2023-2024學(xué)年福建省龍巖市連城一中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（5月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省龍巖市連城一中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（5月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若(1+i)z?=1?3i(?i為虛數(shù)單位)，則z=A.?1+2i B.?1?2i C.1+2i D.1?2i2.已知平面向量a=(1,0),b=(?1,k),c=(2,1)，若(A.1 B.?1 C.?14 3.已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，BD=2DC，AB+AC=2A.34 B.32 C.384.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是(????)(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺(tái)體的體積公式V=13A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸5.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的35，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是(

)A.4 B.5 C.6 D.96.在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，BC⊥CP，且BC=1，CP=2，AB=3，AP=14，則此三棱錐外接球的體積為(

)A.14π B.7143π7.如圖是某人設(shè)計(jì)的產(chǎn)品圖紙，已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在某圓上，且AD//BC，AD⊥CD，AD=4，BC=3，CD=1，則該圓的面積為(

)A.132π

B.172π

C.8.已知e1，e2是單位向量，且e1，e2的夾角為θ，若|e1A.[π3,2π3] B.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知某公司共有員工20000人，30歲以下的員工有8000人，30到50歲的員工10000人，為了了解公司員工的身體情況，進(jìn)行分層抽樣，抽取一個(gè)容量為2000的樣本，得到身體健康狀況良好的比例如下：30歲以下的員工占99%，30到50歲的員工占98%，其他員工占96%.下列說法正確的是(

)A.從50歲以上的員工抽取了200人

B.每名員工被抽到的概率為110

C.估計(jì)該公司員工身體健康狀況良好率為97.7%(百分?jǐn)?shù)保留一位小數(shù))

D.身體健康狀況欠佳的人數(shù)最多的年齡層是30歲到5010.如圖所示，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M，N分別是AD，CCA.當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，平面PMN截正方體所得的截面是五邊形

B.平面PMN截正方體所得的截面可能是三角形

C.△MPN一定是銳角三角形

D.△MPN面積的最大值是21

11.對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量a和b，定義：a⊕b=a?b|a|2+|b|2；a⊙bA.1 B.32 C.54 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為2π3的扇形，則此圓錐的母線長(zhǎng)為______．13.已知向量a和b滿足：|a|=1，|b|=2，|2a?b14.如圖，在扇形OAB中，半徑OA=4，∠AOB=90°，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，則平行四邊形BCDE的周長(zhǎng)的取值范圍是______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M，N分別為AC，BC上的兩點(diǎn)AN=12AC，BM=13BC，AM，BN相交于點(diǎn)P．

(Ⅰ)求|AM16.(本小題15分)

某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.經(jīng)過隨機(jī)抽樣，獲得200戶居民的年用水量(單位：噸)數(shù)據(jù)，按[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)求直方圖中t的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該市60%的居民年用水量不超過m噸，求m的值；

(3)已知該市有100萬戶居民，規(guī)定：每戶居民年用水量不超過50噸的正常收費(fèi)，若超過50噸，則超出的部分每噸收1元水資源改善基金，請(qǐng)估計(jì)該市居民每年繳納的水資源改善基金總數(shù)約為多少.(每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)17.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2sinC?sinB=tanAcosB．

(1)求A；

(2)若a=2，求2c?b的取值范圍．18.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB⊥BB1C1C，BC=1，AB=BB1=2，∠BCC1=π3．

(Ⅰ)求證：C1B⊥平面ABC；

(Ⅱ)P19.(本小題17分)

給出定義：對(duì)于函數(shù)f(x)=msinx+ncosx，則稱向量a=(m,n)為函數(shù)f(x)的特征向量，同時(shí)稱函數(shù)f(x)為向量a=(m,n)的特征函數(shù)．

(1)設(shè)向量p,q分別為函數(shù)f(x)=sinx+3cosx與函數(shù)g(x)=3sinx+cosx的特征向量，求p?q；

(2)設(shè)向量m=(1,3)的特征函數(shù)為?(x)，且?(θ)=43，θ∈(?π6,π3)，求sinθ的值；

(3)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，答案1.A

2.C

3.A

4.B

5.C

6.B

7.B

8.C

9.ABD

10.AD

11.AC

12.3

13.2314.(8,12]

15.解：(Ⅰ)因?yàn)锽M=13BC，

所以AM=AB+BM=AB+13BC=AB+13(AC?AB)=23AB+13AC，

所以16.解：(1)由頻率分布直方圖得10×(0.003+0.008+0.022+0.024+0.007+0.003+0.003+2t)=1，

解得t=0.015；

(2)在200戶居民年用水量頻率分布直方圖中，

前5組頻率之和為0.03+0.08+0.15+0.22+0.24=0.72，

前4組頻率之和為0.03+0.08+0.15+0.22=0.48，

所以40<m<50，

由m?4010=0.6?0.480.24，解得m=45；

(3)由題可知區(qū)間[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]內(nèi)的居民年用水量分別取55，65，75，85為代表，

則他們的年用水量分別超出5噸，15噸，25噸，35噸，

則106×(0.15×5+0.07×15+0.03×25+0.03×35)=3.6×10617.解：(1)由題意知，2sinC?sinB=sinAcosA×cosB，

所以2cosAsinC?cosAsinB=sinAcosB，

則2cosAsinC=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，

又C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以cosA=12，

又A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)由(1)得2sinC?sinB=sinAcosA×cosB，由正弦定理得2c?b=acosBcosA，

又a=2，A=π3，所以2c?b=4cosB．

18.(Ⅰ)證明：AB⊥側(cè)面BB1C1C，得AB⊥C1B，

由BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=π3，

知∠C1BC=90°，即C1B⊥CB，

又CB∩BA=A，

故C?1B⊥平面ABC；

(Ⅱ)解：由已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，

知面ABB1A1⊥面BB1C1C，

過C1作C1P⊥BB1于P，

則C1P⊥面AA1B1B，

因C1P?面C1AP，

故平面C1AP⊥平面AA119.解：(1)給出定義：對(duì)于函數(shù)f(x)=msinx+ncosx，則稱向量a=(m,n)為函數(shù)f(x)的特征向量，

因?yàn)橄蛄縫,q分別為函數(shù)f(x)=sinx+3cosx與函數(shù)g(x)=3sinx+cosx的特征向量，

根據(jù)定義得p=(1,3),q=(3,1)，

所以p?q=1×3+3×1=23；

(2)對(duì)于函數(shù)f(x)=msinx+ncosx，