高中數(shù)學(xué)公式定理大全

價，前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地，方程

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論a/+Ax+c=0(。*0)有且只有一個實(shí)根在(占水2)內(nèi)，等價于

Ak+k

/(匕)/(晨)<0,或/火)=0且kt<-—<-L-^，或/(晨)=0且

2a2

1.元素與集合的關(guān)系

x￡Au>xeCA,xGCJJA<=>xeA.

U9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

2.德摩根公式

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(aH0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值只能在

C。(An6)=CuAuCu6；Cu(AU8)=，AnCu8.

x=—2處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：

3.包含關(guān)系

2a

CA

An6=A=AUB=6=AC=G76Gu

QAnC*=<D=CuAU3=R(1)當(dāng)a>0時，若x-----G[p,q],則

2a

4.容斥原理

〃X)min="-()J(X)max?{/(〃)，/(/}；

card(A\JB)=cardA+cardB-card(AA￡?)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(ADB)

X=-(史IP，4],/(?max=max{/(P)，/(q)},

-card(ADB)-card(BC\C)-card(C0A)+card(APlBAC)

/(X)min=min{/(P)，/⑷}.

5.集合凡｝的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子

⑵當(dāng)a<0時,若x=-(e[p,q],則/(x)=min{/(p)J(g)},若

集有2"-1個；非空的真子集有2"-2個.1nhi

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

x=-^^[p,q\,則/(x)max=max{/(p)J(q)},

(1)一般式/0)=ax1+bx+c(a*0);

(2)頂點(diǎn)式f(x)=a(x-h)2+k(a.0):

/(x)min=min{/(p),/(q)}.

(3)零點(diǎn)式/(x)=a(x-xj(x-x2)(aW0).

10.一元二次方程的實(shí)根分布

7.解連不等式N</(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式依據(jù):若/(〃?)/(〃)<(),則方程.f(x)=0在區(qū)間(〃?,〃)內(nèi)至少有一個實(shí)

N<f(x)<M<=>[/(x)-M][/(%)-TV]<0根.

M+N,M-N以x)-N設(shè)/(x)-x+px+q,貝IJ

。"⑴一l<----------<=>2

2M-f(x)(1)方程/(x)=0在區(qū)間(九+oo)內(nèi)有根的充要條件為/(〃?)=0或

11/?2-4^>0

o------------->-----------.

f(x)-NM—N

?上)m；

8.方程/(x)=0在(片個)上有且只有一個實(shí)根，與f(kjf(h)<0不等I2

（2）方程，（x）=0在區(qū)間（，",〃）內(nèi)有根的充要條件為/（〃?）/（〃）<（）或是不是至少有一個一個也沒有

/（加）〉0都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有n個至多有（〃一1）個

/(?)>0

/(〃?)=0“〃)=0小于不小于至多有n個至少有（〃+1）個

/-4"0或<

4(〃)>0af{m)>0對所有X,存在某X,

P成立不成立p或q—\p且一><7

m<---<n

2對任何X,存在某X,

（3）方程/（x）=0在區(qū)間（—8,〃）內(nèi)有根的充要條件為/（〃?）<0或不成立成立P且4—p或

p2-4（?>0

14.四種命題的相互關(guān)系

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

（1）在給定區(qū)間（一8,+8）的子區(qū)間L（形如［a,77］,（-8,冏，［。,+8）不同）

上含參數(shù)的二次不等式/（x,f）20（，為參數(shù)）恒成立的充要條件是

/（Xj）min>O（XL）.

⑵在給定區(qū)間（—8,+8）的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/（X,『）20（，為

參數(shù)）恒成立的充要條件是f（x,t）man<0（X史L）.

a>0

（3）f（x）^ax4+bx2+c>0恒成立的充要條件是^>0或

15.充要條件

c>0（1）充分條件：若p=q,則p是“充分條件.

（2）必要條件：若qnp,則〃是q必要條件.

a<0

（3）充要條件：若pnq,月=則p是q充要條件.

b2-4ac<Q

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

12.真值表

16.函數(shù)的單調(diào)性

Pq非PP或qp且q⑴設(shè)七?々€。力］,王?！┠敲?/p>

真真假真真

真假假真假（%—X2）［/a）—/（工2）］>0O"'）:"々）>0=/（X）在［a,b］上是

假真真真假

假假真假假增函數(shù)；

13.常見結(jié)論的否定形式（%—々）［/（4）一/（々）］<0=/邈二9<0o/（x）在卜力］上是

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

減函數(shù).(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(—x)的圖象關(guān)于直線x=O(即y軸)對稱.

(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果尸(x)＞設(shè)則/(x)為增函數(shù);(2)函數(shù)y=/(mx-a)與函數(shù)y=/(b-mx)的圖象關(guān)于直線x=土也對

如果/(x)＜0,則/(x)為減函數(shù).2m

17.如果函數(shù)/(X)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)稱.

/(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)y=/Q)和"=g(x)在其對應(yīng)的定義域上⑶函數(shù)y=/(x)和y=/-'(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù))，=/[g(x)]是增函數(shù).25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)

18.奇偶函數(shù)的圖象特征y=/(x-a)+〃的圖象；若將曲線/(x,y)=O的圖象右移。、上移6個單位，

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一得到曲線/。一。廣一0=0的圖象.

個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于

26.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).

f(a)=b=fT(b)=a.

19.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則/(x+a)=/(—x—a)；若函數(shù)

y=/(x+a)是偶函數(shù),則f(x+d)=f(-x+a).27.若函數(shù)y=f(kx+b)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y=~[f-'M-b],并

20.對于函數(shù)y=/(x)(xeR),/(x+a)=/(/?—x)恒成立,則函數(shù)f(x)k

不是y=[7-'(kx+b),而函數(shù)y=[/-'(京+匕)是y=-[fM-b]的反函數(shù).

的對稱軸是函數(shù)x兩個函數(shù)'=/。+。)與、=f(b-x)的圖象關(guān)k

28.幾個常見的函數(shù)方程

于直線％=幺心對稱.

(1)正比例函數(shù)f(x')=cx,f\x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

2

(2)指數(shù)函數(shù)/(x)=a*,f(x+y)=f(x)f(y),f(\)=a^O.

21.若/(x)=-/(-x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)弓,0)對稱；若

⑶對數(shù)函數(shù)/(x)=log.x,/(xy)=/(x)+f(y),f(a)=l(a>0,a1).

/(%)=-/(》+。)，則函數(shù)＞=/(x)為周期為2a的周期函數(shù).⑷募函數(shù)/(x)=x。，/(盯)=/(x)/(y),/'(D=a.

22.多項式函數(shù)P(x)=a,x"+4一尤2+…+即的奇偶性(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)=P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零./(x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(y)，

多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)oP(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零./(0)=l』im^^=l.

23.函數(shù)y=/(x)的圖象的對稱性XT。X

29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱=/(?+%)=f(a-x)

(1)f(x)=f(x+a),則/(x)的周期T=a；

of(2a-x)^f(x).

(2)/(X)=/(X+6Z)=O,

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線》=審對稱

或f{x+a)=—J—(/(x)^0),

f(x)

=f(a+mx)=f(b-mx)

=/(a+8-mx)=f(mx).sg/(x+a)=--^—(/(X)H0),

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性/W

34.對數(shù)的換底公式

或;+—72")=/(x+a),(/3)e[0,1]),則/(x)的周期T=2a;

logN

logi(N=—(”>0,且。71,機(jī)〉0,且機(jī)工1,N>0).

(3)/(x)=1-----5—(/(x)W0),貝ij/(x)的周期T=3a；log,”a

f(x+a)

推論logb"--log“b(a>0,且a>1,〃?,〃>0,且mw1,〃H1,

/(x,)+/(x)"m

(4)/(X]+x)=2且

2N>0).

l-/(x,)/(x2)

35.對數(shù)的四則運(yùn)算法則

/(?)=l(/(x,)-/(x)^l,0<lx,-xl<2a),則/(x)的周期T=4a；

22若a>0,aWl,M>0,N>0,貝U

(5)/(x)+/(x+a)+/(x+2a)/(x+3a)+/(x+4/)

(1)log”(〃N)=log“M+loguN;

=/(^)/(x+6f)/(x+2tz)/(x+3tz)/(x+4z),則/(x)的周期T=5a；

M

(6)f(x+a)=/(x)-f(x+a),則f(x)的周期T=6a.⑵log”7=Qg“MTog。N;

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)基

(3)log"M"=nlogM(〃eR).

㈣1a

(1)an=,——Q>0,m，〃￡N*,且〃>1).22

(36.設(shè)函數(shù)f(x)-logm(ax+bx+c)(aW0),記△=b-4ac.若f(x)

\am

的定義域?yàn)镽,則a>0,且△<();若/a)的值域?yàn)镽,則a>0,且ANO.對

-巴1

n

(2)a-——m(a>0,m,neN*,且.〃>1).于。=0的情形，需要單獨(dú)檢驗(yàn).

an37.對數(shù)換底不等式及其推廣

31.根式的性質(zhì)

若a>0,b>0,x>0,x#—,則函數(shù)y-log(n.(bx)

(1)(族)'=a.a

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時，標(biāo)7=a；(1)當(dāng)a>b時,在(0,')和(！,+oo)上y=log”(bx)為增函數(shù).

aa

當(dāng)”為偶數(shù)時，折

,⑵當(dāng)a<8時，在(0,—)和(一,+8)上y=log〃r(bx)為減函數(shù).

-a,a<0aa

32.有理指數(shù)褰的運(yùn)算性質(zhì)

推論:設(shè)〃>機(jī)>1，p>0>a>0，且awl，則

(1)a'as=ar+s(a>0,r,seQ).

(2)(ar)s=ar'(a>0,r,seQ).⑴log,,”("+〃)<log,”

r

(3)(ab)'=ab'\a>0,b>0,reQ).2m+n

⑵logamloga/z<logfl

注：若a>0,p是一個無理數(shù)，則a。表示一個確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)2

嘉的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)嘉都適用.38.平均增長率的問題

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,則對于時間x的總產(chǎn)值y,

log.N=bod=N(a>0,aWl,N>0)有〉=N(l+p)”.

39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系nb+n(n-l)d,(q=1)

s,,n=1sn

（數(shù)列｛《,｝的前n項的和為s“=4+a,+…+a)?dA-qd.

(&---)―—〃，(#D

[S“一S,T，"N2Ii-qq-ii-q

43分.期付款(按揭貸款)

40.等差數(shù)列的通項公式

每次還款x=abQ+b丫一元(貸款a元,n次還清，每期利率為h).

(1+b)"-1

an=〃1+(72-Y)d=dn+a]-d(neN')；

44.常見三角不等式

其前n項和公式為(1)若XE(0,—),則sinx<x<tanx.

n(77-l)2

na,+------

212(2)若x￡(O,工)，KO1<sinx+cosx<V2.

2

d2/1八

——n+（6Z>--u）/?.(3)IsinxI+Icosxl>1.

22

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

41.等比數(shù)列的通項公式

sinf)

22

a“=a0i=幺?。'(〃eN")；sin0+cos0=1ftan-----,tan0-cotO=1.

cos。

q46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

其前n項的和公式為

n

止A*](-1)2sina,（n為偶數(shù)）

sin(---\-a)-<

Sn=l-q/i-i

(-1)2cosa,

.〃q,q=l（n為奇數(shù)）

'幺歿&q*lrn（n為偶數(shù)）

,ri兀、(-l)2cosa,

或5“=<\-q.cos(—+a)=<

n+1（n為奇數(shù)）

na,q=1

{(-1)2sina,

等比差數(shù)列的通項公式為

42.{a,}:a?+l=qan+d,%=b(qH0)47.和角與差角公式

b+(n-T)d,q=1sin(a±￡)=sinacos/?±cosasin￡;

nn

an^\bq+(d-h)q-'-d；cos(a±B)=cosacos<干sinasin(3；

■,q*]tan(a±0=tandtanJ

q-i

1+tanatan0

其前n項和公式為

sin(a+P)sin(a-/?)=sin2a-sin2p(平方正弦公式);

cos(a+J3)cos(6Z-/?)=cos26z-sin2[3.

(1)S^-ah=-bh^-ch(也、%,、h分別表示a、b、c邊上的高).

2420h2c°Dc

4sina+Vcosa=，J+〃sin(a+0)(輔助角0所在象限由點(diǎn)(凡。)的象

b(2)S=—absinC=—bcsinA=—easinB.

限決定，tan^=—).222

a

⑶%.Bf(麗.麗2-"函L

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

54.三角形內(nèi)角和定理

cos2a=cos2cr-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

在aABC中，有4+8+。=乃=。=乃一(A+8)

八2tana

tan2a=--------；-.C7iA+B“-?▲z

1-tan-a—=-------------2c=2萬一2(A+B).

49.三倍角公式222

55.簡單的三角方程的通解

sin36=3sin。-4sin*=4sin0sin(y-6)sin(y+0).sinx=qo_￥=攵4+(-1>arcsin〃(ZGZ,\al<1).

cosx=ax=2上1士arccosa(ZEZ,lal<1).

3

cos3。=4cos夕一3cos6=4cos0COS(y一6)COS(y+8).tanx=anx=%不+arctana(keZ,aeR).

特別地,有

a3tantan30八/九八、n八、尸=》

tan3。=--------------=tan0tan(-----6)tan(—+3).sina=sina=k/r+Jl0(kGZ).

2

l-3tan^33cosa=cospoa=2k?！?*GZ).

50.三角函數(shù)的周期公式tana=tan/=>a=攵；r+0*GZ).

函數(shù)y=sin(ox+0),x￡R及函數(shù)y=cos(69x+e),x￡R(A,3,(p為常數(shù),56.最簡單的三角不等式及其解集

2471sinx>a(\a\<l)<^>xEQk兀+arcsina,2k兀+%一ai*csina).keZ.

且A70,3>0)的周期T=——；函數(shù)y=tan(公￥+9),xwk7V+—,kGZ(A,

co"2sinx<a(\a\<V)<^>xe(2左乃一冗一ai*csina,2k兀+arcsind),kGZ.

TTcosx>6/(1tzl<1)<=>xG(2k)-arccosa,2k兀+arccosa).keZ.

3,0為常數(shù)，且AWO,3>0）的周期T=—.

cocosx<。(1。隆1)=xEQkjr+arccos2Lr+2)一arccosa),keZ.

51.正弦定理71

tanx>a(aeR)^>xe(k兀+arctana^krcH——),keZ.

2

sinAsinBsinC71

52.余弦定理tanx<a(ae/?)=>xe(kji:~~,k7i+arctana),keZ.

a2=b2+c2-2/?ccosA;57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

b~=c2+/-2cacosB;設(shè)入、口為實(shí)數(shù)，那么

c2=a2+h2-2abcosC.(1)結(jié)合律：A(ua)=(入u)a;

53.面積定理(2)第一分配律：(入+u)a=Aa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.a-Lb(aw0)=a?b=0=無］/+%%=。.

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

58.66.線段的定比分公式

(1)a?b=b?a(交換律)；

設(shè)[(和m),￡(々,%)，P(x,>)是線段6鳥的分點(diǎn)，丸是實(shí)數(shù)，且

(2)(Xa)?b=2(a*b)=Aa?b=a?(Ab);

電二屜,則

(3)(Kb)?c=a,c+b,c.4

59.平面向量基本定理

_%+AX2

如果小、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一

e2而=吁伙

向量，有且只有一對實(shí)數(shù)入I、X,,使得a=Aiei+Ae.

1+2

不共線的向量e?包叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示-1+2

設(shè)a=(X],y，，by/,%)，且b/0,則ab(b*0)=-々％=0?———1

=。尸=必+(1-。。8(f=77I).

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a-b-abcos9.67.三角形的重心坐標(biāo)公式

61.a-b的幾何意義△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X[,yJ、B(x2,y2),Cj,丫3),則AABC

數(shù)量積a-b等于a的長度lai與b在a的方向上的投影Iblcos9的乘積.

的重心的坐標(biāo)是(士號士,

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算G“+g+X).

⑴設(shè)a=&,x),b=(x,y),則a+b=(x,+x,y,+y).

222268.點(diǎn)的平移公式

⑵設(shè)則一,

a=(%,%),b=(x2,y2),a-b=(x,-x2,y,-y2).