高中數(shù)學第八章《立體幾何初步》提高訓練題 (一)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓練題（1）

一、單項選擇題（本大題共2小題，共10.0分）

1.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E、N分別為邊AB,

BC的中點，沿ADE折起，點A折至4處（4與A不重合），

若M、K分別為線段&D,4C的中點，則在MOE折起過程中，（）

A.DE可以與&C垂直

B.不能同時做到MN〃平面為BE且8K〃平面4DE

C.當MN1&D時，MNJ"平面ZiDE

D.直線4C、BK與平面8CDE所成角分別為%，%，%，%能夠同時取得最大值

2.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊8c上的高AO為折痕，把△ABD和AACD折成一個直二面

角B—AD-C,某學生得出下列四個結論：

BDCBC

①BD-LAC;②ABCA是等邊三角形；

③三棱錐0-ABC是正三棱錐；④平面ADC平面ABC.

其中正確的是（）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

二、多項選擇題（本大題共15小題，共60.0分）

3.正方體4/iGDi-4BC0的棱長為2,E,F,G分別為BC,CG，BBi

的中點，則下列說法正確的是（）

A.直線與直線A尸垂直

B.直線41G與平面AEF平行

C.平面AE尸截正方體所得的截面面積為T

D.點C與點G到平面AEF的距離相等A

4.將邊長為2的正方形A5CD沿對角線B。折成直二面角A-BD-C,點P為線段A。上的一動點，

下列結論正確的是（）

A.異面直線AC與8。所成的角為60。

B.△ACD是等邊三角形

C.△BCP面積的最小值為叵

2

D.四面體A8CD的外接球的表面積為8兀

5.在三棱錐P—4BC中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AB=2,PA=PC=V5,

二面角P-AC-B的余弦值為-在，則下列說法正確的是

3

A.AC1PB

B.點P到平面ABC的距離為1

C.三棱錐P-ABC的體積為2

D.三棱錐P-ABC的外接球的體積為9兀

6.如圖直角梯形4BCD,4B〃CD,AB，BC,BC=CQ=T4B=2,E為A8中點，以。E為折痕把

團4DE折起，使點八到達點P的位置，且PC=2g,則（）

A.平面POE1平面EBCD

B.PC1ED

C.二面角P-DC-B的大小為日

4

D.PC與平面PE。所成角的正切值為我

7.（多選題）如圖所示，在直角梯形BCEF中，4CBF=4BCE=90。，4,。分別是8F,CE上的點，

AD//BC,且AB=DE=2BC=24F（如圖①）.將四邊形AOE尸沿4。折起，連接BE,BF,CE（

如圖②）.在折起的過程中，下列說法中正確的是（）

E

A.AC〃平面BEF

B.B,C,E,尸四點不可能共面

C.若EF1CF,則平面ADEF_L平面ABCD

D.平面BCE與平面BEF可能垂直

8.如圖，在菱形4BCD中，AB=2,zABC=60°,例為BC的中點，將△ABM沿直線AM翻折成

△ABiM,連接和N為Bi。的中點，則在翻折過程中，下列說法中正確的是（）

A.AM1BiC

B.CN的長為定值

C.4%與CN的夾角為*

D.當三棱錐當-AMD的體積最大時，三棱錐Bi-AMD的外接球的表面積是8兀

9.在三棱柱4BC-&B1C1中，E,F,G分別為線段A8,&B1，的中點，下列說法正確的是（）

A.平面AQF〃平面&CEB.直線FG〃平面&CE

C.直線CG與BF異面D.直線的尸與平面CGE相交

10.如圖，四棱錐P-ABCC中，底面ABC。為菱形，力。=4,^BAD=；,面PAD1?ABCD,4PAD

為等腰直角三角形，且4”。=今AC與80交于點O,E為PC的中點，尸在直線PA上，若曹=九

則下列說法正確的有（）

a

A.異面直線尸。與A。所成角的余弦值為立

4

B,當;1=：時，平面OEF_L平面。EF

C.點D到平面OEF的距離為學

D.存在；I,使得CF1PB

11.如圖四棱錐P-ABCD,平面PAD，平面ABCD,PAD是邊長為2遍的正三角形，底面ABCD

為矩形，CD=2b，點。是的中點，則下列結論正確的是（）

A.CQ，平面PAD

B.PC與平面4QC所成角的余弦值為1■四

3

C.三棱錐B—ACQ的體積為6夜

D.四棱錐Q-48C。外接球的內接正四面體的表面積為24百

12.在直三棱柱ABC-AiBiG中，乙4BC=90。，AB=BC=2,AAr=2,M是

BC的中點，N是4G的中點，點P在線段BiN上，點。在線段AM上，且

AQ=lAM,S是4cl與4C的交點，若PS//面BiAM,則

A.PS"B\Q

B.P為&N的中點

C.AC1PS

D.三棱錐P-BiAM的體積為|

13.在直三棱柱4BC-aBiCi中，^ABC=90°,AB=BC=2,AAr=2,M

是BC的中點，N是&G的中點，點P在線段BiN上，點。在線段AM上，

且AQ=|AM,S是4cl與41c的交點，若PS〃面5遇“，則

A.PS//B0

B.P為&N的中點

C.AC1PS

D.三棱錐P-的體積為|

14.在直三棱柱ABC-&B1C1中，AABC=90°,AB=BC=2,AAr=2,M

是BC的中點，N是&G的中點，點P在線段&N上，點。在線段AM上,

且S是4cl與&C的交點，若PS〃面BiAM,則（）

A.PS//BrQ

B.P為aN的中點

C.AC±PS

D.三棱錐P-BiAM的體積為|

15.如圖四棱錐P-ABCD,平面PAD1平面A8C。，側面PAD是邊長為2遍的正三角形，底面ABCD

為矩形，。。=2百，點。是尸。的中點，則下列結論正確的是

A.CQ1平面PAD

B.PC與平面AQC所成角的余弦值為斗

C.三棱錐B-ACQ的體積為6魚

D.四棱錐Q-4BCD外接球的內接正四面體的表面積為24國

16.如圖，四棱錐P-4BC0,平面PAO_L平面ABC。，側面PA。是邊長為2e的正三角形，底面

ABCD為矩形，CD=2V5，點。是P。的中點，則下列結論正確的是（）

A.CQ1平^PAD

B.PC與平面AQC所成角的余弦值為雷

C.三棱錐B-4CQ的體積為6位

D.四棱錐Q-4BCD外接球的內接正四面體的表面積為24次

17.如圖四棱錐P-ABCD,平面PAD1平面ABC。,側面PAO是邊長為2傷的正三角形，底面ABCD

為矩形，CD=26，點Q是的中點，則下列結論正確的是

A.CQ1平面PAD

B.PC與平面AQC所成角的余弦值為雷

C.三棱錐B-ACQ的體積為6位

D.四棱錐Q-4BC。外接球的內接正四面體的表面積為24百

三、填空題（本大題共7小題，共35.0分）

18.如圖，在矩形A6C。中，AB=2,4。=1,點E為CO的中點，F(xiàn)為線段CE（端點除外）上一動

點.現(xiàn)將△O4F沿AF折起，使得平面4B。_L平面4BC.設直線與平面ABCF所成角為8,。的

取值范圍為

19.如圖，在四邊形ABC。中，ADHBC,AD=AB,/BCD=45。，/.BAD=90°,將△4BD沿8。

折起，使平面4BDJ_平面BCD,構成三棱錐4一BCD,則在三棱錐4-BCD中，下列判斷正確

的是.（寫出所有正確的序號）

①平面ABD1平面ABC②直線BC與平面ABD所成角是45。

③平面ACDL平面ABC④二面角C-4B-D余弦值為苧

20.如圖，在棱長為1的正方體4BCD—4B1GD1中，點E,尸分別是棱

BC,CG的中點,P是側面BC。1Bi內一點（含邊界），若&/7/平面AEF,

點P的軌跡長度為_.直線&P與平面BCG/所成角的正切值的取

值范圍是.

21.四棱錐S-4BCD中，底面A8CQ是邊長為2的正方形，側面SAO是以S。為斜邊的等腰直角三

角形，若2或WSCW4,則四棱錐S-4BCO的體積取值范圍為

B

22.如圖，正方體力8。。-力道停1。1的棱長為1,線段氏以上有兩個動點E、F,且EF=」，現(xiàn)有

2

如下四個結論：

@AC1BE；②平面EFC*〃平面&BD；③異面直線AE、B尸所成的角為定值；④三棱錐4一

BEF的體積為定值.

其中正確結論的序號是

23.在三棱錐S-4BC中，底面13ABe是正三角形且S4=SB=SC,M是SC的中點，且4M1SB,

底面邊長4B=2位，則三棱錐S-ABC體積為,三棱錐S-ABC外接球的表面為

24.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,40=1,點E為8的中點，F(xiàn)為線段CE（端點除外）上一動點

.現(xiàn)將團ZL4F沿AF折起，使得平面ABO，平面A8C.設直線與平面A8CF所成角為。，貝kin。的

最大值為.

四、解答題（本大題共6小題，共72.0分）

25.如圖所示，直角梯形4BC。中，AD//BC,AD1AB,AB=BC=2AD=2,四邊形EDCF為矩

形，CF=V31平面EDCF1平面ABCD

(I)求證:DF〃平面ABE；

(H)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值；

(HI)在線段。尸上是否存在點P,使得直線8尸與平面ABE所成角的正弦值為日，若存在，求出

線段8P的長，若不存在，請說明理由.

26.已知四棱錐P-4BCD中，底面ABC。為梯形,4B〃C0,CD=2AB=2,tan4B40=2tan4BCD=

3,PA=V10，PC=4,/.PCD=

(I)若E為PC的中點，求證：BE〃平面PAD；

(II)求二面角B-PC-。的正弦值.

27.在四棱錐P-4BCD中，平面RW_L平面H8C。，底面月BCD為直角梯形，BCHAD,ZADC=90。,

BC=CD=~AD=\,E為線段4D的中點，過BE的平面與線段PD,PC分別交于點G,F.

(1)求證：GF1PA；

(2)若R4=PDf,是否存在點G，使得直線P3與平面3EGF所成角的正弦值為半，若存在,

請確定G點的位置；若不存在，請說明理由.

28.如圖，在三棱錐P—ABC中，P41底面ABC,4B4C=90。.點。，E,N分別為棱PA,PC,BC

的中點，M是線段的中點，PA=2C=4,AB=2.

(1)求證：MN〃平面BDE；

(2)求二面角C-EM-N的正弦值;

(3)已知點”在棱PA上，且直線N”與直線BE所成角的余弦值為手，求線段A”的長.

29.如圖，在三棱錐P-ABC中，PAUS?ABC,zBAC=90°點D,E,N分別為棱PA,PC,BC

的中點，M是線段A￡）的中點，PA=AC=4,AB=2.

(I)求證：MN〃平面BDE；

(口)求二面角C-EM-N的正弦值；

(HI)已知點4在棱PA上，且直線N"與直線BE所成角的余弦值為?，求線段A”的長.

30.在四棱錐P-4BCD中，側面PAO，底面A8CD,PA=AD=DC=6,AC=6y[2,AB=3>

CD〃平面PAB,ZPAD=60°

(1)求證：平面PCO_L平面P8C；

(2)求二面角P一BC—。的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：。

解析：

根據(jù)題意，利用逐個檢驗法，畫出圖形判斷即可.

考查線線垂直，線面垂直，線面所成的角，線線平行，線面平行等，本題設計知識點交點，綜合性

強，難度較大.

解：對于A,連接EC,在矩形A8C￡>中，AD=AE=1,BC=BE=1,=Z.EBC=90°,

A^DEA=乙CEB=45°,乙DEC=90°,DE1EC,

假設DElAiC,又ECn41C=C,EC,AiCu平面AiEC,

二DE1平面AiEC,4iEu平面DE14iE,而AiEO=45。，錯誤;

對于B,取OE,DC中點、G,F,連接GM,GN,FK,FB.

???GM/ZA^,GN//EB,

因為GM〃&E,MG<t平面&8E,&Eu平面&BE,所以GM〃平面&BE,

因為GN〃EB,GNU平面4BE,BEu平面&BE,所以GN〃平面&BE,

又GM,GNu平面GMN,GMC\GN=G,

二平面48E〃平面GMN,MNu平面GMN,：.MN〃平面&BE.

同理可證平面尸KB〃平面&OE,BK〃平面錯誤；

對于C,連接ME,EN,當MNJL4。時，MN2=DN2-DM2=CD2+CN2-DM2=CD2=4,

而ME?=EN2=三，MN與ME不垂直，即用N不垂直平面&DE,錯誤；

4

對于。，???久在以為直徑球面上，球心為G,&軌跡為1外接圓⑷與不重合）,

連接EC,取EC中點T連接TK,TB,

??.TKWTB=苧MTB=135。=BK/，

直線4C、BK與平面BCQE所成角取得最大值時，點&到平面BCDE的距離最大.二。正確.

故選：D.

2.答案：B

解析：

【試題解析】

本題考查空間中線線、線面及面面之間的位置關系，著重考查線面垂直的判定與性質，面面垂直的

性質，多面體的幾何特征和二面角的作圖與運算，屬于較難題.

設等腰直角三角形△ABC的腰為。，①利用面面垂直的性質定理易證BD1平面4DC,再利用線面垂

直的性質可知BO1AC,從而可判斷①;②依題意及設法,利用勾股定理可求得BC=a=AB=AC,

從而可判斷②；③根據(jù)②及。4=OB=0C,根據(jù)正三棱錐的定義判斷；④作出平面AOC與平面

ABC的二面角的平面角，利用B0，平面4OC可知，NBOF為直角，NBFD不是直角，從而可判斷④.

解：設等腰直角三角形△ABC的腰為a,

①?.?。為BC的中點，.?.401BD,AD1CD,

又由題意知平面4B01平面AC。，平面48。n平面AC。=40,BD1AD,BDu平面AB。，

BD1平面ADC,又ACu平面ADC,

BD1AC,故①正確；

②由①知，BDJ■平面AQC,8<=平面4。。，

???BD1CD,

又由等腰三角形可知AD=BD=CD=—a，

2

???折疊之后由勾股定理可得：BC=a,

又4B=AC=a,

.?.△ABC是等邊三角形，故②正確；

③vA4BC是等邊三角形，且=DB=DC,

???三棱錐D-4BC是正三棱錐，故③正確.

④由①中4D1CD和②中力。=CD可知△4DC為等腰直角三角形，

取斜邊AC的中點凡連接OF,則DF14C,

又A/IBC為等邊三角形，連接BF,貝IJBF14C,

NBFC為平面4OC與平面ABC的二面角的平面角，

由BD1平面AOC可知，4BDF為直角,48FD不是直角，

故平面AOC與平面ABC不垂直，故④錯誤；

綜上所述，正確的結論是①②③.

故選B.

3.答案：BC

解析：

本題考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關系及截面積有關的計算問題，綜合性較強，

屬于較難題.

A.利用線面垂直的性質進行分析；B.作出輔助線利用面面平行判斷；C.作出截面然后根據(jù)線段長度計

算出截面的面積；。.通過等體積法進行判斷.

解：4若。|O_LAF,又因為O|D_LAE,且=AE,4Fu平面AEF,

所以DDt±平面AEF,又EFu平面AEF,

所以。EF,又。OJ/CCi，所以CCJEF,

顯然CCJEF是不成立的，故A錯誤；

B.如圖所示，取BiG的中點。，連接&Q,GQ,

由條件可知：GQ//EF,A[Q〃AE,AQC平面AEF,AEu平面AEF,GQC平面AEF,EFu平面

AEF,

所以&Q〃平面AEF,GQ/mAEF,

且GQn&Q=Q,GQ、&Qu平面4GQ,

所以平面&GQ〃平面AEF,又因為&Gu平面&GQ,

所以&G〃平面AEF,故B正確；

C.如圖所示，連接D1F,D14,

因為E,F為BC，GC的中點，所以EF〃BQ〃45，

所以4E,F,歷四點共面，

所以截面即為梯形AEFDi，

延長D/ME交于點5,

22

由勾股定理得DiS=AS=V4+2=2㈢，ArD=2vL

所以SAAIV=：x2或xJ(2追尸一(32=6，

39

所以S&MAEFQ6X[—,)，

(易知E,F分別為AS,01S的中點，取4%的中點，利用相似三角形可證SRIEF"：S△皿s)，

故C正確；

。.記點C與點G到平面AEF的距離分別為刈,電，

因為Vf-AEF=3"SM"'=yA-CEF=3X~'2=§，

又因為匕J-AEF=：-S&AEF-九2=^A-GEF=|X一X2=|?

所以砥手電，故。錯誤.

故選：BC.

4.答案：BD

解析：

本題以平面圖形的翻折為載體，考查空間中直線與平面之間的位置關系，空間幾何體的表面積，屬

于難題.

根據(jù)線面垂直即可判斷A；根據(jù)直二面角即可判斷B；過P作PF1BC于F,過下作FG1BC于G,

得BC1PG,沒PF=x，則DF=x,BF=2五-X,求出PG最小值，進而判斷C；根據(jù)外接球表面

積公式判斷D.

解：如圖所示：

取80的中點。，連接0A,0C,

則041BD,OC1BD,

又CMC0C=。04U平面CMCOCC平面04c，

得BD±平面0A0,

因為C平面。4U得7W1AC,

故異面直線AC與8。所成的角為90。，故A項錯誤；

因為二面角4-B0-C為直二面角，貝吐40C=90。，

因為。4=0C=A/L則AC=2,故AC=C0=40,

得△ACD是等邊三角形，故B項正確；

過P作PF1BC于F,過尸作FGJ.BC于G,

連接PG,因為平面.AOB_L平面3CD,

所以PP_L平面PliJPF1FG,PFLBC,

又FGCPF=F,PF、FGu平面PFG,

所以平面PFG,

又PGu平面PFG,???BCLPG,

骸PF=x，則DF=x,BF=2V2-x.

???FG=2

PG=卜+(2-獷=思-呻+,

...當工=竽時,PG有最小值竽，

故4BCP面積的最小值為工x2x*=*，故C項錯誤；

233

由于04=OB=0C=0D=V2,

則四面體ABC。的外接球的球心為O,半徑為企，

得四面體ABCC的外接球的表面積為4兀(/?=8兀，故。項正確.

故選BD.

5.答案:AB

解析：

本題考查空間幾何體的結構特征，二面角的應用，考查幾何體的體積求法，空間距離求法及球的體

積公式的應用，屬較難題.

依題意，根據(jù)空間幾何體的結構特征，結合條件，根據(jù)棱錐及球的體積公式逐項判斷即可.

解：如圖所示，取4c的中點0,連接P0,0B,

因為P4=PC,AB=BC,所以0P14C,OBLAC,

可知NPOB為二面角P-4C—B的平面角，故COSNPOB=.

3

在平面PB。內過點P作8。的垂線交B0的延長線于點。，COSAPOD=—.

3

^OP1AC,OBJ.AC,OPCOB=0,OPu平面P8。，OBu平面PB。，

可得AC_L平面尸80,因為PBu平面P3。，所以4clpB,A正確;

因為4C1平面PB。，「。＜=平面28。，所以4C1.PD,

又因為PD_LB。，ACQBO=0,ACu平面ABC,B。u平面ABC,

所以PO_L平面ABC,

OP=＞JAP2-OA2=V5^2=百，

所以OD=OPcos^POD=V3x—=V2.

3

DP=70P2-0。2=1,即點P到平面ABC的距離為1,B正確；

三棱錐P—力BC的體積V=1x之x48xBCxPD=|,C錯誤；

所以。4=0C=0D=0B=&,則四邊形ABC。為正方形，

從而易聯(lián)想到將此三棱錐補形成長方體4BC。-EFGP,

所以三棱錐P-4BC的外接球即為長方體ABC。-EFGP的外接球，且P8為該外接球的一條直徑，

又PB="AD?+CD?+PQ2=3,所以該外接球的半徑R=|,

所以該三棱錐的外接球的體積為V=：兀/?3=故。錯誤.

133oZ

故選AB.

6.答案：AC

解析：

本題考查了空間中垂直關系的相互轉化，線面角，面面角求解，屬于較難題目.

利用面面垂直判定定理證明A選項；假設尸。1磯）可推出線面垂直，然后可得NEO/，=NE￡M=

90°,顯然不成立；

確定二面角的平面角為/以用，然后可判斷C；NCPD為直線PC與平面P/汨所成角，在RSPCD

中，tanNCPD=—=也即可判斷D.

PD2

22

解：A中，pD=AD=VJF+DF=V2+2=2y/2'

在三角形PQC中，PD2+CD2=PC2'所以PQ_LCZ），又CDtDE，PDnDE=D,

可得。1平面以義），。。＜=平面后3。。，所以平面平面EBCO,A選項正確；

B中，若PC1ED，又EDiCD，PCnCD=C,

可得平面POC，則ED1PO，而NEDP=/ED4，顯然矛盾，故B選項錯誤：

C中，二面角尸―OC—B的平面角為NP。"，根據(jù)折前折后角度不變知NP0E=4￡>E=45°，故

C選項正確；

。中，由上面分析可知，NCPD為直線尸C與平面所成角，在RSPCO中,

tanZCF￡>=->故。選項錯誤?

PD2

故選：AC.

7.答案：ABC

解析：

本題考查線面平行、面面垂直的判定定理，屬于中檔題.

由線面平行、面面垂直的判定定理，進行判斷即可.

解：取4c的中點為。，取BE的中點為M,連結M0,

則MO〃OE,M。=^0E,則M0〃4F,MO=AF,得四邊形AOMF為平行四邊形,

即4C〃FM,FMu平面BEF,AC不在面8EF內，

???4(7/平面8后/，故A正確；

???直線BF與CE為異面直線，

：.B、C、E、尸四點不可能共面，故B正確：

在梯形AQEF中，易得EF1FD,又EF1CF,FD、CFu平面CQF且交于點兄

EF_L平面CDF,又???CDu平面CDF,

：.CD1EF,又因為AD〃BC,乙BCE=90°,

CD1AD,

和AD必交于一點且在平面ADEF內，

CD_L平面ADEF,-：CDu平面ABCD,

.??平面AOEF_L平面ABCD,故C正確；

延長A尸至G使得4F=FG,連結8G、EG,

易得平面BCE_L平面ABF,過f作FNJ.BG于N,則FN1平面BCE,

若平面BCE_L平面BEF,則過尸作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故￡＞錯誤.

故選ABC.

8.答案：ABD

解析：

本題考查幾何體的翻折問題，考查線面垂直的判定與性質，異面直線所成的角，空間中的距離，球

的表面積計算，考查空間想象能力，屬于中檔題.

對于A,由AM1BC,且將AABM沿直線AM翻折過程中4M1秘IM_LCM的關系不變即可判

定；對于B,由面面平行的判定定理及等角定理可得NNF。9(),運用勾股定理計算即可判定；

對于C,由NE〃ABi即可判定線線角，由此計算即可判定；由翻折過程中，面ABiMl面4加€7)時

三棱錐81-AMD的體積最大即可得出三棱錐特征，由三棱錐特征可計算其外接球半徑，即可求解判

定.

解：對于A,因為菱形ABCD中，|4B|=2,4ABe=60°,M為3c的中點，所以4M1BC,將A4BM

沿直線AM翻折成AABiM,則AM1BrM,AM1CM,因為當"nCM于點M,且u面B、MC,CMu

面B、MC,所以4MJ.頤i"C,又因為B[Cu面B]MC,所以AM1&C,故A正確；

對于8,如圖1,取A￡＞的中點為E,連接CE交MQ于點F,因為N為8道的中點，則NE〃ABi，CE〃/1M,

由面面平行的判定定理可得面481M〃面ENC,又因為面4B1M和面ENC均與平面&M。相交，交線

分別為和NF,所以由A可得4Ml由等角定理可得NNF「90,又因為

\NF\=^\B1M\=^\FC\=^\AM\=^-,

所以|NC|=JlNFp+|FC『=](+]=],為定值，所以8正確;

圖1

對于C,由B可得NE〃AB「所以4NEC或其補角即為4當與CN的夾角，在△ENC中，|EN|=與他/=

1，\EC\=HM|=V3.\NC\=1,所以cos/NEC="9變=_匕所以AB1與CN的夾角為'；，故

2X1X12?>

c錯誤；

對于。，因為在翻折過程中，△AMD始終不變，又由A可得AM所以將AABM沿直線AM

翻折過程中，當面4&MJJSAMCD時，三棱錐&-AM。的體積最大.此時由面48泌1面AMCC,

面ABiMn面力MCD=AM,AM1BXM,可得1面AMCD.又因為MC〃4D,所以AMIAD,所以

Bi。即為三棱錐&-AM。的外接球的直徑，由|MD|=y/\AM\2+\AD\2=V3T4=近，可得以。|=

+|MD|2=VTT7=2V2）

所以球的半徑為近，表面積是8元，故。正確.

故答案為：ABD.

9.答案：AC

解析：

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結構特征，異面直線，線面平行的性質，面面平行

的判定，平行公理與等角定理，線面平行的判定和反證法，屬于較難題.

利用棱柱的結構特征得4F〃E/,GF〃CE,再利用線面平行的判定和面面平行的判定，對A進行

判斷，利用線面平行的性質，結合反證法和平行公理對8進行判斷，利用異面直線的判定對C進行

判斷，利用線面平行的判定對。進行判斷，從而得結論.

解：對于A、如圖：

在三棱柱ABC—4B1G中，E、尸分別為線段AB、41&的中點,

所以4F〃EBi，C[F〃CE,

而AF,GFC平面為CE,EB],CEu平面％CE,

因此AF〃平面&CE,GF〃平面&CE.

又因為AFCGF=F,4F，GFu平面4GF,

所以平面AC/〃平面/CE,因此A正確；

對于B、如圖：

若直線FG//平面&CE,

而FGu平面44[BiB,平面44i&Bn平面BiCE=

因此FG〃EB「

又因為4F〃E8i，所以4F〃尸G,

這與AFnFG=尸相矛盾，因此B不正確；

對于C、如圖：

1

c

因為直線CG與平面44/1B交于G,BFu平面44$出，且G任BF,

所以直線CG與B尸異面，因此C正確；

對于。、如圖：

因為GF〃CE,CrFC平面CGE,CEu平面CGE,

所以GF〃平面CGE,因此。不正確.

故選AC.

10.答案：AD

解析：

此題主要考查異面直線所成角，面面垂直的判定，點到平面的距離，線線垂直的判定，屬于中檔題；

解題時通過分析條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量解決，4轉化為

兩向量所成的角，注意角的范圍；B.利用法向量判定面面垂直；C.利用向量求點到平面的距離；。.假

設存在，利用向量的數(shù)量積為0,求得;I.

解：

z

取A。的中點0，，連接P0',O'B,

由△PAD為等腰直角三角形，且〃PD=],

則P。'LAD,

又平面PAD_L平面ABCD,平面PAOC平面AD,

且PO'C平面PA。，

故PO'1平面.ABCO,又OBU平面C平面ABC。，

貝l」P。'1O'B,PO'1O'D,

又底面ABC。為菱形，/.BAD=p

則△ABC為等邊三角形，則O，B_LA。,

故可建立以。'為原點，分別以。'8,0'。,。字為x,y,z軸的空間直角坐標系.

4(PAD為等腰直角三角形，且AD=4,

則P(0,0,2),且0(g,1,0),A(0,-2,0),￡)(0,2,0),

則而=(一遍,一1,2),而=(0,4,0),

設異面直線PO與AD所成角為a,

則cosa=|cos灰，砌|=卷制=看=爭

故A正確；

B當；1=9時，即詈=：，則尸(0,一：，9，

且E(低2,1),0(73,1,0),D(0,2,0),

則灰=(0,1,1),OF=

DF=(V3,0,l),DF=

設平面OE尸的法向量為口=(x,y,z),

則及，話，plOF-

(y+z=0

叫一伍一|y+gz=0)

令z=1,則y=_l,x=V3,

即平面OEF的法向量為口=(V5,-1,1)，

設平面DE尸的法向量為=(x,y,z),

則礪，vLDF，

令x=V3,則z=—3,y=-I，

即平面QEF的法向量為^=(百,一|,一3),

因口?至=3+|-3H0,即■與不垂直，

故平面OEF與平面。瑁7不垂直，

故8錯誤；

C.DO=(V3.-1.0).

平面OEF的法向量為■=(V3)-1.1),

則點D到平面OEF的距離為喀=白=釁，

I川V55

故C錯誤；

DjPB=（2V3,0,-2）,

若嬴=九則F(0,-24,2—24),

則加=(0,-24-2,2-24),

若DF1PB,則麗?麗=0，

即2—2Z=0,即2=1,

即尸與A重合時，DF1PB,

故存在；I,使得DF1PB,故。正確;

故選AD

11.答案：BD

解析：

本題考查線面垂直的判定，直線與平面所成角，空間中的距離，棱錐體積的計算，圓錐外接球性質

的運用，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬較難題.

選項4根據(jù)兩平面垂直，得到底面是矩形，進而得到CD■!_平面尸4力，根據(jù)過一點向平面作垂線只

能做一條垂線，即可判斷，

選項8：取A。的中點E,連接PE,AQ,AC,EC,先證明PEJ■平面ABC。，進而得到PE1EC,

再根據(jù)CD_L平面PAO進而得到C。J.PD,通過邊長關系證明CQ2+AQ2=ac2,即Q4iQC,再利

用三角形面積公式計算出面積，設點P到平面AQC的距離為"，根據(jù)兩體積相等列等式求解人進

而求出正弦值，即可得出余弦值，即可判斷，

選項C：根據(jù)%_ACQ=%-4BC，結合點。是的中點直接求體積即可.

選項D：連接BD交AC于點N,連接QN,易知點N即為四棱錐Q-4BCD外接球的球心，半徑R=3,

設該球內接正四面體的棱長為。，進而求出八=卜一(|xj=苧，結合R2=6x?aj+

(八一R)2求出a的值，即可求出表面積.

解：對于A

???平面PAD1,平面ABCD,平面PADn平面4BCD=AD,底面ABCD為矩形，

CDLAD,CDu平面ABCD,

：.CD1平面PAD,而CQCCD=C,

若C'Q_L平面月4力，則與過一點向平面作垂線只能做一條矛盾，故4錯誤；

對于B:取AQ的中點E,連接PE,AQ,AC,EC,

所以PE140,

又平面PAD1平面ABCD,平面PADn平面ABC。=AD,PEu平面PAD,

所以PE1平面ABC。，

又ECu平面ABCD,

所以PE1EC,

易知PE=AQ=2顯4=3V2.EC=yjDE2+DC2=<6+12=3VL

AC=>JAD2+DC2=424+12=6-

PC=yJPE2+EC2=V18+18=6，

又CD_L平面PAD,PDu平面PAD,

所以CD1PD,

所以CQ=yJCD2+DQ2=V12+6=3VL

所以CQ2+4Q2=AC2,

所以QA1QC,

所以S^Qc=4?QC=：x3&x3&=9,

又SXPQA=；PQ?AQ=|x3/x遍=3V3,

設點P到平面AQC的距離為d,則由%_PQ4=VPTCQ，

則有《SAPQA-CD=lsAQC-d,Bpix3V3x2V3=1x9xd,

所以d=2,

則.PC與平面AQC所成角的正弦值為卷=I，

所以PC與平面AQC所成角的余弦值為=手，故8正確；

對于C：

VB-ACQ=%-ABC，

???點。是尸。的中點，

??.點Q到平面A8CD的距離為點P到平面ABCD的距離的一半，即苧，

S448c=gX2^6X2V3=6>/2,

"^B-ACQ~^Q-ABC=,X6"\/2X=6，故C錯i天；

對于D:連接8。交4c于點N,連接0M

易知N4=NB=NC=ND=3,

又QN=3AC=3,

所以點N即為四棱錐Q—ABC。外接球的球心，半徑R=3,

設該球內接正四面體的棱長為m

則正四面體的高h=Ja2_(|x豹,=苧，

22

又有R2=(|x*)+(*R)2,即9=9+(苧一3)，

解得a=2A/6,

正四面體的表面積S=4xix—a2=4x—x24=24取,故O正確.

224

故選BD.

12.答案：ACD

解析：

本題考查了簡單多面體(棱柱、棱錐、棱臺)及其結構特征，棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和

體積，平面的基本性質及應用，線面平行的性質，線面垂直的性質和空間中的距離，屬于較難題.

利用直三棱柱力BC-AiBiG的結構特征構建一個邊長為2的正方體力BCD-AiBiGDi，連接劣名，

連接當。1，利用正方體的結構特征，結合平面幾何知識得點P在線段當以上，連接2。，交AC于O,

利用平面幾何知識得點。在8。上且BQ=|BO,連接BD1，利用平面幾何知識得點S在BD】上，且

是BD】的中點，利用平面的基本性質得PSu平面DDiBiB,再利用線面平行的性質對A進行判斷，在

平面DD1/B中，利用平面幾何知識對8進行判斷，利用正方體的結構特征得力S1平面。Di/B,再

利用線面垂直的性質對C進行判斷，利用點到面的距離和線到面的距離得點尸到平面的距離

等于點S到平面Bp4M的距離，再利用三棱錐的體積公式得遇M=%-BMM，再結合題目條件得

匕-&4M=即-JAM=2-B[AM，再利用二棱錐體積等量得=〃-BiQM，再

利用三棱錐的體積公式計算％.BCM對。進行判斷，從而得結論.

解：因為在直三棱柱4BC-&B1G中，/.ABC=90°,AB=BC=2,=2,

所以構建一個邊長為2的正方體ABCC-如下圖：

連接當。1，因為N是41cl的中點，

所以N是當么與41cl的交點，且N是當劣的中點，

而點P在線段&N上，因此點P在線段a￡(1上.

又因為M是BC的中點，點。在線段4M上，且AQ=§4M,

所以點。是△ABC的重心.

連接80,交AC于O,則。是AC的中點，也是8。的中點.

由。是AC的中點知：B0是△ABC在AC邊上的中線，

因此點。在BO上，即點Q在BO上，且BQ=；B0.

又因為S是4cl與4C的交點，連接85，

所以點S在BO】上，且是BQ的中點.

對于A、因為點P在線段揚。1上，點S在BO】上，所以PSu平面DD/iB.

又因為點。在BO上，所以BiQu平面。。近18,

而平面。。1&Bn平面BiAM=BiQ,PS〃面/4%

因此PS〃BiQ,所以A正確;

對于8、如圖：

oQ

在平面。。1當8中，設8iQn￡)iB=H.

因為BQ=|BO,。是80的中點，

所以BQ=：BD=1B】Di，

因此即=

所以言=|=署,即&P=汕81=|84，

U-ynoL*j[DJ3J

因此8不正確；

對于C、在正方體力BCD-AiaGDi中，

因為AC1平面DDiBiB,PSu平面CDiBiB,

所以4clpS,因此C正確；

對于。、因為PS〃平面&AM,

所以點P到平面814M的距離等于點S到平面&4M的距離,

因此/-BiAM=^S-BiAM-

又因為S是4Ci的中點，所以%-BiAM=3%1-8遇“,

即Vp-Bi4M=4M.

1

又因為匕?i-Bi4M=勿-BiCW=-SABRIM

=-1xc2xl-xe2xc2=-,4

323

所以“P-BiAM==|?因此。正確.

故選ACD.

13.答案：ACD

解析:

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結構特征，棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和

體積，平面的基本性質及應用，線面平行的性質，線面垂直的性質和空間中的距離，屬于較難題.

利用直三棱柱ABC-的結構特征構建一個邊長為2的正方體ABC。-A^C^,連接當心，

連接劣5，利用正方體的結構特征，結合平面幾何知識得點P在線段當么上，連接BD,交AC于O,

利用平面幾何知識得點Q在8。上且BQ=|B0,連接BO1，利用平面幾何知識得點S在BQ上，且

是BO】的中點，利用平面的基本性質得PSu平面再利用線面平行的性質對4進行判斷，在

平面中，利用平面幾何知識對B進行判斷，利用正方體的結構特征得4SJ?平面DDiBiB,再

利用線面垂直的性質對C進行判斷，利用點到面的距離和線到面的距離得點尸到平面/4M的距離

等于點S到平面&4M的距離，再利用三棱錐的體積公式得/=遇M，再結合題目條件得

=

^S-BtAM即Up-BiAM=3L-B14M，再利用二棱錐體積等量得外4M=Kt-BiQM，再

利用三棱錐的體積公式計算匕_BgM對。進行判斷，從而得結論.

解：因為在直三棱柱4BC-&B1G中，/.ABC=90°,AB=BC=2,=2,

所以構建一個邊長為2的正方體4BCC-AiBiQDi如下圖：

連接當。1，因為N是&Q的中點,

所以N是劣義與&Ci的交點，且N是當劣的中點,

而點P在線段&N上，因此點尸在線段當。1上.

又因為M是BC的中點，點Q在線段AM上，且4Q