高中數(shù)學(xué)自學(xué)講義-不等式（2020版）

不等式講義

七招十八式

（來(lái)源網(wǎng)絡(luò)，僅供自學(xué)參考）

目錄

一、不等式的基本性質(zhì).......................................................................-1-

二、重要不等式.............................................................................-2-

三、例題展示...............................................................................-4-

3.1比較法.............................................................................-4-

3.2分析法.............................................................................-5-

1.湊項(xiàng)...........................................................................-5-

2.湊系數(shù).........................................................................-7-

3.湊完全平方式..................................................................-8-

4.分離...........................................................................-9-

3.3代換..............................................................................-10-

1.消元..........................................................................-10-

2.整體代換（“1”的代換）........................................................-11-

3.判別式法（萬(wàn)能K法）........................................................-14-

4.局部代換（換元）.............................................................-18-

5.三角代換......................................................................-21-

6.均值代換、比值代換...........................................................-23-

3.4構(gòu)造..............................................................................-27-

1.形式構(gòu)造......................................................................-27-

2.對(duì)偶式構(gòu)造...................................................................-27-

3.函數(shù)構(gòu)造......................................................................-29-

4.數(shù)形結(jié)合......................................................................-29-

3.5待定系數(shù)法.......................................................................-31-

I.均值不等式添加參數(shù)...........................................................-31-

2.柯西不等式添加參數(shù)...........................................................-33-

3.6切割線放縮.......................................................................-45-

3.7導(dǎo)數(shù)..............................................................................-51-

四、綜合練習(xí)..............................................................................-52-

五、練習(xí)題................................................................................-95-

一、不等式的基本性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：a>bb<a；

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>c；

(3)可加性：a>b,cWR=a+c>b+c；

(4)加法法則：a>b,c>d=>a+c>b+d；

(5)可乘性：a>b,c>0=>ac>be；a>b,cV0=QCVbe；

(6)乘法法則：a>b>0,c>d>0=>ac>bd；

(7)乘方法則：a>b>0=>an>bn(nG/V*,且n>l)；

(8)開方法則：a>b>0=^>\[a>Vb(n￡N*,且九>1)；

(9)倒數(shù)法則：a>/j>0=>-<-

ab:

(10)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：若Q>b>0,m>0,則

…十八皿bh+mbh-m

①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：一<-----；->------；

aa+maa-m

z-x,nr八Qa+maa-m

②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：->-——；-<-——；

bb+mbb-m

(11)**不等式的對(duì)稱性(了解)

設(shè)是一個(gè)〃元函數(shù).若將%1/2,…，小中任意的兩個(gè)變?cè)ハ嘟粨Q位置，得到的/■與原式是

恒等的，則稱f(//2,是完全對(duì)稱的.

工abce

如xy+yz+z%,------+--------1-------等.

b+cC+Qa+b

設(shè)…，％n)是一個(gè)九元函數(shù).若作置換%1T%2，、2T%3,…，％n-1一久n"n1久1，得到的/與原式是

恒等的，則稱/(X1/2,…，%n)是輪換對(duì)稱的.

LQabC

如％3y+y3Z+Z3X,-------1---------1-------等.

a+bb+cc+a

顯然，完全對(duì)稱的一定是輪換對(duì)稱的.

二、重要不等式

1.無(wú)理式化為有理式，分式化為整式

g(x)<?；騡(x)“，

⑴>g(x)=<

JGROl/(X)>g2(X)

____g(?>0

"(X)<g(x)<=></(X)>0

/(x)<g2(x)

g)癡生。og(x)=?；?/p>

/(x)

(2)0=〃x)g(x)>0

g(x)

------NU<

g(x)—[g(x)wO

2.1.含有絕對(duì)值的不等式

⑴|/(x),g(x)=/(xRg(x)或/(x)W-g(x)；

(2)|f(x)\<g(x)<=>-^(x)<f(x)<g(x)■,

(3)對(duì)形如|久-a\+\x-b\<(N)c的不等式,可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解.

(4)含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)

\a\-\b\<\a±b\<\a\+\b\.

取等條件：

不等式|a|-網(wǎng)<|a+b|<|a|4-\b\,右側(cè)“=''成立的條件是ab>0,左側(cè)"=”成立的條件是ab<0,

且1磯2網(wǎng)；

不等式|a|-聞<|a-b|<|a|+\b\,右側(cè)“廿成立的條件是ab<0,左側(cè)"=”成立的條件是ab>0,

且|a|>\b\.

2.2.一元二次不等式

a/+bx+c>0(aH0)的解(IS=b2—4ac)

A>0A=0A<0

a>0-h4-VZ-h-VZb—00<X<00

x>-----------,x<——-------XH——

2a2a2a

a<0—b+VZ—b—VZ無(wú)解無(wú)解

—------<x<------------

2a2a

對(duì)于a<0的情況，先移項(xiàng)將系數(shù)變?yōu)檎缓笄蠼?

2.3.基本不等式

(1)設(shè)。/€/?,則a2+b222ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

-2-

(2)若a,b>0,則"Nj茄，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

2

(3)若a,b>0,則7J茄4竺J仁把，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

1+12V2

ab

其中，稱為調(diào)和平均數(shù)，疝稱為幾何平均數(shù)，”2稱為算術(shù)平均數(shù)，稱為平方平均

1,12\2

ab

數(shù)

2.4.柯西不等式

(1)柯西不等式簡(jiǎn)單形式：a,b,x,y&R,

+切(-+.2)之(ax+by)2,(ax-by)2>[a1-b2^x2-y2)

證：

+b2^x2+y2^-(ax+by)2

=a2x2+b2y2+a2y2+h2x2-^a2x2+2axby+h2y2^

—cry2+b2x2-2axhy-(ay-hx)2>0

(ax-by)2-(a2-/72)(x2-y2)

22122222222

=(a%-2axby+by^-^ax-cTy-bx+/>y)

222

=a2y2+bx-laxby=(ay-bx)>0

得證.當(dāng)ay=bx時(shí)取等號(hào).

(2)柯西不等式向量形式：|aj?l<I&I?面

如圖，設(shè)在平面直角坐標(biāo)系久Oy中有向量展=(a,b)/=(c,d),及與日之間的夾角為仇0<9<n.

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，有據(jù)?=閥?面cos。,因?yàn)閨cosO|Wl,所以何團(tuán)?面.

當(dāng)且僅當(dāng)不是零向量，或者及〃不時(shí)取等.

(3)二維形式的三角不等式：y/x；+y：+Jx：+資2JO1-尤2)2+31—丫2)2

-3-

當(dāng)且僅當(dāng)Pl，P2與原點(diǎn)。在同一直線上，并且點(diǎn)匕,「2在原點(diǎn)。兩旁時(shí)，式中的等號(hào)成立.

三、例題展示

3.1比較法

【例1】設(shè)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：石,2+人2)

【證明】〃—y/cib(a2+b1)-a1\[a{4a—\[b)+b1y[b{\[b-'fa)

=(G〃)[(G)5_(〃)5]

當(dāng)aNb時(shí)，4a>4b,從而(Gy之(〃)5,得(G—〃)[(G)5_(G)5]20；

當(dāng)a<b時(shí)，y[7l<4b,從而(&)5((揚(yáng))5,得(6―G)[(G)5—(6)5]<0;

所以43+632疝(/+62)

ahha

【例2】已知a,bwR+,證明：ab>ab.

uhah

+haaba-(a^

【證明】>0,

a,b&R,ab兩一產(chǎn)

于是—

當(dāng)a26時(shí)，->1,a-b>Q

h

當(dāng)i時(shí),—

所以a"戶Na%".

【例3】設(shè)g＜］；］＜(￡)＜1,貝！J()

ahauabbaahaa

A.a<a<bB.a<h<aa<a<hD.a<h<a

-4-

【答案】c

【解析】<1,:.0<a<h<l.:.y>^^aa-h>\,:.ah<aa

a('/

|—=-,0<-<l,a>0,-<1,:.aa<ba,:.ah<aa<ba.

故答案為：C

3.2分析法

1.湊項(xiàng)

【例4】設(shè)a>l,則M=/+二-的最小值是▲.

a2-3

【答案】5

【解析】3+-^—+3221（/一3）.^—+3=5

a2-3V7a2-3

,1

當(dāng)且僅當(dāng)/-3=F—,即a=2時(shí)取等號(hào).

a2-3

【點(diǎn)評(píng)】使用該公式時(shí)一定要牢牢抓住一正、二定、三相等這三個(gè)條件，如果不符合條件則：非正化正、

非定構(gòu)定、不等作圖，（單調(diào)性）.平時(shí)應(yīng)?熟練掌握雙鉤函數(shù)的圖象，還應(yīng)加強(qiáng)非定構(gòu)定、不等作圖這方面

的訓(xùn)練，并注重表達(dá)的規(guī)范性，才能靈活應(yīng)對(duì)這類題型.

43,

【練習(xí)】設(shè)x,y為正實(shí)數(shù)，且?;一+--=1,則xv的最小值為▲

1+x2+y

【答案】27

433()，+3)

【解析】因?yàn)槎?=1,所以x=x,y>0,/.y>1

y-l

因此孫=3")："=3-A-+(J；-1)+5>32P--(y-l)+5=27

y-in,-1

當(dāng)且僅當(dāng)y-l=2,y=3時(shí)取等號(hào)，即xy的最小值為27.

未知定值（沒(méi)有形如"a+b=1”這樣的定值式）

..4x3y

【例5】設(shè)“為正實(shí)數(shù),則*7的最小值為一

【答案】3

-5-

【解析一】配湊

上+2=上+衛(wèi)-2I上.3.1=3,

x+3yxx+3yxyx+3yx

4xx+3y

當(dāng)且僅當(dāng)——=——^時(shí)，即x=3y取等號(hào).

x+3yx

【點(diǎn)評(píng)】配湊法是解決這類問(wèn)題的常用方法，其目的是將代數(shù)式或函數(shù)式變形為基本不等式適用的條件,

對(duì)于這種沒(méi)有明確定值式的求最大值（最小值）問(wèn)題，要靈活依據(jù)條件或待求式合理構(gòu)造定值式.

【解析二】比值換元

令y=kx,fc>0

44I~4

則用=-----+3Z=-------+（3女+1）—122」------（3女+1）—1=3.

1+341+3女丫1+3攵

41

當(dāng)且僅當(dāng)-----=1+3攵時(shí)，即攵二一時(shí)取等號(hào).

1+3攵3

【點(diǎn)評(píng)】由于分子，分母皆為％y的一次方式子，通過(guò)減量換元的方法可將兩個(gè)未知量％y減少為一個(gè)未知

量k,再通過(guò)一元函數(shù)求值域的方法或者基本不等式求出最值.

81.

【例6】己知x,y>。，f+—=1,則工+丁的最小值為

二y

,\81xxSkk..lxx8kIk「3kIT

x+y+k—d-----1=—H-----F—+yd-----k>3^---------r+2y-----k7=3飛2k+k—k7

y)22xy,22ryy

x_x_8k

k.

取等條件:<y=_=jy=2

所求最小值為3蚯^+2\fk—k=6

(81}=j”23、=6

x+y=x=+一+y

(%y)xyyxy

8xIx=4

取等條件：一=—=ync

xy[y=2

-6-

2.湊系數(shù)

【例7]當(dāng)0<x<4時(shí)，y=x(8-2公的最大值為▲.

【答案】8

【分析】由0<x<4知8-2x>0,利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子

積的形式，但其和不是定值.注意到2x4-(8-2x)=8為定值，故只需將y=x(8-2乃湊?上一個(gè)系數(shù)即可.

【解析】y=x(8—2x)=g[2x-(8—2x)]wg(生親生)=8,當(dāng)2%=8-2x,即x=2時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)x=2時(shí)，y=x(8-2x)的最大值為8.

【評(píng)注】本題也可通過(guò)二次函數(shù)求最值的方法求解，當(dāng)無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到

和為定值，從而可利用基本不等式求最大值.

31

【練習(xí)】已知實(shí)數(shù)x,y滿足”>y>0,且x+y=2,則/=——+-——?的最小值是▲.

x+2y2x-y

【分析】將》+y湊出40+3/+〃0-丫)的形式(本質(zhì)是換元法)，即可使用均值不等式或者柯西不等

式求出最小值：

，31A

.+2-T-----[A(x+2y)+//(2x—y)]>(AM+

1

【解析】A(x+2y)+ju(2x-y)=(4+2〃)x+(24—〃)y==

5

31

即x+y=g(x+2y)+g(2x_y),

J」-)

：.M=—x+^2—y+—2x-y(x+2y2x-yf1^X+2y)+5(2X~y),8

215555

3

x

2x-y=x+2y2

取等條件:

x+y=2

y=

2

可得X=l〃-2〃,y=2機(jī)一1〃，

或者直接換元:令x+2y=m,2x—y=n>即

5555

1221c3加〃1

x+y一加+一〃+—加——n=2=>——+—=I

55551010

-7-

31

=—i-

mn

3.湊完全平方式

湊完全平方式用于條件與問(wèn)題皆為一次、二次式的情況.

【例8】已知4/+y2+盯=5,求M=2x+y的最大值.

解：取參數(shù)A6R,

M2=(2x+y)2+/c(4x2+y2+xy-5)

=(4+4/c)x2+(4+k)xy+(1+k)y2-5k

當(dāng)(4+4fc)x2+(4+k)xy+(1+k)y2為完全平方式時(shí)，

(竽)2=(4+4￡)Q+k)時(shí)，即％=—|時(shí)，有

M2=-|（2x-y）2+8<8.

_V2

于是｛2%—y=0%_三時(shí),

22

4x4-y4-xy=5y=y/2

2x+y有最大值2夜.

［例9］若—肛+y2=25,則M=3^+y2的取值范圍是.

取參數(shù)keR,有

M=3x2+y2+Z（4/-孫+y2-25）=（3+4Z）x?++左））；-25k

當(dāng)(3+4左+左)尺為完全平方式時(shí)，有最值

于是令(3+4攵)(1+%)=傳［=x=H

、乙)3〉

“，2^,1212251/、225、25

當(dāng)彳=時(shí)，M=—X2HXVH—VH=—IX+V）HN

3333-33、-33

576

x=------

6

取等條件：x+y=O.即，

5瓜

y=--T

當(dāng)x=_（時(shí)，M=-|x2+|xy-|y2+30=-1（3x-y）2+30<30

-8-

取等條件：3x—y=0,即x==

22

-25'

于是所求的取值范圍是7，30

I,251

【評(píng)析】將問(wèn)題中3/+丁變?yōu)椤?》+>)一+5的形式，可得最小值：變?yōu)橐?3%—y)7-+30的形式可得

最大值.變形過(guò)程需要利用已知條件湊成完全平方，于是設(shè)出參數(shù)，列方程求解即可.

4.分離

〃尤2-J-Ay+「I

對(duì)于巴_絲上形式的分式函數(shù)，將分子降次，化為〃2+—的形式運(yùn)用不等式.

x+dm

x2+7x+10

【例10】求十/X+的值域.

X+1

【分析】本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有X+1的項(xiàng)，再將其分離.

rti73+r+7%+10(X++5(X+1)+44z-si/,

【解析】y=----------=-——-——-——--=(x+l)+——+5,當(dāng)％>—1,即nnx+l>0時(shí)，

x+1X+lX+1

y>2J(x+l)--^-+5=9(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取"="號(hào)).

Z7h

【練習(xí)】已知a,6都是負(fù)實(shí)數(shù)，則——+—7的最小值■是_______,

a+2ba+b

【答案】2(V2-1)

ab2(?+b)-(a+2b)(a+2b)~(a+b)2(a+b)a+2b弁°

a+2ba+ba+2ba+ba+2。a+b

/74+4/f]

【例11】已知4,人￡尺"法>0,求M="十的最小值.

ah

22

?/+4//+12L4.4/+14?Z?+14,1

【解析】M=--------->—----------=--------=4。力+—>4-

abababab

1

4=

a-4b4Cl-o

L

取等條件：，1n,r~~

4ab=——

abb=——

14

【例12】已知x>0,y>0,且元+2y=5,則-----產(chǎn)——的最小值為

V孫

-9-

【解析】

(x+l)(2y+1)_2孫+x+2y+l_2xy+6

2dxyH—之4\/3

H而而8

x+2y=5

取等條件:

(x+l)(2y+l)

【練習(xí)】變形：已知x>0,y>0,則-----尸——的最小值為

yjxy

【解析】

拆開運(yùn)用基本不等式:

(x+l)(2y+l)_2xy+x+2y+l>2xy+2^x-2y+1

=2.y^Xy+2-\/2H--->4^2

而歷而

或用柯西不等式：(x+l)(2y+l)之(52沖+1)，

干星(x+l)(2y+l)(V^+l)

=2百272>472

而歷

取等條件:

3.3代換

對(duì)于一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變?cè)^多而變化關(guān)系不太清楚的不等式，可適當(dāng)引進(jìn)一些新的變量或等式進(jìn)

行代換，以簡(jiǎn)化其結(jié)構(gòu).

主要目的：非標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化；復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化；降次；化分式為整式；化無(wú)理式為有理式；化超越式為

代數(shù)式.

1.消元

Q1

【例13］已知實(shí)數(shù)無(wú)y>0,且？+上=1,求x+2y的取值范圍.

xy

X

【解析】由已知條件得y=——，y>0nx>8,

x-8

2(x—8)+1616innf~16o

x+2y=x+—xH-----------=x-8H-----F1022.(x-8)------F10=18,

x—8九一8x-8Vx-8

-10-

取等條件X—8=*-nx=12,>=上=3.

x—8x—8

2.整體代換(“1”的代換)

多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò).

【例14】已知x>0,y>0,且｝+：=1,求x+y的最小值.

【錯(cuò)解】%>0,1>0,且。+:=1，x+y=C+^a+y)22《2回=12,故(x+y)mm=12.

【錯(cuò)因】解法中兩次連用基本不等式，在x+y22同等號(hào)成立條件是x=y,在5等號(hào)成立條

件是：即y=9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤.因此，在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等

號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.

【正解】x>o,y>o++：=ir+y=(x+y)G+3=7+￡+iO26+io=i6，當(dāng)且僅當(dāng)白手時(shí),

上式等號(hào)成立，又x可y得％=4,丫=12時(shí)，(x+y)min=16.

113x4y

【練習(xí)】已知正實(shí)數(shù)x,y滿足一+—=1t,則一—七的最小值為_______.

xyx-1y-\

【答案】7+4V3

【解析】正實(shí)數(shù)x,y滿足：+：=1,則：x+y=xy,

3x4y7xy-3x-4y”.

則：一；+「■=---------^=4x+3y,

x-1yTxy-x—y+l

(4x+3^)f-+-"|=4+—+^+3>7+2隹?史=7+46

y)yx\yx

3x4y

故一;+一的最小值為7+4V3.

x-1y-1

【例15】已知〃，力為正實(shí)數(shù)，2b+ab+a=30,求y=^的最小值.

ab

【分析】這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單

調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知

條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等

式的途徑進(jìn)行.

【解法一】由己知得a=^^,ab=叱3/=33.?.?”〉(),

b+1b+1b+1

-11-

令t=b+\,則1<t<16,

???Qb二-2尸+34.31=_2（t+竺）+34.???[+至N2（7^=8,??.Q"18,Ay>

tttylt10

當(dāng)且僅當(dāng)，=4,即a=6,6=3時(shí)，等號(hào)成立.

【解法二】由已知得：30-ab=a+2b.'：a+2b>2y[2ab，30-ab>2y[2ab.

令”=病，則I?+2魚1-30W0,-5V2<u<3V2,.,.y[ab<372.ab<18,Ay>^.

tIo

【點(diǎn)評(píng)】①本題考查不等式早2屬缶>03>0）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力：②如何由已知不

等式就=。+2匕+309>0/>0）出發(fā)求得成的范圍，關(guān)鍵是尋找到a+b與ab之間的關(guān)系，由此想到

不等式幺也2J茄（a〉0,b〉0）,這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得她的范圍.

2

【例16]已知x,y>0且2x+3y=12,求孫的最大值.

【解析】將y=4—gx（0<x<6）代入得，

孫="4一二=二44”

I3J3

2

即可將二元變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求值域問(wèn)題，/（X）=--X2+4X,XG（0,6）

/（x）</（3）=6

即x=3,y=2時(shí)，"有最大值6.

部分使用“1的代換”

若形如“己知，小+浦=1,求2+幺（為加以都是大于）的最小值”，只需部分使用“1的代換”,

ab

,1ama+nba

即一+—=-------+——

akbakb

【例17]設(shè)正實(shí)數(shù)a*滿足。+人=2,則工+巴的最小值為

a8b

【答案】1

【解析】6/>0,Z?>0,

1aa+halba1-l~b~a11

—+一+—=—l---+—>-+2-+-1.

aSb2a8b22aSb24五,拓22

-12-

2

當(dāng)且僅當(dāng)b一=a巴即a=4—力=一時(shí)取得等號(hào).

2a8b33

【例18】設(shè)“+6=2,">0,則當(dāng)a=時(shí)，」一+回取得最小值.

2\a\b

【答案】-2

【解析】因?yàn)閍+b=2,所以1=字

2

所以，+回=包心+應(yīng)!=，+上+回2gs2+1

2\a\b41alb4|tz|4|a|b41al\4|tz|b41al

當(dāng)且僅當(dāng)上+⑷，即8=2|a|時(shí)取等號(hào)，

41alb

1。1、,1,5

當(dāng)”>（）時(shí)，—a

21alb41al44

|a|a1[3

當(dāng)a<0時(shí)，一--

21alb4|a|44

所以」一+回的最小值為二，此時(shí)〃=-2。

21alb4

又a+b=2,所以。+（—2。）=2,即。=—2

14

【例19］已知a,bwR+且2a+b=l,則靛+乒的最小值是

【答案】32

【解析】J+*=[\+福）（2〃+力）2=[3+*]（4Q2+4ab+b?）

-+—>2.1--=4,當(dāng)且僅當(dāng)2=學(xué)，即。=2。時(shí)取等號(hào);

ab\ahab

h216a2cb216a2當(dāng)且僅當(dāng)<+*,即8=2。時(shí)取等號(hào);

7十寸2獷鏟=8,

ah

14

所以—+=28+4x4+8=32,當(dāng)且僅當(dāng)》=2。時(shí)取等號(hào);

ab“

14

所以r+VT的最小值為32

ab

【點(diǎn)評(píng)】在使用“1的代換”時(shí)，注意保持兩和式是同次的.；在使用兩次基本不等式時(shí)，注意兩次等號(hào)成立

-13-

的條件是否一致.

3.判別式法(萬(wàn)能K法)

判別式法(萬(wàn)能K法)并不萬(wàn)能，很容易出錯(cuò)，因此求出最值后，必須驗(yàn)證取等條件！！

如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0,此方程為關(guān)于x的一元二次方程。其中，當(dāng)A20時(shí)(A是含字母y的式子)，

將這個(gè)范圍內(nèi)的y值代入方程，都能夠得到一個(gè)或兩個(gè)與之對(duì)應(yīng)的x值；而當(dāng)A<0時(shí)，方程無(wú)解，這說(shuō)

明在此范圍內(nèi)的y值沒(méi)有x值與之對(duì)應(yīng)，因此此范圍內(nèi)的值y不屬于值域.

如果二次項(xiàng)系數(shù)為0,此方程為關(guān)于x的一次方程，將此時(shí)y的取值代入解析式可得到一個(gè)與之對(duì)應(yīng)

的x值，如果所得x值在定義域內(nèi)，則該y值屬于值域；如果所得x值不在定義域內(nèi)，或所得解析式根本

沒(méi)有意義，則該)，值不屬于值域.

3.1一類分式函數(shù)值域問(wèn)題

2，_Or4-3

【例20］求函數(shù)y=,的值域.

X-X+1

【解析】由已知條件可得：(y-2)x2+(2-jy)x+y-3=0,

當(dāng)yw2時(shí)，考慮關(guān)于x的二次方程，A=(2-y)2-4(y-2)(y-3)N0n2<yW

當(dāng)y=2時(shí)，可得y=3,舍去.

綜上，函數(shù)值域?yàn)?2,日.

1X2+X+13

【練習(xí)】求證：

2x2+l2

廣+X+1

證明：設(shè)了=--------,則(1一丁)%2+x+l-y=0,定義域?yàn)镽

X+1

(1)y=l時(shí)，x=0是定義域中的一個(gè)值，y=l是值域中的一個(gè)值。

13

(2)y"時(shí)，由△=>4(1一/)20,得

1元2+x+13

綜上所述-<<-成立.

2x2+l2

-14-

3.2二元二次函數(shù)最值問(wèn)題

【例21］設(shè)x,y>0為實(shí)數(shù)，若4d+y2+孫=1,則2x+y的最大值為

【解析】令k=2x+y,則y=k-2%,代入等式得：6x2-3kx+k2-1=0

即關(guān)于x的方程有解，于是△=(3%)2-4x6(A?-1)>0=>一2嚶<f<2普

當(dāng)火取到最大值名回時(shí)，x=叵,丫=叵

5105

【例22】設(shè)%,y>0為實(shí)數(shù)，若2x+y=l,則4/+產(chǎn)+取的最小值為

【解析】令49+了2+呼=左，將y=l-2x代入，A>0=>Z:>—

8

23

若羽y>。，一+—=1,求工+丁的最小值.

xy

【解析】已知等式可化為3x+2y-^=0,令％+y=Z,將丁=2一1代入

Y+(l一幻％+2&=0,AN0o42一1。女+12。

解得05+2n或”5-2即(舍去)

取等條件：x=2+>/6,y=3+\/6

【例23］若%和y滿足不等式Y(jié)+芍+4y2<3,求％+3y的最大值.

【解析】令k=%+3y,將％=k-3y代入，

10/一5仙+(r-3)W0,關(guān)于y的二次不等式只有在△=(5&)2-4x10卜2—3)20時(shí)有解

一2&<女<2后，當(dāng)且僅當(dāng)X=y=與時(shí)取等，所以％+3y的最大值2啦?

24

【例24］已知羽y>。，滿足了+―+3y+—=1。，求%y的取值范圍.

元y

k

【解析】令左=町/次>0,將曠=一代入等式得，(4+左)％2-1。乙+2%+3%2=0

x

-15-

A=100z2-4(4+r)(2/+3r2)>0

10/

<x,+x=----->0n=>1<Z:<—

19-4+r3

2f+3/八

=--------->0

I-4+r

【例25】對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2一2ab+4〃-c=0且使|2a+4最大時(shí)，之一g+*的最小

abc

值為.

k—b

【解析】設(shè)2a+Z?=%,將。=----代入得，6b2-3kh+k2-c=0-

2

315

當(dāng)且僅當(dāng)。=—/=—,c=一時(shí)取等.

422

【例26】已知實(shí)數(shù)x,y滿足4d+5y2=y,求/+寸的最大值.

【錯(cuò)解】令V+ynKANO,將丁=4一,2代入等式得

y2-y+4k=0,關(guān)于y的方程有解，得A=l—16攵NOnOWAW」-.

11-3

取等條件：當(dāng)％=:時(shí)，有y==,x2=一無(wú)實(shí)數(shù)解.

4-216

錯(cuò)解原因：未考慮x,y的范圍：

由于4%2=y-5y220=0Wywg,無(wú)法在y=g處取值.

【正解】化已知等式為:80x2+(10y-l)2=l,令4石x=cos6U0y-l=sine,ee[0,2句

20'1+sin^Y1/

f+y2cos2

---------F、io-廠標(biāo)Lsin^+8sin^+9)

80

-16-

令sin8=/w[0,l],函數(shù)/（。=焉（—/+8r+9）,在r=l時(shí)取得最大值于是V+y2最大值為上

取等條件為f=l,即。=T，于是x=O,y=g

錯(cuò)解原因就是在/=sin。=4處取得的，顯然取不到.

一般地，已知條件與問(wèn)題皆為二元二次式用判別式可能會(huì)得錯(cuò)解，此時(shí)需用三角換元.

【例27]已知實(shí)數(shù)x,y滿足f+2沖+4y2=6,求V+4），的取值范圍.

【解一】設(shè)x2+4y2=k,k>0,令尤=〃cosay=^^m。,?！闧0,24]，代入等式得

/cos26+fsin"cos6+/sin?6=6,得sin2。=---w[—1,1],解得％G[4,12].

K

【解二】對(duì)己知條件進(jìn)行配方：（x+y）2+3：/=6

令x+y=?cos。，K?y=V^sin8e[0,2〃]

于是x2+4y2=-4sin（2e+?）+8w[4,12]

【解三】令《，已知條件可化為加2_2〃=6

xy=n

2,22Am2-6._2

x+4y=m~-4x-----=12—m-

2

將x=〃?—2y代入已知條件得4y2—2沖+加2—6=0,關(guān)于y的二次方程有解，得

A=4/??2-16（/M2-6）>0=>0<m2<8

于是Y+4y2=i2-”2e[4,12].

【解四】6=d+2yr+4y224回|+2冷，

對(duì)于不等式624|個(gè)，|+2封，令f=孫，6>4|?|+2r^6-2r>4|f|^（6-2?）2>16f2=>-3<Z<l

解得—34肛VI,于是￡+49=6-2母<4,12].

若實(shí)數(shù)x,y滿足/一3盯+2V=1,求x?+2/的取值范圍.

-17-

【解一】將已知條件化為(x—-1/=1，不是^+從二尸類型，考慮用平方差化為積式: