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文檔簡(jiǎn)介
第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題(6)
2.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為
何視圖
A.24+—B.24+—C.24+兀D.84--
444
3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()
主視圖左視圖
俯視圖
A.24+—B.24+—C.24+兀D.8+—
444
4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖,則該兒何體的體積為()
A.6TT+4B.127r+4C.6TT+12D.12TT+12
5.在三棱錐S-ABC中,團(tuán)力BC為正三角形,設(shè)二面角S-4B-C,S-BC-A,S-C4-B的平
面角的大小分別為a,/?,y(a,W,yW),則下面結(jié)論正確的是()
A.高+高+器的值可能是負(fù)數(shù)
B.
C.a+夕+y>71
D.京+彘+高的值恒為正數(shù)
6.設(shè)/是直線,a,/?是兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是()
A.若1〃a,I〃B,則a〃/?B.若l〃a,則aIS
C.若a10,ILa,則/〃0D.若I//a,貝
7.如圖,在正方體ABC。-中,E是棱CG的中點(diǎn),尸是側(cè)
面BCGB1內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),且為F〃平面DiZE,則&F與平面BCG與所
成角的正切值,構(gòu)成的集合是()
A.[t|<t<2^3]
B.{t|^<t<2}
C.{t|2<t<26}
D.{t\2<t<2V2}
8.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上,P41平面ABC,PA=ABBC=2,PB與
平面PAC所成的角為30。,則球。的表面積為
A.67rB.127rC.16兀D.48兀
9.已知底面為邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)為1的直四棱柱ABCD-AiBiGDi中,P是面為當(dāng)好5上
的動(dòng)點(diǎn).給出以下四個(gè)結(jié)論中,則正確的個(gè)數(shù)是()
①與點(diǎn)。距離為舊的點(diǎn)P形成一條曲線,且該曲線的長(zhǎng)度是
②若DP〃平面4CB1,則力P與平面ZCG4所成角的正切值取值范圍是存,+8);
③若。P=V3,則OP在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和的最大值為6位.
A.0B.1C.2D.3
10.如圖,四棱錐S-力BCO中,底面是正方形,各側(cè)棱都相等,記直線
SA與直線4。所成角為。,直線SA與平面ABC。所成角為i,
二面角S-AB-C的平面角為7,則()
A.a>p>y
B.y>a>/?
C.a>y>p
D.丫>B>a
11.如圖所示是某幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為
A..25-7T
-n
B.4
C.2—5n
D.?
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題,共12.0分)
12.下圖是棱長(zhǎng)為1的正方體的平面展開(kāi)圖,以下結(jié)論正確的()
A.點(diǎn)A到M的距離為多
C.EF與0M成角為60。;D.M與平面SV成角的正弦值考
13.如圖四棱錐P-4BCD,平面PAD,平面ABCD,側(cè)面PAO是邊長(zhǎng)為2遍的正三角形,底面ABCD
為矩形,CD=2遮,點(diǎn)。是的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()
A.CQ1平面PAD
B.PC與平面4QC所成角的余弦值為苧
C.三棱錐B-ACQ的體積為6點(diǎn)
D.異面直線C。與AB所成的角的余弦值為當(dāng)
14..如圖,在正方體ABCO-中,M,N分別為棱口。1,
&C的中點(diǎn),其中正確的結(jié)論為()
A.直線4W與GC是相交直線
B.直線AM與8N是平行直線
C.直線BN與MB1是異面直線
D.直線與AC所成的角為60。
三、填空題(本大題共6小題,共30.0分)
15.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣,粽子又稱粽核,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,
是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品,傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原.如圖,
平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來(lái),可以得到如
圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為一;若該六面體內(nèi)有一球,則該球體積的最
大值為.
16.在長(zhǎng)方體48。。一2$1的。1中,AB=CCj=V2.BC=1,點(diǎn)M在正方形CDDiG內(nèi),平
面&CM,則三棱錐M-&CC1的外接球表面積為
17.已知正方體4BC。的棱長(zhǎng)為2,P為體對(duì)角線BDi上的一點(diǎn),則△「?1(;周長(zhǎng)的最小值
是________
18.如圖,在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為g的正四棱錐P-A3LO中,
大球01內(nèi)切于該四棱錐,小球。2與大球。1及四棱錐的四個(gè)側(cè)面相切,
則小球。2的體積為.
19.在直角梯形ABC。中,48〃C0,40_L4B,4B=2DC=2,E為AO的中點(diǎn)。將△E4B和AEC。
分別沿EB,EC折起,使得點(diǎn)A,。重合于點(diǎn)F,構(gòu)成四面體尸-BCE.若四面體FBCE的四個(gè)面
均為直角三角形,則其外接球的表面積為.
20.如圖,矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線。E翻轉(zhuǎn)成zMiDE(公仁平
面4BCD),若M、。分別為線段&C,OE的中點(diǎn),則在Z1ADE翻轉(zhuǎn)過(guò)程中,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()
(1)存在某個(gè)位置,使MB〃平面4DE
(2)與平面4OE垂直的直線必與直線8M垂直
(3)異面直線8M與4E所成角的定值
(4)一定存在某個(gè)位置,使DE_LM。
(5)存在某個(gè)位置,使DE14C
四、解答題(本大題共10小題,共120.0分)
21.如圖,已知四棱錐P—4BC。的底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形,PB=PD=遍,PC=2,E
是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn).
(I)求證:不論點(diǎn)E在何位置,都有BDLAE;
(11)若「4〃平面BDE,求直線AE與平面BOE所成角的正弦值.
(HI)在(II)的條件下,求二面角。-4E-B的大小.
22.如圖,正三棱柱ABC—4B1G中,4B=/Mi=2,點(diǎn)P,。分別為必當(dāng),8c的中點(diǎn).
(1)求異面直線8P與4G所成角的余弦值;
(2)求直線CG與平面4QG所成角的正弦值.
23.如圖,在斜三棱柱4BC-&B1G中,底面是等腰三角形,AB=AC,側(cè)面^口也道,底面ABC.
(1)若。是BC的中點(diǎn),求證:AD1CC1;
(2)過(guò)側(cè)面BBiGC的對(duì)角線BG的平面交側(cè)棱A4i于點(diǎn)M,若AM=M4,求證:截面MBC11側(cè)
面BBiGC;
⑶如果截面M8G1側(cè)面881GC,那么力M=M①嗎?請(qǐng)你敘述判斷理由.
24.如圖,在正四棱錐U-力BCD中,二面角U-BC—D為60。,E為BC的中點(diǎn).
(1)證明:BC=VE.
(2)已知E為直線”上一點(diǎn),且尸與A不重合,若異面直線8尸與VE所成角為60。,求”.
25.如圖,在四棱錐P-4BCD中,PA,平面ABC。,AD//BC,ABJ.AD,E為P3中點(diǎn)且BC=AB=
(I)求證:CE〃平面PA8;
(口)求二面角E-AC-。的余弦值.
26.如圖,在四面體43CC中,△4BC是等邊三角形,平面ABC,平面ABZ),點(diǎn)/為棱AB的中點(diǎn),
AB=2,AD=2V3,/.BAD=90°.
(I)求證:AD1BC-,
(n)求異面直線8C與例。所成角的余弦值;
(HI)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.
27.如圖,三棱柱48。一48傳1內(nèi)接于圓柱。01,已知圓柱。。1的軸截面為正方形,AB=AC=
熠。01,點(diǎn)P在軸。。1上運(yùn)動(dòng).
6
(1)證明:不論P(yáng)在何處,總有BC1P4;
(2)當(dāng)點(diǎn)P為。。1的中點(diǎn)時(shí),求平面4PB與平面BCGBi所成的銳二面角的余弦值.
28.如圖,在三棱柱48。一公8心中,底面ABC為正三角形,側(cè)棱1底面ABC.己知。是BC的
中點(diǎn),AB=AAt=2.
山
(I)求證:平面48山1平面BBiGC;
(II)求證:&C〃平面4B1D;
(HI)求三棱錐&的體積.
四棱錐P-ABC。中,底面A8CQ為直角梯形,CD//AB,
Z.ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,側(cè)面PAD1面ABCD,PA=PD=2
(1)求證:BD1PA
(2)已知平面尸4。與平面PBC的交線為/,在/上是否存在點(diǎn)N,使二面角P-OC-N的余弦值
為[?若存在,請(qǐng)確定N點(diǎn)位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
30.如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AB//CD.Z-DAB=60°,AE〃CF、AE=CF,CF1平面
ABCD,DC=BC=AD=CF=1.
(1)求證:EF_L平面BCF;
(2)若FM=AEF,是否存在實(shí)數(shù)人使平面例AB與平面ABC所成銳二面角為g?若存在,求出
實(shí)數(shù)4;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案與解析】
1.答案:B
解析:
本題考查了應(yīng)用輔助線,根據(jù)已知條件以及線面角、線線角、面面角的性質(zhì),得到它們的三角函數(shù)
間等量關(guān)系,并化簡(jiǎn)目標(biāo)三角函數(shù)式,結(jié)合二面角的范圍求目標(biāo)式的最值.
由題意知了+。=會(huì)作輔助線找到。,y及二面角W,四邊形AC"3H2為正方形進(jìn)而得到
為等腰三角形,利用所得直角三角形用邊表示sin。、cos即有它們的等量關(guān)系,利用sin(y-
0)=1-2siM0結(jié)合二面角aG6,J即可求sin(y-9)的最大值.
解:直線AB與平面a,平面/?所成角均為。,與/所成角為y,而。6[0,芻,ye[0,§,又
sin(y+8)=l,可知:y+0=p
若令二面角a—/—/?為",作44'_L1于4,BBUL于Bl過(guò)A作力C〃Z,過(guò)B'作B'C_U與AC交于。
點(diǎn);
.?"1■面BB'C,又/ua,Icp,故面BB'Cla,面EB'C_L/?,即NBB'C=仍
過(guò)B作8?!?,,過(guò)4作4D1,與B。交于。點(diǎn),
面BB'C',又lua,lu6,故面BB'Cla,面BB'CJ_0,即zBB'C=*;
過(guò)B作B0〃1,過(guò)4'作4'0J.I與BO交于。點(diǎn);
???I_L面AAD,又1ua,Iu0,故而44。1a,面44。1/?,即乙44。=cp;
作BHilB'C于Hi,AH2LA'D^-H2,連接ZH1、BH2,即有484%=44BH2=。,且
NBAC=/.DBA=y;
rsin。-史^—竺^-cosy=—=—,即B/=AH2=AC=BD,
ABAB'ABAB12
作C“31BB'有四邊形ACH3H2為正方形,即C“3=AC,
ACH3=BHi,有RtAC/B三RtABHC故ZB'BC為等腰三角形且B'B=B'C,
令x-AC,y=BC,貝SB=yjx2+y2>有
$也9=浸聲而
cos2=^'"6翼’又
sin(y-0)=sin(]—20)=cos20=1-2sin20,
y2
sin(y-0)=1-2-^^=1
當(dāng)8=g時(shí)等號(hào)成立.
故選:B
2.答案:A
解析:解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:
一個(gè)正方體和一個(gè))的球體組成的組合體,正方體的棱長(zhǎng)為2,球的半徑為1,
O
故S=6x4+三x4兀?12+工X兀x/=24+四.
844
故選:A.
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,進(jìn)一步求出該幾何體的表面積.
本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換,兒何體的表面積的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算
能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.
3.答案:A
解析:
本題主要考查了空間幾何體的三視圖和幾何體表面積的求解,屬基礎(chǔ)題.
由三視圖知該幾何體的為一個(gè)組合體,由棱長(zhǎng)為2正方體上方放了:個(gè)以1為半徑的球體構(gòu)成,進(jìn)而
O
由球體的表面積計(jì)算即可.
解:由三視圖知該幾何體的為一個(gè)組合體,
由棱長(zhǎng)為2正方體上方放了J個(gè)以1為半徑的球體構(gòu)成,
O
所以該幾何體的表面積S=6x224-ix4TTxI2+3X-TTxl2-2x-nxl2=244--,
8444
故選A.
4.答案:A
解析:
本題考查三視圖及圓柱、三棱錐的體積公式,先由三視圖可判斷幾何體為半圓柱與三棱錐的組合體,
由體積公式可求體枳.
解:由三視圖可得,該幾何體是由一個(gè)底面半徑為2,高為3的半圓柱與一個(gè)底面為直角三角形,
高為3的三棱錐組成.
所以其體積V=|XTTX22X3+|X|X4X2X3=4+67r.
故選A.
5.答案:D
解析:
本題考查空間二面角的綜合問(wèn)題,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查轉(zhuǎn)
化思想,數(shù)形結(jié)合思想以及空間想象能力,是較難題.
將問(wèn)題平面化,畫出圖形,分類討論:點(diǎn)S在平面4BC的射影點(diǎn)0在區(qū)域7,4,5,利用三角形面
積公式判定即可得解.
解:記。為點(diǎn)S在平面A8C的射影點(diǎn),則如圖(4),??赡苈湓?個(gè)區(qū)域,根據(jù)正三角形對(duì)稱性,
只需分析落在區(qū)域7,4,5的情況,分別與圖(1),(2),(3)對(duì)應(yīng),
圖(1),若S接近。,則a+4+y-?0,故C錯(cuò),顯然此時(shí)高+高+高>°;
圖(2),如圖,
—r/日1?1?1d]+d2-d3
可得,+前+俞=SO
設(shè)AB=2,^^3=ShABC=^ACd1+^BCd2-^ABd3,則di+dz-c^〉。,
故高+扁+品;>°;
圖(3),如圖,
可得」一+—+—=diE,
'tanatan/?tanySO
設(shè)48=2,則舊=503(?=14。慮一13。6/2—:48(/3,則刈一也一心〉。,
故----1------+----->0;
tanatan0tany
故選:D.
6.答案:B
解析:
本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系,考查空間中平面與平面的位置關(guān)系,考查空間想象能力,屬
于中檔題和易錯(cuò)題.
由空間中線線,線面的位置即可判斷A,C,D;由線面平行的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理,即
可判斷B.
解:對(duì)于4若“/a,〃/0,則a〃?;騛,0相交,故A錯(cuò);
對(duì)于B.若〃/a,則由線面平行的性質(zhì)定理,得過(guò)/的平面yna=m,即有ml。,再
由面面垂直的判定定理,得al/?,故B對(duì);
對(duì)于C.若al/5,Zia,則〃"或luO,故C錯(cuò);
對(duì)于。.若aJ.£,,〃a,若/平行于a,0的交線,則,〃0,故。錯(cuò).
故選:B.
7.答案:D
解析:
本題著重考查了正方體的性質(zhì)、直線與平面所成角、空間面面平行與線面平行的位置關(guān)系判定等知
識(shí),屬于中檔題.
由題意可證出平面4MN〃平面2AE,從而得到&F是平面&MN內(nèi)的直線.由此將點(diǎn)尸在線段MN
上運(yùn)動(dòng)并加以觀察,即可得到aF與平面BCGa所成角取最大值、最小值的位置,由此不難得到&F
與平面BCG/所成角的正切取值范圍.
解:設(shè)平面ADiE與直線3c交于點(diǎn)G,連接4G、EG,則G為8c的中點(diǎn),
分別取BM、BiG的中點(diǎn)M、N,連接為M、MN、A】N,
則41用〃。遂,AXM仁平面Dp4E,DXEu平面D/E,
.??AM〃平面DiAE.
同理可得MN〃平面D"E,
A/N是平面&MN內(nèi)的相交直線
.??平面&MN〃平面A4E,
由此結(jié)合&F〃平面DiAE,可得直線4/u平面4MN,即點(diǎn)尸是線段MN上的動(dòng)點(diǎn).
設(shè)直線4/與平面BCGBi所成角為e
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)F并加以觀察,可得
當(dāng)尸與M(或N)重合時(shí),&F與平面BCGB1所成角等于乙
此時(shí)所成角。達(dá)到最小值,滿足tan。=黑=2;
當(dāng)尸與MN中點(diǎn)重合時(shí),&F與平面BCG&所成角達(dá)到最大值,
滿足£即。=磊=2魚;
2"1
,4/與平面8"181所成角的正切取值范圍為[2,2夜].
故選D
8.答案:B
解析:
本題考查了棱錐外接球表面積的求解,屬于中檔題.
由題意可知,底面AABC為等腰三角形,根據(jù)題意可證明其為等腰直角三角形,易求棱錐外接球直
徑為PC,即可求解.
解:???AB=BC=2,則AABC為等腰三角形,
取AC中點(diǎn)£),連接30,則B014C,
vPA1平面ABC,BDu平面ABC,
BD1PA,
又因?yàn)镻AnAC=4PA,ACC5pffiPAC,
:.BDL平面PAC,
則4BPD即為PB與平面PAC所成的角,則ZBPD=30°,
又???PA=2,二PB=y/PA2+AB2=2或,
則BO=^PB=V2,
則AC=2>JAB2-BD2=2V2.
則脈+B(72=ac2,AB1BC,
則△ABC為等腰直角三角形,
故三棱錐P-ABC外接球直徑為PC=V4T8=2百,
.??球。的半徑為百,表面積為一ITTR?12b,
故選B.
9.答案:C
解析:
本題以命題的真假判斷為載體,考查了軌跡問(wèn)題、線面角、正投影等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),難度較大.
逐個(gè)判斷即可.
解:如圖,
①正確,與點(diǎn)。距離為舊的點(diǎn)尸形成以5為圓心,半徑為聲的:圓弧
長(zhǎng)度為工?2"?四=—7T;
42
②錯(cuò)誤,因?yàn)槠矫?0G〃平面4CB1,所以點(diǎn)P必須在面對(duì)角線&Q上運(yùn)動(dòng),
當(dāng)P在4(或G)時(shí),勿與面4CG4所成角ND&O(或"GO)的正切值為當(dāng)最小,
當(dāng)P在01時(shí),。。與面ACG4所成角NO。1。的正切值為迎最大,所以正切值取值范圍是[當(dāng),夜];
③正確,以。為原點(diǎn),DA,DC,DDi,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)P(%,y,1),則%2+y2+1=3,
即/+y2=2,OP在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)分別為尸TT,五E,"可,
所以六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和為2(尸五+衍彳+夜)<2(2J竺土等出+&)=6夜,
當(dāng)且僅當(dāng)P在。1時(shí)取等號(hào).
故選C.
10.答案:C
解析:
本題考查異面直線所成角、直線和平面所成角和二面角的概念和計(jì)算,屬于中檔題.
過(guò)S作sea平面ABC。,過(guò)O分別作OELAB.OFLAO于E、F,連接04,SE,SF,則
ASAFAO32SE0=:,應(yīng)用正切函數(shù)知識(shí)求解,而后比較大小,即可得出答案.
解:如圖,過(guò)S作S6XL平面ABCZ),過(guò)0分別作OE_LAB.OF_L.AD于E、F,連接04,SE,SF,
則NSAF=a,NSA0=3,NSEO=7)
因?yàn)閠an0=瑞<tany=澎所以夕<y,
因?yàn)閠any=叫:<tana=J所以y<a,
UbAr
綜上可得,a>y>p,
故選C.
11.答案:c
解析:
本題考查球的表面積,考查三視圖,屬于基本題型.
解題時(shí)由三視圖畫出原幾何體,確定其結(jié)構(gòu),再確定出外接球球心位置,得出半徑.
解析:
解:
由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為2a的正四棱錐.設(shè)其外接球的球心到底面的距離
為d,半徑為R,
則R=2近一d=VHyTI,解得6(=:魚,/?=;V2.
44
其外接球的表面積為47TR2=§7T.
故選C.
12.答案:ACD
解析:
本題考查根據(jù)正方體的平面展開(kāi)圖,畫出它的立體圖形,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔
題.
把棱長(zhǎng)為1的正方體的表面展開(kāi)圖還原成正方體4CFN-MBDE,由此能求出結(jié)果.
解:如圖:
點(diǎn)4到EF的距離為JM+住y=導(dǎo)故A正確;
三棱錐C-DMN是正四面體,它的體積是:l—4x:x:xlxl=|,故B錯(cuò)誤;
連接MC,NC,則E/7/MC,EF與MN所成的角即為EF與所成的角,
又MC=MN=NC=&,.?.△MNC為等邊三角形,與MN所成的角是60。,故C正確;
連接。N交EF與。,則DNJ.EF,且。是ON中點(diǎn),又CD=CN=&,
CO1DN,又EFCCO=0,;.DNJL平面EFCM,?:DNu平面BDN,
.。?平面EFCM,平面BDN,
4COF即為EF與平面8OV所成的角,
在RtZirV)77中,CF=1,OF=¥,CO=J/+(今)=乎,...sin“OF=號(hào)=9=字故£)正
確.
故選ACD.
13.答案:BD
解析:
本題考查線面垂直的判定,直線與平面所成角,空間中的距離,棱錐體積的計(jì)算,圓錐外接球性質(zhì)
的運(yùn)用,考查邏輯推理能力和空間想象能力,屬于中檔題.
選項(xiàng)A:根據(jù)兩平面垂直,得到底面是矩形,進(jìn)而得到C。_L平面PAD,根據(jù)過(guò)一點(diǎn)向平面作垂線只
能做一條垂線,即可判斷,
選項(xiàng)8:取的中點(diǎn)E,連接PE,AQ,AC,EC,先證明PE1平面A8C。,進(jìn)而得到PEJ.EC,
再根據(jù)CD1平面PA。進(jìn)而得到CD_LPD,通過(guò)邊長(zhǎng)關(guān)系證明CQ2+AQ2=ZC2,即Q41QC,再利
用三角形面積公式計(jì)算出面積,設(shè)點(diǎn)P到平面AQC的距離為d,根據(jù)兩體積相等列等式求解d,進(jìn)
而求出正弦值,即可得出余弦值,即可判斷,
選項(xiàng)C:根據(jù)/TCQ=VQ-ABCR結(jié)合點(diǎn)。是夕。的中點(diǎn)直接求體積即可.
選項(xiàng)。:NQCD異面直線CQ與AB所成的角,求解即可.
解:對(duì)于4
???平面PAD1.平面ABCD,平面PADn平面4BCD=AD,底面ABCD為矩形,
???CD1AD,CDu平面ABCD,
■-■CD1平面PAD,而CQnCD=C,
若CQ_L平面尸AD,則與過(guò)一點(diǎn)向平面作垂線只能做一條矛盾,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B:取AO的中點(diǎn)E,連接PE,AQ,AC,EC,
所以PE14D,
又平面平面A8C。,平面PADn平面4BC0=A。,PEu平面PA。,
所以PEl^F?ABCD,
又ECu平面ABCD,
所以PE1EC,
易知PE=4Q=2①X,=3&,EC=y/DE2+DC2=V6+12=3立,
AC=>JAD2+DC2=V24+12=6,
PC=yJPE2+EC2=V18+18=6,
又CD1平面PAD,PDu平面PAD,
所以CD1PD,
所以CQ=yjCD2+DQ2=V12+6=3或,
所以CQ2+頷2=AC2t
所以Q41QC,
所以21QC=卬4?QC=:X3夜x3或=9,
又SAPQA=^PQ?AQ=3x3應(yīng)x遍=3A/3,
設(shè)點(diǎn)P到平面AQC的距圖為d,則由乙一PQ4=^P-ACQ?
則有沁PQ4.CD=lsAQC-d,B|jix3V3x2V3=ix9xd,
所以d=2,
則.PC與平面AQC所成角的正弦值為2=i,
所以PC與平面AQC所成角的余弦值為J1.Q2=半,故B正確;
對(duì)于C:
^B-ACQ-VQ-ABC,
???點(diǎn)。是尸。的中點(diǎn),
???點(diǎn)。到平面ABCD的距離為點(diǎn)P到平面ABCD的距離的一半,即越,
2
S4ABe=|xx2V3=6V2,
^B-ACQ%-ABC=§X6y/2X—^―6>故。借i天;
對(duì)于£>:???4B〃CD,
NQCO異面直線CQ與AB所成的角,
在直角三角形QOC中,“DC=90。,CD=2V3-DQ=*>,
QC=J(2V3)Z+(V6)2=3V2>
CD2V3V6
???COS乙QCD=—=—p=——?
“CQ3V23
故。正確.
故選BD.
14.答案:CD
解析:
本題考查異面直線的判定方法,考查兩條直線的位置關(guān)系,兩條直線有三種位置關(guān)系,異面,相交
或平行.
利用兩條直線是異面直線的判斷方法來(lái)驗(yàn)證A8C的正誤,利用平移法,判斷。,得到結(jié)論.
解:???直線cq在平面cCi5。內(nèi),
而MC平面CC1C1D,4任平面CC15Z),
二直線AM與直線CG異面,故A不正確,
???直線AM與直線BN異面,故B不正確,
利用A的方法驗(yàn)證直線8N與直線MB1異面,故C正確,
利用平移法,可得直線MN與AC所成的角為60。,故。正確,
故選CD.
15.答案:①;幽.
6729
解析:
本題考查幾何體的表面積的求法及球的組合體的有關(guān)知識(shí),屬于中檔題.
由題意得出該幾何體的形狀和尺寸,再由球的體積公式可得答案.
解:由題意知幾何體是由兩個(gè)正四面體組成的幾何體,正四面體的高為/!=[7二=漁,
733
所以該六面體的體積為1/=lXixlX^X^=^.
32236
若該六面體內(nèi)有一小球,則小球的最大體積時(shí)應(yīng)和六個(gè)面相切,
下圖為幾何體的上半部分,
由題意知四面體4-BCD為邊長(zhǎng)為1的正四面體,。為底面的中心,即球的球心,
取8c的中點(diǎn)E,連接AE,0E,作0F1AE于凡則。尸為這時(shí)的球的半徑.
因?yàn)锳E=今。E所以AO=,郎一田
所以0尸=竽=等=£
AEv39
2
所以小球的最大體積用X兀xQ經(jīng)粵
故答案為今嚼.
16.答案:117T
解析:
本題主要考查線面垂直性質(zhì)定理,長(zhǎng)方體以及三棱錐結(jié)構(gòu)特征,外接球表面積計(jì)算,考查學(xué)生空間
想象能力,屬于較難題.
利用長(zhǎng)方體以及三棱錐結(jié)構(gòu)特征得到0E1平面CMC1,利用勾股定理得d?+(¥)=R2,再結(jié)合在
長(zhǎng)方體中利用線面位置關(guān)系以及線段長(zhǎng)度由勾股定理得R2=(l-d)2+|,②,聯(lián)立方程組求出三
棱錐M-aCG的外接球半徑,即可得到答案.
解:因?yàn)殚L(zhǎng)方體4BC0-AiBiGDi,所以久久_L平面DDiGC,
即a/iJL平面CMC1
因?yàn)槠矫?CM,所以
所以三角形CMC1為直角三角形,
設(shè)三棱錐&一MCG的外接球球心為。,CG,BBi中點(diǎn)為E,F,
所以E為三角形CMC1外接圓的圓心,
所以。E1平面CMC;,
設(shè)OE=d,外接球的半徑為R,在長(zhǎng)方體ABC。-4aCiDi中,AB=C£=五,BC=1,
2
所以。加+EC/=ocj,即d2+g)=R2,①
因?yàn)?平面CMC1,所以E/7/&D1,
連接&F,40,所以4/2=2+;|,4。2=4仔+。尸2,
所以R2=(i—d)2+[,②,
所以三棱錐M—&CG的外接球表面積為HR'IU,
故答案為117r.
17.答案:竽+2金
解析:
本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征,正方體上兩點(diǎn)間的最短距離的求解和展開(kāi)圖的應(yīng)用,屬較難題.
將正方體中△485和^CBDi攤平成四邊形/I2BC2D1,由兩點(diǎn)之間直線段最短可得,當(dāng)點(diǎn)尸為42c2和
的交點(diǎn)時(shí),APAC周長(zhǎng)的最小值為142c2I+MQ,由此計(jì)算即可.
解:如圖1:
AB
圖1
將4CBD1攤平成四邊形
如圖2:
則四邊形4BC2C1中,\A2B\=\C2B\=2,\A2D^\=ICzDj=2V2,
Z.BAD==90°,\BD\=2V3.
21Z.BC2DAr
所以△A2BDy=△C2BD],
所以&C21BDi,
由2zBCzDi=M2?IXl4D/=3歷2。21X|BD/,
可得=也源x&.2』=%曳!=延,
1121
|BDt|263
由兩點(diǎn)之間直線段最短可得,
△P4C的周長(zhǎng)為|P川+\PC\+14cl=\PA2\+\PC2\+2V2
》142c21+2遮=華+2魚,
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為42c2和BDi的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,
BPAP4C周長(zhǎng)的最小值為延+2V2.
3
故答案為:墳+2VL
3
18.答案:且7T
24
解析:
本題考查球的體積公式,考查兩圓相切性質(zhì),正四棱錐性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔偏難題.設(shè)。為正方形
ABCD的中心,AB的中點(diǎn)為M,連接PM,OM,PO,則Q\f=1.PM=v/PA2-AM2=4U1T=3,
POyjj-T:20,分別可求得大球Oi與小球O2半徑分別為號(hào)和,,進(jìn)而可得小球的體積.
解:設(shè)。為正方形458的中心,A3的中點(diǎn)為M,連接PM,OM,PO,
II,QA/=1,
Z/z
PM=,PA2-AA/2=>/10T=3,PO=v9r=2x/2,
如圖,在截面PA/O中,設(shè)N為球。]與平面PAB的切點(diǎn),
則N在尸M上,且OGUPA/,設(shè)球0]的半徑為R,則QNR,
n\f1NO、1
因?yàn)轲抟?/P。=黑=3所以石?=3,貝iJPOi=;"L
rM3KU[3
POPOi+OO]1/72\,2,所以/?9
2
設(shè)球0i與球外相切于點(diǎn)。,則PQ-PO-2A=2”,設(shè)球外的半徑為一,
同理可得PQ-如,所以,.=[=¥,
故小球。2的體積V+43=等”,
故答案為逛7T.
24
19.答案:’;
解析:
本題以由直角梯形折疊形成的四面體為載體,考查線、面間的位置關(guān)系,四面體的外接球,屬于較
難題目.
根據(jù)條件判斷出四面體尸-BCE外接球的球心為3E的中點(diǎn),半徑為9BE,結(jié)合題目所給數(shù)據(jù)求出外
接球半徑,即可得到其表面積.
解:如圖.由題意可知,折疊后所構(gòu)成的四面體F-BCE中,
Z.EFC=90°,LEFB=90",N8FC不可能為直角.
在RMFBC中,由FB>FC可知,4FCB為直角,即BC1FC,
因?yàn)镕EJ.FB,FE1FC,FBCFC=F,FB,FCu平面尸BC,
所以FE,平面FBC,
又BCu平面FBC,則有FE1BC,
又因?yàn)锽C1FC,FEHFC=F,FE,FCu平面EFC,
所以BC1平面FEC,
又ECu平面EFC,則有BC1EC,
所以四面體F-BCE外接球的球心為BE的中點(diǎn),半徑為;BE,
在直角梯形ABC。中,
設(shè)DE=EA—a,
則有婚=a2+l,BE2=a2+4,BC2=4a2+1,
由EC?+8。2=BE?,
解得a=¥(負(fù)值己舍去),則BE=雷,
20.答案:(4)(5)
解析:
本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理,考查空間想象
能力和推理能力,是中檔題.
對(duì)于(1),取為D的中點(diǎn)N,連接MN,NE,則MN/CD,MN=:CD,證明MN〃EB,即可得到〃平
面&DE,即可判斷(1);
對(duì)于(2),延長(zhǎng)CB,DE交于H,連接運(yùn)用中位線定理和線面平行的判定定理,可得BM〃平
面&OE,即可判斷(2);
對(duì)于(3),運(yùn)用平行線的性質(zhì)和解三角形的余弦定理,以及異面直線所成角的定義,即可判斷(3);
對(duì)于(4),連接為。,運(yùn)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可得AC與OE垂直,即可判斷(4);
對(duì)于(5),AB=2AD=2,則OE=CE=/,CD=2,DE2+CE2=CD2,即證。E1CE,
若。El&C成立,則OE1_平面&CE,與=N4E0=45。矛盾,即可判斷(5);
解:對(duì)于(1)取為D的中點(diǎn)N,連接MMNE,則MN/CD,MN=\CD,-A
5LEB//CD,EB=^AB=^CD,
MN//EB,MN=EB,四邊形MNEB是平行四邊形,故BM“NE,又
BMC平面&DE,NEu平面40E,
???8M〃平面&0E,故(1)正確;
對(duì)于(2),延長(zhǎng)CB,DE交于H,連接44,由E為AB的中點(diǎn),
可得8為C”的中點(diǎn),又M為4C的中點(diǎn),可得〃4H,8MU平面&DE,
4/u平面40E,則BM〃平面&CE,故與平面&0E垂直的直線必與直線8M垂直,則(2)正確;
對(duì)于(3),設(shè)48=24。=2a,過(guò)E作EG〃BM,G6平面40C,
則乙41EG=NE&H,
22
在4EAi“中,EAX=a,EH=DE=V2a?A1H=la+2a—2-a-y/2a-=V5a>貝UNE4
為定值,即N&EG為定值,則(3)正確;
對(duì)于(4),連接40,可得CE141。,若DE1M。,即有0E1平面4M0,
即有0EJ.A1C,由&C在平面ABCD中的射影為AC,
可得AC與。E垂直,但AC與OE不垂直.
則不存在某個(gè)位置,使DEJ.MO,則(4)不正確;
對(duì)于(5)設(shè)48=24D=2,則OE=CE=/,CD=2,DE2+CE2=CD2,故OE1CE,
若DE141c成立,則OEJ_平面AiCE,OEJ.4[E,與NDEA]=/4E。=45°矛盾,
OE不可能垂直4傳,故(5)錯(cuò)誤.
故答案為(4)(5).
21.答案:解:(I)證明:???在APBC中,PB=V5,PC=2,BC=1,
PC2+BC2=PB2.:.PC1BC.
同理PC1DC.
又BCCDC=C,BCu平面ABC。,DCu平面ABC。,
PC1?平面ABCD.
如圖以點(diǎn)C為原點(diǎn),CD,CB,CP,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
z
則4(1,1,0),B(0,l,0),0(1,0,0),P(0,0,2),
~BD=(l,-l,0).
設(shè)E(0,0,a),則荏=(—l,—l,a),
?.?前?荏=0,DB1AE.
即不論點(diǎn)E在何位置,都有801AE;
(口)前=(1,-1,0),~BE=(0,-l,a),PX=(1,1,-2).
設(shè)平面OBE的法向量否"=%,yi,Zi)
由=x1-y1=0
(n7,麗=~yi+azi=
令X、=1.則%=1.Zx=I,可取濟(jì)=(1,1,》.
???P4〃面.?.對(duì)1%,
即萬(wàn)?元=2—;=0,解得a=l.
?1?/=(1,1,1),荏=(-1,
設(shè)直線AE與平面8DE所成角的為。,
而。=辰(建國(guó))卜癡為..
直線AE與平面BCE所成角的正弦值為“
(n)DX=(0,1,0),=(-1,0,1)-BA=(1,0,0).BE=(0,-1,1).
設(shè)平面A£>匹和平面A8E的法向量分別為五=(冷2多),同=(孫/⑦),
由信,電=%=0
(可?DE=-x2+z2=0
令》2—1,則為=0,z2=If可取底=(1,0,1),
由但甘=去=。,
(n3,BE=-y3+z3=0
令丫3=1,則與=0,Z3=1,可取碼=(0,1,1).
設(shè)二面角。-AE-8的大小為£,
則|cosS|=g^=:
|n2|-|n3|2
由圖可知。為鈍角,二面角D-AE—B的大小為半.
解析:本題考查了線線垂直的判定,向量法求解空間角,屬于較難題.
(I)以點(diǎn)C為原點(diǎn),CD,CB,CP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則4(1,1,0),
0),D(l,0,0),P(0,0,2),設(shè)E(0,0,a),由前.荏=0知DB1AE;
(U)求出平面。BE的法向量,設(shè)直線AE與平面8QE所成角的為0,
疝"Hi正叫=曷為=軸可;
(III)求出平面AZ)E和平面A8E的法向量,利用向量夾角公式求解.
22.答案:解:(1)如圖,在正三棱柱4BC-41B1Q中,
設(shè)AC,4G的中點(diǎn)分別為。,?!?/p>
則,OB1OC,OOr1OC,。。11。8,
故以{赤,元,西}為基底,
建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,
?.?4B=44i=2,4(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,l,0),
4式0,-1,2),Bi(柢0,2),6(0,1,2).
???點(diǎn)P為的中點(diǎn).
.??喬=(一今-Q),祈=(0,2,2).
|麗?福|
|cos<BP,AC>|=
1\BP\\AC[\
_|-1+4|_3y/lQ
一V5X2V2.20?
.?.異面直線8P與AC1所成角的余弦值為:粵;
(2)???Q為BC的中點(diǎn).Q(苧,:,0)
???而=(當(dāng),|,0),溫=(022),藥=(0,0,2),
設(shè)平面AQG的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),
n=-x+-y=0—rm-r-
22y,可取記=(國(guó),一i,i),
?n=2y4-2z=0
設(shè)e直線CCi與平面42cl所成角的正弦值為6,
sinO=Icos<CCi,7?>|="?——
mm
2_V5
-V5X2-T*
???直線CG與平面4QG所成角的正弦值為
解析:本題考查了異面直線所成角,直線與平面所成角,向量法求空間角,考查學(xué)生的計(jì)算能力和
推理能力,屬于中檔題.
(1)設(shè)AC,4C1的中點(diǎn)分別為。,01,以{話,方,兩}為基底,建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,由
|cos〈而,褊>|=慝鬻可得異面直線BP與4G所成角的余弦值;
(2)求得平面4QG的一個(gè)法向量為元,設(shè)直線CC]與平面4QG所成角的正弦值為仇可得sin?=|cos<
CC^,n>|=即可得直線CCi與平面4QG所成角的正弦值.
23.答案:證明(1):-AB=AC,。是BC的中點(diǎn),
AD1BC.
,?,底面4BC1平面BBiGC,
底面48cC平面BB1GC=BC,
???ADJ_平面BBiGC.
'又CC[w平,面
AD1Cg;
(2)如圖,延長(zhǎng)Bi4與BM交于點(diǎn)N,連接GM
AM=MA-i,??A/=A1B1.
???AG=A]N=A1B1,
£N1BG,
GN,側(cè)面BBiGC,
截面MBGJL側(cè)面BBiGC;
(3)若截面MBG1側(cè)面BBiQC,則力M=成立.
理由如下:如圖,過(guò)M作ME1BCi于點(diǎn)E,連接DE.
?.?截面MBG,側(cè)面BB£C,
AME1側(cè)面B&GC
又_L側(cè)面BBiC】C,
ME//AD,
四點(diǎn)共面.
vM4〃側(cè)面BBiGC,
AMIIDE.
???四邊形AMED是平行四邊形,
又AM=DE,AM//CCr,
???DE//CC^.
???BD=CD,
■■■DE=押£,
AM=gCG="&,
AM=MAX.
解析:本題主要考察了平面與平面垂直的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,恰當(dāng)?shù)奶砑虞o
助線是解題的關(guān)鍵.
(1)先證明底面ABC1平面B&GC,可知AD1平面BBiGC,從而可證4D_LCG;
(2)延長(zhǎng)與交于點(diǎn)N,連接GN,證明GN1側(cè)面即可證明截面MBG_L側(cè)面88也住;
(3)在圖中,過(guò)“作ME1BQ于點(diǎn)E,由截面MBC]1側(cè)面BBiGC,可證四邊形AMEZ)是平行四
邊形,有力M=DE,可證DE〃CCi,即可證明AM=M4.
24.答案:(1)證明:設(shè)丫在底面的射影為。,則。為正方形ABCD的中心.
如圖,連接0E,因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以O(shè)ELBC.
在正四棱錐V-4BC。中,VB=VC,則UEJ.BC,
所以NVEO為二面角V-BC-。的平面角,
則NVEO=60°.在RtAVOE中,VE=2OE,
又4B=BC=2OE,所以BC=VE.
(2)解:取AB的中點(diǎn)G,以。為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以面,灰,而為x,y,z軸的正方向,建立空間直
角坐標(biāo)系。■-xyz,
設(shè)AB=2,則4(0,0,遍),E(0,l,0),3(l,l,0),0(l,-l,0),
VA=(I,-I,-V3),FF=(1,1,-V3),7E=
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