2023年上海曹楊二中高一下期中數(shù)學(xué)試卷及答案

試卷試卷上海市曹楊二中2022學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）1.已知點(diǎn)在角的終邊上，則__________.2.函數(shù)的最小正周期為____3.若復(fù)數(shù)滿足（其中i是虛數(shù)單位），則______.4.已知，，則的單位向量是________.5.已知向量，，則在方向上的數(shù)量投影為______.6若，則______.7.已知，且，則______.8.已知、均為單位向量，且，則______.9.已知公式，，借助這個(gè)公式，我們可以求函數(shù)的值域，則該函數(shù)的值域是______.10.若，則______.11.設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上最小值為，則的取值范圍是______.12.已知是單位向量，向量滿足.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是______.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分）13.設(shè)是兩個(gè)不平行向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和14.設(shè)且，“z是純虛數(shù)”是“”的A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件條件 D.即非充分又非必要條件15.設(shè).若對(duì)任意，都存在，使得，則可以（）A. B. C. D.16.在中，若，則角的大小為A. B. C. D.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17設(shè)，.（1）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，求的值；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.18.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、.設(shè)向量，，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).19.某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱與地面垂直，燈桿與燈柱所在的平面與道路垂直，路燈采用錐形燈罩，射出的光線與平面的部分截面如圖中陰影部分所示.已知，，路寬米，設(shè).（1）求燈柱的高（用表示）；（2）此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值，才能使制造路燈燈柱與燈桿所用材料的總長(zhǎng)度最??？并求出此最小值.（精確到0.01米）20.如圖，已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)、、是邊的四等分點(diǎn).（1）求的值；（2）若為線段上一點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；（3）若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并指出當(dāng)取最小值時(shí)點(diǎn)的位置.21.已知，.設(shè)，并記.（1）若，，求集合；（2）若，試求的值，使得集合恰有兩個(gè)元素；（3）若集合恰有三個(gè)元素，且對(duì)于任意的都成立，其中為不大于7的正整數(shù)，求的所有可能值.試卷試卷上海市曹楊二中2022學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）1.已知點(diǎn)在角的終邊上，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義直接求解.【詳解】已知點(diǎn)在角的終邊上，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的最小正周期為____【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期即可.【詳解】由余弦函數(shù)的性質(zhì)知：最小正周期.故答案為：3.若復(fù)數(shù)滿足（其中i是虛數(shù)單位），則______.【答案】【解析】【分析】由已知求得，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得．【詳解】由，得，，則．故答案為：．4.已知，，則的單位向量是________.【答案】【解析】【分析】寫出的坐標(biāo)，求出的模長(zhǎng)，利用即可求出的單位向量.【詳解】即故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)模長(zhǎng)和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.5.已知向量，，則在方向上的數(shù)量投影為______.【答案】2【解析】【分析】求出兩向量的數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量投影的意義即可求得答案.【詳解】由題意向量，，得向量，，故在方向上的數(shù)量投影為，故答案為：26.若，則______.【答案】【解析】【分析】分子、分母同除以解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.7.已知，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求得答案.【詳解】由可得，而，故，故，則，故答案為：8.已知、均為單位向量，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積等于0，可求得，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由已知、均為單位向量，且，可得，即，即，故，由于，故，故答案：9.已知公式，，借助這個(gè)公式，我們可以求函數(shù)的值域，則該函數(shù)的值域是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，可令，結(jié)合，再進(jìn)行整體代換即可求解【詳解】令，則，，，則，，，則函數(shù)值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查3倍角公式的使用，函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題10.若，則______.【答案】【解析】【分析】將，轉(zhuǎn)化為，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，展開整理得，兩邊同除以，得，故答案為：-311.設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】恒等變形，使原式變成，根據(jù)題目條件，求得的最小值為，結(jié)合的函數(shù)圖象，即可求得的取值范圍.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的最小值為，所以的最小值為，即的最大值為，則的最小值為，因?yàn)?，所?故答案為：12.已知是單位向量，向量滿足.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合題目條件，設(shè)，，則不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，可轉(zhuǎn)化為，由此求出，即可得到的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，由，可設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，等價(jià)于,解得，所以，于.故答案為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分）13.設(shè)是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基底的知識(shí)確定正確答案.【詳解】依題意，不共線，A選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.B選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.C選項(xiàng)，，所以和不能構(gòu)成基底.D選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.故選：C14.設(shè)且，“z是純虛數(shù)”是“”的A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件條件 D.即非充分又非必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義，結(jié)合“z是純虛數(shù)”“”二者關(guān)系，即可求解.【詳解】z是純虛數(shù),則成立，當(dāng)時(shí)，，即，z不一定是純虛數(shù)，“z是純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，考查純虛數(shù)的特征，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè).若對(duì)任意，都存在，使得，則可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，，若對(duì)任意，都存在，使得成立，得，只需，即可，進(jìn)而將選項(xiàng)中的角，依次代入驗(yàn)證，即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，都存在，使得成立，所以，即，因?yàn)椋?，所以，若?duì)任意，都存在，使得成立，得，只需，即可，因?yàn)椋瑒t，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以的取值不符合條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)椋娜≈捣蠗l件，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，的取值不符合條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，的取值不符合條件，故D錯(cuò)誤；故選：B16.在中，若，則角的大小為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積的定義得出、與的等量關(guān)系，再由并代入、與的等量關(guān)系式求出的值，從而得出的大小.【詳解】，，，由正弦定理邊角互化思想得，，，同理得，，，則，解得，中至少有兩個(gè)銳角，且，，所以，，，因此，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，考查利用正弦定理、兩角和的正切公式求角的值，解題的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正切來(lái)進(jìn)行計(jì)算，屬于中等題.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.設(shè)，.（1）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，求的值；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的定義，列出等式，即可解出的值；（2）由，可得的取值，然后對(duì)恒等變形得，由條件得的取值范圍是，由此即可求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意知，對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)，有，即，移項(xiàng)整理得，因此.【小問(wèn)2詳解】由題意知，解得.故.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，的取值范圍是，因此函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是.18.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、.設(shè)向量，，且.（1）求角的大?。唬?）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題，得，利用正弦定理以及和差公式，誘導(dǎo)公式，逐步化簡(jiǎn)，即可求解；（2）由題目條件，結(jié)合余弦定理和面積公式，得，，然后兩式相加即可求得本題答案.【小問(wèn)1詳解】由于，故，利用正弦定理，有，又，故，由于為三角形內(nèi)角，故，因此，進(jìn)而；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，由余弦定理知，即.由知，即.將上面兩式相加得，故，因此的周長(zhǎng)為.19.某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱與地面垂直，燈桿與燈柱所在的平面與道路垂直，路燈采用錐形燈罩，射出的光線與平面的部分截面如圖中陰影部分所示.已知，，路寬米，設(shè).（1）求燈柱的高（用表示）；（2）此公司應(yīng)該如何設(shè)置值，才能使制造路燈燈柱與燈桿所用材料的總長(zhǎng)度最??？并求出此最小值.（精確到0.01米）【答案】（1）,（2）當(dāng)時(shí)，取得最小值米【解析】【分析】（1）在中先用正弦定理表示出，然后在中利用正弦定理表示出；（2）在中利用正弦定理表示出，從而得到的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最小值即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知，在中，，由正弦定理，得.在中，由正弦定理，得，.【小問(wèn)2詳解】在中，由正弦定理，得，故，由于，故，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值米.20.如圖，已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)、、是邊的四等分點(diǎn).（1）求的值；（2）若為線段上一點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；（3）若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并指出當(dāng)取最小值時(shí)點(diǎn)的位置.【答案】（1）6（2）（3）時(shí)，取最小值【解析】【分析】（1）利用平行四邊形法則化簡(jiǎn)表達(dá)式，然后利用已知條件及向量數(shù)量積公式計(jì)算即可；（2）利用三點(diǎn)共線定理建立等式，得出方程組求出參數(shù)即可；（3）記，，設(shè)，其中，表示出向量，，然后表示出的結(jié)果，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】由于為邊的中點(diǎn)，所以，故.由于，故.因此.【小問(wèn)2詳解】由于，故.由于為線段上一點(diǎn)，設(shè)，有.由向量基本定理得，解得，因此.【小問(wèn)3詳解】記，，由得.設(shè)，其中，則，.進(jìn)而有，.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值.21.已知，.設(shè)，并記.（1）若，，求集合；（2）若，試求的值，使得集合恰有兩個(gè)元素；（3）若集合恰有三個(gè)元素，且對(duì)于任意都成立，其中為不大于7的正整數(shù)，求的所有可能值.【答案】（1）（2）或（3）3、4、5、6【解析】【分析】（1）當(dāng)，時(shí)，找出周期計(jì)算即可；（2）若，則，然后根據(jù)已知所給條件進(jìn)行分析討論即可；（3）根據(jù)定義以及結(jié)合所給條件進(jìn)行計(jì)算，然后討論分析即可；【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，時(shí)，.函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，故.由于，，，得【小問(wèn)2詳解】若，則.由題意知，又，得，知.由于恰有兩個(gè)元素，故或，即或.若，由于，解得.此時(shí)，滿足題目要求.若，即，所以或由于，解得.此時(shí)，滿足題目要求.綜上可知，或.【小問(wèn)3詳解】由于中恰有3個(gè)元素，顯見.首先說(shuō)明、4、5、6都是可能的.當(dāng)時(shí)，取，，由（1）知，滿足要求.當(dāng)時(shí)，取，，，此時(shí)周期為，且有：，，，，所以，滿足要求.當(dāng)時(shí)，取，，，此時(shí)周