一元二次函數(shù)、方程和不等式教案

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.2基本不等式（共2課時）

（第1課時）

教材分析

本節(jié)課是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修1第二章第二節(jié)《基本不等

式》第1課時。從內(nèi)容上看學(xué)生原有知識的掌握情況為：初中的勾股定理知識及三角形

相似的知識、圓的相關(guān)知識，會用作差比較法證明簡單的不等式，所以在學(xué)法上要指導(dǎo)

學(xué)生：從代數(shù)與幾何的角度理解基本不等式。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察幾何圖形，進行幾何與

代數(shù)的結(jié)合運用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)結(jié)合的思想觀點，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理

等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)素養(yǎng)

A.推導(dǎo)并掌握基本不等式理解這個基本不a.數(shù)學(xué)抽象：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式；

等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號b.邏輯推理：通過圖形，分析法與綜合法等證明

取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)兩個數(shù)相基本不等式；

等；c.數(shù)學(xué)運算：準(zhǔn)確熟練運用基本不等式；

B.通過實例探究抽象基本不等式；通過多媒d.直觀想象：運用圖像解釋基本不等式；

體體會基本不等式—<4ah等號成立條e.數(shù)學(xué)建模：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式解決；

2

件，進一步掌握基本不等式；

C.積極倡導(dǎo)同學(xué)們進行幾何與代數(shù)的結(jié)合

運用，發(fā)現(xiàn)各種事物之間的普遍聯(lián)系.

教學(xué)重難息

1.教學(xué)重點：從不同角度探索不等式向〈審的證明過程'會用此不等式求某些簡單函數(shù)的最

值；

2.教

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

學(xué)難

核心素養(yǎng)目標(biāo)

點：

（一）.情景導(dǎo)學(xué)

基本

如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會通過介紹第24屆

不等

標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計國際數(shù)學(xué)家大會會

式

的，趙爽是為了證明勾股定理而繪制了弦圖。標(biāo)的背景，進行設(shè)

工而

弦圖既標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動問，引導(dǎo)學(xué)生觀察分2

等號

的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們。析，發(fā)現(xiàn)圖形中蘊藏

成立

條

件；

課前準(zhǔn)備

多媒

體

教學(xué)過程

教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系.的基本不等式，培養(yǎng)

思考1:這圖案中含有怎樣的幾何圖形？學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏

思考2:你能發(fā)現(xiàn)圖案中的相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？輯推理的核心素養(yǎng)，

(二，探索新知同時滲透數(shù)學(xué)文化，

1.探究圖形中的不等關(guān)系和愛國主義教育。

將圖中的“風(fēng)車"抽象成如圖，在正方形A.BCD中有4個全等的直

角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊

長為a,b(arb),

那么正方形的邊長為J/+〃.

這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為a2+b2.

由于4個直角三角形的面積之和小于正方形的面積，

我們就得到了一個不等式：a2+b2>2ab.通過圖形得到了

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，重要不等式的.幾何

正方形EFGH縮為一個點，解釋，為了更準(zhǔn)確地

這時有"+〃=2".(通過幾何畫板演示當(dāng)a=b時的圖像)感知和理解，再從數(shù)

2.得到結(jié)論(重要不等式)：一般的，對于任意實數(shù)a,b,我們有學(xué)的邏輯方面給出

/+/22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.證明，不僅培養(yǎng)了學(xué)

生嚴(yán)謹?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度，

3.思考證明：你能給出它的證明嗎？(設(shè)計意圖：證明：因為

a1+b'-2ab-(a-b》而且還可以從中學(xué)

習(xí)到分析法證明的

v(a-Z?)2>0,:.a2+b2>2ab

大體過程，培養(yǎng)和發(fā)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立

展數(shù)學(xué)抽象和邏輯

4.(1)基本不等式:如果a>0,b>0,我們用石、4b分別代替a、

推理的核心素養(yǎng)，增

b,可得a+b?2向,通常我們把上式寫作：基本不等式

強數(shù)形結(jié)合的思想

—>V^(a>0,b>0)(當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號)

2意識。

5.基本不等式:(1)在數(shù)學(xué)中，我們稱厘為a、8的算術(shù)平均數(shù)，

2

稱而為a、b的幾何平均.數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算

術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).此不等式又叫均值不等式。

(2)從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式

如果學(xué)生類比重要不等式的證明給出證明，再介紹書上的分析法。

用分析法證明：證明不等式審>我(〃>0/>0)

證明：要證應(yīng)把之而

2

只要證Q+622>[ab

只要證->0

只要證(、石-北，20,顯然，是成立的.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，(3)中的等號成立.

(3)理解基本不等式幺心>痣的幾何意

2

義

探究：你能利用這個圖形得出基本不等式“力、

友<等的幾何解釋嗎？

在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點,AC=a,BC=b.過

點C作垂直于AB的弦DE連接AD、BD.(l)AB表示什么?(2)什

2

表示哪個線段?(3)4ab對應(yīng)哪個線段呢？

(4)OD與CD的大小關(guān)系如何？

易證RbACD-RfDCB,那么CD2=CACB即CD=疝.

這個圓的半徑為冬，顯然，它大于或等于CD,即幺吆>瓢,

22

其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合.，即a=6時，等號成立.

.因此：基本不等式向<土心幾何意義是"半徑不小于半弦”

2

【歸納總結(jié)】

1、由趙爽弦圖我們得到了重要不等式：a2+b2>2ah

(1)通過換元我們得到了基本不等式：生心>友

2

(2)兩個不等式的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別：a,b范圍不同;聯(lián)系:等號成

立的條件相同

(3)從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義；

從數(shù)的角度來看，基本不等式揭示了"和"與"積”這兩種結(jié)構(gòu)間

的不等關(guān)系

從不同的側(cè)面理

(三)典例解析

解不等式，培養(yǎng)學(xué)生

利用基本不等式求最值

數(shù)形結(jié)合的思想意

(1)已知a>0,人>0,〃萬=36,求4+陰勺最/卜值。

識。

解析：

Q啜友

/

\a+b?l^ab2/=12(當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=6時取等)

(2)已知a>0,Z?>0,a+/?=18,求“陰勺最大值。

解析：

c/—7a+b.c‘a(chǎn)+b、?.18.02

Q4ab,M?(丁丁—)2=81

222

(當(dāng)且僅當(dāng)a=6=9時取等)

故ab的最大值為81

基本不等式的使用條件

例2、(1)已知x<0,求函數(shù)/1(x)=x+』的最小值

X

解"(x)=x+」=-[(-x)+(/)]?2.(-x)?(-)=-2

xxVx

當(dāng)且僅當(dāng)-x=-1即x=-l時有最小值-2

X

(2)已知x>3,函數(shù)y=》+」一,當(dāng)x為何值時，函數(shù)

x-3

有最值，并求其最值。

解析:

Qx>3

'y="x-3=(X-3)+X_3+3?2\'(x3)?93=5

當(dāng)且僅當(dāng)x-3=—L,即x=4時，函數(shù)有最小值,

%-3

最小值為5。

⑶若0<x<g,求函數(shù)y=x(l-2x)的最大值。

解：v0<x<-,

2

QI-2x>0

2

\y=x(l_2x)=g泰尤(l—2x)W；j1ix+(l-2x)_1

i!28

當(dāng)且僅當(dāng)2g(1-2M,即》=‘時，取"="號.

4

當(dāng)x=!時，函數(shù)片*1-2M的最大值是.

4

跟蹤訓(xùn)練L設(shè)0。<卞求函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值。

3

W：QO<x<-\3-2%>0

\y=2鬟x(3-2x)W2(-----------)2=-

當(dāng)且僅當(dāng)2%=3-2xBPx=-?(0,-)時取等

42

2.函數(shù)/Xx)=4r3+-]=^能否用基本不等式求最小值？

X2+2

由基本不等式知G"J+亍1=?2依2

通過典型例題的

當(dāng)且僅當(dāng)+2=_^=即丘+2=1時取等,而這是不可解析和跟蹤練習(xí)，讓

&2+2

能的，故此函數(shù)不能用基本不等式求最小值。學(xué)生明確運用基本

不等式的三個關(guān)鍵

步驟；一正、二定、

三相等，發(fā)展嚴(yán)謹細

致的思考習(xí)慣，訓(xùn)練

思維的靈活性。

三、達標(biāo)檢測

1.下列不等式中，正確的是（）

4

A.8+一24B.〃+524ab

a

/—a+b3/—

7ab>-D.^+~>2y]3

4

解析：選D.a<0,則a+->4不成立，故A錯；a=1,b=1,于

a

i—a+b

+H〈4ab.故B錯，a=4,/?=16,貝！,故C錯；由

基本不等式可知D項正確.通過練習(xí)鞏固本節(jié)

1所學(xué)知識，提高學(xué)生

2.若a>1,則a+—消勺最小值是（）

3-1

運用基本不等式解

2yl'a

A.2B.aC.^TD.3決問題的能力，感悟

a-1

其中蘊含的數(shù)學(xué)思

解析：選D.a>l,所以a-l>0,

想，增強學(xué)生的邏輯

11/1

所以a+=a-l++1>2A/（a-1）.+1=3.

a-1a-1\la-1推理和數(shù)學(xué)運算素

1養(yǎng)。

當(dāng)且僅當(dāng)a-1=i即a=2時取等號.

a-1

（川4a）

3.若a,6都是正數(shù)，則1+=1+—的最小值為（）

1a）\b）

A.7B.8C.9D.10

解析：選C.因為a,b都是正數(shù),所以

(Z?Y4a)b4a/b4a

l+-l+~=5+~+-->5+2A/---=9,

Iakb)ab\jab

當(dāng)且僅當(dāng)b=2a>0時取等號.

19

4.已知x>0,y>0,且［+,=1,則x+y的最小值為_______.

fl9")y9x

解析：x+y={x+y)--+-=10+-+一

VY)xy

(y9x

>10+2A=10+6=16.

xy

即x=4，片12時等號成立，所以x+y的最小值為16.

四、小結(jié)生學(xué)生根據(jù)課堂

本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式?+^>2ab;基本不等式；兩正數(shù)學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識

a、b的算術(shù)平均數(shù)（等）,幾何平均數(shù)（/石）及它們的關(guān)系要點，及運用的思想

方法。注意總結(jié)自己

（等>〃而）.它們成立的條件不同，前者只要求8、6都是實數(shù)，

在學(xué)習(xí)中的易錯點；

而后者要求a6都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求

函數(shù)最值的重要工具（下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用）.

五、作業(yè)

1.習(xí)題2.21,2,4,5題

2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容

2.2.2基本不等式（第2課時）

教材分析

本節(jié)課是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修1第二章第二節(jié)《基本不等

式》第2課時。從內(nèi)容上看是對基本不等式在實際問題中應(yīng)用的學(xué)習(xí)，通過問題解決，

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在學(xué)法上要指導(dǎo)

學(xué)生：從實際問題中列出數(shù)量關(guān)系式，進而運用基本不等式解應(yīng)用題，數(shù)學(xué)建模能力也

是本節(jié)要體現(xiàn)的重要素養(yǎng)。對例題的處理可讓學(xué)生先思考，然后師生共同對解題思路進

行概括總結(jié)，使學(xué)生更深刻地領(lǐng)會和掌握解應(yīng)用題的方法和步驟。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)素養(yǎng)

A.能夠運用基本不等式解決生活中的應(yīng)用a.數(shù)學(xué)抽象：在實際問題中抽象出不等式；

問題；b.邏輯推理：運用基本不等式求最值的條件；

B.圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、c.數(shù)學(xué)運算：靈活運用基本不等式求最值；

找出數(shù)量關(guān)系進行求解這個中心。例題的安d.直觀想象：運用圖像解釋基本不等式；

排從易到難、從簡單到復(fù)雜，適應(yīng)學(xué)生的認e.數(shù)學(xué)建模：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式解決；

知水平；

C.進一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意

識以及思維的創(chuàng)新性和深刻性.

教學(xué)重難息

1.重點：在實際問題中建立不等關(guān)系，并能正確運用基本不等式求最值；

2.難點：注意運用不等式求最大（?。┲档臈l件

課前準(zhǔn)備

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

多媒

核心素養(yǎng)目標(biāo)

體

（一）、小試牛刀

教學(xué)過程

1.判斷正誤.（正確的打"V",錯誤的打"X"）通過課堂小測，

（1）對任意的a,6eR,若a與b的和為定值測8b有最大值.（）了解學(xué)生對基本不

⑵若9=4,則x+y的最小值為4.（）等式的掌握情況，暴

露問題及時糾正。通

（3）函數(shù)ZW=M+必+i的最小值為）

過解題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)

答案：（l）x（2）x（3）V

學(xué)抽象和邏輯推理

11

2.已知x+y=l且x>0,y>0,則[+,的最小值是（）的核心素養(yǎng)。

A.2B.3C.4D.6

11x+y11

解析：；去一：+==>/、=4,

xyxyxy[x+yj

12/

1

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=Q時取等號，

11x+yx+yyx1

法二：+=+=2++24,當(dāng)且僅當(dāng)x=p二今時取等

xyxyxy2

當(dāng)

通過簡單的應(yīng)用

答案：c

性問題，讓學(xué)生體會

(二，探索新知在實際問題中運用

問題1.用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、基本不等式的步驟。

寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽

象和數(shù)學(xué)建模的核

心素養(yǎng)。

解：(1)設(shè)矩形菜園的長為Xm,寬為ym.^xy=100,

籬笆的長為2(x+y)m

由亨2國，

可得X+y>2V100,2[x+y)>40

等號當(dāng)且僅當(dāng)X、時成立，此時x=y=10,因此，這個矩形的

長、寬為10m時，

所用籬笆最短，最短籬笆為40m

結(jié)論1：兩個正變量積為定值，則和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相

等時取最值.簡記”積定和最小”.

問題2.用段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的

長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

解：設(shè)矩形菜園的長為Xm,寬為ym廁2(x+y)=36,

x+y=18,矩形菜園的面積為孫m2,

由歷工號若=9,

可得xy<^,

可得等號當(dāng)且僅當(dāng)x=3，時成立，此時x=y=9

因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積

為81小

結(jié)論2:兩個正變量和為定值，則積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相

等時取最值.簡記”和定積最大”.

(三)典例解析

均值不等式在實際問題中的應(yīng)用

例1、某工廠要建造一個長方形無蓋貯水(二)

池，其容積為4800m)深為3m。如

果池底每平方米的造價為150元，池壁-------

每平方米的造價為120元，怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低造

價為多少元？

分析：若底面的長和寬確定了，水池的造價也就確定了，因此可轉(zhuǎn)化

為考察底面的長和寬各為多少時，水池的總造價最低。

解：設(shè)底面的長為Xm,寬為ym,水池總造價為Z元，

根據(jù)題意，有通過典型例題解

z=150x^^+120(2x3%+2x3y)=240000+720(%+>)析，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽

象和數(shù)學(xué)建模的核

由容積為4800，/,可得心素養(yǎng)。

3xy-4800xy-1600

由基本不等式與不等式性質(zhì)，可得

240000+720(x+y)>240000+720x2^/xy

即z>240000+720x271600z>297600

可得等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，此時X=y=4()

所以,將水池的地面設(shè)計成邊長為40m的正方形時總造價最低，最低

造價為297600元

跟蹤訓(xùn)練1.某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所

示的一個矩形綜合性休閑廣場，其總面積為3000m2,其中場地四

周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2m,中間的三個矩形區(qū)域?qū)?/p>

設(shè)塑膠地面作為運動場地(其中兩個小場地形狀相同)，塑膠運動場地

占地面積為5平方米.

(1)分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域)；

(2)怎樣設(shè)計能使S取得最大值，最大值為多少？

［解析］Q)由已知以=3000,2a+6=y,

3000

貝Uy=*(6<%<500),

y-6

S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a=(2x-10)-?=(x-5)(y-6)=

15000

3030-6-x(6<x<500).

150001—15000

(2)S=3030-6x-*43O3O-21/6￥*=3030-

2x300=2430.

15000

當(dāng)且僅當(dāng)6x=*，即50時，"="成立，此時*=502=

60,

Smax=2430.即設(shè)計x=50m,y=60m時，運動場地面積最大，

最大值為2430m2.

2.某商品進貨價為每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)銷售價格為每件

105

M504X480)元時，每天銷售的件數(shù)為—402，若想每天獲得的利潤

最多，則銷售價應(yīng)定為多少元？

解析：方法一：設(shè)當(dāng)銷售價格為每件x元時，獲得的利潤為y,由題

105

意知，片(x-50)*402

________105________

=(八5。)X-502+20%-50+100

105通過典型例題的

100

x-50+r+20解析和跟蹤練習(xí)，讓

x-50

學(xué)生總結(jié)歸納，運用

100

：x-50>0,:.x-50+-220,

x-50基本不等式解決應(yīng)

105用問題的基本步驟。

“=2500,

J20+20

100

當(dāng)且僅當(dāng)%-50=即x=60或x=40(舍去)時，等號成立，

X~5U

J4nax=2500.

105

方法二：由題意知，片(X-50)-,

X—4U

令*-50=t,x=t+50(f>0),

105f105f105105

貝v~—=<=2500

/t+102f+20t+100100-20+20

f+—+20

100

當(dāng)且僅當(dāng)t=—},即t=10時，等號成立，

此時x=60,為1ax=2500.

答：當(dāng)銷售價格定為60元時，每天獲得的利潤最多，最多利潤為2

500元.

【歸納總結(jié)】

求實際問題中最值的一般思路

Q)先讀懂題意，設(shè)出變量，理清思路，列出函數(shù)關(guān)系式.

(2)把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題.

(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮基本不等

式，當(dāng)基本不等式求最值的條件不具備時，再考慮函數(shù)的單調(diào)性.

(4)正確寫出答案.

利用基本不等式證明簡單的不等式

例2已知8力都是正數(shù)且"6=L

求證（1+加+引9.

分析:結(jié)合條件a+/?=L將不等式左邊進行適當(dāng)變形，然后利用基本不

等式進行證明即可.

證明:因為a>O,b>O,a+b=l,

所以ii=1+^=2+-,

+aaa

同理1+：=2+*

bb

故（/（1+加MW+加

5+2信+今25+4匠=5+4=9.

\abJqab

所以（1+3（1+3之9（當(dāng)且僅當(dāng)（1=8=；時,等號成立）

becaab

跟蹤訓(xùn)練L已知：d,b,ceR+,求證：一+—+—>a+b+c.

abc

beca/beca

證明：由基本不等式：一+722A/—?—=2c,

ab\\ab

caababbe

同理：~+—>2a,—+—>2b.

bccc

becaab

三式相加即得：一+7+—>a+b+c

abc

（當(dāng)且僅當(dāng)'時取"二〃）.

【歸納總結(jié)】利用不等式用+加22ab和a+b>2y[^b

（a>0,620）時，關(guān)鍵是對式子恰當(dāng)?shù)刈冃危?/p>

合理造成"和式"與"積式”的互化，必要時可多次應(yīng)用.

三、達標(biāo)檢測

1.已知正數(shù)a、。滿足ab=10,則a+b的最小值是（）

Ao10B.25C.5D.2\［10

［解析］a+b>2-\［ab=2y110，等號在a=時成立，二選D.

2.小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時速分別為a和隊a〈坊,

其全程的平均時速為心則（）

A.a<B.v=y/ab

通過練習(xí)鞏固本節(jié)

1—a+b3+b

C.ab<i/<2D.1/=2

所學(xué)知識，提高學(xué)生

［解析］設(shè)從甲地到乙地的路