高中數(shù)學(xué)單元設(shè)計(jì)71

第七章復(fù)數(shù)

7.1復(fù)數(shù)的概念

7.1.1數(shù)系的獷充和復(fù)數(shù)的概念

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過(guò)程與方法，復(fù)數(shù)的概念.

2.內(nèi)容解析

復(fù)數(shù)的引入是數(shù)系的又一次擴(kuò)充，也是中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充，通過(guò)

復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生對(duì)數(shù)的概念有一個(gè)更加完整的認(rèn)識(shí).復(fù)數(shù)與平面向量、

平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).復(fù)數(shù)

在力學(xué)、電學(xué)及其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用.

在數(shù)學(xué)中，數(shù)系的擴(kuò)充必須遵循有關(guān)的"規(guī)則"，即擴(kuò)充后的數(shù)系中規(guī)定的

加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算，與原數(shù)系中的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且加法和

乘法都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律.從實(shí)數(shù)系向復(fù)數(shù)系擴(kuò)充,

同樣要符合這樣的規(guī)則.復(fù)數(shù)概念的引入，從實(shí)系數(shù)一元二次方程當(dāng)判別式小于

0時(shí)沒(méi)有實(shí)數(shù)根出發(fā)，回顧從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系、特別是有理數(shù)系擴(kuò)充

到實(shí)數(shù)系的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)數(shù)系擴(kuò)充中體現(xiàn)出的"規(guī)則"；進(jìn)而在"規(guī)則”的引導(dǎo)下，

考慮為使方程1+1=0有解，引入新數(shù)i,從而可以像實(shí)數(shù)一樣進(jìn)行加法、乘法

運(yùn)算并保持運(yùn)算律的角度，將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集.這一過(guò)程，通過(guò)數(shù)系擴(kuò)充"規(guī)

則”的歸納，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)實(shí)數(shù)系向復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，讓學(xué)生體

會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，并感受人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充

中的作用.

復(fù)數(shù)的概念是整個(gè)復(fù)數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ).復(fù)數(shù)的有關(guān)概念都是圍繞復(fù)數(shù)的代數(shù)表

示形式展開(kāi)的，虛數(shù)單位、實(shí)部、虛部的命名，復(fù)數(shù)相等的含義，以及虛數(shù)、純

虛數(shù)等概念的提出，都是在促進(jìn)對(duì)復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)的理解，即復(fù)數(shù)a+bi實(shí)質(zhì)上是有序

實(shí)數(shù)對(duì)(a,b).通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)的揭示，為后續(xù)復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

以及復(fù)數(shù)的三角表示的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.因此，復(fù)數(shù)的概念，對(duì)本章具有奠基性的作

用.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過(guò)程與方

法，復(fù)數(shù)的概念.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

(1)了解引入復(fù)數(shù)的必要性；

(2)了解數(shù)系擴(kuò)充的一般"規(guī)則"，了解從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過(guò)程，

感受數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中人類理性思維的作用，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)；

(3)理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，理解復(fù)數(shù)相等的含義.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：能夠通過(guò)方程的解，感受引入復(fù)數(shù)的必要性，體

會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的作

用.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生能夠從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過(guò)程中，

歸納出數(shù)系擴(kuò)充的一般"規(guī)則"，體會(huì)擴(kuò)充的合理性及人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充

中的作用.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：學(xué)生能說(shuō)明虛數(shù)i的由來(lái)，能夠明晰復(fù)數(shù)代數(shù)表

示式的基本結(jié)構(gòu)，會(huì)對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，會(huì)用Venn圖表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)

集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系；知道兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義，能利用復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)相

等的含義解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，在義務(wù)教育階段已經(jīng)經(jīng)歷了從自然數(shù)到實(shí)數(shù)的

擴(kuò)充過(guò)程，對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充有了一定的認(rèn)識(shí)，知道數(shù)系擴(kuò)充后，新的數(shù)系能夠解決

在原有數(shù)系中無(wú)法解決的一些解方程問(wèn)題（如引入無(wú)理數(shù)，把有理數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)

數(shù)系后，可以解決方程1-2=°的解這樣的問(wèn)題等），因此當(dāng)遇到像1-1=°這

樣的方程的解的問(wèn)題時(shí)，通過(guò)引導(dǎo)啟發(fā)，學(xué)生能夠聯(lián)想到對(duì)現(xiàn)有的實(shí)數(shù)系進(jìn)行進(jìn)

一步擴(kuò)充，從而使1+1=°方程有解.學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，也已多次利用過(guò)類

比的方法來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，這為本節(jié)課類比有理數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過(guò)程和方法,

將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系提供了可能.

學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)可能出現(xiàn)的障礙為：

(1)因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中沒(méi)有任何事物支持虛數(shù)，學(xué)生可能會(huì)懷疑引入復(fù)數(shù)的

必要性，在教學(xué)中，如果單純地講解或介紹復(fù)數(shù)的概念會(huì)顯得枯燥無(wú)味，學(xué)生不易

接受.

(2)由于知識(shí)儲(chǔ)備和認(rèn)知能力的限制，學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則并不熟

悉，對(duì)虛數(shù)單位的弓I入，以及虛數(shù)單位和實(shí)數(shù)進(jìn)行形式化運(yùn)算的理解會(huì)出現(xiàn)一定

困難.

(3)學(xué)生以前學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)都是單純的一個(gè)數(shù)，而復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是兩項(xiàng)和

的形式，學(xué)生比較陌生，因此理解上會(huì)存在一定困難.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是復(fù)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程的數(shù)學(xué)基本思想,

復(fù)數(shù)的代數(shù)表示.

突破難點(diǎn)的策略：

(1)適當(dāng)介紹數(shù)的發(fā)展簡(jiǎn)史，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性和生動(dòng)性.

(2)通過(guò)解方程問(wèn)題引導(dǎo)，借助已有的數(shù)系擴(kuò)充的經(jīng)驗(yàn)，特別是從有理數(shù)

系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的經(jīng)驗(yàn)，從特殊到一般，幫助學(xué)生梳理出數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中體現(xiàn)的

"規(guī)則"，進(jìn)而在"規(guī)則”的引導(dǎo)下進(jìn)行從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，感受引入復(fù)

數(shù)的必要性和合理性.

(3)引導(dǎo)學(xué)生按照“規(guī)則”自主探究出復(fù)數(shù)集中可能存在的各種數(shù)，并歸

納總結(jié)出復(fù)數(shù)的一般表示方法，經(jīng)歷復(fù)數(shù)形式化的過(guò)程.

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(-)創(chuàng)設(shè)情境，引出研究?jī)?nèi)容

創(chuàng)設(shè)情境：我們知道，對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程

，云+c=0，當(dāng)△=/-4%<0時(shí)沒(méi)有實(shí)數(shù)根.因此，在研究代數(shù)方程的過(guò)程中，

如果限于實(shí)數(shù)集，有些問(wèn)題就無(wú)法解決.事實(shí)上，數(shù)學(xué)家在研究解方程問(wèn)題時(shí)早

就遇到了負(fù)實(shí)數(shù)的開(kāi)平方問(wèn)題，但他們一直在回避.直到1545年，數(shù)學(xué)家在研

究實(shí)系數(shù)一元三次方程的求根公式時(shí)，用求根公式、因式分解法兩種方法同時(shí)求

解一些特殊的一元三次方程時(shí)，得到了無(wú)法理解的結(jié)果，于是再也無(wú)法回避這個(gè)

問(wèn)題.例如，求解F=15、+4時(shí)，利用三次方程的求根公式可以得出三個(gè)根

x=-2±否或》=#2+氏121+</2-不而；而通過(guò)因式分解，得

(X-4X.X2+4Y+1)=0,因此方程的三個(gè)根為

玉=4,X]=—2+J5>期=—2—，于是就得至U#2-J-121—^2-A7-121=4這個(gè)在

當(dāng)時(shí)無(wú)法理解的等式，數(shù)學(xué)家們就去嘗試研究諸如戶五的問(wèn)題.在解決這些問(wèn)

題的過(guò)程中，他們遇到的最大困擾就是，負(fù)實(shí)數(shù)到底能不能開(kāi)平方？如何開(kāi)平方？

負(fù)實(shí)數(shù)開(kāi)平方的意義是什么？

師生活動(dòng)：以教師引導(dǎo)為主，主要介紹歷史上，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)了反復(fù)的研究

探索，將實(shí)數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充，引入了一種新的數(shù)——復(fù)數(shù)，從而將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充

到復(fù)數(shù)系，解決了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題，本章我們就來(lái)研究復(fù)數(shù).本節(jié)課我們先類

比自然數(shù)集逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集的過(guò)程和方法，研究如何把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，

學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，后續(xù)我們還要繼續(xù)研究復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

以及復(fù)數(shù)的三角表示等.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)發(fā)展歷史的簡(jiǎn)要介紹，特別是三次方程根的問(wèn)題的介

紹，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程的興趣，并點(diǎn)出本節(jié)課的主

要內(nèi)容，進(jìn)而簡(jiǎn)要介紹本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)本章的知識(shí)脈絡(luò)有大致認(rèn)識(shí).

（二）歸結(jié)為方程求解問(wèn)題，梳理數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”

問(wèn)題1從方程的角度看,負(fù)實(shí)數(shù)能不能開(kāi)平方，就是方程小=-41°〉0）是

否有解，也就是/-7=0是否有解的問(wèn)題.思考一下，能不能把這類問(wèn)題再進(jìn)一

步簡(jiǎn)化，最終轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的方程1+1=°是否有解的問(wèn)題呢?

師生活動(dòng)：學(xué)生思考、演算，教師引導(dǎo)：將方程.d+xo兩邊同除以a,可得三+1=0,

a

即（；）2.1=0令丁=；，則1+折0可以轉(zhuǎn)化為,鏟+1=0.因此,x1~a=Q有沒(méi)有解,

yja擊

就可以歸結(jié)為x2-1=0有沒(méi)有解.“

追問(wèn)我們知道，--1=°在實(shí)數(shù)集中無(wú)解，聯(lián)系從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充

過(guò)程，是否能引入新數(shù)，適當(dāng)擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，使這個(gè)方程在新數(shù)集中有解呢？

師生活動(dòng)：教師進(jìn)一步引導(dǎo)：下面，我們就類比從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充

過(guò)程，嘗試引入新數(shù)，適當(dāng)擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，使這個(gè)方程在新數(shù)集中有解.引入什么

數(shù)，如何擴(kuò)充實(shí)數(shù)集？這就是我們今天所要研究的問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題1,將歷史上的負(fù)數(shù)能否開(kāi)平方的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程

1+1=0是否有解的問(wèn)題，為后續(xù)從解方程的角度研究數(shù)系的擴(kuò)充做好鋪墊，同

時(shí)也讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問(wèn)題都可以通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸的方法，轉(zhuǎn)化為基本

問(wèn)題.通過(guò)追問(wèn)，點(diǎn)出本節(jié)課的主要任務(wù)，以及研究的思路和方法.

問(wèn)題2我們把一個(gè)數(shù)集連同規(guī)定的運(yùn)算以及滿足的運(yùn)算律叫做一個(gè)數(shù)系.

回顧從自然數(shù)系逐步到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，每一次數(shù)系擴(kuò)充的主要原因是什么？

分別解決了什么實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題？你能借助下面的方程，從解方程的角度加

以說(shuō)明嗎？

(1)在自然數(shù)集中求方程x+l=O的解；

(2)在整數(shù)集中求方程2x-l=0的解;

(3)在有理數(shù)集中求方程d-2=0的解；

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生分組討論，從兩個(gè)角度思考問(wèn)題，可讓一半

學(xué)生側(cè)重討論解決的實(shí)際問(wèn)題，另一半學(xué)生側(cè)重討論解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師參加

到討論之中，對(duì)學(xué)生討論中的不足之處教師補(bǔ)充說(shuō)明，討論后，學(xué)生交流互動(dòng),

師生共同歸納總結(jié)出結(jié)論.

預(yù)設(shè)答案：(1)從社會(huì)實(shí)踐來(lái)看，數(shù)系的擴(kuò)充是為了滿足生活和生產(chǎn)實(shí)踐

的需要.計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)，有了自然數(shù)系；自然數(shù)系中不能刻畫具有相

反意義的量，于是引入了負(fù)整數(shù)，將自然數(shù)系擴(kuò)充到了整數(shù)系；整數(shù)系中不能解

決測(cè)量中的一些等分等問(wèn)題，于是引入了分?jǐn)?shù)，將整數(shù)系擴(kuò)充到了有理數(shù)系；有

理數(shù)系中無(wú)法解決正方形對(duì)角線長(zhǎng)的度量等問(wèn)題，于是引入了無(wú)理數(shù)，這樣便將

有理數(shù)系擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)系.(2)從數(shù)學(xué)發(fā)展本身來(lái)看，數(shù)系的擴(kuò)充也是數(shù)學(xué)本身

發(fā)展的需要.方程x+l=0在自然數(shù)集N內(nèi)無(wú)解，引入負(fù)整數(shù)后，它在整數(shù)集Z

內(nèi)便有解x=-l;方程2x-l=0在整數(shù)集Z內(nèi)無(wú)解，引入分?jǐn)?shù)后,它在有理數(shù)集

x=-;方程x:-2=0

Q內(nèi)便有解2在有理數(shù)集Q內(nèi)無(wú)解，引入無(wú)理數(shù)后,它在

實(shí)數(shù)集R內(nèi)便有解、=五.

教師板書：

自然數(shù)集N.恭f整數(shù)集2^J有理數(shù)集3器-實(shí)數(shù)集及

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)數(shù)的發(fā)展歷史，抓住知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)"和學(xué)生的"最近發(fā)展

區(qū)"，使學(xué)生了解數(shù)的產(chǎn)生以及數(shù)系的不斷擴(kuò)充是基于兩方面原因：社會(huì)生產(chǎn)實(shí)

踐的需要和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要.

問(wèn)題3可以看出，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，都是在原來(lái)數(shù)集的基礎(chǔ)上添加"新

數(shù)"得到的，引入新數(shù)就要引入新運(yùn)算，如果沒(méi)有運(yùn)算，數(shù)集中的數(shù)只是一個(gè)個(gè)

孤立的符號(hào).加法和乘法運(yùn)算是上述數(shù)系中最基本的運(yùn)算（減法、除法運(yùn)算分別

可以轉(zhuǎn)化成加法、乘法運(yùn)算）.梳理從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過(guò)程，數(shù)系

的每一次擴(kuò)充，加法和乘法運(yùn)算滿足的"性質(zhì)"有一致性嗎？由此你能梳理數(shù)系

擴(kuò)充遵循的"規(guī)則”嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)分析，從自然數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集時(shí)，原來(lái)在自然數(shù)集中

規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算法則和運(yùn)算律在整數(shù)集中仍然成立；進(jìn)而學(xué)生小組討論,

探求從整數(shù)集到有理數(shù)集以及從有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充中，加法和乘法滿足的

"性質(zhì)"，教師要特別強(qiáng)調(diào)從有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集滿足的"性質(zhì)".師生共同

總結(jié)這些性質(zhì)的一致性，得出數(shù)系擴(kuò)充的"規(guī)則"：數(shù)集擴(kuò)充后，在新數(shù)集中規(guī)

定的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算，與原來(lái)數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且

加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律.

教師繼續(xù)板書：

自然數(shù)集N得於整數(shù)集至嗑-有理數(shù)集噎算一實(shí)數(shù)集R

十~+3+3

X/X4J

設(shè)計(jì)意圖：梳理數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程和方法的“一致性"，總結(jié)數(shù)系擴(kuò)充的一般"規(guī)

則"，為后續(xù)實(shí)數(shù)系的進(jìn)一步擴(kuò)充提供方法，進(jìn)而突破本節(jié)課的難點(diǎn).

(=)依據(jù)規(guī)則，獷充實(shí)數(shù)集，引入復(fù)數(shù)

問(wèn)題4方程x'1=0在實(shí)數(shù)系中無(wú)解，類比從自然數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充

過(guò)程，特別是從有理數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過(guò)程，你能設(shè)想一種方法，使這個(gè)方程

有解嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答：可以添加新數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，并且添加新

數(shù)后的新的數(shù)集中的加法和乘法運(yùn)算，與實(shí)數(shù)集中加法和乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并

且運(yùn)算律保持不變.

追問(wèn)：引入一個(gè)什么樣的數(shù)呢？

師生活動(dòng)：教師通過(guò)信息技術(shù)制作的課件介紹虛數(shù)的弓I入歷史，并給出虛數(shù)

的概念.我們可以引入一個(gè)數(shù)丁，使「=-1,這樣X(jué)=i就是方程1+1=0的

解.因?yàn)闅v史上，新數(shù)i是瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1777年首次提出的，他用了

"imaginary"一詞的首字母，本意是這個(gè)數(shù)是虛幻的.所以，我們把這個(gè)數(shù)稱為

"虛數(shù)單位”.

設(shè)計(jì)意圖：教師介紹與虛數(shù)單位i有關(guān)的歷史，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化

對(duì)i的認(rèn)識(shí).

問(wèn)題5把新引進(jìn)的數(shù)i添加到實(shí)數(shù)集中后，我們希望按照前面總結(jié)的數(shù)系擴(kuò)

充的"規(guī)則"，對(duì)實(shí)數(shù)系進(jìn)行進(jìn)一步擴(kuò)充.那么，實(shí)數(shù)系經(jīng)過(guò)擴(kuò)充后，得到的新

數(shù)系由哪些數(shù)組成呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，可以類比有理數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過(guò)程與方法，以及

實(shí)數(shù)系新數(shù)的形式，如

2或，2+抬等.學(xué)生思考回答，可能會(huì)說(shuō)出類似3i,1+i,3-i,2+3i,-

i等

具體的數(shù).教師引導(dǎo)學(xué)生歸納：新數(shù)集中的數(shù)是由原來(lái)的實(shí)數(shù)和新引入的虛數(shù)i

經(jīng)過(guò)適當(dāng)"組合"而成的，構(gòu)成的方法就是將實(shí)數(shù)和i進(jìn)行運(yùn)算，組成新數(shù)，這

里主要進(jìn)行的是i和實(shí)數(shù)之間的加法、乘法運(yùn)算，因?yàn)榘凑瘴覀兦懊婵偨Y(jié)的規(guī)則：

新數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算，與原來(lái)數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致,

并且運(yùn)算律仍然成立.這樣我們就可以把實(shí)數(shù)a與新引入的數(shù)i相加得到a+i;

把實(shí)數(shù)b與i相乘相至（Jbi把實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b^ni相乘的結(jié)果相加得到a+bi.

因?yàn)槲覀兪且玫叫聰?shù)集中所有數(shù)的基本表示形式（即a+bi的形式），所以這

1

里都只進(jìn)行最基本的形式上的運(yùn)算即可，至于；等形式，它們不是最基本的形式，

在后續(xù)的復(fù)數(shù)運(yùn)算中再去研究，它們也能化為a+bi的形式.

追問(wèn)1你能寫出一個(gè)形式，把剛才大家所說(shuō)的數(shù)都包含在內(nèi)，并說(shuō)明理由

嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，所有新數(shù)集中的數(shù)都可以寫成a+bi（a,b￡R）

的形式，因?yàn)椋?a+a，萬(wàn)i=o+li,

追問(wèn)2你能寫出新數(shù)集的集合嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生口述，教師板書：C={a+bi|a,beR).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題5和追問(wèn)1,2,引導(dǎo)學(xué)生類比自然數(shù)到實(shí)數(shù)不斷擴(kuò)充

過(guò)程中所遵循的規(guī)則，根據(jù)"運(yùn)算"和"運(yùn)算律"，由特殊到一般，抽象概括出

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)集，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中理性思維的作用，以及數(shù)

學(xué)形式化、符號(hào)化的過(guò)程，突破本節(jié)課的難點(diǎn)，提升學(xué)生邏輯推理、抽象概括素

養(yǎng).

問(wèn)題6閱讀教科書，回答以下問(wèn)題：

(1)復(fù)數(shù)a+bi(a,b￡R)的虛數(shù)單位、實(shí)部、虛部分別是指什么？

(2)什么是虛數(shù)和純虛數(shù)？試舉出具體例子.

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立閱讀教科書，閱讀之后回答問(wèn)題.

(1)學(xué)生口答：a是復(fù)數(shù)的實(shí)部，b是復(fù)數(shù)的虛部.教師強(qiáng)調(diào)應(yīng)注意限制

條件a,b￡R,另外復(fù)數(shù)a+bi的虛部是b而不是bi.

(2)學(xué)生口答，當(dāng)”0時(shí)，復(fù)數(shù)。+歷是虛數(shù)；當(dāng)。=0,6M,歷是純虛數(shù)..

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書，思考并回答問(wèn)題，明確復(fù)

數(shù)的基本概念，培養(yǎng)閱讀教科書的習(xí)慣和閱讀理解能力.

問(wèn)題7我們知道復(fù)數(shù)集是由形如a+bi(a,b￡R)的數(shù)組成的,為了保證

集合中元素的互異性(確定性)，我們需要明確集合中兩個(gè)元素相等的含義，請(qǐng)

閱讀教科書，說(shuō)說(shuō)兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi和c+di(a,b,c,d￡R)相等的含義.

師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀教科書后作答.教師引導(dǎo)：一個(gè)復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部唯一

確定，所以判斷兩個(gè)復(fù)數(shù)是否相等，就要考慮它們的實(shí)部和虛部是否分別相等.

進(jìn)而教師給出兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義并板書.復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c

Hb=d.

追問(wèn)1由復(fù)數(shù)相等的含義知，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部都

分別相等，也就是：復(fù)數(shù)由它的實(shí)部和虛部唯一確定.回憶一下，復(fù)數(shù)的這個(gè)特

征與你以前遇到過(guò)什么數(shù)學(xué)對(duì)象類似？由此，你能進(jìn)一步刻畫復(fù)數(shù)的特征嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生思考、討論，得出：復(fù)數(shù)的這個(gè)特征與平面上點(diǎn)

的坐標(biāo)，平面向量的坐標(biāo)等類似，因此復(fù)數(shù)a+bi(a,b￡R),可以看成是一

個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b).

追問(wèn)2復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是什么？a+bi的充要條件是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，教師補(bǔ)充完善.對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a,b￡R)，易

得當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；a+bi=O即a+bi=O+Oi,由復(fù)數(shù)相等的含義,

推導(dǎo)可得：當(dāng)且僅當(dāng)a=O,b=O時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi=O.教師總結(jié)：實(shí)際上，復(fù)數(shù)相等

的含義，不僅是判斷兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的依據(jù)，也是求某些復(fù)數(shù)值的依據(jù)，即利用復(fù)

數(shù)相等的定義，可以得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程(組)，通過(guò)解方程(組)得到a,b的

值.教師在此處也可以指出：一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能

比較大小，只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小.

設(shè)計(jì)意圖：從保證集合中元素的互異性(確定性)出發(fā)，引出在實(shí)數(shù)集中引

入新對(duì)象后，要研究?jī)蓚€(gè)新數(shù)相等的含義，進(jìn)而給出兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義，并由

復(fù)數(shù)相等的定義出發(fā)，得到復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，為研究復(fù)數(shù)的幾何意

義以及復(fù)數(shù)的三角表示奠定基礎(chǔ).

問(wèn)題8我們已經(jīng)將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，那么復(fù)數(shù)集C和實(shí)數(shù)集R之間有

什么關(guān)系?你能對(duì)復(fù)數(shù)a+bi(a,beR)進(jìn)行分類，并用Venn圖表示嗎?

師生活動(dòng)：學(xué)生思考并寫在練習(xí)本上，教師巡視指導(dǎo)，用多媒體等設(shè)備交流

展示學(xué)生作品.教師指出實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，也體現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)

律之一：新數(shù)集包含原來(lái)的數(shù)集.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生弄清楚復(fù)數(shù)集和實(shí)數(shù)集之間的關(guān)系以及復(fù)數(shù)的分類，深

化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)集是實(shí)數(shù)集的“擴(kuò)充"以及對(duì)復(fù)數(shù)的理解.

(四)精選例題，強(qiáng)化理解應(yīng)用

例1請(qǐng)你說(shuō)出下列集合之間的關(guān)系：N,Z,Q,R,C.

例2寫出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些

是純虛數(shù).

0>1>0.618>2+V^>>—2i>5i+8,i(l-x^0p

3

例3當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是下列各數(shù)？

(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù)；(3)