2023北京一六六中高一3月月考數(shù)學(xué)試題及答案

高中PAGE1高中2023北京一六六中高一3月月考數(shù)學(xué)一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．sin210°＝（）A． B． C． D．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，＝（）A． B． C． D．3．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，則BC＝（）A． B． C．2 D．4．把函數(shù)y＝sinx（x∈R）的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（）A．，x∈R B．，x∈R C．，x∈R D．，x∈R5．若動(dòng)直線x＝a與函數(shù)f（x）＝sinx和g（x）＝cosx的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為（）A．1 B． C． D．26．若||＝1，||＝2，＝+，且⊥，則向量與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則f（π）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓O交于點(diǎn)P，PM⊥x軸，垂足為M．若△OMP的面積為，則sin2α＝（）A． B． C． D．9．在△ABC中，“對于任意t≠1，”是“△ABC為直角三角形”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知向量，，滿足，，，，則的最大值是（）A． B． C． D．二.填空題（本大題共5小題，每小題6分）11．已知sinα＝，＜α＜π，則cos（α﹣）＝．12．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝5：7：8，則∠B的大小是．13．已知函數(shù)f（x）＝sinx﹣cosx，則＝；若將f（x）的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度得到g（x）的圖象，則g（x）的一個(gè)對稱中心為．14．在菱形ABCD中，若，則的值為．15．已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在區(qū)間上有最小值，無最大值，則ω＝．三.解答題（本大題共4小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．如圖，在△ABC中，＝，＝．設(shè)＝，＝．（Ⅰ）用，表示，；（Ⅱ）若P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且＝+．求證：M，P，N三點(diǎn)共線．17．已知函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的最大值和最小值．18．在△ABC中，asinC＝ccosA，c＝2．（1）求∠A；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上高線的長．條件①：sinC＝；條件②：b＝1+；條件③：a＝．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．設(shè)有限集合E＝{1，2，3，?，N}，對于集合A?E，A＝{x1，x2，x3，?，xm}，給出兩個(gè)性質(zhì)：①對于集合A中任意一個(gè)元素xk，當(dāng)xk≠1時(shí)，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，則稱A為E的封閉子集；②對于集合A中任意兩個(gè)元素xi，xj（i≠j），都有xi+xj?A，則稱A為E的開放子集．（Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判斷集合A，B為E的封閉子集還是開放子集；（直接寫出結(jié)論）（Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A為E的封閉子集，求m的最小值；（Ⅲ）若N∈N*，且N為奇數(shù)，集合A為E的開放子集，求m的最大值．

參考答案一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．【答案】A【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡所給的式子，可得結(jié)果．【解答】解：sin210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin30°＝﹣，故選：A．2．【答案】B【分析】直接由向量減法的三角形法則求解．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，＝．故選：B．3．【答案】A【分析】結(jié)合已知條件，直接利用正弦定理作答．【解答】解：∵AB＝，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：，∴．故選：A．4．【答案】C【分析】根據(jù)左加右減的性質(zhì)先左右平移，再進(jìn)行ω伸縮變換即可得到答案．【解答】解：由y＝sinx的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位得到y(tǒng)＝sin（x+），再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的得到y(tǒng)＝sin（2x+）故選：C．5．【答案】B【分析】可令F（x）＝|sinx﹣cosx|求其最大值即可．【解答】解：由題意知：f（x）＝sinx、g（x）＝cosx令F（x）＝|sinx﹣cosx|＝|sin（x﹣）|當(dāng)x﹣＝+kπ，x＝+kπ，即當(dāng)a＝+kπ時(shí)，函數(shù)F（x）取到最大值故選：B．6．【答案】C【分析】要求兩個(gè)向量的夾角，需要知道兩個(gè)向量的模和夾角，而夾角是要求的結(jié)論，所以根據(jù)兩個(gè)向量垂直，數(shù)量積為零，把式子變化出現(xiàn)只含向量夾角余弦的方程，解出夾角的余弦值，根據(jù)角的范圍，得到結(jié)果．【解答】解：若，設(shè)向量與的夾角為θ∵，∴，則∴故選：C．7．【答案】A【分析】由已知函數(shù)圖象求得T，進(jìn)一步得到ω，再由五點(diǎn)作圖的第二點(diǎn)求得φ，則函數(shù)解析式可求，從而可得f（π）．【解答】解：由圖可知，＝﹣（﹣）＝，則T＝π，∴ω＝2．又2×+φ＝，∴φ＝﹣．則f（x）＝2sin（2x﹣），∴f（π）＝2sin（2π﹣）＝2sin（﹣）＝﹣．故選：A．8．【答案】D【分析】由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的正弦公式，求得sin2α＝2sinα?cosα的值．【解答】解：平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓O交于點(diǎn)P，PM⊥x軸，垂足為M．若△OMP的面積為，則sinα?cosα＝，sin2α＝2sinα?cosα＝，故選：D．9．【答案】A【分析】兩邊平方后整理成關(guān)于t的一元二次不等式恒成立，利用判別式小于等于0，以及正弦定理可得充分性成立；由△ABC為直角三角形，不一定得出|﹣t|＞||成立，即必要性不成立．【解答】解：△ABC中，對于任意t≠1，|﹣t|＞||，所以＞，即a2t2﹣2actcosB+c2﹣b2＞0，t＝1時(shí)不等式a2t2﹣2actcosB+c2﹣b2＝0，所以Δ＝（2accosB）2﹣4a2（c2﹣b2）≤0，化簡得cos2B≤1﹣，即sin2B≥，解得sinB≥，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理可得sinB＝≥，即c≥2R，所以sinC＝≥1，又因?yàn)閟inC≤1，所以sinC＝1，得出C＝，充分性成立；若△ABC為直角三角形，則不一定C＝，所以|﹣t|＞||不一定成立，即必要性不成立；是充分不必要條件．故選：A．10．【答案】C【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合平面向量的模的運(yùn)算求解即可．【解答】解：已知向量，，滿足，，，則＝1，＝，又，則，即＝，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時(shí)取等號，即，即，即的最大值是，故選：C．二.填空題（本大題共5小題，每小題6分）11．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由已知求得cosα，然后展開兩角差的余弦求得cos（α﹣）．【解答】解：由sinα＝，＜α＜π，得cosα＝﹣．∴cos（α﹣）＝cosαcos+sinαsin＝．故答案為：．12．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)sinA：sinB：sinC＝5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而設(shè)a＝5k，b＝7k，c＝8k，代入余弦定理中求得cosB的值，進(jìn)而求得B．【解答】解：sinA：sinB：sinC＝5：7：8∴a：b：c＝5：7：8設(shè)a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可得cosB＝＝；∴∠B＝．故答案為．13．【答案】1；（0，0），答案不唯一．【分析】由題意，利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣），∴＝2sin＝1．將f（x）的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度得到g（x）＝2sinx的圖象，令x＝kπ，k∈Z，可得則g（x）的對稱中心為（kπ，0），k∈Z，則g（x）的一個(gè)對稱中心為（0，0），故答案為：1；（0，0），答案不唯一．14．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分，利用平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．【解答】解：菱形ABCD中，，則＝?＝||×||×cos∠CBD＝||×||＝×＝．故答案為：．15．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)f（）＝f（），且f（x）在區(qū)間上有最小值，無最大值，確定最小值時(shí)的x值，然后確定ω的表達(dá)式，進(jìn)而推出ω的值．【解答】解：如圖所示，∵f（x）＝sin，且f（）＝f（），又f（x）在區(qū)間內(nèi)只有最小值、無最大值，∴f（x）在處取得最小值．∴ω+＝2kπ﹣（k∈Z）．∴ω＝8k﹣（k∈Z）．∵ω＞0，∴當(dāng)k＝1時(shí)，ω＝8﹣＝；當(dāng)k＝2時(shí)，ω＝16﹣＝，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)已存在最大值．故ω＝．故答案為：三.解答題（本大題共4小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．【答案】（Ⅰ）＝，＝；（Ⅱ）詳見解答過程．【分析】（I）由已知結(jié)合向量的線性表示即可求解；（Ⅱ）由已知只要證明與共線，結(jié)合向量的線性表示及向量共線定理即可證明．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，＝，＝．設(shè)＝，＝．＝＝；＝＝﹣＝+＝；證明：（Ⅱ）因?yàn)镻為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且＝+．則＝＝﹣+＝＝，所以與共線且有公共點(diǎn)M，所以M，P，N三點(diǎn)共線．17．【答案】（1）π；（2）最大值為2，最小值為．【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，結(jié)合公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)f（x）的最值．【解答】解：（1）＝＝，則，所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π；（2）因?yàn)?，所以，而函?shù)y＝sinx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2，當(dāng)＝，即x＝0時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以當(dāng)x＝0時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值為．故函數(shù)f（x）取得最大值為2，函數(shù)f（x）取得最小值為．18．【答案】（1）；（2）選①：不滿足題意；選②：；選③：不符合題意．【分析】（1）由正弦定理可得，從而，進(jìn)而可求解A；（2）選①：由正弦定理得，求得，從而確定三角形不存在；選②：由余弦定理求得，再利用等面積法可求解BC邊上高線的長；選③：由正弦定理可求得，進(jìn)而求得或，不滿足題意．【解答】解：（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，又sinC≠0，所以，即，因?yàn)锳∈（0，π），所以；（2）若選條件①：，由正弦定理知，可得，故滿足所選條件的三角形不存在，不滿足題意；若選條件②：，由余弦定理可得，，即，所以滿足條件的三角形唯一，設(shè)BC邊上的高為h，由等面積法可知，即，解得，故BC邊上高線的長為；若選條件③：，由正弦定理可得，即，所以，可得或，有兩解，不符合題意．綜上，應(yīng)該選②，BC邊上高線的長為．19．【答案】（Ⅰ）A為E的封閉子集，B是E的開放子集．（Ⅱ）9．（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）利用封閉子集，開放子集定義可得答案；（Ⅱ）A＝{1，x2，x3，???，xm﹣1，100}，設(shè)1＜x2＜x3＜???＜xm﹣1＜100，因集合A中任意一個(gè)元素xk，當(dāng)xk≠1時(shí)，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，則xn﹣1+1≤xn≤2xn﹣1，其中2≤n≤m，n∈N*，據(jù)此可得7≤x7≤64＜100，得m＞7，后排除m＝8，再說明m＝9符合題意即可；（Ⅲ）因?yàn)镹∈N*，且N為奇數(shù)，當(dāng)N＝1時(shí)，得m＝1，當(dāng)N≥3，將E＝{1，2，3，???，N}里面的奇數(shù)組成集合A，說明集合A為E開放子集，且m＝為最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）對于A，∵2＝1+1，4＝2+2，6＝2+4，8＝2+6，10＝2+8，且A?E，則A為E的封閉子集．對于B，由題可得B＝{4，7，10，13，16，19}，其中任意兩個(gè)元素相加之和都不在集合B中，任意元素也不是其他兩元素之和，且B?E，∴B是E的開放子集．（Ⅱ）由題意，A＝{1，x2，x3，???，xm﹣1，100}，設(shè)1＜x2＜x3＜???＜xm﹣1＜100，∵集合A中任意一個(gè)元素中任意一個(gè)元素xk，當(dāng)xk≠1時(shí)，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，則xn﹣1+1≤xn≤2xn﹣1，其中n∈[2，m]，n，xn∈N*，得x2＝2，3≤x3≤4，4≤x4≤8，5≤x5≤16，6≤x6≤32，7≤x7≤64，∵7≤x7≤64＜100，則m＞7，若m＝8，則x8＝100，則在A中存在元素xi，xj（i≤j），使它們的和為100，又1＜x2＜x3＜???＜xm﹣1＜100，則當(dāng)i＜j時(shí)，xi+xj≤x6+x7≤96＜100，得x8＝2x7，解得x7＝50，∴在A中存在元素xi，xj（i≤j），使它們的和為50，又當(dāng)i＜j時(shí)，xi+xj≤x4+x5≤24＜25，∴不存在元素xi，xj（i≤j），使x6＝xi+xj，這與集合A為E的封閉子集矛盾，故m≠8，當(dāng)m＝9，取A＝{1，2，4，8，16，32，64