三角函數(shù)學(xué)案 (二)

專題17三角函數(shù)的概念

一.弧度制

i.角度與弧度的轉(zhuǎn)化：萬(wàn)弧度=；1弧度=.

2.弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式：設(shè)扇形的半徑為「，圓心角為a,則弧長(zhǎng)/=

扇形的面積S=.

二.角的概念的推廣:終邊相同角、象限角

與角a有相同終邊的角的集合為：.

例1.下列各個(gè)角中屬于第二象限角的是（）

77

①1230°②n③--%④-10

62

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

三.三角函數(shù)的定義

1.任意角三角函數(shù)的的定義：以角tz頂點(diǎn)為原點(diǎn)。，始邊

為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系.在角a的終邊上任

取不同于原點(diǎn)。的一點(diǎn)P（x,y），設(shè)P點(diǎn)與原點(diǎn)。的距

離為r（r>0）,則角a的六個(gè)三角函數(shù)依次為：

sina=,cosa=，tana=

csca=,seca=,cota=

例2.已知角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,一2）,貝!!sina=,cosa=

tan__________

例3.已知角。是第二象限的角，且其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x,占），若cosa貝Usina的

4

值為_(kāi)_______

2.三角函數(shù)的定義域與值域:

定義域值域

sina

cosa

tana

3.特殊角的三角函數(shù)值

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

a

sina

cosa

tanaXX

4.三角函數(shù)值符號(hào)的判斷:

當(dāng)。為第象限角時(shí)，sincr>0；當(dāng)a為第一象限角時(shí)，sincr<0；

當(dāng)a為第象限角時(shí)，coscr>0；當(dāng)a為第一象限角時(shí)，cosa<0；

當(dāng)。為第.象限角時(shí)，tanor>0；當(dāng)a為第.一象限角時(shí)，tancr<0.

例4.若&=■—71,則()

7

A.sincr>0,且cosa>0

B.sincr>0,且cosa<0

C.sin<0,且cosa>0

D.sincr<0,且cosa<0

例5.若sin。?cos。>0,則。是（）

A.第一、二象限角

B.第一、三象限角

C.第一、四象限角

D.第二、四象限角

四.三角函數(shù)線

如左圖，角。的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸

作X軸的垂線，垂足為A/,則有向線段為角（7

的F摩繾，有向線段OM為角0的余攀繾；

過(guò)點(diǎn)4（1,0）作x軸的垂線交角a的終邊或角a

終邊的反向延長(zhǎng)線于T,則有向線段AT為角a的

亞切奔

例6.若一<a<—,貝Usina,cosa和tana大小關(guān)系是（）

42

A.tana>sina>cosa

B.tana>cosa>sina

C.sina>cosa>tana

D.cosa>sina>tana

五.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

sina.2

----=,sin2a+cosa=

cosa

1.根據(jù)角的一個(gè)三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值.

例7.已知sina=2^5,—<a<7i,則tana=

52

例8.已知tana=」，。是第三象限角，則cosa=.

12

2.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，變形.

例9.計(jì)算tanl5o+cotl5。的值是

例10.若sinscosa=-,且一＜a＜一,貝!Jcosa—sina的值為

842

例11.已知tanc=1,求下列各式的值.

2

sin。-3cosasi.n2a+si?nacosa

?②(3)sin2。+sinacosa.

sina+cosisin2a+2cos2a

例12.已知sin6+cose=(,夕w(0,〃)，求cot。的值.

六.誘導(dǎo)公式

sin（2A7r+6z）=______cos（2^+a）=______

2k兀+a

tan（2上"+a）=______

sin（一。）=__________cos（-or）=_________

-a

tan（-6z）=__________

sin（4-a）=________cos（萬(wàn)一a）=________

7i-a

tan（萬(wàn)一a）=________

sin萬(wàn)+a）=________cos（萬(wàn)+q）=_________

71+a

tan[乃+o）=________

sin（2"一a）=________cos（2乃一a）=________

2TT-a

tan（2〃-a）=________

4]—

sin二cos

71

----a

2IM

tan

sin=cos—

71、2J

---FCC

2

tan

(3萬(wàn)(3冗

sin-----a=cos

3?<2）管）

------a

2(3兀

tanI。）=_

'包+a(3兀

sinj=____cos卜一

3兀<2

-----FCL

2’3冗

tan1=——

例13.求值.

①cos330=.

②sin210°=.

③sin600°+tan240°=

例14.根據(jù)給定的條件，求三角函數(shù)值.

137c兀

①已知cosa=-,—<a<27i,則cos——\-a

322

②已知sin(7T+a)=-3,則cosa=

sin(〃-a).sin[；+a

-H-17C、

例15.右*coscc——，月.—<a<0,求^的值.

32萬(wàn)+c)-cos［。萬(wàn)一0

sin(

專題18兩角和與差的三角函數(shù)

一.兩角和與差的三角函數(shù)

1.sin(tz±/?)=_____________________________________________

基本公式2.cos(a±/?)=_____________________________________________

3.tan(o±尸)=_________________________________

asinx+bcosx=____________________________________

輔助角公式

例i.填空.

①cos80°-cos200+cos10°-sin20°=

②cos43°cos770+sin43°cos167°=.

(3)cos75°=___________________

④若coso=],ael0,-1,則cos[a+§J=

71sincr=1,貝Itan[a+?)等于—

⑤已知5"

例2.將下列三角函數(shù)式化為Asin(s+0)的形式.

①sinor+cosa；②sina-cosa；

%na+且cos-

(3)sina-cosa；④

22

⑤sina+石cosa；⑥cosa一bsina.

2

例3.已知sina='=，且a,4都是銳角，則a+,等于()

A.45°

B.60°

C.135°

D.45?；?35。

4

例4.已知sin6=—且。是第二象限角，若tan(8+a)=l,求tanc的值.

5

夕為銳角，且cosa=g,

例5.已知a，COS（6f+/?）=---，求COS尸的值.

二.二倍角公式

1.sin2a=

基本公式2.cos2a=—一

3.tan2a=___________

變形

例6.計(jì)算.

①若cosa=——，則cos2a=

5

7i.n

②計(jì)算|cos--sin—cos----1-sin——

I12121212

③若角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（L-2）,則tan2a的值為

(y

④若tan—=2,則tana=tan?+—

2I4

⑤若cosO=-L—<3<3JT,貝!Jsirjg=

522

⑥已知sin2。=—sina,—<a<7T,則tan。等于

⑦已知sin。=cos2a,—<a<〃，則tana等于

34

例7.已知a為第二象限的角，sincr=1,尸為第三象限的角，tan^=-.

①求tan(a+￡)的值；②求cos(2o-⑶的值.

例8.已知tana=2,求：

—sin2a+cos?(萬(wàn)一a)

①tan[a+?)的值;②----------------■的值.

口八、幾(71)3口5471!、.sin2x-2sin2x

例9.設(shè)cos—+x=—，且——<x<—，求-------------

(4J5441-tanx

專題19三角函數(shù)的圖像

一.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像:

二.三角函數(shù)的圖像變換(以正弦函數(shù)為例)

y=sinxy=sin%y=sinx

J

y=Asinxy=sincoxy=sin(x+0)

=圖象上各Wy=sinx圖象上各將y=sinx的圖象

點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)向右(_________)或向

拉伸(_________)或壓縮(_________)或左(_________)平移

壓縮(_________)為原來(lái)的拉伸(_________)為原來(lái)的_____個(gè)單位得到.

_______倍得到._______倍得到.

函數(shù)y=Asin(<yx+0)(Ao>0,Awl)的圖象可以看作是由函數(shù)y=sinx的

圖象分別經(jīng)過(guò)下面的兩種方法得到：

①將丫=5皿X的圖象向左(____________)或向右

(____________)平移——個(gè)單位，可得到函

y=sin%

數(shù)丁=5近(％+0)圖象；

一相位?變觀->y=sin(%+夕)②將得到圖象點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮

(____________)或拉伸(____________)為原來(lái)

-周期變換>y=sin(6y%+0)

的_______倍，得到函數(shù)丁=sin(ox+0)圖象；

③將新圖象各點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸

—強(qiáng)幅?變換》y=Asin(5+0)

(____________)或壓縮(____________)為原來(lái)

的_______倍，可得函數(shù)y=Asin(〃，x+0)圖

象.

①將、=5皿％圖象點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓

縮(_________)或拉伸(____________)為原

y=sinx來(lái)的——倍，可以得到函數(shù)、=sinox圖象；

②將得到的圖象向左(____________)或向右

則變曼-y=Sins

(____________)平移_______個(gè)單位就得到函

—相位變換>y=sin(ty%+同

數(shù)丁=5111(。兀+0)圖象；

—強(qiáng)崛變的一》y=Asin(ox+°)③將新的圖象各點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸

(____________)或壓縮(____________)為原來(lái)

的______倍，可得函數(shù)丁=Asin(〃zr+0)的圖

象.

三.五點(diǎn)作圖法：

利用五點(diǎn)作圖可畫出形如y=Asin(ox+0)的函數(shù)圖像，即根據(jù)ox+夕分別取0、1、

34

71>—>21時(shí)對(duì)應(yīng)的％與y的值描點(diǎn)作出y=Asin(〃zx+o)的圖像.

例1.為了得到函數(shù)y=sin2x-鼻的圖象，可以將函數(shù)y=sin2x的圖象()

A.向右平移2個(gè)長(zhǎng)度單位

6

B.向左平移至個(gè)長(zhǎng)度單位

6

C.向右平移生個(gè)長(zhǎng)度單位

3

D.向左平移三個(gè)長(zhǎng)度單位

3

例2.要得到函數(shù)y=sin2x的圖象，可以將函數(shù)y=sin(2x-2]的圖象(

)

A.向左平移出個(gè)單位

8

B.向右平移工個(gè)單位

8

C.向左平移工個(gè)單位

4

D.向右平移出個(gè)單位

4

例3.函數(shù)尸sin[2x-在區(qū)間的簡(jiǎn)圖是()

CD

例4.已知函數(shù)丁=$1!1（（0X+5）［co>0,0<（pV'|J,且此函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)（3,（p）

的坐標(biāo)是（）

C/40

例5.用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=2sin［2x+（］的簡(jiǎn)圖，并說(shuō)明它是由函數(shù)y=sinx的圖

象作怎么樣的變形得到的.

專題20三角函數(shù)的性質(zhì)

一.周期性問(wèn)題

1.正弦函數(shù)y=sinx的最小正周期是,余弦函數(shù)y=cos%的最小正周期

是，正切函數(shù)丁=tanx的最小正周期是.

2.函數(shù)y=Asin(〃次+0)的最小正周期是,函數(shù)y=Acos(s+°)的最小

正周期是，函數(shù)y=Atan(G%十0)的最小正周期是.

例1.分別寫出下列函數(shù)的最小正周期.

(JFY7C1

①y=sin-----1——；②y=sin2xcos2%；

(3)y=2cos2%；④/(x)=cos2x-2若sinxcosx.

二.定義域問(wèn)題

^sinfx+—

例2.已知函數(shù)〃x)=--------~~旦出

sinx

(I)求函數(shù)的定義域;(II)若〃%)=2,求sin2%的值.

三.值域（最值）問(wèn)題

函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)

名稱y=sinxy=cosxy=tanx

值域[-1,1][T,l]R

當(dāng)X=__________________時(shí)，當(dāng)X=__________________時(shí)，

y=sin%最大值是_____y=cos%最大值是____

最值

當(dāng)X=__________________時(shí)，當(dāng)％=_____________時(shí)，

y=sin%最小值是_____y=cosx最小值是____

例3.求下列函數(shù)的值域.

①j=3sinx-2；②y=sin2x-sinx；

712萬(wàn)

(3)y=cos2x-sinx；④y=sinx---<x<——

33

⑤y=sin(0<x<^)；?y=sinf2x-^0<x<^

例4.已知函數(shù)/(x)=2cos2x+sin2x.

國(guó)的值;

(I)求/(II)求的最大值和最小值.

例5.已知函數(shù)/(x)=cos2%-2sin%-cos%—sin2%.

(I)求〃x)的最小正周期;

(II)若xe0,y,求/(x)的最大值、最小值.

四.奇偶性(對(duì)稱)問(wèn)題

函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)

名稱y=sinxy=cosxy=tanx

奇偶性

對(duì)稱軸

對(duì)稱

中心

例6.已知函數(shù)/(x)=xsinx,則函數(shù)/(x)()

A.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)

B.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

例7.函數(shù)/(x)=sin2[x+5]+cos2[x-5]-l是()

A.周期為萬(wàn)的奇函數(shù)

B.周期為萬(wàn)的偶函數(shù)

C.周期為2萬(wàn)的奇函數(shù)

D.周期為2萬(wàn)的偶函數(shù)

例8.已知函數(shù)/(x)=sin]ox+￡|(0>O)的最小正周期為萬(wàn)，則函數(shù)/⑺的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)(go]對(duì)稱

B.關(guān)于直線％=四對(duì)稱

4

C.關(guān)于點(diǎn)[二,0〕對(duì)稱

D.關(guān)于直線彳=四對(duì)稱

3

五.單調(diào)性問(wèn)題

數(shù)

函正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)

稱

名

y=sinxy=cosxy=tanx

增區(qū)間

減區(qū)間

例9.使函數(shù)丁=sin光遞減且丁=cosx遞增的區(qū)間是（

A.卜肛2〃

B.2k7i—兀,2k7i—三GZ)

C.2k兀+%,2卜兀+兀，kGZ）

D.2k兀一三,2k兀）（左￡Z）

例10.已知函數(shù)/(x)=gcos2九一sinxcosx-gsin?了.

(I)求〃1）的最小正周期;

（II）求〃力函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程;

（III）求/（力的單調(diào)區(qū)間.

專題21解三角形

在AABC中，角A、5、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,

在一個(gè)三角形中，各邊和他所對(duì)角的正弦的比都相等，且等于該三角形

正弦

定理外接圓的直徑，即：—=—=—=2R

sinAsinBsinC

三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方和，減去這兩邊與它們夾角

的余弦的積的兩倍.即：a2=b2+C1-2bccosA

b1=/+/-2cacosB

余弦

定理c2=a2-\-b2-labcosC

推論：

,b1+C1-a1八a1+C1-b1_a1+b2-c2

cosA=--------------；cosB=---------------；cosC=---------------；

2bc2aclab

A+B+C=rt,A+B=TT-C,^-^=—

222

sin（A+B）=sinC；cos（A+B）=-cosC；tan（A+B）=-tanC

.A+BCA+B,CA+