3.

跳噬級(jí)數(shù):<**

1994年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克.初賽民族卷第11題

14.在圖1214中，一個(gè)圓的圓心是0,半徑r=9厘米，N1=N2=15°.那么陰影部分的

面積是多少平方厘米？（方取3.14）

A

圖12-14

【分析與解】有A0=0B,所以AAOB為等腰三角形，AO=OC,所以AAOC為等腰三角形.

ZABO=Z1=15°,ZA0B=180°Z1ZABO=15O°.

ZAC0=Z2=15°,ZA0C=180°Z2ZAC0=150°.

所以ZB0C=360°ZA0BZA0C=60°,所以扇形BOC的面積為x〃p42.39（平方厘

360

米）.

?@級(jí)數(shù):***

1994年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克.初賽民族卷第I］題

15.圖1215是由正方形和半圓形組成的圖形.其中P點(diǎn)為半圓周的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為正方

形一邊的中點(diǎn).已知正方形的邊長(zhǎng)為10,那么陰影部分的面積是多少？（萬(wàn)取3.14）

圖12-15

【分析與解】過(guò)P做AD平行線(xiàn)，交AB于。點(diǎn)，P為半圓周的中點(diǎn)，所以0為AB中點(diǎn).

2

有SzAABDVC?JDL*=10X10=100-,|ysS|半閶DPC=（—）x^-.x—=12.5^-.

梯形

SAAOP=5X（10+^）X|=37.5,S0Pfl0+^+5x5x|=50.

陰影部分面積為

SABCD+S半圓DPC-S^AOP—S梯形OPQB=100+12.5—37.5—50=12.5+12.5%”51.75.

幾何綜合（二）

內(nèi)容概述

勾股定理，多邊形的內(nèi)角和，兩直線(xiàn)平行的判別準(zhǔn)則，由平行線(xiàn)形成的相似三角形中對(duì)

應(yīng)線(xiàn)段和面積所滿(mǎn)足的比例關(guān)系.與上述知識(shí)相關(guān)的幾何計(jì)算問(wèn)題.各種具有相當(dāng)難度的幾

何綜合題.

典型問(wèn)題

2.如圖302,已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10厘米，那

么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米?

圖30-2

【分析與解】方法一：因?yàn)镃EFG的邊長(zhǎng)題中未給出，顯然陰影部分的面積與其有

關(guān).設(shè)正方形CEFG的邊長(zhǎng)為x,有：

[110x-x2

S正方形ABC?=10X10=100,S正方形CEFG=X2,S^DGF=-DGXGF=-（10-x）x=,

2

11inx+x

X^D=-xlOx10=50,^=-(10+x)x=^—.

陰影部分的面積為：

S正方形ABC。+S正方形CEFG+SADGF

10x-x210x+x2

=100+x2+—50---------=--5--0-（平方厘米）.

22

方法二:連接FC,有FC平行與DB,則四邊形BCFD為梯形.

有△DFB、ADBC共底DB,等高，所以這兩個(gè)三角形的面積相等，顯然，4DBC的面積

-xl0xl0=50（平方厘米）.

2

陰影部分4DFB的面積為50平方厘米.

,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI等于多少度?

圖30-4

【分析與解】為了方便所述，如下圖所示，標(biāo)上數(shù)字，

有NI=18O°(N1+N2),而Nl=180°N3,Z2=180°Z4,有NI=N3+N4180°

同理,ZH=Z4+Z5180°,ZG=Z5+Z6180°,ZF=Z6+Z7180°,ZE=Z7+Z8180°,

ZD=Z8+Z9180°,ZC=Z9+Z10180°,ZB=Z10+Z11180°1ZA=Z11+Z318O°

則/A+NB+/C+ND+NE+NF+/G+/H+NF2X(Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+

Zll)9X180°

而/3+/4+/5+N6+N7+N8+/9+N10+N11正是9邊形的內(nèi)角和為(92)X180°=1260°.

所以NA+NB+NC+/D+/E+/F+NG+/H+/I=2X1260°9X180°=900tl

6.長(zhǎng)邊和短邊的比例是2：1的長(zhǎng)方形稱(chēng)為基本長(zhǎng)方形.考慮用短邊互不相1的5個(gè)基本長(zhǎng)

方形拼接成一個(gè)更大的長(zhǎng)方形.例如，短邊長(zhǎng)分別是1，2,5,6,12的基本長(zhǎng)方形能拼接

成大長(zhǎng)方形，具體案如圖306所示.請(qǐng)給出這5個(gè)基本長(zhǎng)方形所有可能的選擇方式.設(shè)

ai=l〈a2〈a3<a4<a5分別為5條短邊的長(zhǎng)度,則我們將這種選擇方式記為⑸,呢a3,a4,aj,這里無(wú)

需考慮5個(gè)基本長(zhǎng)方形的拼圖方案是否惟一.

1|2

6

512

圖30-6

【分析與解】我們以幾個(gè)不同的基本長(zhǎng)方形作為分類(lèi)依據(jù)，并按邊長(zhǎng)遞增的方式一一

列出.

第一類(lèi)情況:為特征的有7組:

第5#情況

第4種情況

第3種情況112

4.5

2.5

14

第7種情況

第二類(lèi)情況：以為特征的有6組:

第11種情況

第種情況

第8種情況10

第9種情況

第三類(lèi)情況有如下三組:

第14種情況第15種情況

共有16組解，它們是:

(1,2,2.5,5,7.25),(1,2,2.5,5,14.5).

(1,2,2.25,2.5,3.625),(1,2,2.25,2.5,7.25).

(1,2,5,5.5,6),(1,2,5,6,11),

(1,2,2.5,4.5,7),(1,2,2,5,4.5,14),

(1,2,5,12,14.5),(1,2,5,12,29),

(1,2,2.25,2.5,4.5),(1,2,5,6,12).

l,y,2,y,y1(1,2,2.4,4.8,5),

13102514)781310^

H亍司.

8.如圖308,ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E,F分別為邊AB,BC的中點(diǎn).則圖

形中陰影部分的面積為多少平方厘米？

圖30-8

【分析與解】如下圖所示，連接EC,并在某些點(diǎn)處標(biāo)上字母,

AD

H

B

因?yàn)锳E平行于DC,所以四邊形AECD為梯形，有AE:DC=1:2,所以S^EG：SADCG=1：4,

SAAG￡>XS^ECG=&AEGX^ADCG,且有'\AGD=\ECG，所以^AAEG-AADG=1：2，而這兩個(gè)

三角形高相同，面積比為底的比，即EG：GD=1:2,同理FH：HD=1:2.

==XXABCD=

有^AAEDSAAEG+^AAGD，而MED（平方厘米）

有EG:GD-S^EG：5AAGB,

12

所以SAASG=6（平方厘米）SMGD=12（平方厘米）

同理可得5必4=6（平方厘米），Sgs=12（平方厘

米），SSCG=4sA=4x6=24（平方厘米）

又SAGHD=SgcG-SgcH=2412=12（平方厘米）

所以原題平行四邊形中空白部分的面積為6+6+12=24（平方厘米），所以剩下的陰影部分

面積為7224=48（平方厘米）.

10.圖3010是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米.問(wèn)：陰影部分的面積是多少平方

厘米？

K-10->|<-103

圖30-10

【分析與解】如下圖所示，為了方便所敘，將某些點(diǎn)標(biāo)上字母，并連接BG.

AB

設(shè)4AEG的面積為x,顯然AEBG、△BFG、AFCG的面積均為x,則4ABF的面積為3x,

SAABF=